Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza

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1 Capitolo 12 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza Completiamo lo studio dell ottimizzazione con i problemi di ottimo vincolato. Distingueremo due casi, a cui dedicheremo questo e il prossimo capitolo rispettivamente: problemi con vincoli di uguaglianza e problemi con vincoli di disuguaglianza. Per quanto riguarda i primi introdurremo il metodo del Lagrangiano, che, sfruttando proprietà delle funzioni implicite, fornisce condizioni del primo ordine che, quando il vincolo è compatto, consentiranno di trovare gli estremi assoluti applicando una tecnica simile a quella esposta nel paragrafo 6.5 per problemi in una variabile Funzioni implicite In questo paragrafo concentreremo la nostra attenzione soprattutto sulle funzioni di due variabili; solo alla fine faremo un breve cenno al caso generale di n variabili. Consideriamo il problema Pn) introdotto all inizio del capitolo 11 nel caso di due variabili: maf,) sub,) X. Supporremo ora che l insieme ammissibile X R 2 sia una restrizione del dominio naturale della funzione obiettivo f: è giunto il momento di interpretare X come vincolo vero proprio. Il primo tipo di vincolo che affrontiamo richiede un tipo di analisi che può essere pensata come complementare rispetto all ottimizzazione libera: essa presuppone di trascurare completamente i punti interni e di occuparsi esclusivamente dei punti di frontiera. In questa prima analisi prenderemo dunque in considerazione vincoli che sono costituiti da punti di frontiera e non possiedono punti interni. Prima ancora di provare a immaginare che forma possano assumere tali insiemi, sorge spontanea un osservazione: insiemi costituiti esclusivamente da punti di frontiera sono necessariamente insiemi chiusi; poiché le nostre funzioni obiettivo f sono sempre continue, è sufficiente che tali insiemi siano limitati affinché siano compatti e quindi, per il Teorema di Weierstrass Teorema 11.1), garantiscano l esistenza del massimo e del minimo assoluti. Il tipo di approccio per affrontare questo tipo di problemi vincolati si baserà dunque sulla stessa filosofia della regola 6.1 per problemi in una variabile, nella quale si sfrutta la compattezza del vincolo e le condizioni del primo ordine per la funzione obiettivo. Poiché raramente tali insiemi sono convessi, l altro approccio a nostra disposizione, quello basato sulla concavità di f, è invece quasi sempre inapplicabile in questo contesto.

2 246 Capitolo 12 Insiemi di frontiera per eccellenza sono le curve nel piano R 2, poiché separano due superfici distinte in R 2, come mostra la figura 8.11d); la prima tipologia di vincolo che consideriamo è dunque un vincolo magro e sottile senza pancia). La definizione 1.6 asserisce che una curva in R 2 è definita analiticamente da un equazione in forma implicita del tipo g,) = b, dove b R è un parametro. 1 Formalmente, il nostro vincolo è l insieme V = {,) R 2 : g,) = b, b R }, che ci permette di riformulare il problema Pn) nella forma standard ottf,) subg,) = b, 12.1) dove ott indica che cercheremo tutti i punti estremi assoluti, sia di massimo che di minimo. Con a disposizione gli strumenti introdotti nel capitolo 1, possiamo specificare le caratteristiche della curva g, ) = b a partire dalle caratteristiche della funzione di due variabili g, ) Curve di livello Fissato il parametro b, la curva definita implicitamente dall equazione g, ) = b descrive l andamento del grafico di g al livello b, immaginando cioè di camminare sul grafico di g seguendo un percorso orizzontale, senza salire o scendere. La prossima definizione vale in generale per qualsiasi funzione di due variabili f, non soltanto per le funzioni g che individuano vincoli; manteniamo pertanto una notazione generica in termini di funzione f e livello c costante ). DEFINIZIONE 12.1 Si dicono curve di livello di f : X R, X R 2, gli insiemi CL = {,) X : f,) = c, c R}. Più specificamente chiameremo curva di livello c l insieme CL caratterizzato dal livello c R. z z a) b) c) FIGURA 12.1: a) le curve di livello sono la proiezione sul pianor 2 delle curve ottenute intersecando il grafico dif con piani orizzontali; b) altro esempio dif con in c) le sue curve di livello. La figura 12.1a) mostra graficamente la costruzione delle curve di livello: esse sono la proiezione sul piano R 2 delle curve ottenute intersecando il grafico di f con piani orizzontali a diversi 1 Qui usiamo la notazione b per il parametro anziché c come nel paragrafo dove il parametro era riferito a una generica costante. Nel contesto dell ottimizzazione vincolata applicata a problemi economici di solito il parametro b rappresenta il livello complessivo delle risorse scarse) disponibili, ovvero il budget di spesa.

3 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 247 livelli c. Immaginando che il grafico di una funzione rappresenti una collina o una montagna su una cartina geografica, possiamo interpretare le curve di livello come isoipse, le curve che rappresentano una quota di altitudine costante sui lati della collina/montagna stessa. La figura 12.1b) mostra il grafico di una funzione le cui curve di livello sono riportate in figura 12.1c). Dagli esempi 8.6 e 8.7 visti nel paragrafo 8.5.3, intuiamo che le forme quadratiche f,) = ef,) = 2 2 hanno curve di livello che sono circonferenze concentriche con centro l origine. La figura 12.2 mostra la costruzione delle curve di livello di f,) = a partire dal suo grafico come riportato in figura 8.18a). Si noti che l equazione in forma implicita = c definisce una circonferenza di raggio c, che è indiscutibilmente una curva. Poiché la funzione può avere solo valori non negativi, si tratta di circonferenze che hanno senso per valori positivi di c, e che si allargano al crescere del livello c; in altre parole esse rappresentano livelli via via crescenti, < c 1 < c 2 < c 3 < c 4. Osservando la figura 8.19a) è facile intuire che per f,) = 2 2 vale una costruzione analoga in cui le circonferenze rappresentano livelli negativi e si restringono al crescere del livello c. O c 1 c 2 c 3 c 4 z c 4 c 3 c 2 c 1 OSSERVAZIONE 12.1 Attenzione! Secondo la definizione 12.1, le curve che compaiono sui grafici non sono le curve di livello!!! Sono curve di livello la loro proiezione sul piano R 2. FIGURA 12.2: costruzione delle curve di livello di f,) = Quando è data la direzione di crescita dei diversi livelli c, le curve di livello sul piano R 2, pur essendo oggetti in due dimensioni, aiutano a farsi un idea dell andamento del grafico di f anche in mancanza di una rappresentazione tridimensionale. La figura 12.3 dovrebbe evidenziare questo aspetto. Quest osservazione non è affatto secondaria, dietro di essa si cela lo scopo finale del nostro percorso: trasformare oggetti tridimensionali in oggetti a due dimensioni in modo da poterli gestire con gli strumenti che già conosciamo per funzioni di una sola variabile. ESEMPIO Ricaviamo le curve di livello di f,) =, il cui grafico è riportato in figura 12.3a) esplicitandole come funzioni di una variabile, = ), dalla forma implicita: f,) = = c ) = c/, almeno per tutti i punti del dominio di f tali che. Deduciamo che le curve di livello sono tutte le iperboli che hanno come asintoti gli assi cartesiani. Dalla figura 12.3d) si vede che le curve di livello per c > sono iperboli nel primo e terzo ortante l iperbole equilatera per c = 1), mentre per c < sono iperboli nel secondo e quarto ortante. Le frecce indicano la direzione di crescita delle curve di livello secondo cui f assume livelli c via via più alti. 2. Studiamo le curve di livello di f,) = + il cui grafico è riportato in figura 12.3b). Il suo dominio naturale è R 2 + e la funzione assume valori non negativi, quindi dovrà essere c > il caso c = è ammissibile ma poco interessante). Esplicitiamo le curve di livello come funzioni di una variabile dall equazione implicita: + = c = c ) = c ) 2

4 248 Capitolo 12 avendo cura di scegliere c affinché la seconda equazione abbia senso. La figura 12.3e) mostra alcune di queste funzioni. La freccia indica la direzione di crescita delle curve di livello secondo cui f assume livelli c via via più alti. 3. Le curve di livello della funzione affine f,) = a+b+w con almeno uno dei parametri, a o b, diverso da zero, sono delle rette. La figura 12.3c) riporta il grafico di una funzione affine con a,b < e w >, mentre la figura 12.3f) mostra alcune curve di livello, dove, come sempre, la freccia indica la direzione di crescita secondo cui f assume livelli c via via più alti. Supponendo b esplicitiamo = ) dalla forma implicita: f,) = a+b+w = c ) = a/b)+c w)/b, a conferma che si tratta di funzioni affini lineari se c = w) di una variabile. z z O z O O a) b) c) d) e) f) FIGURA 12.3: a) grafico e d) curve di livello di f,) = ; b) grafico e e) curve di livello di f,) = + ; c) grafico e f) curve di livello dif,) = a+b+w, cona,b < e w >. Terminiamo questo paragrafo con una nota dolente. Già ci eravamo accorti che non tutte le forme implicite f, ) = c sono globalmente esplicitabili come funzioni di una sola variabile. Nell esempio 1.3 avevamo scoperto che le circonferenze non sono curve esplicitabili come funzioni di una variabile. E questo non è trascurabile se pensiamo che le curve di livello delle forme quadratiche definite positive e negative [figure 8.18a) e 8.19a)], molto attraenti dal punto di vista dell ottimizzazione, sono proprio delle circonferenze! Non solo, è evidente che nessuna forma quadratica definita possiede curve di livello esplicitabili, trattandosi di ellissi, anch esse non esplicitabili globalmente. Non possiamo immaginare di costruire una teoria dell ottimizzazione vincolata che escluda tali funzioni.

5 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 249 A rincarare la dose, esiste anche la possibilità che le curve di livello siano sì esplicitabili globalmente, ma solamente in astratto, essendo comunque impossibile ottenere una forma esplicita in forma chiusa. 2 Un esempio di questo tipo è la curva definita dalla forma implicita +ln+ = c; se da un lato è immediato esplicitare ) = c ln, ci rendiamo conto che non siamo capaci di esplicitare = )! Eppure, la derivata ) = 1 1/ è negativa per tutti i valori di ammissibili [Domf) = {,) R 2 : > } ], ovvero ) è strettamente monotona e quindi invertibile, e il Teorema 1.5 ci assicura che deve necessariamente esistere anche l altra funzione esplicita, = ); in effetti è proprio così, = ) esiste, ma non è esprimibile in forma chiusa. Fortunatamente, ancora una volta un angelo custode corre in nostro aiuto a dipanare la matassa. L angelo assume le sembianze delle due considerazioni seguenti. Abbiamo imparato dall analisi univariata che, se la funzione obiettivo non è concava, selezionare i punti di ottimo richiede un analisi locale, incentrata sullo studio della funzione obiettivo in un intorno dei punti critici, stazionari ecc.. Pertanto, ciò di cui abbiamo bisogno non è la possibilità di esplicitare globalmente su tutto il dominio di f) una curva di livello, bensì è sufficiente che ciò sia possibile solamente in un intorno piccolo) di alcuni punti incriminati che stanno sulla curva stessa. Ci rendiamo facilmente conto che, se ci concentriamo su un punto di una circonferenza e consideriamo il suo ingrandimento mediante una lente, ciò che vediamo è solo un pezzetto di circonferenza che, in scala ridotta, appare come il grafico di una funzione. Se pratichiamo quest operazione sui punti c,) e, c) di una circonferenza di raggio c, cioè sui punti in cui la curva che rappresenta la circonferenza è verticale e pertanto è precluso qualsiasi tentativo di estrarre una funzione del tipo = ), ci accorgiamo che in un intorno piccolo) di questi punti la curva è comunque esplicitabile, se non come = ), almeno come = ). Vedremo che non è necessario esprimere la funzione esplicita in forma chiusa; una volta appurata la sua esistenza, sarà sufficiente conoscerne la derivata Il Teorema della funzione implicita Il prossimo teorema soddisfa entrambe le esigenze di cui sopra: data una curva definita dalla forma implicita f,) = c, sotto opportune ipotesi per f in un intorno di un punto, ) appartenente alla curva ipotesi valide localmente, nelle vicinanze del punto stesso), esso stabilisce 1) l esistenza locale) di almeno una delle funzioni esplicite, = ) e/o = ), anche nei casi in cui non sia possibile esplicitarla/e analiticamente, e 2) fornisce il valore della sua derivata nel punto considerato, cioè ) e/o ), come funzione delle derivate parziali di f. TEOREMA 12.1 DELLA FUNZIONE IMPLICITA IN DUE VARIABILI) Dati una funzione f : R 2 R e un livello c R, consideriamo un punto, ) che soddisfi l equazione f, ) = c [, ) appartiene alla curva definita da f,) = c], e supponiamo che f sia differenziabile in un intorno di, ), cioè che esistano le derivate parziali prime f e f continue in un intorno di, ). 1. Se f, ), allora esiste la funzione esplicita = ) in un intorno I δ di tale che a) f [,)] = c per ogni I δ b) = ) c) ) è derivabile in con derivata continua, valendo ) = f, ) f, ). 12.2) 2 Scrivere una funzione in forma chiusa, o, equivalentemente, in forma analitica, significa esprimerla come composizione di funzioni elementari, come, ad esempio, ) = e ) ) ln1 1/) / ln /52.

6 25 Capitolo Se f, ), allora esiste la funzione esplicita = ), in un intorno I δ di tale che a) f [),] = c per ogni I δ b) = ) c) ) è derivabile in con derivata continua, valendo ) = f, ) f, ). 12.3) Al di là di stabilire l esistenza locale) della funzione esplicita, l importanza operativa del Teorema 12.1 risiede nelle formule 12.2) e 12.3) che forniscono il valore della sua derivata [la pendenza della curva di livello nel punto, )] in termini di derivate parziali di f. La parte difficile della dimostrazione di questo teorema è stabilire l esistenza e la derivabilità localmente) della funzione esplicita = ) [o = )], parte che ovviamente tralasciamo. Sapendo che la funzione esplicita esiste ed è derivabile, il calcolo della sua derivata, invece, si ricava facilmente utilizzando la regola 1.1. Supponiamo, ad esempio, che valgaf, ), ovvero che esista la funzione esplicita = ) e che sia derivabile in un intorno di, come stabilisce la prima parte del teorema. La restrizione della funzione f alla curva di livello definita dalla funzione implicita f,) = c in un intorno di, ) non è altro che la funzione composta h) = f [,)], cioè una funzione di una sola variabile. 3 Poiché stiamo studiando una proprietà della curva di livello, dobbiamo imporre un vincolo ben preciso a h): il livello h) = f [,)] = c deve rimanere costante al variare di, il movimento indotto dal variare della variabile a partire dal punto, ) deve farci restare al livello f,) = c, dobbiamo cioè rimanere in quota, senza salire o scendere. Ma questo non significa altro che la derivata h ) nel punto dev essere nulla. Calcoliamo questa derivata con la regola 1.1 e poniamola uguale a zero: h ) = f [, )]+f [, )] ) =, dove nel primo addendo vale ) = 1 perché si tratta della funzione identicat) = t. Dividendo per f [, )], otteniamo immediatamente la formula 12.2). Una procedura analoga porta alla 12.3) sotto l ipotesi f, ). OSSERVAZIONE 12.2 Le formule 12.2) e 12.3) implicano che quando esistono entrambe le funzioni esplicite, =) e =), in, ) le loro derivate in, ) sono una il reciproco dell altra. Questa non è una semplice coincidenza. Il Teorema 1.5, infatti, afferma che le due funzioni esplicite sono una l inversa dell altra, e nel paragrafo 1.5 abbiamo imparato che il grafico della funzione inversa si ottiene ruotando di 18 il grafico di f attorno alla bisettrice, a conferma che una funzione e la sua inversa hanno derivate che sono una il reciproco dell altra. Applichiamo il Teorema 12.1 al primo punto dell esempio 12.1 del paragrafo precedente. ESEMPIO 12.2 La funzione f,) = è differenziabile sul suo dominio naturale R 2 ; valef = e f = e pertanto, per il Teorema 12.1, se, cioè su tutti i punti, ) che non stanno sull asse delle ordinate, esiste la funzione esplicita = ) con derivata ) = f, )/f, ) = /. Ad esempio, il punto, ) = 1,1) appartiene alla curva di livello c = 1, dal momento che f 1,1) = 1, che in = 1 ha pendenza 1) = 1; il punto, ) = 1/3, 2) appartiene alla curva di livello c = 2/3 che in = 1/3 ha pendenza 1/3) = 6; mentre il punto, ) = 1,) appartiene alla curva di livello c = che in = 1 ha pendenza 1) =. Si noti dalle figure 12.3a) e 12.3d) che la curva di livello zero coincide con gli assi cartesiani, pertanto, poiché, in 3 Si pensi alle funzioni studiate nel paragrafo con la variabile al posto di t.

7 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 251 questo caso stiamo esplicitando l asse delle ascisse, cioè la funzione esplicita ) la costante nulla), che ha evidentemente ovunque derivata nulla. Analogamente, se, cioè su tutti i punti, ) che non stanno sull asse delle ascisse, esiste la funzione esplicita = ) con derivata ) = /, il reciproco di ) = /. Ad esempio, il punto, ) = 2,1/2) appartiene alla curva di livello c = 1 che in = 1/2 ha pendenza 1/2) = 4; mentre il punto, ) =, 3) appartiene alla curva di livello c = che in = 3 ha pendenza 3) =. Volendo cercare conferma grafica nella figura 12.3d), dobbiamo leggere le curve di livello come funzioni = ), ovvero dobbiamo invertire gli assi cartesiani; pertanto, nel punto, ) = 2,1/2) la funzione = 1/2) ha pendenza maggiore di 1, mentre se leggiamo la stessa curva di livello c = 1 come funzione = ) nello stesso punto la pendenza sarà minore di 1; analogamente, pendenza nulla della curva di livello zero nel punto, ) =, 3) significa che stiamo esplicitando l asse delle ordinate con la funzione esplicita ) la costante nulla), che ha ovunque derivata nulla se pensata come funzione di, mentre coincide con una retta verticale non esplicitabile) se pensata come funzione di. OSSERVAZIONE 12.3 I risultati dell ultimo esempio sono confermati dall approccio utilizzato nell esempio 12.1, dove avevamo ricavato direttamente la funzione esplicita ) = c/ per i punti, ) R 2 tali che. Osserviamo però un fatto interessante: derivando direttamente ) = c/, otteniamo l espressione ) = c/ 2, piuttosto diversa dall espressione ) = / fornita dal Teorema La spiegazione di questa apparente incongruenza è che i due approcci sono radicalmente distinti: esplicitare ) = c/ dalla forma implicita = c è una tecnica globale almeno per ) per ottenere una funzione di una variabile con tanto di variabile indipendente e variabile dipendente. Tutt altra cosa è l analisi locale del Teorema 12.1: esso stabilisce sì l esistenza locale) della funzione implicita e la sua derivabilità, ma nulla ci dice sull espressione analitica della sua derivata, si limita a fornire il valore della derivata nel punto. Non a caso, quando applichiamo il Teorema 12.1 utilizziamo la notazione puntuale ) = / riferita al punto, ), da non confondersi con una notazione del tipo ) = / che si riferirebbe, erroneamente, a un ipotetica funzione della variabile indipendente! Calcoliamo la derivata ) = c/ 2 sui tre punti dell esempio 12.2:, ) = 1,1) appartiene alla curva di livello c = 1, pertanto 1) = 1/1) 2 = 1;, ) = 1/3, 2) appartiene alla curva di livello c = 2/3, pertanto 1/3) = 2/3)/1/3) 2 = 6; infine,, ) = 1,) appartiene alla curva di livello c = e quindi 1) =. Tutti i valori puntuali trovati nell esempio 12.2 sono confermati dall analisi diretta: il Teorema 12.1 funziona! ESEMPIO 12.3 Studiamo la curva di livello c = 1 di f,) = nei quattro punti delicati 1,),,1), 1,) e, 1). Questa forma implicita rappresenta la circonferenza con centro l origine e raggio 1, curva non esplicitabile globalmente. Vale f = 2 e f = 2, pertanto, per il Teorema 12.1, le curve di livello della funzione sono localmente esplicitabili rispetto a entrambe le variabili nei punti con coordinate e e su tali punti vale ) = / e ) = /. In 1,) e 1,) f vale 2 e 2 rispettivamente), mentre f =, dunque esiste ) con derivata nulla in =, ) = ; si tratta dei punti in cui la retta tangente alla curva è verticale, ovvero è orizzontale rispetto alla funzione esplicita ), come mostra la figura Viceversa, in,1) e, 1) f = e f vale 2 e 2 rispettivamente), pertanto esiste ) con derivata nulla in =, ) = ; si tratta dei punti in cui la retta tangente alla curva è orizzontale, come mostra la figura , ),1), 1) FIGURA 12.4: rette tangenti alla curva di livello = 1 nei punti delicati. 1,) ESERCIZIO 12.1 Verificare che il punto, ) = 3,4) appartiene alla curva di livello c = 7 della funzione f,) = Stabilire se esiste la funzione esplicita = ) per la curva di

8 252 Capitolo 12 livello c = 7 in un intorno di, ) = 3,4) e, nel caso, calcolarne la pendenza. Ripetere l esercizio, se possibile, per la funzione esplicita = ). ESERCIZIO 12.2 Verificare che esistono entrambe le funzioni esplicite, = ) e = ), di tutte le curve di livello per f,) = + ln +. Fissata la coordinata = 1, ricavare la coordinata corrispondente del punto, ) =,1) appartenente alla curva di livello c = e calcolare la pendenza di tale curva di livello in,1) pensandola sia come = ) che come = ) Punti regolari e punti singolari Vediamo ora un esempio patologico di una curva che contiene un punto sul quale essa non è esplicitabile neanche localmente, ovvero un caso in cui non valgono le ipotesi del Teorema O a) c = 1 O b) FIGURA 12.5: a) grafico di f,) = e b) la sua curva di livelloc =. ESEMPIO 12.4 Studiamo la curva di livello c = di f,) = L origine, ) =,) appartiene a tale curva. Poiché f = e f = 2, vale f,) =,), entrambe le derivate parziali si annullano nel punto indagato e il Teorema 12.1 non è applicabile su tale punto. Perché = non è esplicitabile né come ) né come ) sull origine? La figura 12.5a) mostra il grafico di f con evidenziata in grassetto la curva di livello c =, curva riportata in dettaglio in figura 12.5b). La peculiarità di questa curva è che nell origine interseca se stessa. Qualsiasi intorno del punto, ) come quello evidenziato in grigio) contiene in realtà due curve distinte che rappresentano lo stesso livello c = ; in,) è dunque impossibile esplicitare come una sola funzione un oggetto che è composto da due funzioni diverse e per questo il Teorema 12.1 fallisce. L origine è un punto stazionario per la funzione dell esempio 12.4; è facile verificare che si tratta di un punto di sella. Ciò non è una coincidenza: la curva di livello che passa per un punto di sella ha la proprietà di intersecare se stessa in quel punto, come mostra la figura 12.5a). I casi problematici, comunque, non si limitano ai punti di sella: in generale si tratta di punti sui quali la curva di livello non è invertibile. La nostra scarsa propensione al masochismo ci invita a non approfondire oltre. Poiché il Teorema 12.1 presuppone che almeno una delle derivate parziali di f sia diversa da zero sul punto, ), la costruzione di casi patologici, di qualsiasi tipo, richiede necessariamente che, ) sia un punto stazionario per f, tale cioè che f, ) =,). Questa proprietà permette di circoscrivere l insieme dei punti malati in modo rigoroso. DEFINIZIONE 12.2 I punti, ) appartenenti alla curva definita dalla forma implicita f,) = c, con f differenziabile, tali che f, ),) si dicono punti regolari, mentre i punti, ) tali che f, ) =,) si chiamano punti singolari non regolari). Un punto stazionario per f, affinché sia singolare, deve stare su una sua curva di livello. Negli esempi del capitolo 11 abbiamo visto che le funzioni alla nostra portata hanno un numero esiguo di punti stazionari; ci vuole molta sfortuna per incontrare curve di livello passanti proprio per uno di essi! L esempio 12.4 ammette solamente due punti stazionari, come si vede dalla figura 12.5, di cui solamente l origine è irregolare per la curva di livello c = ; l altro, 2/3,), è un punto di massimo relativo e quindi non ci sono curve di livello passanti per quel punto.

9 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 253 ESERCIZIO 12.3 Verificare che il punto, ) = 1,) appartiene alla curva di livello c = di f,) = È applicabile il Teorema 12.1 su tale punto? Se si, quale delle due funzioni, = ) o = ), è esplicitabile? Qual è la pendenza della curva in quel punto? Curve di livello e gradiente Menzioniamo una proprietà geometrica che lega la pendenza di una curva di livello in un punto regolare), ) al gradiente di f calcolato nello stesso punto, f, ). Questa proprietà fornirà la chiave di lettura per interpretare i risultati sull ottimizzazione vincolata. f,) = c TEOREMA 12.2 Si consideri la curva definita dalla forma implicita f, ) = c, con f differenziabile, e sia, ) un punto regolare di tale curva, cioè tale che f, ),). Allora, il vettore che rappresenta il gradiente f, ) è perpendicolare alla curva f,) = c nel punto, ). La figura 12.6 illustra il Teorema 12.2: il vettore gradiente f, ) = f, ),f, )), le cui coordinate sono le derivate parziali di f in, ), è perpendicolare alla retta tangente in grigio) alla curva definita da f,) = c in nero); poiché tale retta rappresenta la pendenza della curva in, ), ha senso dire che f è perpendicolare alla curvaf,) = c in, )., ) f FIGURA 12.6: curva di livello e gradiente. Essendo, ) regolare per la curva f,) = c, il Teorema 12.1 vale su tale punto assicurando così l esistenza della retta tangente. Se f, ), la pendenza della retta tangente in, ) è = f /f [omettiamo gli argomenti, ) per semplicità]; pertanto, un vettore rappresentante la direzione parallela alla retta stessa è v = 1, f /f ). Poiché il prodotto scalare v f è nullo, v f = 1, f /f ) f,f ) = f f =, per il Teorema 8.1 i vettori v e f sono fra loro perpendicolari, e il Teorema 12.2 è dimostrato. Se, ) non è regolare, la retta tangente alla curva in quel punto non esiste e non ha dunque senso parlare di perpendicolarità rispetto alla curva. Nel punto singolare dell esempio 12.4 si intersecano due curve di livello distinte: non è possibile determinare la retta tangente che dev essere unica). D altra parte, in un punto singolare f =, ), e quindi non esiste nemmeno la rappresentazione vettoriale del gradiente il segmento orientato collassa a un punto). La figura 12.7 completa la figura 1.11 con le informazioni del Teorema 12.2: la direzione di massima pendenza di f in uscita da, ) è perpendicolare alla curva di livello passante per, ). Camminando su di un sentiero in quota lungo il fianco di una montagna, se volessimo arrampicarci direttamente verso la cima, la direzione da prendere sarebbe per forza perpendicolare al sentiero., ) f f,) = c FIGURA 12.7: direzione di massima pendenza e perpendicolarità alla curva di livelloc Funzioni implicite nel caso di n variabili Per una funzione di n variabili, f : R n R, la forma implicita f ) = f 1,..., n ) = c individua ancora la curva di livelloc. Ad esempio, la curva di livello1dif,,z) = z 2, definita da z 2 = 1, è la sfera di raggio 1 con centro l origine di R 3 ; come per l analoga in due variabili, essa non è globalmente esplicitabile. L equazione + 2 3z = 4 definisce la curva di livello 4 della funzione lineare f,,z) = + 2 3z; come in R 2, le funzioni lineari

10 254 Capitolo 12 sono globalmente esplicitabili: esplicitando z = z,) = /3+2/3) 4/3, che è una funzione affine di due variabili, ci rendiamo immediatamente conto che la curva di livello è un piano inr 3. Le funzioni di n variabili, con n > 3, hanno curve di livello che chiameremo in astratto ipersuperfici, poiché sono oggetti invisibili ai nostri occhi. Si tratta di sottoinsiemi dello spazio R n di dimensione n 1 che, localmente, si comportano come R n 1, nel senso che i loro punti possono essere identificati mediante un sistema di n 1 coordinate e su di essi ci si può muovere rispetto a n 1 direzioni indipendenti si riveda il paragrafo 8.1). Non approfondiamo questi aspetti delicati limitandoci ad osservare che le curve di livello delle funzioni di due variabili, f,), sono ipersuperfici di dimensione 2 1 = 1, ovvero curve vere e proprie in R 2, e le curve di livello delle funzioni di tre variabili, f,,z), sono ipersuperfici di dimensione 3 2 = 2, ovvero superfici ordinarie in R 3 ; queste ultime si vedono bene quando si può esplicitare una variabile in funzione delle altre due, ad esempio z = z,), essendo il grafico di z,) una superficie inr 3. Quando dalla forma implicita f ) = f 1,..., n ) = c 12.4) si può esplicitare una variabile in funzione delle altren 1, i = i 1,..., i 1, i+1,..., n ), la 12.4) definisce i come funzione implicita delle n 1 variabili 1,..., i 1, i+1,..., n. Sappiamo che spesso ciò non è possibile globalmente; come nei paragrafi precedenti ci accontentiamo di poterlo fare localmente, in un intorno di un punto appartenente alla curva definita dalla 12.4). Il prossimo teorema estende il Teorema 12.1 anvariabili. TEOREMA 12.3 DELLA FUNZIONE IMPLICITA IN n VARIABILI) Data f : R n R e un livello c R, consideriamo un punto = 1 n) ),..., che soddisfi l equazione f = c [ appartiene alla curva definita da f ) = c]. Supponiamo inoltre che f sia differenziabile in un intorno di. Se f ) i, allora esiste la funzione esplicita i : R n 1 R, i = i 1,..., i 1, i+1,..., n ), in un intorno I di 1,..., i 1, i+1 n),..., tale che 1. f [ 1..., i 1, i 1,..., i 1, i+1,..., n ), i+1,..., n ] = c per ogni 1,..., i 1, i+1,..., n ) I 2. i = ) i 1,..., i 1, i+1,..., n 3. i 1,..., i 1, i+1,..., n ) è differenziabile in 1,..., i 1, i+1 n),..., e per ogni j i i 1,..., i 1, i+1,..., ) f ) j n = j f i ). I punti appartenenti alla curva definita dalla forma implicita f ) = c, con f differenziabile, tali che f ),...,) si dicono punti regolari, mentre i punti tali che f ) =,...,) si chiamano punti singolari non regolari). In altre parole, i punti singolari sono tutti e soli i punti che sono stazionari per f e stanno su una curva di livello di f. Se tutti i punti di una curva di livello sono regolari f ) = c, si dice che tale curva è un ipersuperficie regolare, o una varietà n 1-dimensionale di R n ; ciò significa sostanzialmente che si tratta di un ipersuperficie che si comporta bene : non interseca se stessa, non presenta escrescenze appuntite, ecc. Non approfondiamo le patologie gravi delle ipersuperfici. Infine, poiché i vettori di qualsiasi dimensione n sono rappresentabili geometricamente mediante un segmento orientatato, il Teorema 12.2 assume significato anche in spazi R n di dimensione n > 2. TEOREMA 12.4 Se è un punto regolare della curva ipersuperficie) definita dalla forma implicita f ) = c, con f differenziabile, cioè se f ),...,), allora, il vettore che rappresenta il gradiente f ) è perpendicolare all ipersuperficie nel punto.

11 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 255 In questo caso con f ) perpendicolare all ipersuperficie si intende f ) perpendicolare all iperpiano tangente all ipersuperficie nel punto. ESERCIZIO 12.4 Si consideri f,,z) = +ln +z. 1. Dopo aver verificato che,,z ) =,1,) appartiene alla curva di livello c = 1, stabilire quali delle funzioni esplicite, z = z,), =,z) o =,z), esistono per la curva di livello c = 1 in un intorno di,,z ) =,1,) e, nel caso, calcolarne il gradiente. 2. Dati = 1 e = 1, ricavare la coordinata corrispondente z del punto,,z ) = 1,1,z ) appartenente alla curva superficie) di livello c = 2 e calcolare il gradiente del piano tangente su tale punto utilizzando tutte le funzioni esplicite possibili Il problema vincolato in due variabili Affrontiamo il problema vincolato in due variabili 12.1) che qui riportiamo: ottf,) subg,) = b, dove il vincolo V è rappresentato dall uguaglianza che definisce la curva di livello b di g,), 12.5) V = {,) R 2 : g,) = b, b R }. 12.6) DEFINIZIONE 12.3 Diremo che, ) è un punto di massimo minimo) assoluto vincolato stretto proprio) per il problema 12.5) se f,) < f, ) >) 12.7) per ogni,) X V, dove X è il dominio di f e V è il vincolo definito in 12.6). In altre parole, la disuguaglianza 12.7) deve valere solamente per i punti che stanno contemporaneamente nel dominio di f e sulla curva definita implicitamente dall equazione g,) = b. DEFINIZIONE 12.4, ) si dice punto di massimo minimo) relativo vincolato stretto proprio) per il problema 12.5) se esiste un intorno I δ del punto, ), ) tale che la 12.7) vale per ogni,) I δ, ) V; in questo caso la disuguaglianza 12.7) deve valere solamente per i punti,) che stanno contemporaneamente nell intorno I δ, ) e sulla curva definita da g,) = b. Le definizioni di punto estremo debole si ottengono dalle precedenti sostituendo la disuguaglianza stretta in 12.7) con la disuguaglianza debole. g,) = b Interpretazione geometrica dei punti di ottimo vincolato La figura 12.8 mostra un esempio di vincolo costituito da una curva definita dalla forma implicita g,) = b. Il tratto in grassetto della curva è l insieme I δ, ) V usato nella definizione 12.4 per caratterizzare il punto estremo, ), cioè l insieme dei punti,) che stanno nell intorno I δ, ) e contemporaneamente soddisfano il vincolo V definito da g, ) = b., ) δ FIGURA 12.8: I δ, ) V. Il fatto che il vincolo sia formato da una curva suggerisce l idea chiave su cui si basa la tecnica di risoluzione del problema vincolato 12.5): sfruttando la costruzione di funzione composta sviluppata nel paragrafo siamo in grado di trasformare il problema in due variabili 12.5) in un problema equivalente in una sola variabile; si tratta di restringere la funzione obiettivo f alla curva g, ) = b in modo da ottenere una funzione di una sola variabile del tipo illustrato in figura 1.6).

12 256 Capitolo 12 ma libero ma vincolato, ) a+b +c = a) ma vincolato, ) FIGURA 12.9: a) ma vincolato e ma libero; b) dettaglio bidimensionale della curva evidenziata in a), ovvero riduzione a un problema univariato. b) Prima di studiare questa trasformazione in dettaglio, illustriamo graficamente il concetto di punto di massimo vincolato. In figura 12.9a) è disegnato il grafico di una funzione di due variabili f,) e, sul piano orizzontale a livello zero, il vincolo rappresentato da una retta in grigio) definita implicitamente dalla curva di livello b = di una funzione affine g, cioè dall equazione g,) = a+b +c =. La restrizione del grafico di f al vincolo è la curva evidenziata in nero che si trova sul grafico di f sopra la retta a + b + c =. Dalla figura 12.9a) si vede che, ) è un punto di massimo vincolato distinto dal punto di massimo libero. La figura 12.9b) mostra il dettaglio della restrizione del grafico di f al vincolo, ovvero la riduzione del problema di massimo vincolato in due variabili a un problema di massimo in una sola variabile. Il vincolo lineare in figura 12.9a) è un caso del tutto particolare in cui è possibile trasformare il problema 12.5) direttamente nel problema in una sola variabile rappresentato in figura 12.9b), dove è il vincolo ad assumere il ruolo di asse delle ascisse nella rappresentazione grafica bidimensionale [l intersezione fra il piano verticale individuato dalla retta a+b +c = e il grafico di f,)]. Se il vincolo è una curva vera e propria quest operazione non è possibile; il principio però rimane valido: anche se si tratta di una curva in tre dimensioni il serpente di figura 1.6), nessuno ci vieta di interpretarla come il grafico di una funzione di una sola variabile, anche se in questo caso, diversamente dalla sobrietà di comportamento a cui la variabile indipendente ci aveva abituato muovendosi sur, la variabile indipendente ha bevuto un po e non riesce a mantenere una traiettoria rettilinea Metodo per sostituzione L idea di trasformare la funzione obiettivo di due variabili in una funzione di una sola variabile è semplicemente geniale. La costruzione della funzione composta di una sola variabile ht) = f [t),t)] presuppone però che la curva definita dalle due funzioni t) et) sia ben definita. Nel problema 12.5) la curva in questione è definita implicitamente dall equazione g, ) = b, e abbiamo già speso abbastanza parole per avvertire che le funzioni implicite spesso risultano poco maneggevoli. In questo breve paragrafo fingeremo di vivere nel migliore dei mondi possibile, quello in cui dalla forma implicita g,) = b è possibile esplicitare globalmente una delle due funzioni, = ) e/o = ). Questo al solo fine di illustrare la portata dell idea di fondo: la trasformazione di 12.5) in un problema equivalente in una variabile sola. Il metodo per sostituzione si basa sulla sostituzione del vincolo direttamente nella funzione obiettivo f, ), rimpiazzando una delle due variabili o con la rispettiva funzione esplicita ) o ) e ottenendo così una nuova funzione obiettivo composta) che dipende da una variabile sola. Sono evidenti i limiti di questo approccio: esso è inapplicabile tutte le volte che il vincolo g, ) = b non è globalmente esplicitabile come funzione di una variabile in forma chiusa o analitica), casi peraltro, come abbiamo visto, tutt altro che infrequenti. Inoltre, pur consentendo l effettiva

13 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 257 risoluzione di un problema vincolato quando ciò è possibile, si tratta di un metodo grossolano in quanto non racconta nulla sulle implicazioni economiche del modello sottostante. Torniamo al nostro mondo ideale e assumiamo che la curvag,) = b rappresentante il vincolo in 12.5) sia globalmente!) esplicitabile, ovvero supponiamo che esista in forma chiusa!) la funzione di una variabile = ) [oppure = )]. Allora basta sostituire tale funzione nel secondo o primo) argomento di f, ) e ottenere automaticamente un problema di massimo in una sola variabile con una nuova funzione obiettivo composta) h : R R definita da h) = f [,)] oppure ĥ) = f [),] vincolata al dominio della funzione = ) [oppure = )]. Se, ad esempio, supponiamo che esista globalmente) = ), il problema 12.5) viene trasformato nel problema equivalente in una variabile otth) = f [,)] sub Dom[)]. che sappiamo risolvere con gli strumenti dell analisi univariata. ESEMPIO 12.5 Risolviamo il seguente problema vincolato: ott 4 2 2) sub + = 2. La funzione obiettivo è definita su tutto R 2, e il vincolo è una retta globalmente esplicitabile: = 2 ) che è un insieme non compatto. Quindi il Teorema di Weierstrass Teorema 11.1) non è applicabile. Con il metodo descritto sopra trasformiamo il problema dato in un problema di massimo in una variabile; poiché il vincolo è una retta, cioè un insieme illimitato, il nuovo problema in una variabile sarà un problema di massimo libero, cioè vincolato al dominio della retta = 2, che è tutto R! Sostituendo = 2 nel secondo argomento della funzione obiettivo otteniamo il nuovo problema libero non vincolato) nella sola variabile : [ ott ) 2] = ott ). La derivata prima è h ) = 4+4 che si annulla in = 1, l unico punto stazionario per questo problema non ci sono punti di frontiera). Calcolando la derivata seconda, h ) = 4 <, scopriamo che h è strettamente concava e quindi deduciamo che = 1 è l unico punto di massimo assoluto) per il problema in una variabile e, essendo V non compatto, non c è nient altro. Per trovare la soluzione del problema originale calcoliamo la seconda coordinata del punto di massimo tramite l equazione del vincolo originale, che dev essere soddisfatta nel punto di massimo: da = 2 = 2 1 = 1 ricaviamo l unico punto di massimo assoluto, ) = 1,1). Se il vincolo non è globalmente esplicitabile ci troviamo in un vicolo cieco. Il metodo descritto a partire dal prossimo paragrafo ha portata generale, funziona sotto ipotesi molto deboli valide in tutte le applicazioni economiche e costituisce il cuore della teoria economica Il Teorema di Lagrange in due variabili Il propulsore del prossimo risultato è il teorema della funzione implicita. Ricordiamo che il teorema non funziona quando la curva g, ) = b contiene punti singolari. Nella sfortunata e rara eventualità di incontrare punti singolari, essi andranno aggiunti ad una lista di punti critici per analizzarli separatamente, alla stregua dei punti di frontiera per i problemi univariati regola 6.1).

14 258 Capitolo 12 Forniremo condizioni necessarie e non sufficienti per punti estremi di 12.5). Essendo il vincolo sempre un insieme chiuso dir 2, basta che esso sia limitato per applicare un metodo analogo a quello del paragrafo 6.5 per problemi univariati. In questo contesto, condizioni necessarie del primo ordine sono tutto ciò che ci serve per identificare i punti estremi assoluti, non serve nient altro. Il calcolo si basa sullo stesso principio illustrato nel paragrafo precedente, però senza l ambizione di affrontare il problema in modo globale, bensì sfruttando il valore numerico della pendenza della curva g,) = b nel punto, ) fornito dalla formula 12.2) [o dalla 12.3)]. In questo senso, seguiremo un approccio locale. Poiché stiamo cercando condizioni necessarie, ovvero vogliamo stabilire un risultato analogo al Teorema di Fermat Teorema 11.2) per l ottimizzazione libera, il punto, ) in questione sarà un punto estremo che soddisfa la definizione 12.4). Se valgono le ipotesi del Teorema 12.1 nel punto, ),g,) = b è esplicitabile localmente mediante una o entrambe) delle due funzioni = ) e = ), e tale funzione è derivabile in, ). Senza perdere generalità, supponiamo che g, ) ; allora esiste = ) in un intorno di e ) = g, )/g, ). L esistenza di = ) ci permette di sostituire tale funzione nel secondo argomento della funzione obiettivo f, ) e trasformare 12.5) in un problema univariato con funzione obiettivo composta) h : R R definita da h) = f [, )], esattamente come avevamo fatto nell esempio La differenza fondamentale rispetto a tale esempio è che ora si tratta di un problema libero definito in un intorno che magari è molto piccolo ma sicuramente è un insieme aperto) di. Inoltre sappiamo che è la soluzione di tale problema: è un punto estremo per la funzione di una variabile h, e quindi vale il Teorema di Fermat in una variabile Teorema 6.2) che stabilisce la condizione del primo ordine h ) =. Sotto l ipotesi che anche la funzione obiettivof sia differenziabile in un intorno di, ), possiamo applicare la regola 1.1 alla funzione composta h) = f [,)] nel punto stazionario : h ) = f [, )]+f [, )] ) =, che, poiché ) = punto 1b del Teorema 12.1), riscriviamo come f, )+f, ) ) =, dalla quale, sostituendo ) = g, )/g, ) [formula 12.2], otteniamo f, ) f, ) g, ) =. 12.8) g, ) Se indichiamo con λ il rapporto f, )/g, ), se poniamo cioè λ = f, ) g, ), 12.9) e sostituiamo in 12.8) otteniamo f, ) = λg, ), che associata alla 12.9), opportunamente riscritta, porta alla coppia di condizioni del primo ordine per il problema 12.5) { f, ) = λg, ) 12.1) f, ) = λg, ). Quasi senza accorgercene, abbiamo appena dimostrato il prossimo teorema. Prima di enunciarlo formalmente, alcune osservazioni sono d obbligo.

15 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza Ripercorrendo gli stessi passaggi sotto l ipotesi g, ) e ponendo λ =f, )/ g, ) nell ultimo passaggio, ciò che otteniamo sorpresa!) è ancora una volta il sistema 12.1). Questo significa che le condizioni 12.1) valgono in tutti i casi in cui è possibile applicare il Teorema 12.1 al vincolo g, ) = b, a prescindere da quale delle due funzioni, = ) oppure = ), sia esplicitabile; ovvero è sufficiente che esista soltanto una delle funzioni esplicite, non sono necessarie entrambe. In particolare, se la curva che esprime il vincolo è verticale in, ), ) non esiste, ma ) sì e ha pendenza ) = g, )/g, ) =, da cui segue g, ) =, che, sostituito nella seconda equazione in 12.1), porta a f, ) = [mentre f, ) = λg, ) ], situazione del tutto plausibile. In effetti, anche nei punti in cui la curva ha pendenza verticale, il vincolo si comporta bene in quanto rimane comunque una curva derivabile. 2. In nessuno dei passaggi svolti abbiamo utilizzato informazioni sulla funzione obiettivo f: tutte le ipotesi fatte riguardano il vincolo g,) = b. Per quanto riguarda f, l unica richiesta è che f sia differenziabile, per poter applicare la regola regola della catena e calcolare la derivata della funzione composta h) = f [,)] in. La tentazione di dividere entrambi i termini della 12.8) per f, ) era forte, ma ci siamo guardati bene dal farlo perché questo avrebbe richiesto, oltre all ipotesi g, ), l ipotesi aggiuntiva f, ). Quest ultima non è necessaria per pervenire alle 12.1), che, come abbiamo visto al punto precedente, funzionano benissimo anche quando f, ) =. 3. Se, oltre a g, ), ipotizziamo anche f, ), siamo in grado di comprendere appieno l intuizione geometrica sottostante al prossimo Teorema In questo caso possiamo effettivamente dividere entrambi i termini della 12.8) per f, ) ottenendo f, ) f, ) = g, ) g, ) ) Se moltiplichiamo entrambi i termini della 12.11) per 1 ci rendiamo conto che la pendenza della curva rappresentante il vincolo nel punto, ) è la stessa della curva di livello di f passante per il punto, ). Se indichiamo con c il livello definito dal valore assunto da f in, ), c = f, ), la curva di livello di f passante per, ) è definita dall equazione f,) = c. Riassumendo: se g, ) e f, ), le curve g,) = b il vincolo) ef,) = c hanno la stessa pendenza nel punto, ), ovvero, sono parallele in, ), ossia sono tangenti nel punto, ). 4 La 12.11) comprende anche il caso in cui g, ) =, da cui segue f, ) = : entrambe le curve g,) = b ef,) = c sono orizzontali e quindi tangenti in, ). Verifichiamo infine che anche quando g, ) = la condizione di tangenza è rispettata. Poiché vale il Teorema 12.1, in questo caso g, ) e le condizioni 12.1) valgono ancora; da esse deduciamo che anche f, ) =, ovvero entrambe le curve g,) = b ef,) = c sono verticali e, ancora una volta, tangenti in, ). 5 4 Essendo g e f differenziabili e, ) un punto regolare per entrambe [perché g, ) e f, ) ], si tratta di curve lisce senza spigoli) che non intersecano se stesse. Ha pertanto senso parlare di tangenza. 5 Se ripercorriamo i passaggi precedenti con g, ), sotto l ipotesi restrittiva, ma utile ai fini interpretativi) che anche f, ), perveniamo a f, ) f = g,), ) g,, ) che è equivalente alla 12.11) in quanto considera i reciproci dei rapporti.

16 26 Capitolo 12 Concludendo, le condizioni del primo ordine 12.1) per il problema vincolato 12.5) caratterizzano nel modo più generale possibile il punto estremo, ) come punto di tangenza fra il vincolo g,) = b e la curva di livello c = f, ) della funzione obiettivo f, includendo i punti di tangenza orizzontale e verticale. Formalizziamo questa proprietà fondamentale. TEOREMA 12.5 LAGRANGE I) È dato il problema 12.5) dove entrambe le funzioni f funzione obiettivo) e g vincolo) sono differenziabili. Sia, ) un punto di massimo o minimo relativo per 12.5) che sia un punto regolare per il vincolo g,) = b, cioè tale che g, ),). Allora esiste un moltiplicatore λ R che soddisfa le condizioni 12.1): { f, ) = λg, ) 12.12) f, ) = λg, ). ma vincolato f,) < c f,) = c f,) > c B f,) < c f,) = c f,) > c, ) A, ) g,) = b g,) = b a) b) FIGURA 12.1: a) il punto di ma vincolato, ) è il punto di tangenza tra la curva di livello f,) =ceil vincolog,) = b; b) dettaglio di un intorno del punto di tangenza, ). La figura 12.1 illustra il punto di massimo vincolato, ) di un esempio simile a quello riportato in figura 12.9a) in cui si evidenzia la condizione necessaria) di tangenza fra le curve di livello. Nella figura 12.1a) sono rappresentate in nero) tre curve di livello della funzione obiettivo f e la loro proiezione in quota sul grafico di f. Quella centrale è la curva definita dal valore raggiunto da f in, ), il livello c = f, ), ed è tangente al vincolo g,) = b la retta grigia) nel punto, ); le altre due curve rappresentano rispettivamente un livello inferiore e un livello superiore a c e vengono indicate sinteticamente con le disuguaglianze f,) < c e f, ) > c. La figura 12.1b) riporta un ingrandimento dell area intorno al punto di ottimo vincolato e di tangenza), ) sul piano R 2. In essa si vede chiaramente che la curva di livello superiore, f, ) > c, indica un livello troppo elevato, incompatibile con il vincolo; nessun punto su tale curva interseca il vincolo, ovvero nessun punto della curva è ammissibile per il problema vincolato 12.5). La curva di livello inferiore f, ) < c, diversamente, interseca il vincolo in due punti, A e B; cionondimeno nessuno di questi punti può essere soluzione del problema vincolato 12.5) perché a sinistra e in alto) rispetto a tale curva esistono altre curve di livello che intersecano anch esse il vincolo contengono cioè punti ammissibili per il problema) ma rappresentano valori livelli) di f maggiori. Esistono altri punti ammissibili per il problema sui quali f assume valori

17 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 261 superiori a quelli in A e B: A e B non soddisfano la definizione La figura 12.1 illustra geometricamente la massimizzazione vincolata come individuazione della curva di livello più alta della funzione obiettivo f che tocchi la curva definita dal vincolo g, ) = b. Tale curva è necessariamente tangente alla curva g, ) = b perché, se la intersecasse, esisterebbero curve riferite a livelli superiori per la funzione obiettivo anch esse intersecanti il vincolo Il moltiplicatore di Lagrange Il numero λ che compare nella condizione 12.12) si chiama moltiplicatore di Lagrange e, se g, ), è pari al rapporto f, )/g, ), come abbiamo stabilito in 12.9), mentre, se g, ), è pari al rapporto f, )/g, ). Se g, ) e g, ) contemporaneamente, entrambi i rapporti fra le corrispondenti derivate parziali di f e di g sono uguali fra loro e il loro valore comune è proprio λ: f, ) g, ) = f, ) = λ ) g, ) Il moltiplicatore di Lagrange può essere pensato come a un parametro o variabile, come vedremo tra breve) accessorio introdotto per ottenere la condizione di tangenza più generale possibile: la 12.12). La condizione 12.12) può essere scritta in forma vettoriale come f, ) = λ g, ), 12.14) da cui si vede che sul punto di ottimo vincolato,, ), il gradiente della funzione obiettivo, f, ), è uguale alla moltiplicazione scalare fra il gradiente del vincolo, g, ), e lo scalare λ. Questo significa che i vettori f e g sono paralleli sono proporzionali, giacciono sulla stessa retta) nel punto, ). Sappiamo dal paragrafo che il gradiente di una funzione è un vettore perpendicolare alla curva di livello che passa per il punto sul quale il gradiente è calcolato Teorema 12.2); se f e g sono paralleli nel punto, ) deduciamo che necessariamente anche le curve f,) = c e g,) = b entrambe perpendicolari a f e g devono essere parallele tangenti) in f,) = c f,) = c, ) in quel punto, a conferma di quanto già dimostrato. g La figura illustra i due casi possibili: in, ) f g, ) a) i vettori f e g giacciono sulla stessa retta e puntano nella medesima direzione, in b) essi giacciono ancora sulla stessa retta ma puntano f in direzioni opposte. In base alla 12.14) deduciamo che i vettori f e g puntano nella medesi- g,) = b g,) = b a) b) ma direzione se λ >, mentre puntano in direzioni opposte se λ <. Il moltiplicatore, dunque, può assumere valori sia positivi che negativi in circostanze rarissime può anche essere nullo). FIGURA 12.11: gradienti paralleli, a) stesso verso, b) verso opposto Metodo del Lagrangiano per problemi con vincolo compatto Il Teorema 12.5 stabilisce che un punto di ottimo, ) per il problema vincolato 12.5) deve soddisfare due condizioni: 1) deve appartenere alla curva che definisce il vincolo, cioè deve valere