Cinematica III. 11) Cinematica Rotazionale

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1 Cinematica III 11) Cinematica Rotazionale Abbiamo già tattato il moto cicolae unifome come moto piano (pa. 8) intoducendo la velocità lineae v e l acceleazione lineae a, ma se siamo inteessati solo al moto lungo una ciconfeenza di dato aggio è più comodo ifeisi alle coodinate polai P(,) (vedi fig. 1) in quando solo = (t) e lo studio del moto diviene un poblema unidimensionale. Si pala alloa di cinematica otazionale. y P l O O Fig. 1 x Detta l la lunghezza dell aco O P ovveo la coodinata cuvilinea del punto P ispetto a O, è pe definizione: (in adianti) Convenzione: > 0 pe otazioni antioaie ispetto al semiasse x positivo. Se P è in moto, esso saà in una posizione A al tempo t 0 e una posizione B a un tempo t 1 ; nell intevallo di tempo t = t 1 t 0 si avà una coispondente vaiazione della posizione angolae = 1 0 (Fig. 1). Ossevazioni: C B 1 O 0 A Fig. 1 x 1) non dipende dal pecoso del punto nell intevallo t infatti si ha lo stesso sia se, nell intevallo t, il punto P va diettamente da A a B sia se, pe esempio, aggiunge un alto punto C e poi tona indieto in B. ) può essee maggioe, minoe (o uguale) di zeo in elazione alla convenzione sul segno di. Nel nosto caso: è positivo pe moto in veso antioaio, negativo pe moto in veso oaio. 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 1

2 La vaiazione di posizione angolae elativa all intevallo di tempo t, pemette di caatteizzae il moto intoducendo la gandezza velocità angolae media m Δ 1 0 m ( unità di misua = Δt t1 t0 ad ) s In un moto con m maggioe di un alto, si avà una maggioe vaiazione della posizione angolae nello stesso intevallo di tempo di ossevazione. Ossevato che t > 0 sempe, pe quanto detto nell ossevazione, segue che m può essee sia positiva che negativa (e ovviamente anche nulla). Essa, con la nosta convenzione pe il segno di, saà positiva se il moto è nel veso antioaio, negativa se il moto è nel veso oaio. Invetendo la convenzione pe, lo stesso moto avà m di segno opposto. (Si ea già detto che la descizione del moto dipende dal sistema di ifeimento). Anche m, come v m (vedi pa. 1) fonisce una non completa caatteizzazione dello stato di moto; se si è inteessati alla velocità angolae a un istante di tempo t ovveo alla velocità angolae istantanea ciò che possiamo eventualmente fae è calcolae m elativamente ad un intevallo di tempo piccolissimo t intono a t, al limite tendente a zeo. Dal punto di vista fomale (vedi pa 1): 11. i lim t0 t d i d Ossia la velocità angolae istantanea è la apidità di vaiazione della posizione angolae occupata dal punto con il tempo, ovveo la deivata pima ispetto al tempo della posizione angolae (t). Di seguito quando diemo velocità intendeemo ifeici alla i ( i ). Oa possiamo definie la velocità angolae 0 all istante di tempo t 0 e la velocità angolae 1 all istante di tempo t 1. In geneale dobbiamo aspettaci che sia = (t) cioè 1 0 e quindi in coispondenza dell intevallo di tempo di ossevazione t = t 1 t 0 iscontiamo una vaiazione di velocità angolae = 1 0. La vaiazione elativa all intevallo di tempo t, pemette un ulteioe caatteizzazione del moto intoducendo la gandezza acceleazione angolae media m Δ 1 0 m ( unità di misua = Δt t1 t0 ad ) s 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP

3 In un moto con m maggioe di un alto si avà una maggioe vaiazione della velocità angolae nello stesso intevallo di tempo di ossevazione. Ossevato che t > 0 e che V può essee sia positiva che negativa (e ovviamente anche nulla) segue che anche m può essee sia positiva che negativa (e ovviamente anche nulla). Il suo segno non è diettamente coelato al veso del moto, ma saà positiva se la velocità aumenta, negativa se la velocità diminuisce. Si è genealmente inteessati all acceleazione angolae a un istante di tempo t ovveo l acceleazione angolae istantanea come l acceleazione angolae media elativa a un intevallo di tempo piccolissimo t intono a t, al limite tendente a zeo, ovveo: 11.4 i lim t0 t d i d Ossia l acceleazione angolae istantanea è la apidità di vaiazione della velocità angolae con il tempo, ovveo la deivata pima ispetto al tempo della velocità angolae (t). Di seguito quando diemo acceleazione intendeemo ifeici alla i ( i ). Il moto otazionale di un punto mateiale è quindi caatteizzato dalla sua velocità angolae e dalla sua acceleazione angolae ; in paticolae se = (t) il moto è detto otatoio vaio, se = cost il moto è detto otatoio unifomemente acceleato e in paticolae se =cost =0 il moto è detto otatoio unifome. Nel caso di = (t), non c è un espessione semplice pe l equazione del moto = (t) in quanto essa dipende esplicitamente dall'espessione di, mente è possibile scivee l equazione del moto nel caso di = cost. Se confontiamo le definizioni di,, qui date con le elazioni di x, v, a pe il moto unidimensionale (pa. ) vediamo che esse sono fomalmente identiche se sostituiamo con x, con v e con a; di conseguenza possiamo sostituie i simboli x,v,a con,, nei calcoli del pa. 3 ottenendo, con ovvio significato dei simboli, pe il moto otatoio unifomemente acceleato le seguenti elazioni: 11.5 = cost, (t) = 0 +t, 1 ( t ) 0 0t t Le gandezze otazionali,, sono ovviamente coelate alle gandezze lineai l, v, a. Infatti, dato un in intevallo di ossevazione t = t 1 t 0 e vista la definizione di 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 3

4 , la vaiazione della coodinata cuvilinea l (ovveo lo spostamento lungo la ciconfeenza) è data da: l = l 1 l 0 = 1 0 = ( 1 0 )= l=. Δ Δθ d dθ Essendo costante v con v modulo della velocità Δt Δt lineae. Deivando quest ultima elazione abbiamo: dv d dv d a t Notiamo che nella elazione pecedente dv/ è elativa alla sola vaiazione del modulo di v e, pe quando visto nel pa. 9, questa è legata alla sola componente tangenziale dell acceleazione lineae. Le elazioni che legano le vaiabili lineae a quelle otazionali sono: 11.6 l=, v =, a t = Ossevazione. Pe la 11.5, in un moto cicolae unifome (ossia con 0 = cost e = 0) lo spostamento angolae in un intevallo t è dato da = 0 t. Se indichiamo con T l intevallo di tempo necessaio a compiee un gio completo (ossia pe avee = ) si ha: 0T T. 1 Il tempo T è detto peiodo e il suo inveso f detto fequenza (misuata in T Hz = s -1 ) appesenta il numeo di gii effettuati nell unità di tempo. Segue che: f. 0 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 4

5 Un esempio impotante: Il cambio Consideiamo (vedi fig. ) due moti cicolai lungo ciconfeenze di aggi 1 ed, con 1 >, vincolati in modo da avee lo stesso spostamento lineae (ossia misuato lungo le ispettive ciconfeenze) l 1 e l in un intevallo di tempo t. Segue, con ovvio significato dei simboli, che: 1 Δ 1 1 Δ Δ1 1 Δt Δθ Δt ovveo se fissiamo la velocità angolae del moto 1, la velocità angolae del moto dipende dal appoto 1 /, in questo esempio > 1. 1 Fig a Fig. b Questa situazione si ealizza su una bicicletta (vedi fig. b) dove il moto 1 è quello di un punto peifeico della moltiplica e il moto quello di un punto peifeico del appoto solidale con la uota, mente la condizione di stesso spostamento lineae è imposta dalla catena che vincola il moto della moltiplica e quello dei appoti. Il sistema costituisce un cambio ossia un dispositivo che pemette, tamite la elazione pecedente, di cambiae la velocità angolae della uota, mantenendo costante la velocità di otazione della moltiplica scegliendo un oppotuno appoto 1 /. 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 5

6 1) Moto amonico Il moto amonico è un moto unidimensionale (assumiamo lungo l asse x) la cui equazione oaia è: 1.1 x(t) = A cos(t + ). La gandezza (t + ) è detta fase del moto amonico. La sua analisi dimensionale dice che A è una lunghezza (m), è un angolo/tempo (ad/s) e è un angolo (ad). Vediamone il significato fisico: a) Significato di A (detta ampiezza): poiché la quantità cos(t + ) è limitata fa i valoi 1, duante il moto amonico x può assumee solo valoi compesi fa A ossia: A < x(t) < A quindi il moto amonico è un moto limitato nello spazio e A appesenta la massima distanza dal punto centale (x = 0) che è possibile aggiunge. Un pecoso completo (da un punto x i ad +A, quindi da +A a A e infine da A a x i ) è detto oscillazione completa. b) Significato di (detta pulsazione): poiché ha le dimensioni di ad/s la quantità T = / è un tempo (s). Calcoliamo la posizione di un punto in moto amonico a un tempo T dopo un geneico istante t: x( t T ) Acos x( t T ) Acos T t Acos t Acos t t x( t ) Risulta: x(t+t) = x(t) ossia dopo un tempo T il punto si itova nella stessa posizione quindi T è il tempo necessaio a compiee una oscillazione completa. 1 T è detto peiodo e il suo inveso f detto fequenza (misuata in Hz = s -1 ) T appesenta il numeo di oscillazioni complete nell unità di tempo. Il significato di è nella definizione di T. c) Significato di (detta fase iniziale): In fig. 3 è ipotato, pe A = 0.6 e = 0,90,45 il gafico di x(t) = A cos(t +). E evidente che valoi divesi di potano solo ad una taslazione della cuva con conseguente cambio del valoe di x a un fissato t. In paticolae a t = 0 si ha x(0) = 0,6; 0; 0,4 ispettivamente pe =0, 90, 45 quindi l angolo specifica la posizione iniziale del moto ossia x 0 = x(t=0) = Acos. 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 6

7 Fig. 3 L equazione oaia pemette in calcolo della velocità v(t) e della acceleazione a(t): x( t ) dx v( t ) dx a( t ) Acos( t ) d d Acos( t ) Asen(ωs φ) Asen( t ) Acos( t ) Ax( t ) Si nota (vedi anche fig. 4) che v(t) e a(t) vaiano con la stessa pulsazione, ma non sono in fase fa loo, e si ha, in modulo, v Max = A e a Max = A. E impotante notae che ha: 1. a(t) = x(t) ossia l acceleazione è diettamente popozionale all opposto dello spostamento e la costante di popozionalità è il quadato della pulsazione. Useemo in seguito questa popietà pe iconoscee come amonico il moto di un sistema. 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 7

8 Pe capie meglio v(t) e a(t) ipotiamo in fig. 4 il loo andamento in funzione della fase t + pe =0 ad, =0,7 ad/s ed A= 10 cm. Fig. 4 E evidente, come appesentato anche in fig. 5, che agli estemi del moto, quando lo spostamento è massimo, è nulla la velocità ed è massima l acceleazione; al cento dell oscillazione, ossia quando lo spostamento è nullo, è massima la velocità e nulla l acceleazione. Questo compotamento saà ivelante quando si discuteanno gli aspetti enegetici connessi al moto amonico. t=, =0 x = x Max = A v =0 a = a Max = A t=/, =0 x = 0 v = v Max = A a = 0 t=0, =0 x = x Max = A v =0 a = a Max = A Moto da +A ad A Moto da A ad +A 0 x t=3/, =0 x = 0 v = v Max = A a = 0 Fig. 5 18/10/011 Lezioni di Fisica pe CTF MdP 8