Indice. Concetti generali. Concetti generali. Metodi numerici. Concetti generali. Concetti generali. Area di un triangolo e formula di camminamento

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1 LOLO DELLE REE

2 oncetti generali Metodi numerici oncetti generali rea di un triangolo e formula di camminamento Formula di Erone oordinate polari oordinate cartesiane Indice Metodi grafo numerici Trilaterazioni e allineamenti Metodi grafici oncetti generali ezòut avalieri - Simpson oncetti generali Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data Integrazione grafica

3 oncetti generali In questa unità viene affrontata quella parte dell agrimensura che tratta dei metodi di calcolo delle aree delle superfici agrarie dei terreni La superficie agraria è quella che si ottiene proiettando i punti della superficie fisica del terreno sul piano orizzontale di riferimento Mentre la superficie fisica può subire nel tempo notevoli variazioni, la superficie agraria si modifica solo se vengono cambiati i suoi confini lla superficie agraria sono riferiti molti parametri caratteristici di un terreno quali ad esempio la sua produttività e gli indici di fabbricazione

4 oncetti generali. Metodi per il calcolo delle aree Il calcolo dell area della superficie agraria si effettua con metodi: numerici grafo numerici grafici

5 oncetti generali. L ettaro e i suoi sottomultipli ara e centiara L ETTRO (ha) corrisponde a m 2 R (aa) corrisponde a 100 m 2 ENTIR (ca) corrisponde a 1 m m 2 sono m 2 sono ha 0 ha 1 aa 22 aa 41 ca 60 ca 35

6 METODI NUMERII PER IL LOLO DELLE REE

7 oncetti generali I metodi numerici o analitici utilizzano per il calcolo delle aree, angoli e distanze misurate nella esecuzione di un rilievo. La scelta della procedura geometrica e della formula da impiegare, dipendono essenzialmente dal tipo di rilievo effettuato in campagna per definire il contorno dell appezzamento

8 rea di un triangolo e formula di camminamento S t = 0,5 x x x sen X X ˆ D Â X X X Ĉ FORMUL DI MMINMENTO S t = 0,5 x [ x x sen + x D x sen x D x sen ( + )]

9 Formula di Erone Se sono noti i tre lati di un triangolo l area si ottiene dalla formula di Erone S = [ p x ( p ) x ( p ) x ( p ) ] in cui p = ( + + ) / 2 è il semiperimetro

10 oordinate polari Se da un punto esterno di stazione S si misurano le distanze S, S, S e gli angoli (S) e (S) l area dell appezzamento triangolare si ottiene dalla somma delle aree dei tre triangoli S, S, S 0 S = S S + S S S S S S = 0,5 x S x S x sen (S) S S = 0,5 x S x S x sen [(S) (S)] S S = 0,5 x S x S x sen (S) S (S) (S)

11 oordinate polari 0 () (D) D D D Se facciamo stazione in uno dei vertici, ad esempio, e dopo aver orientato il.o. su si misurano le distanze,, D e gli azimut () e (D) si ottiene S t = S + S D S = 0,5 x x x sen () S D = 0,5 x x D x sen [ (D) () ]

12 oordinate cartesiane Y Note le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono l area si può calcolare applicando la formula di Gauss X S = 0.5 x [ y a x (x b - x c ) + y b x (x c - x a ) + y c x (x a x b ) ] L area assume un segno diverso (+/( +/-) ) se il poligono considerato è percorso in senso orario o antiorario

13 oordinate cartesiane Y X D S = 0.5 x [ y a x (x d - x b ) + y d x (x c - x a ) + y c x (x b x d ) + y b x (x a x c ) ]

14 oordinate cartesiane Y Yc D Yb Yd S D D = (S + S + S DD ) S DD O Ya D Xa Xb Xc Xd X S = 0,5 x [(Y a + Y b ) x (X b - X a )] S = 0,5 x [(Y b + Y c ) x (X c - X b )] S DD = 0,5 x [(Y c + Y d ) x (X d - X c )] S DD = 0,5 x [(Y a + Y d ) x (X d - X a )]

15 Trilaterazioni e allineamenti Se un appezzamento è stato rilevato per trilaterazione, misurandone tutti i lati, l area totale si ottiene sommando le aree dei triangoli in cui è stato diviso l appezzamento in fase di rilievo. Per il calcolo delle aree triangolari si applica la formula di Erone D D S D D = S D + S D D D S D = [p p x (p ) x (p D) x (p D)] D S D = [p p x (p ) x (p D) x (p D)] D

16 Trilaterazioni e allineamenti S D D = S + S + S D + S E E + S EE D S = 0,5 x x S = 0,5 x ( + ) x S D = 0,5 x D x E D S E E = 0,5 x E x E E S EE D = 0,5 x EE x E D E

17 METODI GRFO - NUMERII PER IL LOLO DELLE REE

18 oncetti generali I metodi grafo numerici consentono, di calcolare l area di appezzamenti rappresentati graficamente. Questi metodi sono più rapidi ma anche meno precisi di quelli numerici. Infatti la loro precisione risente, oltre che degli eventuali errori commessi nelle misure prese sul terreno per costruire la mappa, anche delle inevitabili approssimazioni sia della rappresentazione grafica che delle grandezze su di essa misurate. onviene applicare questi metodi ad appezzamenti con contorno parzialmente o totalmente curvilineo.

19 Scale di rappresentazione grafica SL RT RELT 1 : cm 1 m 1 : cm 10 m 1 : : cm 2000 cm 5000 cm 20 m 50 m 1 : cm 100 m 1 : cm 250 m

20 Formula di ézout Supponiamo di dover calcolare l area dell appezzamento D, con curvilineo. Si divide D in n parti uguali di lunghezza d e dai punti di divisione si tracciano le ordinate y 0, y 1, y 2,... Y n. Si sostituiscono gli archi di ogni striscia (trapezio mistilineo) con le corde. L appezzamento risulta così diviso in trapezi rettangoli di stessa altezza d.. Più piccola è l altezza più la corda approssima l arco che sostituisce migliorando il calcolo finale dell area dell appezzamento y 0 y 1 y 2 Y n -1 Y n d d d D

21 Formula di ézout y 0 y 1 y 2 Y n -1 Y n d d d L area si ottiene dalla formula D S = 1/2 x (y 0 + y 1 ) x d + 1/2 x (y 1 + y 2 ) x d /2 x (y n-1 + y n ) x d considerando che l altezza d è comune a tutti i termini e che le ordinate y 0 e y n compaiono una sola volta divise per 2, semplificando di ottiene la formula di ézout S = d x [ 1/2 x (y o + y n ) + y 1 + y y n-1 ] se le ordinate estreme sono nulle la precedente formula diventa S = d x ( y 1 + y y n-1 )

22 Formula di ézout Y 1 Y 2 Y 3 Y n - 1 Nel caso di appezzamenti totalmente curvilinei, l area si ottiene dalla formula S = d x ( y 1 + y y n-1 )

23 Formula di avalieri - Simpson S 1 S 2 y 0 y 1 y 2 Y n d d d 2d D Vogliamo calcolare l area dell appezzamento parzialmente curvilineo D. Si procede come con ézout dividendo la base D in un numero pari di intervalli n di stessa ampiezza d. L area totale si ottiene dalla somma delle aree parziali di due trapezi mistilinei adiacenti di altezza 2d. L area S 1 della prima coppia è data dalla somma di due aree parziali: quella del trapezio rettangolo di basi y o e y 2 più l area del settore parzialmente curvilineo. Quest ultima si può ritenere uguale ai 2/3 dell area del parallelogramma che circoscrive il settore s curvilineo

24 Formula di avalieri - Simpson L area S 1 si ottiene dalla relazione S 1 = 1/2 x (y o + y 2 ) x 2d + 2/3 x [ y 1 (y o + y 2 ) / 2 ] x 2d effettuando i prodotti e raccogliendo d/3 si ottiene S 1 = 1/3 x d x (y o + 4y 1 + y 2 ) indicando con S 2, S 3,... Le aree delle successive coppie possiamo scrivere per analogia S 2 = 1/3 x d x (y 2 + 4y 3 + y 4 ) y 0 y 1 y 2 S 3 = 1/3 x d x (y 4 + 4y 5 + y 6 ) S 1 Sommando tra loro le aree parziali si ottiene la formula di avalieri Simpson che permette il calcolo dell area totale S = 1/3 x d x [y o + y n + 4(y 1 + y ) + 2(y 2 + y )] d 2d d

25 METODI GRFII PER IL LOLO DELLE REE

26 oncetti generali I metodi grafici per il calcolo delle aree consistono nel trasformare appezzamenti di forma poligonale in triangoli o rettangoli equivalenti. Dei triangoli e rettangoli viene scelta dal tecnico la base e determinata graficamente, mediante opportune costruzioni, l altezza

27 Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data F N G h h O b E M D Scelta in maniera conveniente la base b del rettangolo, l incognita del problema è la sua altezza h.. Il valore di h deve essere tale che, se moltiplicata per la base fissata, il rettangolo r sia equivalente al trapezio dato D

28 Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data F N G h h O b E M D ostruzione grafica si traccia la base media MN = ( + D)/2 si proietta N sulla verticale per E individuando il punto F si congiunge F con O da si traccia la parallela ad OF fino ad incontrare in G la base D del trapezio h = GD è l altezza cercata

29 Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data F N G h h O b E M D Si deve dimostrare quindi che il rettangolo b x h,, ottenuto dalla costruzione grafica è equivalente al trapezio D. Dalla similitudine dei due triangoli rettangoli OEF e DG si ottiene che: D : h = b : EF b x h = D x EF EF = MN = ( + D)/2 b x h = D x ( + D)/2

30 Integrazione grafica D Il rettangolo è equivalente all appezzamento poligonale DE b E Si definisce integrazione grafica il metodo con il quale un poligono viene trasformato in un rettangolo equivalente di base data

31 Integrazione grafica D h 2 h 3 h 1 O b E Ipotizziamo di dover calcolare l area dell appezzamento poligonale le DE. Scelta in maniera conveniente la base b del rettangolo, base di integrazione,, si divide il poligono in figure semplici (triangoli e trapezi). pplicando il procedimento di trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente si determinano le altezze h 1, h 2,... di ogni figura semplice in cui risulta divisa l area poligonale p DE

32 Integrazione grafica D S 3 S 2 S 1 h 2 h 3 h 1 O b E Le aree parziali si calcolano moltiplicando le altezze h 1, h 2, h 3,..., per la base b S 1 = b x h 1 S 2 = b x h 2 S 3 = bx h 3 sommando le aree parziali si ottiene l area totale dell appezzamento ento poligonale DE S t = S 1 + S 2 + S 3 = b x h 1 + b x h 2 + b x h 3 = b x ( h 1 + h 2 + h 3 ) = b x H in cui H è l altezza totale del rettangolo equivalente che si ottiene tiene sommando le altezze parziali H = h 1 + h 2 + h

33 Integrazione grafica D H linea integrale 2 H = h 1 + h 2 + h 3 h 1 + h 2 1 h 1 O b E L altezza totale H si ottiene graficamente riportando dall estremo 1 il segmento inclinato che permette di individuare l altezza parziale h 2, e successivamente dal punto 2 il segmento inclinato che individua l altezza h 3