Poliedri regolari. - Le condizioni (a), (b) e (c) della definizione data non sono sovrabbondanti: Riferimenti bibliografici: (a) e (c) non (b)

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1 Riferimenti bibliografici: Poliedri regolari - Forme Maria Dedò Ed. Zanichelli - Le condizioni (a), (b) e (c) della definizione data non sono sovrabbondanti: (a) e (c) non (b) Definizione: Un poliedro è detto regolare se soddisfa le seguenti condizioni: (a) le facce sono tutti poligoni regolari (b) le facce sono tutte congruenti tra loro (c) in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce I poliedri regolari sono detti anche solidi platonici. Osservazioni: - i prismi regolari e le piramidi regolari definiti nel capitolo precedente NON sono regolari secondo questa definizione. 1 2

2 (b) e (c) non (a) (a) e (b) non (c) Definizione (equivalente): un poliedro è regolare se ha per facce poligoni regolari e ha tutti gli angoloidi uguali. Come conseguenza ha uguali tutti gli spigoli, gli angoli e i diedri. Confronto con i poligoni regolari Ricordiamo che un poligono è regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. 3 4

3 I poligoni regolari sono caratterizzati dalla seguente proprietà: TEOREMA: Un poligono è regolare se e solo se ha una circonferenza inscritta (tangente a tutti i lati del poligono) e una circonferenza circoscritta ( passante per tutti i vertici del poligono) concentriche. Torniamo ai poliedri regolari. Vale una caratterizzazione analoga a quella dei poligoni: TEOREMA: Un poliedro è regolare se e solo se esistono tre sfere concentriche tali che: una passa per tutti i vertici (circosfera) una è tangente a tutti gli spigoli (intersfera) una è tangente a tutte le facce (insfera). Il centro delle tre sfere si chiama centro del poliedro. Diversamente dal caso piano, i poliedri regolari sono pochi, cinque. Osservazione: per ogni n 3 esiste un poligono regolare avente n lati (n-gono regolare). Basta infatti suddividere una circonferenza in n archi congruenti per ottenere i vertici di tale poligono. Ad ogni poliedro regolare è associata una coppia di numeri interi {p,q} dove p rappresenta il numero dei lati del poligono regolare utilizzato per costruire il poliedro e q rappresenta il numero di poligoni che si incontrano in ogni vertice Ad esempio il cubo ha {p,q} = {4,3} Quindi i poligoni regolari sono infiniti. 5 6

4 La coppia {p,q} si chiama anche simbolo di Schäfli del poliedro. q((p-2)/p) π; per la prima delle due relazioni abbiamo quindi TEOREMA: I possibili simbolo di Schäfli {p,q} dei polideri regolari sono cinque. da cui segue q((p-2)/p) π < 2 π pq -2q-2p < 0 Dimostrazione: ogni poliedro regolare soddisfa le seguenti condizioni geometriche: 1) gli angoli piani delle facce che concorrono in un vertice devono avere somma inferiore a 2π (Teorema sulla somma delle facce di un angoloide). 2) In ogni vertice del poliedro si devono incontrare almeno tre facce. Ricordiamo che in un poligono regolare di p lati, gli angoli misurano ((p-2)/p) π. ovvero (p-2)(q-2) < 4 con q 3. Allora i possibili valori per p e q sono: p = 3 (le facce sono triangoli) e q = 3,4,5, p = 4 (le facce sono quadrati) e q = 3, p = 5 (le facce sono quadrati) e q = 3. Quindi la somma degli angoli delle facce che si incontrano in un vertice è 7 8

5 I possibili simbolo di Schäfli {p,q} dei poliedri regolari sono quindi: {3,3} {3,4} {3,5} {4,3} {5,3}. {p,q} = {4,3} : cubo ( o esaedro regolare). Ha 6 facce che sono quadrati, 6 vertici, 12 spigoli, 6 angoli triedri. Osservazione: per ognuno dei simboli di Schäfli {p,q} trovati, esiste effettivamente un poliedro regolare: {p,q} = {3,3} : tetraedro regolare. E una piramide retta, regolare a base triangolare con le facce che sono tutti triangoli equilateri. Ha 4 facce, 4 vertici, 6 spigoli, 4 angoli triedri. {p,q} = {3,4} : ottaedro regolare. Si costruisce unendo due piramidi rette, regolari a base quadrata, aventi per facce laterali triangoli equilateri. Ha 6 facce, 6 vertici, 12 spigoli, 6 angoli triedri. 9 10

6 {p,q} = {3,5} : icosaedro regolare. {p,q} = {5,3} : dodecaedro regolare. Si costruisce unendo un antiprisma regolare con le basi pentagonali e le facce che sono triangoli equilateri, con due piramidi regolari a base pentagonale, aventi per facce laterali triangoli equilateri uguali a quelli dell antiprisma. Ha 20 facce, 12 vertici, 30 spigoli, 12 angoli triedri. Si costruisce prendendo due cestini ciascuno formato da un pentagono circondato da cinque altri pentagoni e saldandoli lungo la poligonale sghemba di dieci lati formata dai loro spigoli liberi Ha 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli, 20 angoli triedri. Fino a questo punto si è mostrato che le coppie {p,q} sono solo 5 e che per ciascuna di esse esiste un poliedro regolare (la dimostrazione rigorosa dell esistenza si fa fornendo le coordinate dei vertici e le equazioni dei piani delle facce in R 3 )

7 Per concludere che i poliedri regolari sono solo 5 bisognerebbe dimostrare che per ogni coppia {p,q} esiste un solo poliedro regolare Cenno alla dualità dei poliedri regolari - i centri delle facce di un cubo sono vertici di un ottaedro (e viceversa i centri delle facce di un ottaedro sono vertici di un cubo) 13 14

8 - i centri delle facce di un icosaedro sono vertici di un dodecaedro (e viceversa i centri delle facce di un dodecaedro sono vertici di un icosaedro) - i centri delle facce di un tetraedro sono vertici di un tetraedro (autoduale) 15 16

9 Riassumendo: Formula di Eulero TEOREMA: Ogni poliedro (convesso) soddisfa la seguente relazione: V S + F = 2 Dove V,S e F indicano rispettivamente il numero di vertici, di spigoli e di facce del poliedro. Qualche suggerimento didattico: - raccogliere dati su vari poliedri, per esempio partendo dai regolari: 17 18

10 Diminuire la regolarità Esempio di poliedro non convesso in cui vale: Esempio di calcolo su un poliedro non convesso: Ancora l ipotesi giusta per la validità della formula di Eulero è che il poliedro sia omeomorfo ad una sfera. F= 16, V=16, S=32 V-S+F = 0: NON VALE

11 Dimostrazione della Formula di Eulero I poliedri a volte vengono rappresentati mediante dei diagrammi, detti diagrammi di Schlegel. Un tale diagramma è il grafo (reticolato piano) che si ottiene considerando la proiezione del poliedro da un punto molto vicino ad una sua faccia, in modo che la faccia si proietti in un poligono al cui interno si proiettano tutti i restanti vertici e spigoli del poliedro. (In modo più intuitivo lo stesso grafo si ottiene immaginando che il poliedro sia cavo, con la superficie fatta di gomma sottile. Se si toglie una faccia si può deformare la superficie rimanente per distenderla su un piano. In questo modo il reticolato dei vertici e spigoli è il diagramma cercato ). Un diagramma di Schlegel di un poliedro mostra chiaramente le relazioni di appartenenza tra vertici, spigoli e facce (relazioni di incidenza) ma altera tutte le relazioni metriche (aree, distanze, angoli ). Il diagramma di Schlegel di un poliedro ha lo stesso numero di vertici e spigoli del poliedro stesso, mentre il numero delle facce del poliedro è uguale al numero delle componenti connesse del complementare del grafo. Lo scopo è mostrare che per tale grafo vale V-S+F=

12 Per ottenere questo risultato si modificherà il grafo con una serie di operazioni che non alterano il valore di V- S+F. Triangoliamo ogni componente connessa limitata del complementare del grafo, che non sia già un triangolo. Per ogni diagonale che si traccia in un poligono, aumenta di 1 sia F che S e dunque V-S+F resta inalterato. Quindi per triangolare ogni poligono, per esempio di n lati, si dovranno tracciare le n-3 diagonali uscenti da uno stesso vertice, che faranno aumentare di n-3 sia F che S e quindi non cambieranno V-S+F. Nel grafo ci sono triangoli che hanno un lato sul contorno. Eliminiamoli. Ora abbiamo triangoli con due lati sul contorno. Eliminando triangoli con un lato sul contorno, F ed S diminuiscono di uno mentre se eliminiamo triangoli con due lati sul contorno, F e V diminuiscono di 1 e S di due. In entrambi i casi V-S+F resta inalterato. Proseguendo in questo modo si arriva ad avere un grafo ridotto ad un triangolo, per il quale vale V-S+F =