ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO

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1 ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO

2 COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di un Rett Dt un rett orientt (verso di percorrenz positivo d sinistr verso destr per rette orizzontli; dl sso verso l lto per rette verticli), detto O un suo punto fisso e P un suo punto moile, il numero, distnz di P d O misurt rispetto d un unità di misur prestilit, si dice sciss del punto P. In tli ipotesi il punto fisso O h sciss null e viene detto origine. Per definire un punto dotto di sciss si scrive P(); - così il simolo P(3) indic che il punto P, di sciss 3, è distnte tre unità di misur dl punto origine O ed è P O P situto ll su destr; mentre il simolo P(-5) indic che il punto P, di sciss 5, è distnte cinque unità di misur dl punto origine O ed è situto ll su sinistr. - P P O Distnz di Due Punti su un Rett Dt un rett orientt e due punti su ess, A() e B(), l loro distnz è dt d: AB = AO + OB = OB OA e risultndo: AO = -OA ; OB = ; OA = A() O B() L distnz di B d A, misurt nel verso che v d A B, è: Ciò si trduce nel dire: AB = L distnz di due punti su un rett crtesin è dt dll differenz tr l sciss del secondo punto e quell del primo punto.

3 Asciss del Punto Medio di un Segmento Considerto su un rett orientt un segmento AB, essendo A() e B(), e detto M(m) il suo punto medio (punto che divide esttmente metà il segmento) si h: AM = MB m = m m = + m ciò si trduce nel dire: L sciss del punto medio di un segmento è ugule ll semisomm delle scisse degli estremi del segmento. Coordinte Crtesine di un Punto del Pino Dte due rette orientte tr loro perpendicolri nel punto origine O, esse definiscono il pino crtesino. L rett orizzontle si dice sse delle scisse o delle, l rett verticle si dice sse delle ordinte o delle. Nel loro insieme costituiscono un sistem di ssi coordinti; il punto di intersezione O è detto origine delle coordinte. Considerto un punto P del pino, non pprtenente d lcuno dei due ssi, ed indicto con P e P le sue proiezioni sugli ssi e, il numero, distnz del segmento Op, si dice sciss di P; le sue proiezioni sugli ssi e, il numero, distnz del segmento OP, si dice sciss di P; il numero, distnz del segmento OP, si dice ordint di P. E possiile, in tl modo, ssocire d un qulunque punto del pino un coppi ordint di numeri reli (,) che definisce in modo univoco l posizione del punto rispetto d un sistem di ssi coordinti e tutto ciò si scrive il simolicmente P(,). E importnte sottolinere l priorità di rispetto d ; inftti, scrivere P(,3) non è l stess cos che scrivere P(3,), rppresentndo essi punti diversi del pino come si not nche dl grfico. In se lle precedenti definizioni, i punti sull sse delle scisse hnno ordint null A(,) e i punti sull sse delle ordinte hnno sciss null B(,); il punto origine h entrme le coordinte nulle O(,). O P O 3 P P P(,3) P(3,) 3

4 Gli ssi crtesini dividono il pino in quttro qudrnti, convenzionlmente numerti in verso ntiorrio; il primo qudrnte h entrme le coordinte positive, il secondo qudrnte h scisse negtive ed ordinte positive, il terzo qudrnte h entrme le coordinte negtive, il qurto qudrnte h scisse positive ed ordinte negtive. Ricordndo, poi, che l isettrice di un ngolo è il luogo dei punti equidistnti di lti dell ngolo, ogni punto sull isettrice del primo e terzo qudrnte h sciss ugule ll ordint, mentre ogni punto sull isettrice del secondo e qurto qudrnte h sciss ugule ed oppost ll ordint. Di teoremi sull simmetri risult che due punti P e P simmetrici rispetto ll sse delle, hnno scisse uguli ed ordinte opposte; due punti Q e Q simmetrici rispetto ll sse delle, hnno scisse opposte ed ordinte uguli. Distnz di Due Punti nel Pino L distnz di due punti A(, ) e B(, ) si ottiene dl teorem di Pitgor; detto, inftti, C L intersezione tr l perpendicolre per B ll sse delle e l prllel per A ll sse delle, si consider il tringolo ABC, retto in C, l cui ipotenus AB = d è l distnz cerct. Applicndo B il teorem di Pitgor si h: d AB = AC + CB d = AC + CB AC = ; CB = A C d = ( ) + ( ) O d Ciò si trduce nel dire: L distnz di due punti nel pino è dt dll rdice qudrt dell somm dei qudrti delle differenze delle coordinte omonime dei due punti, In prticolre se il punto A coincide con l origine degli ssi, indicndo con e le coordinte di B, si h: d che rppresent l distnz di un punto dll origine.

5 Punto Medio di un Segmento Dto un segmento nel pino di estremi A(, ) e B(, ) e detto M( m, m ) il suo punto medio (punto che divide esttmente metà il segmento), si indichino con A, M, B le proiezioni di tli punti sull sse delle scisse; dovendo essere AM = MB, per il teorem di Tlete (un fscio di rette prllele determin su due trsversli segmenti proporzionli) risult nche A M = M B cioè: A M = OM OA = m ; M B = OB OM = m punti sull sse delle scisse; dovendo essere AM = MB, per il teorem di Tlete (un fscio di rette prllele determin su due trsversli segmenti proporzionli) risult nche A M = M B cioè: A M = OM OA = m ; M B = OB OM = m m A M B O m m = m m = + m In modo nlogo si procede per ottenere l ordint di M: m ciò si trduce nel dire: Le coordinte del punto medio di un segmento sono dte dll semisomm delle coordinte degli estremi del segmento.

6 FUNZIONI Grndezze Costnti e Grndezze Vriili Grndezz costnte: grndezz che mntiene inlterto il suo vlore; grndezz vriile: grndezz che può ssumere vlori diversi; vriile indipendente: vriile cui si può ssegnre un vlore ritrrio; vriile dipendente: vriile il cui vlore dipende d un ltro vlore e vri l vrire di esso. Concetto di Funzione Mtemtic Se due o più vriili, presenti in uno stesso prolem, si presentno legte tr loro d relzioni mtemtiche, simolicmente scritte: = f(), così che l vriile è determint di vlori ssegnti ll vriile, si prl di funzione mtemtic. Il simolo = f() si legge è funzione di ed indic che è un vriile indipendente (può ssumere qulunque vlore), è un vriile dipendente (ssume vlori che dipendono di vlori di ). Le funzioni mtemtiche si dicono lgeriche se le operzioni che legno le vriili sono di ddizione, sottrzione, moltipliczione, divisione; ogni funzione non lgeric si dice trscendente. Le funzioni lgeriche si dividono in: funzioni rzionli: l vriile non si trov sotto il segno di rdice rzionle inter: l non compre l divisore, rzionle frtt: l compre l divisore. Funzioni irrzionli: l vriile compre sotto il segno di rdice irrzionle inter: l non compre l divisore, irrzionle frtt: l compre l divisore. Rppresentzione Grfic di un Funzione Dt un funzione = f() e considerto un pino crtesino, riportndo sulle scisse i vlori ssegnti ll e sulle ordinte i corrispondenti vlori di, si ottiene un insieme di punti nel pino che, uniti tr di loro, dnno luogo d un line (luogo geometrico dei punti del pino) dett Grfico o Digrmm dell funzione. Vicevers d un qulunque line geometric corrisponde un funzione che trduce in termini mtemtici un proprietà comune tutti i punti dell line ed è espress in funzione delle coordinte dei punti stessi.

7 In definitiv si può ffermre: Il grfico di un funzione = f() rppresent il luogo geometrico dei punti del pino le cui coordinte verificno l equzione = f() Per rppresentre grficmente un funzione si ttriuiscono dei vlori ll e si clcolno i corrispondenti vlori dell ; si ottiene in tl modo un insieme di punti P(,) che segnti sul pino permettono di trccire il grfico voluto. Lo studio dei grfici o delle reltive funzioni che li rppresentno in termini mtemtici costituisce il punto di prtenz dell Geometri Anlitic.

8 = FUNZIONI DI PRIMO GRADO Il luogo dei punti del pino le cui coordinte si ottengono d un equzione di primo grdo nelle vriili e + + c = rppresent un rett. Tle funzione si dice implicit perché le due vriili compiono nello stesso memro dell equzione; considerndo not l e risolvendo rispetto ll incognit si h: c che è equivlente quell dt e viene dett esplicit perché le due vriili compiono un d un memro l ltr ll ltro memro dell equzione. Ponendo, poi, nell equzione / = m e c/ = p si ottiene: = m + p che viene dett equzione prmetric dell rett. I coefficienti,, c non devono risultre contempornemente nulli (si otterree l identità = ), possono però esserlo seprtmente, dndo origine csi diversi. cso: = c L equzione ssume l form: + c = = -c/ = p i punti che si ottengono d tle equzione hnno ordint costnte e ciò si trduce grficmente un rett prllel ll sse delle scisse perché, pur vrindo l (si ricordi che è = e non l ), l mntiene sempre lo stesso vlore; è il cso dell equzione: 6 = = 3 Un cso prticolre si h qundo nche C =, si ottiene inftti = in che rppresent l equzione dell sse. cso: = c L equzione ssume l form: + c = = -c/ i punti che si ottengono d tle equzione hnno sciss costnte e ciò si trduce grficmente in un rett prllel ll sse delle ordinte perché, pur vrindo l (si ricordi che è = e non l ), l mntiene sempre lo stesso vlore; è il cso dell equzione: Un cso prticolre si present qundo nche c =, si ottiene inftti = che rppresent l equzione dell sse delle. = = O O = 3

9 3 cso: c = L equzione ssume l form: + = = (-/) = m per = si ottiene =, il che indic che l rett pss per l origine degli ssi; per = si ottiene = m, ciò signific che il grfico dell funzione pss per i punti O(,) e A(,m). Trccit, llor, l rett OA, si consideri su di ess un punto generico P(,) così che risult: OA = ; AA = m ; OP = ; PP = di tringoli simili OAA e OPP, essendo i loro lti in proporzione si ricv: AA ' PP' m OA' OP' O A' P' se m > i punti dell rett sono nel primo e nel terzo qudrnte, e hnno segno concorde e quindi / >. Se m < i punti dell rett sono nel secondo e nel qurto qudrnte, e hnno segno discorde e quindi / <. D ciò scturisce che l relzione precedente è sempre vlid e può essere scritt nell form m = / d ess si ricv, inoltre, che l inclinzione dell rett rispetto ll sse delle dipende dl vlore di m, che per tle motivo viene detto coefficiente ngolre. A P 4 cso: c L equzione ssume l form: + + c = = m + p per = si ottiene = p, cioè l rett pss per il punto (,p); il termine noto p rppresent, pertnto, l ordint del punto di intersezione tr l rett e l sse delle. In conclusione i prmetri che crtterizzno l rett sono: m: coefficiente ngolre, vlore che determin l inclinzione dell rett rispetto ll sse delle e indic, inoltre, se l rett è crescente o decrescente; p: termine noto, vlore che determin il punto di intersezione tr l rett e l sse delle. Rette Prllele Due rette sono prllele se hnno l stess inclinzione rispetto ll sse delle scisse (se formno ngoli omologhi con l sse delle ), il che signific che devono vere lo stesso coefficiente ngolre. Quindi se le due rette sono dte d:

10 + + c = ; + + c = risultndo i coefficienti ngolri pri m = -/ e m = - / l condizione di prllelismo comport che si: m m' - ' ' ' ' ' ' : ' : ' Condizione necessri e sufficiente ffinché due rette sino prllele è che ino i coefficienti delle incognite in proporzione. D notre che se due rette sono prllele l differenz tr i termini noti (p p ) è un vlore costnte e determin l distnz tr le due rette. Rette Perpendicolri Dte due rette generiche: = m + p ; m + p se esse risultno tr loro perpendicolri, per le relzioni di prllelismo, lo srnno nche le rette pssnti per l origine e d esse prllele di equzioni: = m ; = m Si considerino sulle due rette pssnti per l origine due punti P(,m) e P (,m ), dl tringolo OPP, retto in O, per il teorem di Euclide (in un tringolo rettngolo l ltezz reltiv ll ipotenus è medi proporzionle tr le proiezioni dei cteti sull ipotenus) risult che l ltezz OP = è medi proporzionle tr le proiezioni PP = m e P P = m dei cteti sull ipotenus PP e quindi è: m : = : m m m = P' essendo d ltr prte m e m di segno contrrio per l condizione di perpendicolrità impost, il loro prodotto deve vere segno negtivo e quindi è: = m + p P = m = m' + p' m O P'' m' = m' m m = - m = -/m Condizione necessri e sufficiente ffinché due rette sino tr loro perpendicolri è che il prodotto dei loro coefficienti ngolri si pri.

11 Rett Pssnte per un Punto Se l rett = m + p pss per il punto P(, ), le coordinte di P devono soddisfre l equzione dell rett, deve cioè risultre: = m + p = m + p sottrendo, llor, memro memro le due equzioni si h: - = m m - = m( ) che rppresent l equzione richiest. E ene ricordre che tle equzione non rppresent un sol rett m un fscio di rette, tutte pssnti per P, ognun delle quli si ottiene per un diverso vlore del coefficiente ngolre m. Rett Pssnte per due Punti Dti due punti P (, ) e P (, ) con tenendo presente che l generic rett pssnte per P h equzione - = m( ) e dovendo tle rett pssre nche per P il coefficiente ngolre deve essere scelto in modo che l equzione si soddisftt nche per = e = cioè P deve essere soluzione dell equzione: - = m( ) ricvndo m d tle equzione e sostituendolo nell precedente si h: m - ( ) - D notre che l rett pssnte per due punti è univocmente definit, poiché per due punti del pino pss un ed un sol rett. Un cso prticolre si h per =, in questo cso inftti l rett pssnte per i due punti è prllel ll sse delle ordinte ed h equzione =. Punto Comune due Rette Se due rette hnno in comune un punto, cioè si intersecno nel punto P(, ), le coordinte di P sono soluzioni di entrme le rette. Tle punto si ottiene imponendo che le due equzioni formino un sistem di primo grdo in due incognite: l cui soluzione determin il punto P. m m' p p'

12 FUNZIONI DI SECONDO GRADO Funzioni Simmetriche Un funzione = f() si dice simmetric rispetto ll sse delle ordinte se risult f() = f(-), il che è possiile solo se l funzione è di grdo pri. Si dice simmetric rispetto ll origine degli ssi se risult f(-) = -f(), il che è possiile qundo si si presentno o solo grdo pri o solo grdo dispri. Equzione dell Prol L prol è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso, detto fuoco, e d un rett fiss, dett direttrice, non pssnte per il fuoco e prllel ll sse delle scisse. Dto un sistem di ssi crtesini ortogonli, si consideri un rett pssnte per il fuoco F prllel ll sse delle e perpendicolre ll direttrice d; sino (e,f) le coordinte di F, con f Applicndo l formul dell distnz di due punti si h: e f d e d e si P(,) un generico punto dell prol, indicto con H(,d) il piede dell perpendicolre per P ll direttrice d, per l definizione dt, deve essere: PF = PH PF = PH e f f O F(e,f) d V(e, f+d) d H P(,) d ( f d) f e d e f ( f d d) ( f d) ; f e d ; c e f ( f d d) c che rppresent l equzione dell prol. Considerndo, poi, noti i vlori di,, c ed incogniti i vlori e, f, d si ottiene: ( f e - f - d d) f - d f - d e - ; e - e -

13 c e f ( f d d) (f - d) e c ( f d)( f c d) (f d) (f - d) - (f - d) c e c (f - d) f d - c e c (f - d) c - (f c d) e c (f - d) c - (f d) e (f c d) ( f d) c - 4 4c - c - (f - d) 4c - f - d f d - f - f - 4 d f d - 4 d cui si ricv che il fuoco h coordinte: l direttrice h equzione: F F ; F - 4 l sse di simmetri h equzione: 4 Infine, il punto V, detto vertice dell prol, che è il punto sull sse di simmetri equidistnte tr il fuoco e l direttrice h coordinte: V ; V V 4

14 Significto dei Prmetri,, c Ricordndo le coordinte del fuoco e del vertice, i tre prmetri,, c ssumono un preciso significto nell equzione prmetric dell prol: = + + c prmetro : > il fuoco è l di sopr del vertice, il vlore ssunto d è sempre positivo e si dice che l prol volge l concvità verso l lto; in questo cso il vertice rppresent il punto più sso (minimo) dell curv. < il fuoco è l di sotto del vertice, il vlore ssunto d è sempre negtivo e si dice che l prol present l concvità verso il sso; in questo cso il vertice rppresent il punto più lto (mssimo) dell curv. > O < prmetro : O ricordndo l equzione dell sse di simmetri dell prol se è =, risult =, e ciò signific che l sse di simmetri coincide con l sse delle e il punto di intersezione con l sse delle ordinte è il vertice dell prol. V ; 4c 4 V o; c prmetro c: ponendo nell equzione dell prol = =, si ottiene = c; ciò signific che il termine noto c rppresent il punto in cui l prol intersec l sse delle ordinte, per cui se: c = l prol pss per l origine; c > l prol intersec l sse in un punto di ordint positiv; c < l prol intersec l sse in un punto di ordint negtiv.

15 Intersezione dell Prol con l Asse delle I punti di intersezione tr l prol e l sse delle si ricercno imponendo il sistem: c e risolvendo l equzione di secondo grdo che si ottiene; i csi che si possono presentre sono: > l equzione mmette due rdici reli e distinte che rppresentno i punti di intersezione dell prol con l sse delle. Si teng presente, come si vede nche dll figur che > risult < O = l equzione mmette due rdici reli e coincidenti ( = ); tle vlore indic che l prol è tngente ll sse delle nel punto di sciss = = ; = O < l equzione non mmette rdici reli m complesse e coniugte; ciò indic che non esistono punti di intersezione tr l prol e l sse delle. < O

16 Equzione dell Iperole L iperole è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l differenz delle Dti due punti fissi sull sse delle, F (-c,) e F (c,), equidistnti dll origine, detto P(,) il P generico punto dell curv e indicto con l differenz costnte dell distnz di P di fuochi, si h: P F - P F = E trsormndo i segmenti nelle loro misure: F O F distnze d due punti fissi detti fuochi. c c d cui eliminndo le rdici e sviluppndo i clcoli si h: (c ) = (c ) Siccome in un tringolo un lto è sempre minore dell somm degli ltri due e mggiore dell loro differenz (vedi figur) si h F F > PF Pf equivlente c >, cioè c >, è lecito porre c = con numero rele positivo; si ottiene pertnto: = che rppresent l equzione generle dell iperole. Il vlore c viene detto distnz focle e vle: c Proprietà dell Iperole comprendo nell equzione dell iperole e, l curv è simmetric rispetto d entrmi gli ssi crtesini e di conseguenz rispetto ll origine degli ssi, che per tle motivo è detto centro dell iperole. Andndo considerre l intersezione dell iperole con l sse delle si ottiene: ; cioè l iperole incontr l sse delle nei punti A (-,) e A(,), che si dicono vertici dell iperole. = (-/) = (/) A'(-,) A(,) O

17 Risolvendo l equzione dell iperole rispetto d si ottiene: e siccome quest espressione è rele solo se è >, un rett prllel ll sse delle intersec l iperole solo se h d un distnz mggiore o ugule d, cioè se è prticolre l intersezione vviene in due punti simmetrici rispetto ll sse delle se è > (rett verticle trtteggit); è tngente ll iperole in A se è =. Ciò port dire che l iperole è tutt estern ll prte di pino delimitt dlle rette: = - ; = ; in Asintoti dell Iperole Si consideri l generic rett = m pssnte per l origine, imponendo il sistem tr ess e l iperole si h: m ( volendo spere se l rett e l iperole sono tr loro tngenti isogn porre nell equzione risultnte = - m = m = / ndndo, però, sostituire tli vlori di m si ottiene l ssurdo = ; ciò geometricmente signific che sostituendo d m i due vlori trovti si ottengono due rette che, pur non risultndo mi tngenti i rmi dell iperole, si vvicinno d essi sempre di più o, che è lo stesso, sono tngenti ll iperole ll infinito; tli rette per quest crtteristic vengono dette sintoti dell iperole. ; m ) Eccentricità dell Iperole Ricordndo che c è l sciss del fuoco e che è l sciss del vertice dell iperole, si definisce eccentricità il rpporto: e risultndo sempre c > tle vlore è sempre mggiore di. e L eccentricità è un prmetro molto importnte perché definisce l mpiezz dell iperole, supponendo inftti che risulti e = ciò comporteree c = e quindi l iperole degenereree in c

18 un rett prllel ll sse delle ; supponendo, invece, che risulti e = si vree il fuoco ll infinito e quindi l iperole degenereree in un rett coincidente con l sse delle. Iperole Equilter L iperole è un iperole vente gli sintoti perpendicolri tr di loro, il che si ottiene qundo si pone = e l iperole ssume l form: - - Fuochi: ricordndo che è c = +, sostituendo si h: c = + = c =, per cui i fuochi vrnno coordinte F = (- ; ) e F = ( ; ). Eccentricità: risultndo e = c/ sostituendo si h: e (vlore costnte). Asintoti: dll equzione = ±(/), ponendo =, si h: = ±, cioè gli sintoti dell iperole equilter srnno le isettrici dei qudrnti. Iperole Equilter riferit gli sintoti Fcendo ruotre gli sintoti dell iperole equilter in senso ntiorrio in modo d sostituirli gli ssi, si ottiene un nuovo tipo di iperole equilter che si dice riferit gli sintoti; in questo cso i vecchi ssi diventernno le isettrici dei nuovi qudrnti e siccome i fuochi si trovno sui vecchi ssi con distnz dll origine pri d, in questo nuovo sistem di ssi vrnno coordinte F(± ; ±). Applicndo, llor, l formul per il clcolo dell distnz di due punti con queste nuove coordinte e sviluppndo i clcoli si giunge ll equzione = / e ponendo in ess / = k si h: che esprime l proporzionlità invers tr le due vriili e. k k > O

19 D qunto detto risult, quindi, che l diminuire di fino frlo vvicinre molto zero, l cresce sempre di più fino d ssumere il vlore infinito per cui l curv tende diventre tngente ll sse delle e, ricordndo che signific ciò, si può dire che l sse delle è un sintoto dell iperole equilter; d ltr prte lo stesso discorso può essere ftto nche nei confronti dell sse delle che, pertnto, risult essere nch esso un sintoto Risultndo in quest espressione k, non può essere né = né =, cioè l curv non pss per l origine degli ssi. Risultndo, infine, f(-) = -f() l curv è simmetric rispetto ll origine ed è sempre costituit d due rmi; in prticolre se è k > i due rmi sono posizionti nel primo e nel terzo qudrnte e l curv present un ndmento crescente; se è k < i due rmi sono situti nel secondo e nel qurto qudrnte e l curv present un ndmento decrescente. Fuochi: ricordndo le coordinte ttriuite i fuochi e che si è posto / = k, risult = ± k e quindi: F(± k ; ± k) Vertici: essendo punti di intersezione tr l iperole e le isettrici dei qudrnti si h: k k k A k; Eccentricità: siccome l eccentricità di un iperole equilter è un vlore costnte resterà e = Asintoti: ricordndo che gli sintoti di quest iperole sono i vecchi ssi crtesini si h: = e =

20 Equzione dell Circonferenz L circonferenz è il luogo dei punti del pino che hnno distnz costnte (rggio r) d un punto fisso (centro C). L condizione ffinché un punto P(,) pprteng ll circonferenz è: CP = r Indicto con C(,) il punto fisso, dll formul dell distnz tr due punti si h: r che rppresent l equzione dell circonferenz. Sviluppndo ed ordinndo si h: r = e fcendo le posizioni m = - ; n = - ; p = + r si ottiene l equzione prmetric dell circonferenz: + + m + n + p = P (,) C(,) O Ne l cso prticolre in cui il centro dell circonferenz coincide con l origine degli ssi, cioè è = e =, l equzione ssume l form: + = r Dll nlisi dell equzione prmetric, si not che l equzione dell circonferenz: present i coefficienti di e pri d (cos che si può sempre ottenere dividendo tutto per il loro vlore comune), mnc del termine in, deve risultre sempre m + n 4p > o equivlentemente + p >, perché solo in questo cso r (è un numero rele). Inftti se risult m + n 4p = + p = si h r =, il che signific che l circonferenz è soddisftt solo dlle coordinte del centro (si prl in tl cso di circonferenz rggio nullo). r Circonferenz pssnte per Tre Punti L condizione ffinché un circonferenz pssi per tre punti ssegnti A(, ), B(, ), C( 3, 3 ) è che tli punti sino soluzione dell equzione dell circonferenz. Imponendo un sistem formto ndndo sostituire le coordinte dei tre punti lle incognite e dell equzione dell circonferenz si h:

21 3 3 m m m 3 n n n 3 p p p e risolvendo rispetto lle incognite m, n, p si ottengono i coefficienti dell equzione cerct. Tngente ll Circonferenz in un Punto Dto il punto P(, ) per vere l tngente ll circonferenz in esso, isogn cercre l equzione dell rett pssnte per quel punto: = ( ) [ = coefficiente ngolre] e imporre il sistem tr l rett e l circonferenz: m n p l cui risoluzione conduce d un equzione di secondo grdo che, per rispettre l condizione di tngenz, deve vere discriminnte nullo (soluzioni reli e coincidenti). D ltr prte, essendo presente nel il vlore incognito, porre = signific determinre un equzione nell incognit che, risolt, fornisce i vlori dei coefficienti ngolri (si teng presente che si trtt di un equzione di secondo grdo e, pertnto, si ottengono due soluzioni) delle rette tngenti ll circonferenz.

22 Equzione dell Ellisse L ellisse è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Dti due punti fissi, F (-c,) e F (c,), sull sse delle scisse, equidistnti dll origine, detto P(,) il generico punto dell B' P curv e indicto con l somm costnte delle distnze di P d F e F, si h: P F + PF = E trsformndo i segmenti nelle rispettive misure: A F O B F A' c c estrendo le rdici e sviluppndo i clcoli, l relzione ssume l form: ( c ) + = ( c ) risultndo > c (nel tringolo F PF il lto F F è minore dell somm degli ltri due) è possiile fre l posizione: con numero rele positivo e quindi si ottiene: c = che rppresent l equzione dell ellisse di semissi e con >. D notre che per = l equzione si trsform in quell dell circonferenz di centro O(,) e rggio r =. Poiché l equzione dell ellisse è un equzione di grdo pri l curv è simmetric rispetto gli ssi coordinti (che pertnto si dicono ssi dell ellisse) e, quindi, rispetto ll origine degli ssi che si dice centro dell ellisse. Risolvendo l equzione un volt rispetto ll vriile e un volt rispetto ll vriile si ottiene: d cui si deduce che l ellisse è intern l rettngolo delimitto dlle rette: = - = - ; = =

23 Inftti, ponendo nell espressione di il vlore = si ottiene =, cioè l ellisse incontr l sse delle nei punti A(-,) e A (,); ponendo nell espressione di il vlore = si ottiene =, cioè l ellisse incontr l sse delle nei punti B(,-) e B (,). I punti A, A, B, B si dicono vertici dell ellisse, mentre i segmenti delimitti d tli punti, cioè: AA = e BB = Si dicono ssi dell ellisse; in prticolre, risultndo >, il segmento AA si dice sse mggiore il segmento BB si dice sse minore. Molto importnte, per l ellisse, è il rpporto: e = c/ vlore compreso tr e, che viene detto eccentricità dell ellisse e può essere ssunto come l misur di qunto l ellisse, per l su form più o meno llungt, differisce dll circonferenz. In prticolre, se risult e = l ellisse coincide con l sse (tle situzione indic che tende ll infinito, cioè i due fuochi si trovno distnz infinit tr loro); se risult e = l ellisse coincide con l circonferenz di rggio r = =. Tngenti ll Ellisse Per determinre le equzioni delle tngenti ll ellisse in un punto P, si impone il sistem tr l equzione dell ellisse e l equzione dell generic rett pssnte per P, dopo di che si impone che il discriminnte ottenuto dl sistem si nullo. In prticolre se il punto P (, ) pprtiene ll ellisse, l equzione dell tngente in P h equzione:

24 FUNZIONI TRASCENDENTI Si dicono funzioni trscendenti quelle funzioni per le quli il legme tr l vriile indipendente e l vriile dipendente non è dto d operzioni ritmetiche. Funzione Esponenzile Se è un numero rele positivo e diverso d l potenz srà definit per ogni vlore rele di, pertnto risulterà definit, per ogni rele, nche l funzione = vente come esponente l vriile e come se l costnte ; tle funzione è dett funzione esponenzile e il suo grfico curv esponenzile. Per > il vlore è sempre positivo e, quindi, il grfico è posizionto sempre l di sopr dell sse delle ; in prticolre per = risult =, d cui si deduce che l curv incontr l sse delle nel punto (,); per > è >, per cui l crescere di cresce nche ; per < è <, per cui l crescere di l decresce restndo però sempre positiv. Per = l funzione, qulunque si il vlore di, ssume sempre il vlore, per cui l curv degener in un rett prllel ll sse delle pssnte per il punto (,). Per < < l funzione risulterà decrescente ll umentre di, restndo però sempre positiv. Equzione Esponenzile Come si è visto l funzione =, con >, è definit per ogni vlore di ed è sempre positiv. Ponendo, or, =, con rele e positivo, e lscindo vriile si ottiene: = [ >, > ] che rppresent un nuovo tipo di equzione crtterizzt dl ftto che l incognit è ll esponente. < < Per l risoluzione di tle equzione si possono distinguere, in prtic, quttro csi: > = = = L equzione ssume l form = ; qulunque vlore di soddisf l equzione, per cui ess mmette infinite soluzioni (equzione indetermint). = L equzione ssume l form = ; nessun vlore di soddisf l equzione, per cui ess non mmette soluzioni (equzione impossiile).

25 = L equzione ssume l form = ; esiste un unic soluzione =. L equzione ssume l form = ; si per >, si per < < l equzione mmette un unic soluzione. In quest ultimo cso si possono vere due tipi diversi di equzione: tipo: è un multiplo di, = n, in questo cso è = = n e l soluzione si ottiene uguglindo gli esponenti, = n; così d esempio: = 8 = 3 = 3 5 ( 3 7) tipo: non è multiplo di ; l equzione mmette ncor un unic soluzione cui si dà il nome di logritmo del numero in se e si scrive = log, ne segue che le due equzioni: = = log sono tr loro equivlenti.

26 LOGARITMI Si dice logritmo di un numero rele positivo, in un dt se positiv e divers d, l esponente cui isogn elevre tle se per ottenere il numero dto: d quest definizione segue: log = log log = sempre dll definizione di logritmo segue che due numeri diversi possono vere logritmi uguli: log 5 8 ; log 5 5 = ; log 9 8 = mentre uno stesso numero, vrindo l se, può vere logritmi disuguli: log 3 8 = 4 ; log 9 8 = E importnte notre che il vlore del logritmo di un numero dipende si dll se si dl numero stesso: log. positivo log. negtivo log log 6 /8 4 3 log. negtivo log. positivo log log /3 / 7 / 4 3 Sistemi di Logritmi Un sistem di logritmi è l insieme dei logritmi di tutti i numeri reli positivi, presi tutti in un stess se. I logritmi più utilizzti sono: Logritmi decimli (volgri o di Briggs), hnno come se il numero ; il simolo è log. Logritmi nturli (neperini o iperolici), hnno come se il numero irrzionle e =,78 ; il simolo è ln. Proprietà dei Logritmi I numeri negtivi non hnno logritmi. Qulunque si l se, il logritmo di è sempre : log = ( = )

27 il logritmo di un numero che h per se il numero stesso è sempre : log = ( = ) due numeri uguli hnno logritmi uguli se l se è l stess; equivlentemente, due numeri che hnno logritmi uguli, nell stess se, sono uguli: = log ; = log ( = ) Se è > il logritmo di un numero cresce l crescere del numero stesso; se è < < il logritmo di un numero decresce l crescere del numero. I Teoremi Fondmentli dei Logritmi I teoremi che regolno le operzioni sui e con i logritmi sono essenzilmente quttro: teorem: il logritmo del prodotto di due o più numeri positivi è ugule ll somm dei logritmi dei singoli fttori: log (m n) = log m + log n teorem: il logritmo del quoziente di due numeri positivi è ugule ll differenz tr il logritmo del dividendo e il logritmo del divisore: log (m/n) = log m - log n 3 teorem: il logritmo dell potenz di un numero rele, positivo è ugule l prodotto dell esponente per il logritmo dell se dell potenz: log m n = n log m 4 teorem: il logritmo di un rdicle è ugule l prodotto dell inverso dell indice per il logritmo del rdicndo: log n m log m n Pssggio d un Sistem di Logritmi d un Altro Il logritmo di un numero, in un qulsisi se, si ottiene d quello, in un ltr se, moltiplicndolo per l quntità fiss: dett modulo di pssggio d un se ll ltr: log m log log log m log

28 Logritmi Decimli Il logritmo decimle di un numero rele positivo è l esponente cui isogn elevre il numero per ottenere il numero dto: = n log n = dll definizione di logritmo risult: = log = ; = log = dl terzo teorem dei logritmi discende che il logritmo decimle di un generic potenz di è ugule ll esponente: log n = n log = n = n d ciò discende che: il logritmo decimle di un qulsisi potenz di è dto dl numero degli zeri di cui è compost l potenz stess: = log = ; = 3 log 3 = 3 il logritmo decimle di un qulsisi unità decimle minore di è quell intero negtivo il cui vlore ssoluto fornisce il numero degli zeri presenti, compreso quello che precede l virgol:, = - log - = - ;, = - log - = - In conclusione si può ffermre che i logritmi decimli dei numeri mggiori di sono positivi, quelli dei numeri compresi tr e sono negtivi. Anlisi dei Logritmi Il logritmo di un numero è composto di due prti: crtteristic: prte inter del logritmo; può essere positiv, null, negtiv. mntiss: prte decimle del logritmo; è sempre positiv e minore di. log 37, crtteristic mntiss In effetti, l crtteristic del logritmo di un numero mggiore di è pri l numero delle cifre dell prte inter del numero diminuito di un unità; inftti, se N è un numero positivo mggiore di composto d n cifre, si h: n- < N < n log n- < log N < log n (n-) < log N < n e ciò indic, ppunto, che l prte inter del logritmo di N è (n-); esempio: il numero 37 è compreso tr e per cui si h:

29 < 37 < 3 log < log 37 < log 3 < log 37 < 3 log 37 =,. L crtteristic di un numero positivo minore di è pri tntnte unità negtive qunti sono gli zeri che precedono l prim cifr significtiv, compreso quello che precede l virgol; inftti se M è un numero compreso tr e ( < M < ), si h: -n < M < -(n-) log -n < log M < log -(n-) -n < log N < -(n-) e ciò indic, ppunto, che l prte inter del logritmo di M è -n; esempio: il numero,37 è compreso tr, e, per cui si h -3 <,37 < - log -3 < log,37 < log - -3 < log,37 < - log,37 = -3,. In definitiv se il numero è mggiore di il suo logritmo è dto dll somm di due numeri positivi (c + m); se il numero è minore di il suo logritmo è dto dll somm di un numero negtivo e di un numero positivo (-c + m), in quest ultimo cso però il numero che si ottiene viene detto form mist e si scrive simolicmente: _ c, m - 3,4548 _ 3,4548 Dll esempio si evince un ltr importnte proprietà dei logritmi: Moltiplicndo o dividendo un qulunque numero per un qulsisi potenz di, l mntiss del suo logritmo non cmi. Indicto, inftti, con N un numero positivo qulunque e con k un numero intero positivo o negtivo, si può scrivere N = N k, per cui il logritmo di N è: log N = log(n k ) = log N + log k = log N + k log N - log N = k cioè i due logritmi differiscono per il numero k, il che signific che le due mntisse sono uguli; esempio: log 37,4548 log37 - log3,7 log 3,7,4548 Operzioni sui Logritmi In se i teoremi sui logritmi è possiile sommre o sottrrre due logritmi tr loro; è possiile, invece, fre il prodotto o il rpporto solo tr un logritmo e un numero e non tr logritmi.

30 DISEGUAGLIANZE Dti due numeri reltivi e se l loro differenz è un quntità positiv (mggiore di zero) si dice che è mggiore di e si scrive: > > ; se è un quntità negtiv (minore di zero) si dice che è minore di e si scrive: < <. Un espressione del genere si dice diseguglinz e srà di verso positivo nel primo cso, di verso negtivo nel secondo cso. PROPRIETÀ DELLE DISEGUAGLIANZE Dt un diseguglinz, ggiungendo d entrmi i memri uno stesso numero si ottiene un diseguglinz dello stesso verso: > + m > + m ; < + m < + m Due diseguglinz dello stesso verso possono sommrsi memro memro dndo luogo d un diseguglinz dello stesso verso (non è lecito effetture l differenz): > ; c > d + c > + d Moltiplicndo o dividendo entrmi i memri di un diseguglinz per uno stesso numero positivo, si ottiene un diseguglinz dello stesso verso > ; m > m > m ; > ; m > /m > /m Se, invece, il numero è negtivo si ottiene un diseguglinz di verso opposto: > ; m < m < m ; > ; m < /m < /m D quest proprietà si deduce, come cso prticolre, che cmindo il segno i memri di un diseguglinz si ottiene un diseguglinz di verso opposto: > ; m = -< - < - Moltiplicndo memro memro tr loro due diseguglinze dello stesso verso, si ottiene un diseguglinz dello stesso verso: > ; c > d c > d Fcendo il reciproco dei memri di un diseguglinz si ottiene un diseguglinz di verso opposto: > / < / ; < / > / Elevndo i due memri di un diseguglinz potenz con esponente intero positivo (n > ), si ottiene un diseguglinz dello stesso verso se i due memri sono entrmi positivi: > ; > ; n > ; > n > n

31 se i due memri sono entrmi negtivi e l esponente è dispri (n = m+), si ottiene un diseguglinz dello stesso verso: < ; < ; n = m+ ; > n > n se i due memri sono entrmi negtivi e l esponente è pri (n = m), si ottiene un diseguglinz di verso contrrio: < ; < ; n = m ; > n < n Se m e n sono due numeri interi positivi ed è un qulsisi numero positivo diverso d uno, dll diseguglinz m > n segue: ( > ) m > n ; ( < ) m < n DISEQUAZIONI Se tr i memri di un diseguglinz di due espressioni lgeriche sono presenti un o più vriili incognite si ottiene un disequzione, che gode delle stesse proprietà delle diseguglinze: A() > B() ; A() < B() I due polinomi A() e B() si dicono memri dell disequzione. Risolvere un disequzione signific trovre quei vlori, detti limiti o soluzioni, tr cui devono essere compresi quelli d ttriuire lle incognite ffinché l disequzione si trsformi in un diseguglinz numeric. Se l disequzione non è soddisftt d lcun vlore, cioè non h soluzioni, si dice ssurd. Un disequzione si dice ridott form normle se l primo memro è presente un polinomio ordinto secondo le potenze decrescenti dell incognit e il secondo memro è zero: A() > n + n- + + v + z > A() < n + n- + + v + z < Se in un disequzione compre solo il segno di diseguglinz, l disequzione si dice forte; se compre nche il segno di eguglinz, l disequzione si dice deole o mist: A() ; A() È importnte sottolinere che, mentre un equzione è soddisftt solo d uno o più vlori dell incognit (dipende dl grdo dell incognit), un disequzione è soddisftt d infiniti vlori dell incognit. Inftti, mentre l equzione 5 = è soddisftt dll soluzione = 5, l disequzione 5 > è soddisftt dlle soluzioni > 5, cioè d qulunque vlore mggiore di 5.

32 DISEQUAZIONI DI GRADO Disequzioni d un incognit Un disequzione di primo grdo d un incognit si present nell form + > ; + < Per l su risoluzione si procede come per le equzioni di primo grdo, supponendo > (cos che è sempre possiile ottenere, moltiplicndo, eventulmente, tutto per -): + > > - > -/ + < < - < -/ l disequzione di verso positivo srà soddisftt d tutti i vlori (infiniti) mggiori di -/; l disequzione di verso negtivo srà soddisftt d tutti i vlori (infiniti) minori di -/. È spesso conveniente eseguire l rppresentzione grfic delle soluzioni su di un rett (vedere esempi reltivi). Esempi (tutti i vlori > 4, escluso 4) - - (tutti i vlori > -, escluso -) - - (tutti i vlori > -, compreso -) Disequzioni due incognite Un disequzione di primo grdo due incognite si present nell form: + + c > ; + + c < per l su risoluzione, supposto >, si pone il primo memro ugule zero ottenendo, in tl modo, l equzione ssocit: + + c = indicto, poi, con o e o un delle infinite coppie di vlori che verificno l equzione, se l disequzione è di verso positivo si ssume un vlore > o per >, < o per <, cosi che le coppie di vlori (o, ) costituiscono le soluzioni dell disequzione; se l disequzione è di verso negtivo, per ognuno dei vlori o che verificno l equzione, si ssume un vlore < o

33 per >, > o per <, cosi che le coppie di vlori ( o, ) costituiscono le soluzioni dell disequzione. In conclusione, per decidere quli limitzioni deve sottostre il vlore dell ffinché, in coppi con o, soddisfi l disequzione isogn confrontre il segno del coefficiente con quello dell disequzione stess, ssumendo: > o < o Se il segno di è concorde con quello dell disequzione; Se il segno di è discorde con quello dell disequzione; Esempio < cmindo segno: > equzione ssocit: = = o = = -5/4 (, -5/4) Coppi di vlori, tr gli infiniti, che soddisfno l equzione. = 4 > Vlore di concorde con il verso dell disequzione. -5/3 > -5/4 Ogni vlore di mggiore di 5/4, ccoppito con o, costituirà un soluzione dell disequzione. -5/4 Esempio equzione ssocit: = + 5 > = o = = 3 (, 3) Coppi di vlori, tr gli infiniti, che soddisfno l equzione. 5/ = - < Vlore di discorde con il verso dell disequzione. -5 < 3 Ogni vlore di minore di 3, ccoppito con o, costituirà un soluzione dell disequzione.

34 DISEQUAZIONI DI GRADO Disequzioni d un incognit Un disequzione di secondo grdo d un incognit si present nell form: + + c > ; + + c < per l risoluzione di quest disequzione, supposto > (cos che è sempre possiile), isogn considerre l equzione ssocit: + + c = e clcolrne il discriminnte = 4c. Si hnno tre csi distinti: ) > L equzione mmette due rdici reli e distinte e ; l equzione può essere scritt nell form: + + c = ( )( ) Risultndo, in tl cso, le due rdici un minore dell ltr, <, si not che per vlori di > le differenze ( ) e ( ) srnno entrme positive; per vlori di < le differenze ( ) e ( ) srnno entrme negtive. In ogni cso il prodotto delle due differenze srà positivo, per cui il trinomio ( + + c) srà positivo per tutti i vlori > e <, cioè qundo si ttriuiscono ll vlori esterni ll intervllo (, ). Dndo ll vlori interni tle intervllo, risultndo > e <, il prodotto delle due differenze srà negtivo come negtivo srà nche il trinomio ( + + c). In conclusione si h: + + c > < ; > + + c < < < Esempio > = = ; = 3 = > < ; > 3 O 3 ) = L equzione mmette due rdici reli e coincidenti = ; l equzione può essere scritt nell form: + + c = ( ) = ( + /) Il trinomio è positivo per qulunque vlore di -/. In conclusione si h:

35 + + c > -/ + + c < Assurd, perché un vlore l qudrto non può essere negtivo 3) < L equzione mmette due rdici complesse e coniugte, cioè rdici non reli. Tuttvi il trinomio può essere scritto nell form: c 4c 4 Risultndo 4c <, nell prentesi qudr ci srà l somm di un numero positivo o nullo (il inomio l qudrto) con un un numero positivo (ottenuto come prodotto di due vlori negtivi), per cui il trinomio risulterà positivo per ogni vlore di. In conclusione si h: + + c > + + c < Qulunque vlore dell Non mmette lcun soluzione Esempio > = = ( 4i)/4 ; = ( + 4i)/4 < = qulunque vlore

36 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Un insieme di due o più disequzioni, che devono essere soddisftte contempornemente, costituisce un sistem di disequzioni ed ogni soluzione comune tutte le disequzioni del sistem si dice soluzione del sistem. Per risolvere un sistem di disequzioni, si risolvono singolrmente le disequzioni e, poi, si esmin se vi sono soluzioni comuni; in cso positivo esse costituiscono le soluzioni del sistem; in cso negtivo il sistem srà impossiile, cioè le disequzioni srnno tr loro incomptiili. Esempi si sistemi di disequzioni di grdo due incognite: Esempio : > 3 < > = > 3 = > < 6 = > - = < il sistem è soddisftto dll prte di pino trtteggit. Esempio : < > + 4 < < = < 3 = < > = > -8 = > < = < 3 = < il sistem è soddisftto dll prte di pino rcchius dlle tre rette.

37 Esempio di sistem di disequzioni di grdo d un incognit: > < = = 3 ; = > < 3 ; > = = / ; = = / < < 7 il sistem è soddisftto per i vlori di tle che: / < < 7 5 < < 7 3 5,5 7, DISEQUAZIONI FRATTE Un disequzione si dice frtt o frzionri se contiene vriili l denomintore. L su risoluzione si riconduce quell dei sistemi di due o più disequzioni. Dt l disequzione frtt: A() B() con A() e B() polinomi nell vriile, ess srà soddisftt dlle soluzioni di uno dei due sistemi: A() A() B() B() cioè d tutti i vlori di che rendono concordi numertore e denomintore. Dt l disequzione frtt: A() B() con A() e B() polinomi nell vriile, ess srà soddisftt dlle soluzioni di uno dei due sistemi:

38 A() B() A() B() cioè d tutti i vlori di che rendono discordi numertore e denomintore. Un ltro metodo, molto più veloce, consiste nello studire singolrmente l funzione numertore e l funzione denomintore, prese entrme positive: A() oppure A() B() L soluzione richiest srà dt dll intervllo o dgli intervlli che soddisfno il segno dell frzione. Questo metodo, del tutto generle, può essere pplicto nche disequzioni di grdo superiore l secondo; è sufficiente, inftti, scomporre i polinomi nei loro fttori primi e considerre il prodotto dei loro segni. Esempio - 7 > > - 7 > > /3-3/ /3-6 > < -3/ ; > d cui: > - 7 < - 6 < - 7 < < /3-3/ /3-6 < -3/ < < d cui : > L disequzione frtt è soddisftt di vlori -3/ < < ; >

39 Esempio A() = 4 5 > B() = > 4 5 / ; 5/ / 3 ; 3 3/ A() : -/ ; 5/6 B() : /3 ; 3/4 L disequzione frtt è soddisftt di vlori: 3 ; A() B() / /3 3/4 5/ A()/B()

40 PROGRESSIONI ARITMETICHE Si chim progressione ritmetic un successione di tre o più numeri tli che l differenz tr ognuno di essi ed il precedente si costnte:,, 3, 4,, n, n+, i i- = d (i =,.,n) esempio: 3, 7,, 5, 9, 3, = 4 ; 7 = 4 ; 5 = 4 ; tle costnte si dice rgione e si indic con l letter d; i numeri che formno l progressione, i, si dicono termini dell progressione; il pedice i d essi ssocito si dice indice dell progressione ed indic il posto occupto d quei numeri nell progressione (il termine 7 indic che il numero occup il settimo posto nell successione). Un progressione ritmetic si dice limitt se i suoi termini sono in numero finito, in tl cso il primo ed ultimo termine si dicono estremi dell progressione; si dice illimitt se i suoi termini sono infiniti (è il cso, questo, dell insieme dei numeri nturli). Rivolgendo l ttenzione lle sole progressioni ritmetiche limitte e ricordndo l definizione si h: i i- = d i = i- + d ; i- = i d In un progressione ritmetic un generico termine si ottiene d quello precedente umentto dell rgione o d quello successivo diminuito dell rgione. D ciò scturisce che se d > l progressione è crescente; se d = l progressione e formt d termini tutti uguli tr loro; se d < l progressione è decrescente. Teoremi e Proprietà In un progressione ritmetic un termine qulunque è ugule l primo termine umentto di tnte volte l rgione qunti sono i termini che lo precedono: n = + (n-) d d questo teorem segue che:

41 d n ; n n n d = n - (n-) d indicti con r e s due termini generici di un progressione ritmetic, con r < s, risult: s = r + (s-r) d essendo (s-r) il numero dei termini che precedono s prtire d r. In ogni progressione ritmetic limitt l somm di due termini equidistnti dgli estremi è costnte e pri ll somm degli estremi: esempio: + n = + n- =.. 3, 5, 7, 9,, = 5 + = l somm dei primi n termini di un progressione ritmetic limitt è pri l prodotto dell semisomm degli estremi per il numero n dei termini: S n questo teorem permette di clcolre l somm di n termini consecutivi di un progressione ritmetic, conoscendo il numero dei termini d ddizionre e il primo e l ultimo termine; d ltr prte ricordndo che l ultimo termine lo si ottiene conoscendo il primo termine, l rgione ed il numero dei termini si h nche: esempio: S n clcolre l somm dei primi sette termini di un progressione ritmetic il cui primo termine è 8 e l rgione è 5 = -8 ; d = 5 ; n = 7 ; 7 = = S S Un importnte ppliczione che discende dl primo teorem è l inserimento di k medi ritmetici tr due numeri dti e, in modo d ottenere un progressione ritmetic. Il prolem consiste, in effetti, nel trovre k numeri in modo d ottenere l progressione ritmtic formt d k + termini: 7 5 n d 49 7 n 49

42 ,,,, k-, k, tle scopo st clcolrsi l rgione d, spendo che è: =, n =, n = k +, dll relzione: d n d n k esempio: inserire 8 medi ritmetici tr 3 e 4 = 3 ; n = 4 ; n = 8 + = 4 3 d 3 8 3, 6, 9,, 5, 8, 3, 34, 37, 4

43 PROGRESSIONI GEOMETRICHE Un progressione geometric è costituit d un successione di tre o più numeri in cui costnte il rpporto tr uno qulunque di essi e il suo precedente:,, 3, 4,, n, n+, > i q (i,..., n) i tle costnte si dice rgione e si indic con l letter q. I numeri che costituiscono l progressione ( i ) si dicono termini dell progressione, il pedice i d essi ssocito si dice indice ed indic il posto che essi occupno nell successione. Un progressione geometric si dice limitt se è formt d un numero limitto di termini, in tl cso il primo e l ultimo termine si dicono estremi dell progressione; si dice illimitt se è formt d un numero infinito di termini. Ricordndo l definizione dt si h: i q i i = q i- ; i- = i /q In un progressione geometric il generico termine si ottiene dl prodotto del suo precedente per l rgione o dl rpporto tr il suo successivo e l rgione. D ciò si ricv che per q > l progressione è crescente; per q = l progressione h tutti i termini uguli; per < q < l progressione è decrescente; per q < i termini risulternno lterntivmente positivi e negtivi e l progressione non srà né crescente né decrescente. Inoltre, nessun termine di un progressione geometric può essere nullo e, quindi, nche l rgione deve essere divers d zero. Teoremi e Proprietà In un progressione geometric il generico termine si ottiene moltiplicndo il primo termine per l rgione elevt d un esponente pri l numero dei termini che precedono il termine generico: n = q n- d questo teorem segue che: n q n n log n ; q n- log q log log q Detti r e s due termini generici di un progressione geometric, con r < s, risult: n

44 s = r q (s-r) essendo (s - r) il numero dei termini che precedono s prtire d r. In un progressione geometric limitt il prodotto di due termini equidistnti dgli estremi è costnte ed è ugule l prodotto dei termini estremi: n = n- = n- = il prodotto di n termini consecutivi di un progressione geometric è ugule ll rdice qudrt dell potenz che h per se il prodotto degli estremi e per esponente il numero dei termini: P n l somm di n termini di un progressione geometric limitt e crescente (q > ) è dt d: S n n q q l somm di n termini di un progressione geometric limitt e decrescente ( < q < ) è dt d: S n l somm di n termini di un progressione geometric illimitt e decrescente ( < q < ) è dt d: S n Un importnte ppliczione del primo teorem è l inserimento di medi geometrici tr due numeri dti e, in modo d ottenere un progressione geometric. Il prolem consiste, in effetti, nel trovre k termini in modo d ottenere l progressione geometric di k + termini: q n n n q q,,,, k-, k, tle scopo, st trovre l rgione q spendo che è: =, n =, n = k +, dll relzione: n- n q sih q k per k pri risult (k + ) dispri, per cui si ottiene un solo vlore di q; per k dispri risult (k + ) pri, per cui si hnno due vlori di q tr loro opposti se è (/) >, nessun vlore se (/) <.

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