Corso di Analisi: Algebra di Base 5^ Lezione Logaritmi. Proprietà dei logaritmi Equazioni logaritmiche. Disequazioni logaritmiche. Allegato Esercizi.

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1 Corso di Anlisi: Algbr di Bs ^ Lzion Logritmi. Proprità di ritmi Equzioni ritmih. Disquzioni ritmih. Allgto Esrizi.

2 LOGARITMI : Pr ritmo intndimo un sprssion lttrl indint un vlor numrio. Dfinizion : Si himrà ritmo di un numro rl positivo b risptto ll bs, positiv divrs dll unità, qul numro rl dto om sponnt ll bs pr ottnr il numro rl b. b b dov on indihimo l bs dl ritmo dov on b indihimo l rgomnto dl ritmo dov on indihimo il vlor dl ritmo. Es :,, ± m poihé è l unio vlor tt. L ultimo smpio ftto i port d un nuovo tipo di quzion, dtt q. sponnzil. Quindi vrmo un dto ssunto pr ipotsi, ioè l bs smpr positiv, m divrs d. Dovrmo ltrsì sprimr di volt in volt qull h srà l ondizion di rltà di ogni ritmo, l rgomnto strttmnt positivo.

3 b Hp o, Condiziondi Esistnz b Nll mggior prt di si i trovrmo lvorr on ritmi di bsi prfisst h nl nostro so srnno : l bs di ritmi nturli,, on numro di Npro (,7...) l bs di ritmi dimli,. I ritmi nturli li indihrmo on il simbolo ln, i dimli on. Abbimo dtto h il vlor dll bs di qulsisi ritmo vin ssunt pr ipotsi strttmnt positiv, m divrs d ; qusto vidntmnt prhé dll dfinizion di ritmo non sist lun vlor dll sponnt h dto ll bs prmtt di vr un prfissto numro b. Inftti : b b s onsidrimo pr s : b, on si vrbb non sist lun vlor di h vrifihi l uguglinz. S volssimo rpprsntr in un rifrimnto rtsino ortogonl l lgg h lg d ogni vlor dll vribil, rpprsnttiv di tutti gli rgomnti di ritmi, il orrispondnt vlor dl ritmo, sprsso dll vribil y trovrmmo un divrso omportmnto sond dl vlor ssunto dll bsi.

4 Più prismnt : y y y ( ) y ( ) y PROPRIETA DEI LOGARITMI b b ( b) b b n N b m N b m b n m n b

5 EQUAZIONI LOGARITMICHE : Risolvr un quzion ritmi signifi dtrminr qul prtiolr vlor d ttribuir ll vribil ffinhé l uguglinz si vrifit. Pr rrivr iò, utilizzndo l proprità di ritmi, è indispnsbil riondursi ll uguglinz di du mmbri h sino ostituiti d un solo ritmo, nll stss bs, on lo stsso offiint dllo stsso grdo. Not Bn : Prim di risolvr qulsisi srizio rltivo i ritmi è ssolutmnt indispnsbil disutr l rltà di singoli ritmi, formulndo osì un sistm h risolto i dà l ondizion pr l qul h snso risolvr l srizio. Pr ui si vrà : [ A( ) ] [ B( ) ] ondiz. di rltà A( ) B( ) liminndo i ritmi A ( ) B( ) h risolt drà l soluzioni. Es : ( ) ond. rltà ( ) - quindi l soluzioni finli dll quzion srnno vrifit s solo s rintrrnno nll intrvllo suddtto. Riordimo h l notzion i indi un ritmo diml (in bs ).

6 Pr ui riprndndo l quzion vrmo : ( ) h pr l propr. di ritmi possimo srivr : ( ) di qui h vrifi. - - Inftti Es : ( ) ( ) ondiz. di rltà, - risolvndo : ( ) ( ) tt. non tt. ( ) ( )

7 Potvmo risolvr nh osì : ( ) ( ) ( ) ( ) d ui tt. non tt. Cso prtiolr : Si possono vr di si prtiolri nll quzioni ritmih llorhè i grdi di singoli ritmi sino divrsi tr loro. Nll fttispi srà problmtio riusir riondursi d vr du ritmi ni rispttivi mmbri on l rttristih prim lnt ; pr ui si prodrà ll loro risoluzion trmit un mtodo di sostituzion purhè i rispttivi rgomnti sino tr loro uguli. Es : ( ) ( ) E vidnt h l prim oprzion onsist nll ondizion di rltà - si pon ( ) t d ui si h :

8 t t t t or riordndo h : ( ) t si h : ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 99 quindi ll fin si vrifihrà l bontà di risultti ottnuti. Si il vlor di h qullo di vrifino l ondizion di rltà. Es : ( ) ( ) - si pon ( ) t d ui si h : t t t t d ui riordndo h : ( ) t si h : ( ) ( ) ( ) ( ) h soddisfno ntrmbi l ondizion di rltà.

9 Not Bn : riordimo bn lun distinzioni importnti oppur oppur ( ) ( ) è quindi vidnt h DISEQUAZIONI LOGARITMICHE : Si prodrà l pri dll quzioni ritmih, riordndoi h ll fin dll srizio mttrmo sistm l insim dll soluzioni trovt on l ondizion di rltà inizil. Es : ( ) Condiz. di rltà - Applindo l proprità di ritmi vrmo : ( ) ( ) ( ) d ui : Pr ui srà infin h : - l soluzioni finli srnno : / R.

10 Anh qui possimo trovr il so prtiolr : Es : ( ) ( ) Condiz. di rltà :, - quindi ponndo ( ) t si h : t t t ; t d ui : ( ) ( ) ( ) ( ) Si vrà quindi h :, pr ui :, d onfrontrsi infin on l ondizion di rltà inizil.

11 di qui si può notr l insim dll soluzioni h soddisfno l disquzion. Not Bn : in un disquzion ritmi s si opr on ritmi l ui bs è minor di l momnto di liminr i ritmi stssi si prodrà l mbio dl vrso dll disquzion stss. Es : ( ) ondiz. di rl. ( ) ( ) d ui vrmo infin :

12 Esrizi dll lzion di Algbr di bs ESERCIZI SUL CALCOLO DEI LOGARITMI ESERCIZI SUL CALCOLO DELLA BASE DEI LOGARITMI ESERCIZI SULLA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEI LOGARITMI ESERCIZI SULLE SEMPLIFICAZIONI DEI LOGARITMI ES ERCIZI SULLE EQUAZIONI LOGARITMICHE ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI E DI GRADO

13 USO DEI PULSANTI Visulizz solo l soluzion dll'srizio Visulizz l soluzioni di tutti gli sriz i Nsond l soluzioni T orn ll'indi dgli srizi T orn ll'indi dll lzion

14 Clolr i sgunti ritmi : ( ). ( ) ( )

15 7. ( ) ( ). 9.. ( ) ( )

16 Clolr l bs di sgunti ritmi: ( riordndo l dfinizion di ritmo, l positività dll su bs ) :

17 . ( )

18 Stbilir l ondizioni di sistnz (rltà) di sgunti ritmi:. ( ) ( ) C. R.. ( ). ( ) ( ) C. R., ( ) C. R. d ui si h : -, on. ( ) 9 ( 9) C. R. 9 d ui si h :, on - -

19 . ( ) ( ).. C R. ( ) ( ),.. C R 7. ( ) ( ).. C R d ui si h :, on. ( ) ( ).. C R d ui si h : / R

20 9. ( ) ( ).. C R si noti om in qusto so non bbimo posto l bs divrs d, in qunto ( so prtiolr ) pr tl vlor il ritmo mmtt vlor rl. d ui si h :. ( ) ( ).. C R d ui si h :, on - -

21 Utilizzndo l proprità di ritmi smplifir :. b b b b b b b. 9. b b b b b b b b. d d y d d y d ( d y) d d y. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n. d b n d d b b n n d b d n b d n b n d n b

22 Risolvr l sgunti quzioni ritmih: 7. ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà :, quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) h quindi, rispttndo l ondizion di rltà, è l soluzion dll'quzion. -

23 . ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà : quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) ± pr l ondizion di rltà, l soluzion è. - -

24 9. ( ) ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà : R quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ± h quindi, rispttndo l ondizion di rltà, sono soluzioni dll'quzion.

25 . ( ) ( ) Condizion di rltà : quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R / 7 9. ( ) ( ) ( ). Condizion di rltà : -

26 quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± h quindi, non rispttndo l ondizion di rltà,non sono soluzioni dll'quzion. R /

27 . ( ) ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà :, quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ±, 9 9 pr l ondizion di rltà, l soluzion dll'quzion. -

28 . ( ) ( ) Condizion di rltà : R quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h pr l ondizion di rltà, sono soluzioni dll'quzion.

29 . ( ) ( ) Condizion di rltà : posto ( ) t : t t t ± t t risostitundo ( ) t : ( ) ( ) riordndo h : n n ( ) ( ) d ui : ( ) ( ) h pr l ondizion di rltà sono soluzioni dll'quzion. [ ]. ( ) ( ) Condizion di rltà : posto ( ) t : t t t ( t ) t t risostitundo ( ) t :

30 ( ) ( ) riordndo h : n n ( ) ( ) d ui : ( ) ( ) h pr l ondizion di rltà sono soluzioni dll'quzion.. ( ) ( ) Condizion di rltà : quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz :

31 ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )( ) 9 9 pr l ondizion di rltà, è l soluzion dll'quzion. 7. ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln 9 Condizion di rltà : ) ( 9 9 quindi : Riprndndo l'quzion di prtnz :

32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± ± ± ln 9 ln ln ln 9 ln ln 9 ln ln ln ln pr l ondizion di rltà, l soluzion dll'quzion.

33 Risolvr l sgunti disquzioni ritmih:. ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà : quindi : Riprndndo l disquzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) pr rrivr infin d vr : soluzion dll disquzion. -

34 9. ( ) ( ) Condizion di rltà : R quindi : Riprndndo l disquzion di prtnz : ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) pr rrivr infin d vr : - soluzion dll disquzion.

35 . ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà : quindi : - - Riprndndo l disquzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) [ ] [( )( ) ] ( ) ( )( ) ( ) 9 / R

36 . ( ) ( ) Condizion di rltà : R { } quindi : -, Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) pr rrivr infin d vr : - -, soluzion dll disquzion.

37 . ( ) ( ) ( ) Condizion di rltà : quindi : / R quindi non ssndoi vlori rli h soddisfno l ondizion di rltà, l disquzion non mmtt soluzioni.. ( ) ( ) ( ) ln ln ln Condizion di rltà : quindi : - - -

38 Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ), 7 7 ln ln ln ln ln pr rrivr infin d vr :, 7 soluzion dll disquzion.. ( ) ( ) ( ),,, Condizion di rltà : quindi : - 7 -

39 Riprndndo l'quzion di prtnz :, ( ) ( ) ( ),,, [( )( ) ] ( ) ( )( ) ( ), pr rrivr infin d vr : soluzion dll disquzion.. ( ) ( ) Condizion di rltà : R R quindi : R

40 Riprndndo l'quzion di prtnz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R soluzion dll disquzion.. ( ) ( ) ( ),,,, Condizion di rltà : quindi :

41 Riprndndo l'quzion di prtnz :, ( ) ( ) ( ),,,, [( )( ) ] ( ) ( )( ) ( ),, 9 9, 9 pr rrivr infin d vr : 9 9 soluzion dll disquzion. 7. ( 9) Condizion di rltà : 9 R R { } { } quindi :

42 R {, } Riprndndo l'quzion di prtnz : ( 9) ( 9) [ ( 9) ] ( 9) , 9 pr rrivr infin d vr : ,, soluzion dll disquzion.