FUNZIONE DI UTILITÀ CURVE DI INDIFFERENZA (Cap. 3)

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1 FUNZIONE DI UTILITÀ CURVE DI INDIFFERENZA (Cap. 3) Consideriamo un agente che deve scegliere un paniere di consumo fra quelli economicamente ammissibili, posto che i beni di consumo disponibili sono solo due, il bene 1 ed il bene 2, le cui quantità sono espresse dalle variabili x 1 ed x 2 rispettivamente. Se la sua psicologia verifica i tre vincoli di egoismo, non sazietà e convessità delle preferenze, l utilità che l agente deriva dal consumo dei due beni è una funzione strettamente crescente delle quantità consumate di ciascun bene. Misuriamo l utilità dell agente, sulla base di un unità di misura arbitrariamente scelta, come un numero reale che può variare fra 0 ed e consideriamo la rappresentazione della sua funzione di utilità in termini di CURVE DI INDIFFRENZA Per curva di indifferenza si intende il luogo geometrico dei panieri nell insieme di consumo che sono indifferenti per il consumatore. Questa definizione può essere facilmente illustrata sulla base del grafico seguente. x 2 20 a w b x 1 Figura 2.1 1

2 Nel grafico le quantità dei beni che compongono i panieri dell insieme di consumo sono indicate sull asse verticale (bene 2) e sull asse orizzontale (bene 1). Nel quadrante positivo sono inoltre indicati tre punti, corrispondenti a tre diversi panieri. Il consumo dei panieri a e b comporta per l agente uno stesso livello di utilità, pari a 100; i due panieri sono perciò per lui indifferenti, cioè a I b. Il consumo del paniere w comporta per l agente un livello utilità pari a 140, perché il paniere è composto da quantità maggiori sia del bene 1 che del bene 2, rispetto ad entrambi i panieri a e b. Il vincolo di non-sazietà implica che la variazione dell utilità dell agente è maggiore di zero, se le variazioni delle quantità consumate dei beni 1 e 2 sono maggiori di zero. Poiché l utilità del consumo del paniere a o del paniere b è espressa dal numero 100, mentre quella derivante dal consumo del paniere w è espressa dal numero 140, possiamo affermare che w S a e w S b. Supponiamo ora di avere individuato nell insieme dei consumi possibili tutti i panieri il cui consumo comporta per l agente un livello di utilità pari a 100 e che, perciò, sono per lui indifferenti rispetto ai panieri a e b. In base alle ipotesi formulate nel corso delle precedenti lezioni sull insieme di consumo e sulle preferenze dell agente, il luogo dei punti di questi panieri, esattamente buoni quanto a e b, è una linea, come quella associata nel grafico al livello di utilità 100. Questa linea è detta curva di indifferenza. In modo del tutto analogo possiamo individuare il luogo dei punti corrispondenti a panieri esattamente buoni quanto w. Anche questo luogo dei punti è una linea, come quella che nel grafico passa per il punto w, alla quale è associato il livello di utilità 140. Anche questa linea è una curva di indifferenza. Poiché il livello di utilità 140 è associato ad un consumo 2

3 maggiore di entrambi i beni, rispetto ai panieri sulla curva di indifferenza corrispondente all utilità 100, questa curva di indifferenza sarà più lontana dall origine degli assi, corrispondente ad un livello nullo di consumo di entrambi i beni e quindi ad un livello di utilità pari a zero. L insieme di tutte le possibili curve di indifferenza dell agente, corrispondenti a livelli crescenti di utilità, procedendo dall origine verso l alto a destra, costituisce la sua MAPPA DI INDIFFERENZA. In base ai vincoli imposti alla psicologia del consumatore possiamo affermare che le curve di indifferenza 1. non possono intersecarsi (assiomi di razionalità delle preferenze e vincolo di non sazietà); 2. sono inclinate negativamente (vincolo di non sazietà); 3. sono insiemi convessi (vincolo di convessità delle preferenze). La proprietà 1 è dimostrabile intuitivamente perché, se le curve di indifferenza si intersecassero, lo stesso paniere comporterebbe due livelli di utilità diversi. La proprietà 2 può essere dimostrata con il seguente ESEMPIO 1 Consideriamo due diversi panieri a(l,m) e b(n,p), indifferenti per il consumatore, cioè tali che. In base all ipotesi non sazietà i due panieri sono indifferenti solo se n > l e p < m, oppure n < l e p > m, perché se la quantità di uno dei due beni fosse maggiore in un paniere e quella dell altro bene non fosse inferiore, il paniere con la quantità maggiore sarebbe strettamente preferito all altro. Poiché questo è vero per 3

4 qualsiasi coppia di panieri, le curve di indifferenza devono essere inclinate negativamente. Per quanto attiene alla proprietà 3, se le preferenze dell agente sono convesse e se, cioè se i due panieri a e b sono due punti della stessa curva di indifferenza, e noi consideriamo un terzo paniere c, ottenuto come, allora deve essere c R a e c R b. Ma, se l utilità di c deve essere uguale a, o maggiore di quella di a e b, allora il paniere c può essere o un punto sulla stessa curva di indifferenza (rettilinea come il segmento tracciato in rosso nella figura 21), oppure un punto su una curva di indifferenza più lontana dall origine degli assi. Quindi le curve di indifferenza devono essere convesse. Nel corso delle lezioni successive assumeremo prevalentemente che per il paniere c valgano le relazioni di preferenza stretta, c S a e c S b. Questo implica che le curve di indifferenza hanno la convessità rivolta verso l origine degli assi, come le curve tracciate in nero nella figura 2.1. Si dice, in questo caso, che le preferenze del consumatore sono strettamente convesse. Consideriamo nuovamente i panieri a e b della figura 2.1 e definiamo, Poiché a e b sono due punti appartenenti alla stessa curva di indifferenza, x 1 e x 2 hanno segno diverso, in particolare, in questo caso, x 1 > 0 e x 2 < 0. Si definisce saggio marginale di sostituzione, o SMS il seguente rapporto 4

5 , che misura il rapporto al quale il consumatore è disposto a scambiare il bene 2 con il bene 1, in un dato punto della curva di indifferenza. Immaginiamo ora che il punto b si avvicini progressivamente al punto a lungo la stessa curva di indifferenza, cioè che la differenza x 1 diventi sempre più piccola. Il saggio marginale di sostituzione nel punto a è determinato come, cioè come la derivata della curva di indifferenza nel punto a presa con segno positivo. Se, infine, immaginiamo di spostare progressivamente il punto a verso destra ed in basso, lungo la stessa curva di indifferenza notiamo che il SMS fra il bene 2 ed il bene 1 diventa sempre più piccolo, perché sono sufficienti diminuzioni sempre più piccole del bene 2 per compensare incrementi costanti del bene 1 e la pendenza della curva di indifferenza, convessa verso l origine, è sempre minore. L ipotesi di convessità stretta delle preferenze del consumatore implica quindi che il suo saggio marginale di sostituzione è decrescente Questo, a sua volta, implica che l utilità marginale di ciascun bene è funzione strettamente decrescente del livello di consumo dello stesso bene. 5

6 Nella figura 2.1, infatti, l utilità (positiva) di un incremento costante del bene 1, x 1, è compensata dall utilità (negativa) di decrementi del bene 2, x 2, che sono tanto più piccoli quanto maggiore è x 1. Possiamo chiederci quali siano le caratteristiche delle curve di indifferenza se le preferenze del consumatore non sono strettamente convesse. Alcune possibili risposte a questa domanda sono illustrate negli esempi seguenti. ESEMPIO 2: curve di indifferenza rettilinee ed inclinate negativamente. x 2 x 1 Poiché la pendenza di ogni curva di indifferenza è costante, sia il SMS che l utilità marginale di ciascun bene sono costanti. Si dice, in questo caso, che i due beni di consumo sono perfetti sostituti. ESEMPIO 3: curve di indifferenza rettilinee ed orizzontali (o verticali). x 2 Il bene 1 non ha alcuna utilità per il consumatore (linee nere), oppure il bene 2 non ha alcuna utilità per il consumatore (linee rosse). ESEMPIO 4: curve di indifferenza ad angolo retto. x 1 6

7 x 2 Il bene 1 ed il bene 2 devono essere consumati in proporzioni costanti e sono detti beni complementari. ESEMPIO 5: curve di indifferenza concave verso l origine degli assi. x 1 x 2 x 1 Sia il SMS che l utilità marginale di ciascun bene sono crescenti, cioè aumentano all aumentare della quantità consumata dello stesso bene. Indipendentemente dalla eventuale rilevanza empirica dei 4 casi esemplificati, sono rilevanti le loro implicazioni per quanto attiene alla soluzione del problema di scelta del consumatore. Dall ipotesi psicologica di egoismo degli agenti deriva che il consumatore sceglie un paniere di consumo, nell insieme di quelli 7

8 economicamente possibili, con il solo obiettivo di derivarne la massima utilità. Si definisce equilibrio del consumatore, la soluzione di questo problema di scelta, illustrata nel grafico seguente. x a e Figura 2.2 b x 1 L area evidenziata in rosso nel grafico è l insieme dei panieri di consumo economicamente possibili. Il suo bordo superiore è il vincolo di bilancio del consumatore. Panieri corrispondenti a punti in alto a destra rispetto al vincolo di bilancio, come i punti sulla curva di indifferenza azzurra e segmentata, il cui consumo comporterebbe un utilità di 110, non sono economicamente possibili per il consumatore, che vuole spendere tutto il suo reddito, ma non può spendere più del suo reddito. I panieri corrispondenti a punti interni all area in rosso sono economicamente possibili, ma solo scegliendo quelli corrispondenti a punti sul bordo superiore dell area, cioè sul vincolo di bilancio, come i panieri a, b ed e, il consumatore spende tutto il suo reddito. Tra questi, il paniere che gli assicura il livello di utilità più elevato, perché corrisponde ad un punto sulla curva di indifferenza più distante dall origine degli assi, è il paniere e. Questo è il paniere che viene scelto dal consumatore, cioè il suo paniere ottimo o di equilibrio. Le caratteristiche del paniere ottimo sono: 8

9 corrisponde al punto di tangenza fra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza più distante dall origine degli assi; in e, il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza hanno la stessa inclinazione, quindi, in equilibrio, Infatti, l inclinazione della curva di indifferenza nel punto e è misurata dal SMS in quello stesso punto, mentre l inclinazione del vincolo di bilancio è costante e pari al rapporto fra i prezzi dei due beni. 9

10 Analisi matematica dell equilibrio del consumatore Consideriamo un consumatore la cui funzione di utilità dipende dalle quantità consumate dei due beni 1 e 2 e le cui curve di indifferenza sono strettamente convesse, come nella figura 2.2. Definiamo U(x 1,x 2 ) la funzione di utilità del consumatore e, le utilità marginali dei beni 1 e 2 rispettivamente, calcolate come le derivate parziali prime dell utilità totale U rispetto ai suoi due argomenti x 1 ed x 2. Se l utilità totale viene posta uguale ad una costante, è possibile derivare l equazione della corrispondente curva di indifferenza. Ad esempio, se la funzione di utilità è moltiplicativa, come l equazione di una generica curva di indifferenza, strettamente convessa, è Variando il livello di utilità fra 0 ed è possibile generare tutte le infinite curve di indifferenza del consumatore. Se la funzione di utilità è additiva separabile l equazione di una generica curva di indifferenza, lineare, è 10

11 Il SMS può essere ottenuto dalla funzione di utilità come rapporto fra le utilità marginali dei due beni. Se supponiamo che il consumatore possa variare di quantità infinitesimali, dx 1 e dx 2, i suoi consumi del bene 1 e del bene 2, la corrispondente variazione della sua utilità totale può essere calcolata come Se, tuttavia, le variazioni dei beni 1 e 2 sono tali da non variare l utilità totale del consumatore, cioè se sono determinate lungo la stessa curva di indifferenza, allora Quindi e, dividendo entrambi i lati dell uguaglianza per dx 1 e per U 2 si ottiene, L inclinazione del vincolo di bilancio è pari al coefficiente angolare della funzione preso con segno positivo, cioè pari al rapporto fra il prezzo del bene 1 ed il prezzo del bene 2. Nella figura 2.2 si dimostra che in equilibrio, SMS 2,1 è uguale al rapporto fra il prezzo del bene 1 ed il prezzo del bene 2, quindi anche il rapporto fra le utilità marginali dei beni 1 e 2 è uguale al rapporto fra i loro prezzi. Analiticamente questa proposizione si dimostra come segue. 11

12 Chiamiamo g(x 1 ) l equazione di x 2 nel vincolo di bilancio e sostituiamo questa espressione ad x 2 nella funzione di utilità con curve di indifferenza strettamente convesse L obiettivo del consumatore è,, Poiché l utilità è una funzione strettamente crescente di entrambi i suoi argomenti, e g(x 1 ) è strettamente decrescente all aumentare di x 1, il massimo della funzione di utilità si ha quando la sua derivata prima si annulla cioè quando, Vedremo tuttavia in seguito che queste proprietà del paniere di consumo ottimo dipendono in modo determinante dall ipotesi di convessità stretta delle curve di indifferenza. 12

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