Funzioni elementari. La prima funzione che abbiamo condiderato considerato è la funzione costante. f : R! R : f(x) = k ;

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1 Funzioni elementari Come abbiamo già visto, studiando le funzioni reali, ci sono funzioni elementari che servono, attraverso somma, prodotto, quoziente, inversa e composizione ad ottenere altre funzioni che descrivono i fenomeni che vogliamo studiare. La prima funzione che abbiamo condiderato considerato è la funzione costante f : R! R : f() = k ; dove k è un numero reale qualunque. Il suo gra co è una retta parallela all asse delle ascisse = k f() = Un altra funzione elemetare che abbiamo visto è la funzione identità: f : R! R; f() =

2 f() = Attraverso la somma e il prodotto di qurste due funzioni si ottiene una generica funzione lineare f : R! R ; f() = a + b cioè una funzione il cui gra co è una linea retta. Quindi, se f è una funzione lineare, individuata dalle costanti a e b, a è l inclinazione della linea e (0; b) è il punto di intersezione della linea con l asse delle ordinate. Poichè due punti determinano una retta, ne consegue che l equazione di una funzione lineare può essere determinata conoscendo i valori corrispondenti a due punti. Ad esempio, supponiamo di sapere che f è una funzione lineare e che f() = e f(4) = 3. Ne consegue che i punti (; ) e (4; 3) si trovano sul gra co della funzione. Si calcola la pendenza della retta, cioè 3 ( ) 4 = 5 3 : Così, a = 5 3 :Per scoprire il valore di b, si ha che f() = ( 5 3 ) + b: Così, quando = ; f() = ( 5 3 ): + b cioè = b, da cui ne consegue che b = 3. Pertanto, l equazione della funzione è f() = Naturalmente si può anche cercare l equazione della retta tra i due punti del gra co e esprimere la variabile in funzione della variabile ; ottenendo così la funzione cercata

3 f() = Un esempio tratto dalla sica è dato dalla funzione T che converte i gradi Fahrenheit in gradi Celsius. Dato che T (98; 6) = 37 e T (3) = 0, troviamo l equazione della funzione T. T (98;6) T (3) La pendenza è data da a = 98;6 3 = ;6 3 = 37 66:6 : = = 5 9 Pertanto, T () = b,. Per trovare il valore di b, usiamo il fatto che T (3) = 0 e otteniamo T (3) = (3) + b = 0,. Così, b = 9. Pertanto, T () = : T () = : 5 60 Se ci chiediamo quando T () 0 ossia quando T () = 9 : 0, troviamo che questo è veri cato quando 3 cioè nell intervallo: [3; ) : esattamente quando la funzione assume valori positivi, ossia quando f() si trova nel primo o secondo quadrante. 3

4 Analogamente avremo che T () < 0, quando f() si trova nel terzo o quarto quadrante, cioè per < 3 ovvero nell intervallo ( ; 3) : Una funzione molto importante che abbiamo già incontrato e che sarà di grande utilità è la funzione valore assoluto: Tale funzione è de nita come segue: f : R! R, f() = jj. jj = se 0 se < f() = jj La funzione valore assoluto ha R come dominio e [0; +) come immagine. E una funzione pari, strettamente crescente in [0; +) strettamente decrescente in ( ; 0] : Gode delle seguenti proprietà:. jj 0. jj = 0 se e soltanto se = 0 3. j j = jj (funzione pari) 4. j : j = jj : jj 5. = jj ( 6= 0) jj 4

5 Per ogni numero reale r 0 valgono le seguenti equivalenze: (Veri carle sul gra co della funzione) jj r se e solo se r r jj < r se e solo se r < < r jj r se e solo se r oppure r jj > r se e solo se < r oppure > r Risolviamo l equazione j 3j = 4; questo signi ca 3 = 4, se 3 0 ( = 7) oppure ( 3) = 4, se 3 < 0. Questo signi ca =.. Se vogliamo risolvere l equazione con il gra co della funzione f() = j 3j Se ora vogliamo risolvere la disequzione j 3j 4, si ha immediatamente che la disequazione è veri cata nell intervallo [ ; 7] ;mentre j 3j > 4, è veri- cata negli intervalli ( ; ) [ (7; ) : Se si vuole risolvere la disequazione sanaliticamente, j 3j 4 è equivalente alla doppia disequazione ossia occorre risolvere ilsistema: cioè 3 4 Un altra funzione che abbiamo già incontrato è la funzione quadratica f : R! R, f() = 5

6 f() = Come la funzione valore assoluto la funzione f() = ha R come dominio e [0; +) come immagine; è una funzione pari, strettamente crescente in [0; +) strettamente decrescente in ( ; 0] : Le funzioni f() = a (con a 6= 0) si ottiengono dal gra co precedente moltiplicando per a l ordinata di ogni punto. Si noti che se a < 0 la concavitò della funzione cambia. Nel gra co seguente abbiamo le funzioni: f() = a per alcuni valori di a (rosso); (giallo) (verde); (bleu); (viola); (rosa) 6

7 Se operiamo sulla funzione f() = a una traslazione orizzontale e una verticale in modo generico otteniamo una funzione quadratica, cioè f() = a + b + c,con a 6= 0: Il gra co di una funzione quadratica è una parabola. il suo dominio è R. La parabola così ottenuta ha la concavità verso l alto (convessa) se a > 0 e ha la concavità verso il basso (concava) se a < 0;come nel caso f() = a, infatti tramite una traslazione orizzontale e una verticale non si operano simmetrie ripetto all asse delle ascisse. Il gra co ottenuto è simmetrica allaretta verticale = Il vertice del gra co ha coordinare = b b a ; : = f( a ) = a( b a ) b + b( a ) + c = c b 4a Disegnamo ad esempio il gra co della funzione quadratica f() = : La parabola oha la concavità verso l alto, poichè a =,. Il vertice della b parabola ha ascissa pari a a =. L ordinata del vertice è f( ) = 7. Così, 7 è il minimo della funzione e l immagine di f. è [ 7; ) b a f() = Gli zeri di una funzione sono i valori in cui la funzione vale 0: Se cerchiamo gli zeri di una funzione quadratica, la formula risolutiva è: Se a + b + c = 0, con a 6= 0, allora = b p b 4ac a Se b 4ac < 0, l equazione non ha soluzioni reali (Nel campo complesso questa equazione ha sempre soluzione). 7

8 Gli zeri della funzione f() = sono = 8p 8 (4)()() () = 8p 56 4 = 8p 4 4 = p 4: Se ci chiediamo quando , possiamo osservare che la disuguaglianza è veri cata per tutti i valori di, per cui f() 0, come si vede immediatamente qiuesto succede nell intervallo p 4; + p 4 : Se ci chiediamo invece quando > 0 dal gra co della funzione desumiamo immediatamente che questo si veri ca nel unione dei due intervalli intervalli p ; 4 [ + p 4; + : Consideriamo ora la funzione quadratica f() = L ascissa del vertice è, e la sua orinata è f() = 9. Dal momento che gli zeri sono e 5, e a = < 0, il gra co risulta quello sopra disegnato. In questo caso avremo per 5, cioè nell intervallo [ ; 5], mentre < 0, per < o per > 5, cioè in ( ; ) [ (5; ) : Funzioni potenza Abbiamo ora studiato la funzione potenza f() = ; abbiamo dato precedentemente la de nizione di potenza con esponente reale e abbiamo osservato che valgono sempre le seguenti le proprietà:. a a = a +. (a ) = a 3. 0 < a < b ) a < b 8

9 4. < ; a > ) a < a 5. < ; 0 < a < ) a > a Ora studieremo i gra ci di tutte le funzioni potenza f() = nei vari casi in cui può presentarsi. Si noti che in una funzione potenza generica la variabile è la base, mentre l esponente è sso Studiamo ora le funzioni potenza con esponente intero positivo n 0 : Abbiamo già visto i casi n = 0; ; : f() = n Come si osserva facilmente, le funzioni potenza con esponente pari sono pari infatti godono della proprietà: f( ) = f() perché ( ) n = se n è pari e quindi ( ) n = ( ) n n = n : Il loro gra co è pertanto simmetrico rispetto all asse delle ordinate..analogamente le funzioni potenza con esponente dispari sono dispari perchè godono della proprietà f( ) = f() perché( ) n = se n è dispari e ( ) n = ( ) n n = n : ll loro gra co è simmetrico rispetto all origine. Il caso n = 0 f() = 0 = ;è la funzione costante di valore : Nei casi n > 0;si osservi che,, se 0 < <, i gra ci delle funzioni potenza si avvicinano all asse delle ascisse al crescere dell esponente, mentre, se >, i gra ci crescono sempre più velocemente al crescere dell esponente. 9

10 (nero); (verde); 3 (bleu); 4 (viola); 5 (marrone) Osserviamo il gra co delle stesse funzioni nell intervallo [0; :] ;per confrontare i comportamenti delle varie funzioni (nero); (verde); 3 (bleu); 4 (viola); 5 (marrone) 0

11 Esaminiamo ora i gra ci delle funzioni potenza f() = k, k < 0, intero. Si possono ripetere le considerazioni già fatte nel caso di esponente positivo circa parità, disparità e simmetrie del gra co. Inoltre, se >, i gra ci sono sempre più vicini all asse delle ascisse tanto più l esponente è piccolo (si ricordi che 4 < 3), mentre se 0 < < i gra ci si approssimano all asse delle ascisse tanto più quanto più l esponente è vicino a (rosso); (verde); 3 (rosa); 4 (azzurro) Osserviamo il gra co delle stesse funzioni nell intervallo [0:5; :5] ;per confrontare i comportamenti delle varie funzioni

12 (rosso); (verde); 3 (rosa); 4 (azzurro) Vediamo ora come de nire la potenza a nel caso in cui a sia razionale. Iniziamo con il caso a = n. In questo caso come abbiamo già visto e ispiriandoci alla proprietà : se vogliamo che tale proprietà valga per la coppia di esponenti n e n dovrà essere (an ) n = a = a e (a n ) n = a = a, cioè l elevamento a potenza n dovrà essere, l operazione inversa dell elevamento alla potenza n; in altre parole l estrazione della radice n-sima. Vi è però un problema, che può essere evidenziato nel caso n =. L elevamento al quadrato produce sempre un numero positivo o nullo, dunque solo di un numero di questo tipo si potrà estrarre la radice quadrata, ma c è un altro problema: se 6= 0, esistono due numeri distinti che producono lo stesso quadrato, e, questo l elevamento al quadrato non è un operazione iniettiva da R a [0; +) e di conseguenza non è invertibile a meno che non restringa il suo dominio. Ci sono due modi ragionevoli per farlo: limitarsi ai numeri negativi o nulli o limitarsi ai numeri positivi o nulli. Per (comoda) convenzione l estrazione di radice quadrata è l operazione inversa dell elevamento p al quadrato, ristretto all insieme dei numeri reali 0; quindi 4 = (e non ). Si osservi che se si restringe l operazione di elevamento al quadrato ai numeri reali negativi, l operazione inversa, dovendo portare a numeri negativi, è g() = p. Il precedente discorso può essere ripetuto senza alcuna variazione, quando n è pari, mentre non vi è alcun problema, quando n è dispari, essendo inquesto caso la potenza ennesima iniettiva. Quindi nel caso n = si considera la funzione e la sua funzione inversa f() = con f : [0; +)! [0; +)

13 g() = p con g : [0; +)! [0; +), mentre nel caso n = 3 si considera la funzione f() = 3 con f : R! R e la sua funzione inversa g() = 3p con g : R! R (rosso), p (verde) Figure : 3 (rosso), 3 p (verde) 3

14 Ricordiamoci che il gra co della funzione inversa si ottiene a partire da quello della funzione di partenza tramite una simmetria rispetto alla diagonale del primo e terzo quadrante; Per completezza, come abbiamo fatto per le funzioni potenza ad esponente positivo, confrontiamo i gra ci delle funzioni radice, quindi delle funzioni potenza f() = n, al variare di n: (nero); (verde); 3 (bleu); 4 (viola); 5 (marrone) Sempre in accordo con la proprietà, si de nisce come abbiamo già visto, a nel caso in cui a = m n, come m n = ( n ) m, limitandosi a considerare valori di positivi (vogliamo considerare tutti i possibili denominatori sia pari che dispari) e a positivo. Anche in questo caso si ha che l inversa della funzione f() = m n è la funzione g() = n m, con f; g : [0; +)! [0; +), infatti (fg)() = f(g()) = ( n m ) m n = ; mentre (g f)() = g(f()) = ( m n ) n m = : 4

15 (rosso); 4 3 (verde) In generale si ha che se m n > 0 la funzione f() = m n è convessa (concavità rivolta verso l alto), mentre se m n < 0 la funzione è concava (concavità rivolta verso il basso). Si può ora dare il gra co della funzione f() = a con a numero reale positivo, f : [0; +)! [0; +). Anche in questo caso per la proprietà, l inversa di f() = a è f() = a a (a < ; rosso); a (a > ; verde) Concludiamo disegnando il gra co delle funzioni f() = a ; con a < 0; f : [0; +)! [0; +).Anche in questo caso per la proprietà, l inversa di f() = a è f() = a : 5

16 L andamento è il seguente: (rosso); (verde) a (rosso); a (verde) Funzioni esponenziali Finora abbiamo considerato funzioni in cui la base è variabile e l esponente è sso, ora considereremo il caso in cui la base sia ssa e l esponente variabile. Le funzioni del tipo f() = a, con a > 0, 6

17 si chiamano funzioni esponenziali. Per quanto è stato detto in precedenza a cresce al crescere di, se a >, mentre decresce se 0 < a <. I gra ci sono illustrati nella gura sottostante: (rosso) = ( ) (rosa)3 (verde)3 = ( 3 ) (verdechiaro) Si osservi che essendo :a = ( a ) le funzioni esponenziali f() = a e f() = ( a ) hanno gra co simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Particolarmente importante è la funzione esponenziale con base il numero e > E interessante notare che, salvo il caso banale a =, (funzione costante di valore ) le funzioni esponenziali sono o strettamente crescenti o strettamente decrescenti. Questo signi ca che se a > 0; a 6=, esse sono invertibili. Quali sono le loro inverse? Se consideriamo la funzione f() = a, f : R! (0; +), l inversa assocerà ad ogni numero reale positivo, quell esponente da assegnare ad a per ottenere il numero stesso: ma questa è la de nizione di logaritmo in base a, log a : (0; +)! R, il cui gra co si ottiene da quello della corrispondente funzione esponenziali, tramite simmetria rispetto alla diagonale principale. Il logaritmo in base e si chiama logaritmo naturale e si indica log e = ln 7

18 log (rosso); log (rosa); log 3 (verde) log 3 (verdechiaro) (rosso); log (verde)e (bleu) ln (rosa) 8

19 ( ) (rosso); log (verde) Il fatto che logaritmi ed esponenziali siano l uno l inverso dell altro si traduce nel semplice fatto log a a = a log a = Le proprietà dei logaritmi si ottengono, quasi immediatamente, dalle proprietà degli esponenziali:ad esempio la proprietà a b a c = a b+c ci dice che l esponenziazione porta somme b + c in prodotti a b a c ; l operazione inversa trasformerà prodotti in somme: log a (bc) = log a b + log a c l esponenziazione porta prodotti bc in potenze (a b ) c ; l operazione inversa trasformerà potenze in prodotti : log a (b c ) = c log a b: Meno evidente è come si trasforma nel caso dei logaritmi la proprietà (a b ) c = a bc : si tratta della regola log a c = log a blog b c infatti se = log a b; = log b c; z = log a c, si ha che a = b b = c, a z = c; dalle prime due si ha (a ) = b = c, cioè a = c e quindi = log a c ossia log a blog b c = log a c 9

20 Dalla formula del cambiamento di base si ottengono due importanti conseguenze:. Cambiare la base alle funzioni logaritmo equivale semplicemente alla moltiplicazione per una costante, infatti: log a = log a blog b e quindi se a e b sono e ni hanno lo stesso andamento, mentre se l uno è maggiore di e l altro minore di, log a b < 0 e l andamento è ribaltato rispetto all asse delle ascisse.. Ponendo c = b d si ha log a b d = log a b log b b d = dlog a b. In particolare log a b = log a b = log a b Confronto tra funzioni potenza e funzioni esponenziali Può essere interessante confrontare l andamento delle funzioni polinomiali con le funzioni logaritmiche ed esponenziali Cominciamo con una divagazione nanziaria. Supponiamo che una persona di 5 anni abbia un patrimonio di 3000e e possa decidere se investirlo ad un interesse annuo del 0% semplice o del 5% composto. Se l investimento dura 0 anni quale delle due soluzioni è migliore? E se l investimento dura 40 anni? La di erenza tra interesse semplice e composto è che nel primo caso l interesse è valutato solo sulla cifra investita, mentre nel secondo anche sugli interessi maturati. Nel primo caso tutto è semplice: ogni anno maturano interessi per 300e (0% di 3000e) e quindi dopo n anni la cifra maturata dall investitore è di ( n)e, dopo 0 anni il capitale sarà ( : 0)e = 6000e e dopo 40 anni ( : 40)e = 5000e Nel secondo caso bisogna fare qualche conto: nel primo anno il capitale è diventato di ( %)e= (3000 ( + =0))e= 350e; nel secondo anno gli interessi del 5%sono valutati non su 3000e ma su 350e, cioè su (3000 ( + =0))e e quindi il capitale è diventato ((3000 ( + =0)) ( + =0))e=(3000 ( + =0) )e Dopo n anni il capitale è diventato di 3000 ( + =0) n )e, dopo 0 anni solo 4886:68 e, ma dopo 40 anni 9:97e, più del 40% rispetto alla ipotesi precedente. Se invece del 5% si fosse trattato del 7% composto annuo si arriverebbe a 590:45 e dopo 0 anni e a ben 4493:37 e dopo 40). L interesse composto a un tasso più basso non è vantaggioso se l investimento dura pochi anni, ma diventa decisamente vantaggioso nel lungo periodo e questo 0

21 perché, con l interesse semplice il capitale sale linearmente (3000 ( + n 0 ), nel nostro caso), mentre con l interesse composto cresce esponenzialmente (3000 ( + =0) n nel nostro caso). Questa situazione ha validità generale: da un certo punto in poi le funzioni esponenziali con base a > crescono più velocemente delle funzioni polinomiali (rosso); (verde) Nell intervallo[; 4] la funzione esponenziale sta sotto la funzione potenza, ma dopo 4 l esponenziale prevale. Analogamente se si considerano le due funzioni 3 e 3, il gra co dell esponenziale sta sotto quello della potenza nell intervallo[:478 : : : ; 3]; ma dopo 3 si ha il netto prevalere dell esponenziale. Casi più estremi si hanno per (:) e 00, in cui l esponenziale soccombe tra :00096 : : : e 963: : : : oppure per (:000000) e , in cui l esponenziale soccombe tra... e 3:30 4, ma già per = 0, l esponenziale è già più di due milioni di volte più grande della potenza (provare per crederci!). Poiché le funzioni logaritmiche sono le inverse delle funzioni esponenziali, è facile convincersi che, mentre queste ultime prevalgono, per variabile grande, sulle funzioni potenza, le funzioni logaritmiche soccombono ad esse. Inoltre, poiché due funzioni logaritmiche con base diversa di eriscono per una costante moltiplicativa, basterà utilizzare, per questo confronto, il logaritmo in una base ssata, ad esempio. I due gra ci seguenti illustrano il confronto nei due casi di potenza con esponente < o >.

22 = 3p (rosso); log (verde) (rosso); log (verde) Esistono dunque funzioni che crescono, per valori grandi della variabile, più rapidamente rispetto ad altre. Si crea così una sequenza di funzioni dalla più debole alla più forte log a a (0 < a) b (0 < a < b) a ( < a) b (a < b < ) per grande, più forte signi ca che il quoziente tra una funzione e una di quelle che la precedono, cresce inde itamente al crescere di. Se ora passiamo ai reciproci delle funzioni sopra elencate otteniamo una sequenza di funzioni che si avvicinano a 0 al crescere di, ove la funzione più forte è quella che si avvicina più lentamente a 0:

23 b ( < b) a ( < a < b) b (0 < b); a (0 < a < b) log a per grande log 0 (rosso); 3 4 (verde); (bleu); 3 (rosa) log 0 (rosso); 3 4 = (verde); _ = 4 3 (bleu); 3 = 3 (rosa) 3

24 Funzioni trigonometriche Il cerchio trigonometrico Consideriamo in un piano cartesiano la circonferenza con il centro nell origine e avente per raggio ; Siano A = (; 0) e P un punto sulla circonferenza. Sia O l origine degli assi. Al variare di P sulla circonferenza, il segmento OP descrive un angolo che ha come primo lato la semiretta OA. Diremo che l angolo è orientato positivamente se è percorso in senso antiorario, l angolo è orientato negativamente se è percorso in senso orario. P P' O H A P Per misura in radianti di un angolo orientato si intende il numero che esprime la lunghezza dell arco di circonferenza d AP compresa fra OA e OP, presa con il segno positivo, se è orientato positivamente, oppure negativo, se l angolo è orientato negativamente. Per esempio, la misura dell angolo giro, percorso in senso antiorario, equivale a, ovvero alla lunghezza della circonferenza di raggio. In generale se rappresenta la misura, espressa in radianti, dell angolo compreso fra i segmenti OA e OP, e rappresentano la misura, dello stesso angolo espresso in gradi,per la proporzionalità diretta tra archi ed angoli si ha la seguente proporzione che fornisce la formula di conversione radiante grado: 4

25 : = : 360 ciò signi ca = 360 = 80 e = 360 = 80 Gradi Radianti Inoltre cos rappresenta l ascissa del punto P sin rappresenta l ordinata del punto P tg è de nita come il rapporto sin cos (quando cos 6= 0) e rappresenta l ordinata di P. Riportiamo alcuni valori nella seguente tabella: Radianti 0 6 cos sin 0 tan 0 p 3 p4 p p p 3 non esiste 0 non esiste 0 5

26 Possiamo trarre alcune importanti conclusioni e immediate dalle de nizioni appena date: Una rotazione di un angolo giro di OP cioè una rotazione oraria o antioraria completa, ci riporta al punto P. Quindi le funzioni trigonometriche sono periodiche di periodo : : cos = cos( + ) = cos( + k) sin = sin( + ) = sin( + k) 6

27 Q'=( sin, cos ) (sin, cos ) P=(cos, sin ) Q=( cos, sin ) Q''=(cos, sin ) Una rotazione di un angolo piatto di OP cioè una rotazione oraria o antioraria di apmiezza, ci riporta al punto opposto Q( cos ; sin ): cos( ) = sin( ) = cos sin Una rotazione di (90 ) ha un e etto più complicato. Porta un punto P = (; ) nel punto Q 0 = ( ; ). Quindi cos( + ) = sin sin( + ) = cos Analogamnete si deduce: cos( sin( ) = sin ) = cos Considerare l angolo opposto a quello individuato da OP ci porta al punto Q" = (; ). Quindi cos( ) = cos sin( ) = sin 7

28 Queste due relazioni ci dicono che la funzione cos è pari e che la funzione sin è dispari, essendo entranbe de nite su tutto R. Le formule sopra esposte ci permettono di riportare il calcolo del seno e coseno di un angolo qualunque ad un angolo acuto, cioè ad un punto P del primo quadrante. Poiché il punto P giace sulla circonferenza abbiamo la relazione pitagorica fondamentale: inoltre cos + sin = sin cos Possiamo ora disegnare i gra ci delle funzioni sin; cos : R! R. Dalle ultime disuguaglianze possiamo dire che le funzioni sin; cos : R! [0; ] : Tenedo presente che sin; cos sono periodiche di periodo è su ciente studiarle nell intervallo base [ ; ] ;inoltre la prima è dispari e la seconda è pari; quindi è su ciente studiarle nell intervallo base [0; ] : Sfruttando poi la relazione: sin( + ) = cos, se si conosce il gra co della funzione sin si ottiene il gra co della funzione cos traslandola a sinistra di : sin (rosso); cos (verde) Ci sono formule importanti per funzioni trigonometriche che riportiamo sotto: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b 8

29 cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b e da questi abbiamo casi particolari sin(a) = sin a cos a cos(a) = cos a sin a = cos a = sin a Come abbiamo già detto la funzione tangente tg è de nita come il rapporto sin cos (quando cos 6= 0) e rappresenta l ordinata di P, infatti poichè i triangoli OHP e OAP sono simili, possiamo a ermare che : P H : HO = P A : OA; quindi P A = P H HO = sin cos = tan che giusti ca appunto la de nizione di tangente trigonometrica. La funzione tangente è de nita quando :cos 6= 0; quindi se 6= = + k per ogni intero k. E periodica di periodo. Infatti, poichè sin( + ) = sin e cos( + ) = cos, si ha tg ( + ) = sin(+) cos(+) = sin cos = tan sin( ) E dispari, infatti:tan ( ) = cos( ) = - sin cos = tan tan Funzioni trigonometriche inverse Le funzioni trigonometriche non sono invertibili sul loro dominio naturale; infatti, essendo periodiche, non sono iniettive. 9

30 Per esempio, l equazione sin = 0 ha in nite soluzioni: = k per ogni intero k: E però possibile introdurre le funzioni inverse di sin, cos, tan a patto di restringere il loro dominio in modo opportuno. La funzione sin, se considerata sull intervallo [ ; ], è iniettiva infatti è strettamente crescente, la sua immagine è data da [ ; ]: E possibile pertanto de nire su [ ; ] la funzione inversa arcsin (arcoseno di ), che ha immagine [ ; ], e le proprietà: arcsin(sin ) =, per ogn [ ; ], sin(arcsin ) = ;per ogni [ ; ]: La funzione cos, se considerata sull intervallo [0; ], è iniettiva essendo strettamente decrescente, la sua immagine è l intervallo [ ; ]. E possibile pertanto de nire sull intervallo [ ; ] la funzione inversa arccos (arcocoseno di ), che ha immagine [0; ] e le proprietà: arccos(cos ) =, per ogni [0; ], cos(arccos ) =, per ogni [ ; ]: arcsin 30

31 arccos La funzione tan, se considerata sull intervallo aperto ( ; ), è iniettiva, e la sua immagine è data da ( ; +). E possibile pertanto de nire su R la funzione inversa arctan (arcotangente di ), che ha immagine ( ; ) e le proprietà arctan(tan ) =, per ogni ( ); tan(arctan ) = ; per ogni R. ; arctan 3