Esercizi sulle affinità - aprile 2009

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1 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente le tre rette r, s, t nelle tre rette r,s,t Calcolando i punti di intersezione A = r s, B = r t, C = s t, A = r s, B = r t e C = s t è sufficiente determinare l affinità che manda A, B, C ordinatamente in A,B,C Svolgendo i calcoli si trova la seguente affinità: = = Esercizio Dire per quali valori di k esistono affinità tali che l immagine di, 0 sia il punto, 0, l immagine del punto 0, sia, e l immagine dell origine sia k, k Determinare gli eventuali valori di k per cui si ottengono isometrie Facendo i calcoli si ottiene: k k k k k k il determinante della matrice è per ogni k R, quindi il rapporto delle aree èsempre uguale a =, mentre l orientamento delle figure viene invertita Se ci sono isometrie, dal momento che il det è, queste devono essere necessariamente inverse la matrice deve avere la seguente struttura: k k cos θ sin θ = k k sin θ cos θ da cui otteniamo k = 0, e quindi l isometria ψ: 0 ψ : 0 Cerchiamo di classificare questa isometria: si tratta o di una simmetria assiale o di una glissosimmetria Per vedere in quale caso siamo è sufficiente studiare i punti fissi L isometria ψ non ha punti fissi, dunque ψ è una glissosimmetria più precisamente si tratta di una glissometria avente retta unita la retta = e vettore di traslazione τ =, T Si osservi che è possibile scrivere ψ nel seguente modo: [ ] ψ : 0 dove la trasformazione tra parentesi quadre è la simmetria assiale rispetto alla retta =

2 Esercizio Calcolare le equazioni delle rette unite per l affinità 5 Poiché a 0, cerchiamo le rette unite solo tra quelle del tipo = m q l immagine deve essere del tipo = m q, per cui possiamo scrivere: svolgendo i calcoli troviamo: =m 5 q = m 5 m m q 5 m e quindi m = m 5 m q = m q 5 m risolvendo la prima equazione troviamo m =,m = 5 Sostituendo i due valori trovati nella seconda equazione si trovano i valori q = e q = 7 0 In definitiva, le rette unite hanno equazione = = l unico punto fisso per la trasformazione ϕ è il punto di coordinate, 5 Esercizio Determinare le rette unite per l affinità 0 Poiché a = 0, cerchiamo rette unite del tipo = k edeltipo = m q Nel primo caso, l immagine della retta = k deve essere la retta di equazione = k: =k risolvendo rispetto a abbiamo: e quindi: k = k = k k =

3 in definitiva l unica retta unita della forma = k è la retta di equazione cartesiana = Cerchiamo ora le rette unite della forma = m q siha: =m q = m m q e quindi m = m m q = q dalla prima equazione ricaviamo m = e, sostituendo tale valore nella seconda equazione, si trova q = in definitiva le due rette unite hanno equazioni = e = Esercizio 5 Determinare l equazione cartesiana dell immagine della curva γ : =0mediante l affinità ϕ: 5 7 = b Qual è la controimmagine della curva C : 5 5=0? Per prima cosa calcoliamo l equazione dell affinità inversaϕ : ϕ 7 : 5 = 8 sostituendo e nell equazione cartesiana di γ troviamo: =0 semplificando si ricava l equazione cartesiana di γ : γ : = 0 b Basta sostituire le espressioni di e nell equazione di C : =0 si trova quindi l equazione cartesiana della curva controimmagine C: C : =0

4 Esercizio 6 Dire come viene trasformata la circonferenza γ : =0mediante l affinità 7 L affinità ϕ è una similitudine diretta, avente det = 5 le aree vengono moltiplicate per 5 mentre le lunghezze dei segmenti vengono moltiplicate per 5 = 5 Poiché la circonferenza γ ha centro in C =, e raggio R = 5, γ viene trasformata nella circonferenza gamma avente centro nel punto C =, 9 immagine di C e raggio R =5R =5 5 La circonferenza γ ha, perciò, la seguente equazione cartesiana: 9 = = 0 Esercizio 7 Scrivere l equazione della rotazione di centro C =, eangolo0 gradi in senso antiorario L equazione della rotazione è ϕ : svolgendo il prodotto matrice-vettore e semplificando otteniamo: ϕ : Esercizio 8 Scrivere l equazione della simmetria assiale rispetto alla retta di equazione cartesiana =0 Il vettore, T deve essere autovettore relativo all autovalore λ =, mentre il vettore, T deve essere autovettore relativo all autovalore λ = l origine è un punto fisso La matrice dell affinitàè = per cui l affinità ha la seguente espressione: ϕ :

5 5 Esercizio 9 Scrivere le equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta r di equazione =0 Sia P =, un punto generico e sia P =, il suo simmetrico rispetto a r Il punto medio M di PP è M = il punto M deve appartenere alla retta r, per cui abbiamo: =0 inoltre PP è ortogonale a r, per cui si ha: =0 per ricavare le equazioni della simmetria assiale è sufficiente risolvere il seguente sistema rispetto a e : =0 = =0 = Esercizio 0 Determinare le equazioni della simmetria rispetto alla retta r passante per l origine e formante l angolo α con l asse delle Si trova il seguente risultato: = cos α sin α = sin α cos α Esercizio Scrivere le espressioni delle due similitudini del piano che mandano l origine nel punto, eilpunto, nel punto, 0 La similitudine diretta ϕ ha espressione a b b a per determinare i valori di a e b è sufficiente imporre la condizione ϕ :,, 0: a b = b a =0 a = b =

6 6 si trova dunque la similitudine diretta Per quanto riguarda la similitudine indiretta ψ, abbiamo la seguente espressione: a b ψ : b a per determinare i valori di a e b è sufficiente imporre la condizione ψ :,, 0: a b = a = b a =0 b = si trova dunque la similitudine indiretta ψ : Esercizio Scrivere l isometria che si ottiene componendo la rotazione con centro C =, di 90 gradi in senso antiorario con la rotazione con centro C =, di 90 gradi in senso antiorario Si verifichi che si tratta di una rotazione e si calcolino le coordinate del suo centro La prima rotazione ha equazione 0 ϕ : 0 = mentre la seconda rotazione ha equazione: 0 ϕ : 0 = Se calcoliamo l equazione dell isometria ϕ ϕ otteniamo: 0 ϕ ϕ : 0 si tratta di una rotazione la matrice è di rotazione ed è diversa dalla matrice identica per calcolare le coordinate del centro della rotazione basta trovare il punto fisso: = = = = in definitiva abbiamo ottenuto la rotazione di un angolo piatto attorno al punto C =, la trasformazione può essere vista anche come una simmetria centrale rispetto al punto P =, Si osservi, comunque, che ogni simmetria centrale rispetto ad un punto P è una rotazione di un angolo piatto con centro in P Si dimostri per esercizio che, invertendo l ordine di composizione si ottiene ancora una rotazione di un angolo piatto, ma di centro diverso: le due rotazioni ϕ e ϕ, quindi, non commutano

7 7 Esercizio Si consideri l affinità ϕ che manda l origine nel punto O =,, ilpunto A =, in A =0, eilpuntob =, nel punto B =, sidimostricheϕ trasforma il baricentro del triangolo OAB nel baricentro del triangolo O A B Esercizio Si calcolino le rette unite per la trasformazione 0 0 L affinità ϕ rappresenta un isometria inversa calcoliamo i punti fissi: = = = = il sistema ammette infinite soluzioni: i punti fissi sono tutti e soli quelli che appartengono alla retta r diequazione cartesiana = 0 L affinità ϕ è, perciò, una simmetria assiale rispetto alla retta r Determiniamo ora le rette unite per ϕ poiché l elemento a è diverso da zero, analizziamo solamente le rette della forma = m q che hanno per immagine = m q: quindi =m q = m m q m m = m q = m q m dalla prima equazione si ricavano le soluzioni m =em = sostituendo nella seconda equazione si trovano le soluzioni q =eq = k per cui le rette unite sono: = = k con k R questo risultato poteva anche essere ottenuto senza fare calcoli, in quanto ogni simmetria assiale ha una retta costituita da punti fissi ovvero la retta r rispetto alla quale viene effettuata la simmetria ed ha come rette unite tutte le rette perpendicolari a r Esercizio 5 Determinare l espressione dell affinità chemandalarettar : = 0 nell asse, la retta s : =0 nell asse eilpuntop =, 0 nel punto P =, Le affinità che rispettano le prime due condizioni hanno la seguente espressione: h k

8 a questo punto è sufficiente imporre la terza condizione, ottenendo il seguente sistema nelle incognite h, k: h 0= h = k 0= k = 7 in definitiva l espressione dell affinità ϕ è: Esercizio 6 Consideriamo le affinità del piano tali che l immagine dell origine sia il punto, 0, l immagine del punto, 0 sia il punto 0, e l immagine del punto 0,t sia 0, 0 Al variare del parametro t 0si descriva il luogo descritto dalle immagini del punto, Facendo i calcoli si scopre che le affinità, per t 0, hanno la forma seguente: ϕ t : t 0 0 calcoliamo ora l immagine, al variare di t 0, del punto, : ϕ t : t 0 = 0 t attenzione, il luogo descritto è contenuto nella retta di equazione =, manon coincide con la retta = : il luogo descritto è la retta = privata del punto, infatti, l equazione = k ha soluzione se e solo se k t