Teorema della Divergenza (di Gauss)

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1 eorem dell ivergenz (di Guss) i un dominio tridimensionle regolre, l cui frontier è un superficie chius orientt con cmpo normle unitrionˆ uscente d. e F(,,z) F (,,z) i F (,,z) j F (,,z) k è un cmpo vettorile liscio definito su, llor F dv F nˆ d imostrzione Incomincimo clcolre il flusso di un cmpo vettorile F F (,,z) k prllelo ll sse z uscente d un superficie orientile chius lisci pezzi che è il contorno di un dominio z-semplice. Poiché è z-semplice, tle dominio è compreso tr i grfici di due funzioni z f (, ) e z g (, ) definite su un regione conness e limitt R del pino. e supponimo f (, ) g (, ) llor (,, z ) (, ) R e f (, ) z g (, ) g f R upposto f e g di clsse C ( R ), l superficie consiste di un prte inferiore, di un prte superiore definite rispettivmente dlle equzioni z f (, ) e z g (, ) ed 7

2 eventulmente d un prte del cilindro verticle che pss per l frontier di R. Clcolimo F nˆ d dove nˆ è il cmpo normle unitrio di uscente d. Essendo sull superficie lterle k nˆ risult Poiché su è : F nˆ d F nˆ d F nˆ d k nˆ f f d k i j k d d d d mentre su è : k nˆ d f f k i j k d d d d risult : F nˆ d F z ˆ (,, ) k n d [ F (,, g(, )) ] d d [ F (,, f (, )) ] d d R g (, ) f (, ) R F d d z F z R d d dz E evidente or che se è -semplice possimo usre lo stesso tipo di rgionmento per dimostrre l identità F F i nˆ d d d dz mentre se è un dominio -semplice l identità è F j nˆ d F d d dz Pertnto se è un solido --z semplice, l cui frontier è un superficie chius, orientile e lisci pezzi e se F,, z) F (,, z) i F (,, z) j F (,, ) ( z k è un cmpo vettorile di clsse C ( ) llor 8

3 F F F z d d dz F i F j F k) nˆ d ( ovvero div F dv F nˆ d Or supponimo che si l unione di due domini e --z semplici che non si sovrppongono e che l frontier viene divis in e dlle superficie * che tgli in e. Ovvimente * è prte del contorno si di che di. Poiché il teorem vle per entrmi i domini e imo: F dv F ˆn d F dv * F nˆ d d cui F dv F dv F dv F n d F nˆ d F nˆ d F ˆ d ˆ n * * Poiché le normli esterne ˆn e ˆn, rispettivmente dei domini e puntno in direzioni opposte sui due lti di *, i contriuti provenienti d * si elidono, pertnto risult F dv F nˆ d F nˆ d F nˆ d Iterndo il procedimento precedentemente si evince l vlidità del teorem l cso in cui è regolre ovvero è l unione finit di domini --z semplici che non si sovrppongono. 9

4 Vle il seguente eorem. ino: B (r) un sfer solid di rggio r e con centro in P ; l frontier di B (r) normle unitri estern di ; B(r) il volume di B (r) imostrzione.. Allor lim ˆ d ( grd )( P ) r B( r) F n F. ; nˆ l oimo dimostrre che dto > ove ( P ) ( grd F)( P) δ δ ε tle che ε esiste ( ) > ϕ ( P ) F nˆ d < ε per ogni < r < δ. B( r) ϕ. Poiché ϕ è continu in P, in corrispondenz di ε > esiste un sfer B ( P ; δ ) tle che e scrivimo ϕ ε ϕ ( P ) ϕ ( P ) < per ogni P B( P ; δ ). ( P ) ϕ ( P) [ ϕ ( P) ϕ ( ) ] P ed integrimo quest equzione su un sfer B ( P, r) dove < r < δ, imo ϕ ( P ) B ( r ( P) dv [ ϕ ( P) ϕ ( P ) ] dv ) F. B ( r) B ( r) cui se pplichimo il teorem dell divergenz l primo integrle del secondo memro, ottenimo ε ϕ ( P ) ˆ F n d B( r) < ε per ogni < r < δ. B( r) B( r) L formul dimostrt nel teorem precedente cioè F ( P) F lim r B( r) nˆ d in precedenz in lcuni testi di nlisi vettorile è pres come definizione di divergenz e fornisce l seguente interpretzione fisic dell divergenz.

5 upponimo che F rppresenti il vettore densità di flusso di un corrente stzionri. Allor come già visto, l integrle superficile F nˆ d misur l mss totle di fluido che scorre ttrverso nell unità di tempo nell direzione di nˆ ; il rpporto B( r) F nˆ d misur l mss per unità di volume che scorre ttrversoδ nell unità di tempo e nell direzione di nˆ. Poiché il limite per r del rpporto precedente è l divergenz di F in P, segue che: l divergenz di F in un punto P può essere interprett come l rpidità di vrizione dell mss per unità di volume e per unità di tempo in P. Osservzioni importnti l teorem di Guss segue. Il flusso uscente d un superficie ( orientile e lisci pezzi ), di un cmpo vettorile costnte è ugule. Qulunque si l superficie chius ( orientile e lisci pezzi ), è Ovvero ( F) nˆ d F d rot F n ˆ d UNA APPLICAZIONE EL EOREMA ELLA IVERGENZA i un dominio regolre l cui frontier è l superficie. e F è un cmpo vettorile liscio, φ è un cmpo sclre liscio e c è un vettore costnte ritrrio, llor pplicndo il teorem divergenz F c e φ c, si ottengono rispettivmente le seguenti relzioni vettorili: i) F dv F nˆ d ii) φ dv φ nˆ d.

6 Osservzione Formlmente l i) si ottiene d F dv F nˆ d ostituendo con e ponendo il segno meno l memro; l ii) sostituendo F con φ. Il teorem dell divergenz pplicto F c d ( F c ) dv [( F ) c ( c ) F ] dv c ( F )dv ( F c ) nˆ dv ( c F ) nˆ d c ( F nˆ ) d c ( F nˆ )d segue che ( F ) dv ( F nˆ ) d c d cui, dt l ritrrietà dic, si evince che ( F ) dv ( F nˆ )d. Esempio Verificre il teorem di Guss nel cso in cui è il dominio l cui frontier è il tetredro delimitto di pini coordinti e dl pino e z c >, >, c > ; F Ф dove Ф Ф(,,z) z². volgimento oimo dimostrre che F nˆ d F d

7 dove nˆ denot l normle unitri estern. Ovvimente è costituit d,,, dove: è quell prte del pino di equzione z c(- essendo il tringolo di vertici (,,), (,,), (,,); è il tringolo di vertici (,,), (,,), (,,c); è il tringolo di vertici (,,), (,,), (,,c); ) (,) è il tringolo di vertici (,,), (,,), (,,). Poiché su è c c nˆ d i j k F Ф i j c si h c c c c F nˆ d d d k c d d ( c 6 ) Anlogmente F ( i ) d d dz c 6 F ( j) d d dz c 6 F ( k ) d d Quindi Infine imo [( ) ] c c F nˆ d. 6 F dv dv (volume del tetredro) c c Oppure integrndo per fili dv c d d c 6 6 c. 6

8 Esempio Verificre il teorem di Guss nel cso in cui F ( z ) i ( z ) j - ( z² ) k, e {(,,z) : ² ² z² ²,,, z }. volgimento oimo dimostrre che F dv F nˆ d dove è l frontier del dominio e nˆ denot l normle unitri estern ll superficie. L superficie const di quttro prti: {(,,z) : ² ² z² ²,, e z }; {(,) : ² ² ²,, } {(,z) : ² z² ²,, z } {(,z) : ² z² ²,, z }. u è z (,), pertnto e z z nˆ d i j k d d i j k d d z z F nˆ d ( ² ² ) - -² d d. Pssndo coordinte polri imo F nˆ d cos θ ρ sinθ cosθ ρ dρ ρ dθ ( ρ ρ) dρ cosθ d θ ρ dρ u è z e nˆ - k, pertnto imo

9 F nˆ d d d. Pssndo coordinte polri si h F nˆ d cos θ dθ ρ dρ Anlogmente tenuto presente che su è e nˆ - i si ottiene F nˆ d - dz d - u è e nˆ - j, pertnto F nˆ d d. Quindi F nˆ d. Infine F dv dv 8 (volume dell sfer) 8 ³ Oppure utilizzndo le coordinte sferiche si h : dv dθ sin Φ dθ ρ dρ.

10 Esempio Verificre il teorem di Guss nel cso in cui: volgimento {(,, z) : z } i) F F (,, z) i j z k ii) F F (,, z) i z j ( z ) k E opportuno usre le coordinte sferiche: ρ sin φ cos, ρ sinφ cos, z ρ cosφ dove, φ, ρ. ul contorno del dominio, ovvero sull sfer di rggio con centro nell origine, vle: r r ρ, d sinφ d, nˆ r i j z k r dove nˆ indic l normle unitri estern. Inoltre l elemento di volume, in coordinte sferiche, è: dv ρ sinφ d dρ Premesso ciò, isogn dimostrre che: i) Risult F dv F nˆ d F F dv dv r nˆ d F d ( z ) d 6

11 d ( sin φ cos sin φ sin cos φ) sinφ 6 ( cos φ) sinφ 8 cos φ sinφ ii) Risult F ( z ) dv d sinφ ρ dρ r F nˆ d F d ( 6 z z) d Osservto che il terzo degli integrli superficili precedenti è nullo in virtù dell simmetri, segue che F n ˆ d ( 6 z ) d cos d sin φ sinφ Inftti risult 6 sin d sin φ cos φ sinφ o cos cos cos d d cos d sin φ sinφ d φ ( cos φ cos φ) sinφ 6 sin φ cos φ sinφ d φ ( cos φ) cos φ sinφ sin d 7

12 Esempio Verificre il teorem di Guss nel cso in cui è F ( z) i ( z) j ( z e sin ) k (,, z): z z O volgimento oimo verificre che F dv F nˆ d L superficie ovvero l frontier di consiste di un prte cilindric e di un prte sferic. Pertnto F nˆ d nˆ d F nˆ d F ove: ˆn è l normle unitri l cilindro verticle z ; 8

13 ˆn è l normle unitri estern ll sfer z. Usndo le coordinte cilindriche, sull superficie lterle dell prte cilindric è F ˆn F cos i sin j cos zsin cos sin z cos sin Quindi nˆ d d F Usndo le coordinte sferiche, sull prte sferic è sin φ cos sin φ sin z cosφ dove φ, 6 6 pertnto nˆ d F 6 F r d d sinφ 6 6 9

14 Quindi F nˆ d Infine, tenuto presente che l elemento di volume in coordinte sferiche è dv ρ sinφ d dρ Aimo F dv dv 6 d sinφ ρ dρ 6 sin φ Osservzione L equzione del cilindro in coordinte sferiche è ( cos sin ) ρ sin φ ovvero ρ φ sin d cui ρ sinφ

15 Esempio Un dominio conico con vertice in (,,) e sse lungo l sse z h come se un disco di rggio sul pino. eterminre il flusso di: F ( ) i ( ) j ( z ) k che ttrvers l frontier dell prte conic del dominio ovvero l superficie di equzione: z > oluzione Utilizzndo il teorem di Guss imo: F nˆ d F dv F nˆ d Or clcolimo i due integrli ll destr dell relzione precedente: dv [ ( )] dv ( ) F dv Essendo: ( ) dv ( ) dd Utilizzndo le coordinte polri si ottiene: ( ) ρ dv d ρ ρ dρ Oppure se indichimo con c(z) il disco:

16 ( z) z i h: ( ) dv dz ( ) d d dz d c( z) ( z ) ρ dρ Pertnto: F dv. Or tenuto presente che su è z, imo: F nˆ d F ( k ) d ( z ) d d d d Quindi: F nˆ d MEOO IREO u imo: F ( ) i ( ) j k e Pertnto: nˆ d z z i j k d d

17 F d nˆ. d d Osservto che per l simmetri (giustificre!) è: d d d d egue che: F d nˆ ( ) dd dd. Utilizzndo le coordinte polri si ottiene d d d d ρ ρ sin Quindi F d nˆ ( ). ρ ρ sin sin cos d d d d d d d d dd ρ ρ cos cos sin

18 Esempio 6 i quell prte dell superficie cilindric di equzione z che si trov nel ottnte compres tr i pini e. Clcolre il flusso del cmpo vettorile uscente d F z i j k volgimento E opportuno utilizzre le coordinte cilindriche; llor l equzione di è ρ. L superficie intersec il pino z nell curv C di equzioni prmetriche pertnto risult cos, z sin d d. Essendo sull superficie lterle del cilindro d d d, F sin i j cos k, nˆ cos j sin k egue che su è F nˆ d ( cos cos sin) d d quindi F nˆ d d ( cos cos sin) d. Oppure se indichimo con il solido così definito: (,, z) : z,, z, per il eorem di Guss risult F nˆ d F dv F ( k) d F ( i) d F ( j) d F ( i ) d dove il significto di i,,, è ovvio. i

19 Essendo F ( k) d d d d d d su è z F ( i) z d dz F ( j) d d dz dz d d z d dz sin d ρ dρ F ( î) 6 F dv z dv d C ( ) z dz d dove C() denot il disco z, z, pertnto ρ dρ 6 F dv d sin d quindi F nˆ d 6 6

20 Esempio 7 Verificre il teorem di Guss nel cso in cui volgimento {(,, z) ( z ), } z (,, z) ( z ) i ( e ) j ( ) k F F. L frontier del dominio è costituit d quell prte dell superficie sferic che st sul pino : ( z ) z E dl disco :, z. Quindi doimo verificre che F dv F ( k) da F N d A tle scopo clcolimo seprtmente i tre integrli dell uguglinz precedente. i) Poiché è simmetrico rispetto i pini e, risult F dv ( ) d d dz ii) F ( k) d ( ) d d d d 9 iii) Per clcolre F N d Fccimo il seguente cmimento di vriili e ponimo F (,, u) G(,, u), z u. Allor il vlore del flusso dto dll integrle precedente è ugule l flusso, del cmpo vettorile G, uscente d quell prte dell sfer di equzione u u 6

21 Ovvero che st sul pino u (vedi figur). u z α Per il clcolo di ( i j u k) d F N d G d ove si è tenuto conto delle simmetrie gi menzionte, usimo le coordinte sferiche. A tle scopo, tenuto presente che cosα α 6 i evince che Quindi F N d φ 6. d sin cos d 9 φ φ φ Il che complet qunto volevmo verificre. 7