Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

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1 CAPITOLO ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI Teori in sintesi Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z. + Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7. Non sono definite: 0 ( ) 0 0. Csi prticolri :,, per ogni R 0 0, +, per ogni R FUNZIONE ESPONENZIALE Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo :, con > 0 fissto, R. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è tutto R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R + (l funzione esponenzile

2 è sempre strettmente positiv). Si distinguono tre csi: > : funzione crescente : > > : funzione costnte : per ogni R 0 < < : funzione decrescente : > <. I seguenti grfici illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI Teori in sintesi Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo : b, con > 0 e b > 0 è l' incognit dell' equzione. Un'equzione esponenzile del tipo b può essere impossibile, può mmettere come soluzione ogni vlore di rele, o essere determint : impossibile se b 0, oppure b e esempio : oppure verifict d ogni vlore rele di se, b esempio: determint se > 0,, b > 0 esempio :. Si chim ritmo in bse di b l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre

3 nel cso determinto, cioè l'esponente d ssegnre ll bse per ottenere il numero b. b bse dell eponenzile e del ritmo Esempi:.Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile b : se e b si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, si eguglino gli esponenti : 8 se e b non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi :..Risolvere l equzione esponenzile: e, quindi Sommndo ottenimo:.risolvere l equzione esponenzile: ( ) che, risolt utilizzndo i ritmi: 8 + utilizzndo le proprietà delle potenze (vedi ppendice), ottenimo: 8 ( ) dto che le bsi sono uguli, possimo uguglire gli esponenti che è un equzione di secondo grdo in le soluzioni sono quindi: ( + ) 0. Risolvimo l'equzione: + 6. Osservimo che: L'equzione ssegnt è equivlente : + 6 Il denomintore, essendo un funzione esponenzile, non può ssumere il vlore zero. Possimo moltiplicre per entrmbi i membri, ottenendo: ( ) b

4 Si vede chirmente l struttur di equzione lgebric di II grdo nell'incognit (può essere utile introdurre un vribile usiliri secondo grdo: z 6z ) si h: oppure.risolvendo tle equzione z per rendere più evidente l ntur di equzione di TEST DI AUTOVALUTAZIONE n m m. Tenendo presente che n, scrivere le seguenti potenze sotto form di rdice: 8 ). Scrivere le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: ) Risolvere le seguenti equzioni esponenzili: ) 6 9 b) 6 c) d) e) [ ] SOLUZIONI.) 8 b) c) 6.) b) c) 9.) e)[-,] 7 7 b) [/6] c) [] d) ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO. Scrivere le seguenti potenze sotto form di rdice: ).

5 . Scrivere le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: ) Risolvere le seguenti equzioni esponenzili:. 8 b. [ nessun soluzione] c. + [ 0 ] d e. + 0 [ ] FUNZIONE LOGARITMICA Teori in sintesi Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo :, con > 0 e fissto, R + L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmbiti rispetto quelli dell funzione esponenzile. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è R + il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R. Si distinguono due csi: > : funzione crescente : > > 0 < < : funzione decrescente : > < I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile per simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte ( ) i grfici che seguono illustrno il comportmento dell funzione ritmic nei due csi :

6 EQUAZIONI LOGARITMICHE Teori in sintesi Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi. L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo : b, con > 0 e b > 0 R è l'incognit dell'equzione. L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : Per risolvere un'equzione ritmic conviene:. (qundo è possibile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo A( ) B( ), pplicndo le proprietà dei ritmi (vedi ppendice) A B. determinre le soluzioni dell'equzione ( ) ( ). eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto. in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettbili. Esempi. Risolvimo l'equzione: 7. b. Possimo trsformre l'equzione eseguendo il ritmo (in un bse qulsisi, per esempio in bse 0) del primo e del secondo membro: ( ) 7. Applichimo l proprietà ) dei ritmi: (ppendice) + 7.

7 Applichimo l proprietà ) dei ritmi: + 7. Isolndo ottenimo: 7 (*). In lterntiv potevmo isolre, ottenendo: 7. Prendendo il ritmo in bse di entrmbi i membri si h: 7 7 Utilizzndo l formul di cmbimento di bse ) si ottiene (*).. Risolvimo l'equzione ritmic: +. ( ) ( ) Imponimo le condizioni di esistenz sui ritmi dell'equzione dt, ricordndo che gli rgomenti devono essere positivi: + > 0 > > 0 > > 0 > 0 > cioè ll vribile si possono ssegnre solo i vlori mggiori di. Risolvimo l'equzione pplicndo l proprietà ) dei ritmi e osservndo che + Uguglindo gli rgomenti si h l seguente equzione equivlente: + 9 0, 9 ± 7 7 Il vlore è minore di, quindi non è comptibile con le condizioni di esistenz. L'unic soluzione dell'equzione è dt d: TEST DI AUTOVALUTAZIONE Risolvere le seguenti equzioni ritmiche: ) ( ) b) ( ) ( ) c) + ( ) + d) ( )

8 SOLUZIONI )[9] b)[ ] c)[6] + d) ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Risolvi le seguenti equzioni ritmiche: ) ( ) + b) ( ) ( + ) 8 9 c) [] 8 0,6 + d) [ ] DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Teori in sintesi Le disequzioni esponenzili si presentno nell form: < b oppure > b Risolvere queste disequzioni signific stbilire per quli vlori di l curv esponenzile si trov rispettivmente l di sotto o l di sopr dell rett b: () Nel cso > si h pertnto > b : e l disequzione risult verifict per () < b se < b () Nel cso 0<< bbimo > b se: > b.

9 e l disequzione è verifict per < () < b, se > b b notimo che, nel cso >, se b<0 (e cioè l rett si trov nel semipino delle ordinte negtive),l disequzione < b non mmette soluzioni reli, mentre l disequzione > b è verifict per ogni vlore rele di Un discorso no vle per le disequzioni ritmiche > b oppure < b Il grfico che segue rppresent le due situzioni nel cso () > (6) 0<< Esempi notimo che le disequzioni ritmiche > b o < b hnno soluzioni solo positive (>0 per l esistenz del ritmo), mentre possono vere soluzioni per ogni vlore rele di b Risolvere le disequzioni:

10 > > 0 0 > 0 0 qulsisi vlore rele di 8 > < (l bse dell esponenzile è minore di, cso () dell teori in sintesi) + >. L disequzione è definit per ogni 0. L scrivimo come > < < 0 < 0 N > 0 : >, D > 0 : > 0 d cui: < < 0 < < e, poiché > 0 per l'esistenz del ritmo, dovrà essere 0 < < poiché l bse è minore di, ottenimo : <. Risolvendol : < > + + > + > 0 + > 0 > poiché l bse del ritmo è minore di (cso (6) dell teori in sintesi) ( ) ( ) +. Ponimo innnzitutto le condizioni di esistenz dei due ritmi: che, dovendo vlere entrmbe portno ll unic condizione: > e,. Risolvimo or l disequzione. Dto che l bse è mggiore di, dovrà essere + + che h come soluzione, cioè. Confrontndo l soluzione ottenut con le condizioni poste, si h l soluzione dell disequzione ritmic dt: < > 0. Posto e l condizione >0, si ottiene l disequzione > 0. Clcolimo il 6 e quindi le soluzioni sono: 6 ±, e. Quindi l disequzione è verifict per < o >. Dto che, dobbimo risolvere le due disequzioni < < > > 6 0<< e >6 TEST DI AUTOVALUTAZIONE Risolvere le disequzioni: > 0 b. > 0 8 c < 0 d. ( ) ( ) < e. ( ) < e. Poiché vevmo l condizione >0 post sul ritmo, le soluzioni sono:

11 f. 0 > 0 g. + < 0 SOLUZIONI. qulsisi vlore rele di b. 0<< c. << d.</ e.>/ f./0<< >00 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO. + + > > +. 0 [] 0. > [ 0] < 7. ( + ) ( + ) + ( ) [ ] >. 0 < [ < < 0]

12 APPENDICE ESPONENZIALI.proprietà delle potenze. Le proprietà delle potenze vlgono per esponenti reli: Se > 0,..... ( ) : ( b) per ogni, + b pprtenenti R vle : LOGARITMI.Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l bse >0, deve essere b>0, 0 inoltre vlgono i csi prticolri: 0, poichè, poichè..proprietà dei ritmi. Anmente, lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: ) ) ) ) b c c + b ( > 0 ( > 0 ( > 0 (, b, c > 0) > 0) > 0, > 0) > 0, > 0) formul di cmbimento di bse nei ritmi.. I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in bse 0 oppure in bse e, 78 : indic il 0, detto nche ritmo decimle ln, indic il e, detto nche ritmo nturle o neperino.