Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione.

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1 Monomi e Polinomi Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. ) Sono monomi: 5 a 3 b 2 z; 2 3 a2 c 9 ; +7; 8a b 3 a 2. Non sono monomi: a + 2; xyz b; a 2 + b 3 ; Due o più monomi si dicono simili se hanno uguale parte letterale. 1 2 xy 2 z 3 ; 3a 3 b 4. Grado di un monomio Si dice grado di un monomio la somma degli esponenti delle sue lettere. Il grado del monomio 3x 4 y 2 z è = 7. Il grado del monomio +7 è 0. Divisibilità tra monomi Un monomio A si dice divisibile per un monomio B diverso da zero se esiste un terzo monomio C che moltiplicato per B dia A, cioè se A = B C. Affinchè un monomio sia divisibile per un altro è necessario che nel dividendo siano presenti, con esponente maggiore o uguale, tutte le lettere che figurano nel divisore. Il monomio +4x 2 y 3 z è divisibile per il monomio 3xy 3. Il monomio +4x 2 y 3 z non è divisibile per il monomio 2xy 4. M.C.D. tra monomi Il Massimo Comun Divisore tra monomi è quel monomio di grado massimo che divida contemporaneamente tutti i monomi dati, avente per coefficiente il M.C.D. dei coefficienti. Il coefficiente del M.C.D. La parte letterale del M.C.D. è l M.C.D. con segno positivo) dei coefficienti dei monomi se i monomi dati sono interi, è +1 se i monomi dati non sono tutti interi. è costituita dalle lettere in comune a tutti i monomi dati, elevate al minimo esponente con cui compaiono. L M.C.D. tra i monomi 8x 4 y 3 z; 20x 2 y 2 z 2 ; 12x 2 y 5 ; è +4x 2 y 2. m.c.m. tra monomi Il Minimo Comune Multiplo tra monomi è quel monomio di grado minimo che sia divisibile contemporaneamente per tutti i monomi dati, avente per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti. Il coefficiente del m.c.m. La parte letterale del m.c.m. è il m.c.m. con segno positivo) dei coefficienti dei monomi se i monomi dati sono interi, è +1 se i monomi dati non sono tutti interi. è costituita dalle lettere che compaiono in almeno uno dei monomi dati, elevate al massimo esponente con cui compaiono. L m.c.m. tra i monomi 8x 4 y 3 z; 20x 2 y 2 z 2 ; 12x 2 y 5 ; è +120x 4 y 5 z 2. 1

2 Polinomio Si dice polinomio la somma algebrica di più monomi. 5 Sono polinomi: 2 a3 b 2 z + 3ab 2 ; 6 5 ab6 + 9; x 3 5x 2 + x x Non sono polinomi: 2 z ; ab b a ; 7 x + 1 y. Grado di un polinomio Si dice grado di un polinomio il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono. Il grado del polinomio 2a 2 b 5bc + abc 4 è max{3; 2; 6} = 6. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Divisibilità di un polinomio per un monomio Un polinomio px) si dice divisibile per un monomio A diverso da zero se esiste un secondo polinomio qx) che moltiplicato per B dia px), cioè se px) = B qx). Affinchè un polinomio sia divisibile per un monomio è necessario che ogni singolo termine del polinomio sia divisibile per il monomio. Il polinomio 5x 2 y x4 y 5 x 2 y 5 z 2 è divisibile per il monomio 3x 2 y 2. Il polinomio 5x 2 y x4 y 5 x 2 y 5 z 2 non è divisibile per il monomio 2x 2 z. Teorema di Ruffini Un polinomio px) è divisibile per un binomio x c) se e solo se pc) = 0. Il polinomio px) = x 3 x 2 4 è divisibile per il binomio x 2). Il polinomio px) = x 3 x 2 4 non è divisibile per il binomio x 1). Teorema del Resto Il resto della divisione px) : x c) è pc). Il resto della divisione di px) = x 3 x 2 4 per x 1) è p1) = 4. Operazioni con monomi e polinomi Moltiplicazione monomio-monomio Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha quindi l esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi. 7 2 x2 y 3 z 2 3 a2 x 3 z 2) = 7 3 a2 x 5 y 3 z 3. Divisione monomio-monomio Il quoziente di due monomi il primo dei quali divisibile per il secondo) è il monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il quoziente delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha quindi l esponente uguale alla differenza tra l esponente che esso ha nel dividendo e quello che ha nel divisore. 6 5 a5 y 3 z : 2 5 a2 z 2 ) = 3a 3 y 3.

3 Potenza di un monomio La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Ogni fattore letterale ha quindi l esponente uguale al prodotto tra l esponente che esso ha nel monomio e l esponente della potenza. 3 2 x2 yz 3) 3 = 27 8 x6 y 3 z 9 Moltiplicazione polinomio-monomio Il prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio dato. 1 ) 5 a2 x + 4x 2 y 3 z 10a 2 cx 3 = 2a 4 cx a 2 cx 5 y 3 10a 2 cx 3. Divisione polinomio-monomio Il quoziente di un polinomio per un monomio per cui il polinomio sia divisibile) è un polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio dato. 3 4 x3 y 5 z x 3 y 4 z z) 2 y6 : 1 ) 2 y4 z = 3 2 x3 y + 2x 3 z 2y 2. Moltiplicazione polinomio-polinomio Il prodotto di due polinomi è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini dell altro. 1 2 x2 y a 4 b) 2ax 2 4b 3 y) = ax 4 y 2b 3 x 2 y 2 2a 5 bx 2 + 4a 4 b 4 y. Divisione polinomio-polinomio Per effettuare la divisione tra due polinomi si utilizza l algoritmo descritto di seguito. Se il dividendo ax) non è divisibile per il divisore bx), l algoritmo indicherà un resto rx) diverso da zero. Indicato con qx) il quoziente, vale la relazione ax) : bx) = qx) + rx) bx). Eseguiamo la divisione 4x 3 + x + 1) : 2x + 3). Scriviamo in colonna il polinomio dividendo ax) = 4x 3 + x + 1 e il polinomio divisore bx) = 2x + 3. Dividiamo il primo termine del dividendo ax) per il primo termine del divisore bx). Il risultato è il primo termine del quoziente qx). +2x 2 3

4 Moltiplichiamo il termine appena ottenuto per il divisore bx) e scriviamone il risultato, cambiato di segno, in colonna sotto ax). 4x 3 6x 2 +2x 2 Sommiamo il dividendo ax) col polinomio sottostante. 4x 3 6x 2 +2x 2 6x 2 +x +1 Si ripete il procedimento con il polinomio ottenuto. 4x 3 6x 2 +2x 2 3x 6x 2 +x +1 +6x 2 +9x +10x +1 Il procedimento ha termine quando dalla somma in colonna si ottiene un polinomio il resto rx)) che ha grado minore del divisore bx). 4x 3 6x 2 +2x 2 3x +5 6x 2 +x +1 +6x 2 +9x +10x +1 10x Si può così scrivere il risultato della divisione: x 3 + x + 1) : 2x + 3) = 2x 2 3x x + 3. Divisione polinomio-binomio x-c) Nel caso in cui il polinomio divisore sia un binomio nella forma bx) = x c, esiste un metodo alternativo per effettuare la divisione ma l algoritmo descritto in precedenza va sempre bene!). Eseguiamo la divisione 2x 3 + x 2 3) : x 2). Scriviamo in colonna i coefficienti del polinomio dividendo ax) = 2x 3 + x 2 3 e, in basso a sinistra, il termine c =

5 Riportiamo il primo coefficiente di ax) in basso, sotto la linea orizzontale. Questo sarà il primo coefficiente del quoziente qx) Moltiplichiamo tale coefficiente per c = 2 e scriviamo il risultato nella colonna più a destra, sotto ai coefficienti di ax) Sommiamo i due coefficienti in colonna e scriviamone il risultato sotto la riga, ottenendo così un altro coefficiente di qx) Il procedimento va ripetuto fino a che non si riempie anche l ultima casella in basso a destra. Tale numero rappresenta il resto della divisione. Si può così scrivere il risultato della divisione: x 3 + x 2 3) : x 2) = 2x 2 + 5x x 2. Prodotti notevoli Somma per differenza di due monomi A + B)A B) = A 2 B 2 ax + a 2 b)ax a 2 b) = ax) 2 a 2 b) 2 = a 2 x 2 a 4 b 2. Quadrato di un binomio A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 x 2 2xy 3 ) 2 = x 2 ) 2 + 2x 2 ) 2xy 3 ) + 2xy 3 ) 2 = x 4 4x 3 y 3 + 4x 2 y 6. 5

6 Quadrato di un trinomio A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC a 2 + 2b 2 c) 2 = a) 2 + 2b) 2 + c) 2 +2a 2 )2b 2 ) + 2a 2 ) c) +22b 2 ) c) = = a 4 + 4b 4 + c 2 + 4a 2 b 2 2a 2 c 4b 2 c. Cubo di un binomio A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 2 x) 3 = 2) ) 2 x) + 32) x) 2 + x) 3 = 8 12x + 6x 2 x 3. Scomposizioni Raccoglimento totale AX + BX + CX +... = XA + B + C +...) 1 2 x x2 y = 1 2 x2 x y ). Raccoglimento parziale AX + BX + AY + BY = XA + B) + Y A + B) = A + B)X + Y ) a 4 a 3 2a + 2 = a 3 a 1) 2a 1) = a 1)a 3 2). Differenza di quadrati A 2 B 2 = A + B)A B) x 2 4y 2 = x + 2y)x 2y). Quadrato di un binomio 1 4 a10 + a = 1 2 a5 + 1) 2. Quadrato di un trinomio A 2 + 2AB + B 2 = A + B) 2 A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC = A + B + C) 2 ) a b2 5a b 5 3 ab = 5 2 a b NB. Quando due dei tre doppi prodotti 2AB, 2AC e 2BC hanno coefficiente negativo, allora sarà negativo il termine del trinomio che compare in entrambi i doppi prodotti negativi. Nell esempio, i doppi prodotti negativi sono 5a e 5 3ab, e in entrambi compare il fattore 5 2 a. Per questo motivo 5 2a compare con segno negativo nel raccoglimento. 6

7 Cubo di un binomio A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 = A + B) 3 a 6 b 3 6a 4 b a 2 b 8 = a 2 b 2) 3. Somma o differenza di cubi A 3 + B 3 = A + B)A 2 + B 2 AB) A 3 B 3 = A B)A 2 + B 2 + AB) x y 6 = x + 3y)x 2 + 9y 2 3xy). Trinomio particolare x 2 + Sx + P = x + n 1 )x + n 2 ) dove n 1 e n 2 sono due numeri tali che la loro somma sia S e il loro prodotto P. x 2 + 8x + 15 = x + 3)x + 5). S = 8; P = 15) n 1 = 3; n 2 = 5 Ruffini px) = x c) q x) dove px) = a n x n +...+a 2 x 2 +a 1 x+a 0 è un polinomio di grado n ordinato rispetto all incognita x, c è un numero scelto tra i divisori del termine noto a 0 del polinomio px), sia con segno positivo che negativo) tale che pc) = 0, e qx) è il risultato della divisione tra px) e x c). 2x 2 + x 1 = x + 1)2x 1). p 1) = 0 c = 1) A pezzi Scomporre un polinomio a pezzi consiste nello scomporre separatamente due o più parti del polinomio. La scomposizione a pezzi funziona soltanto se nelle diverse scomposizioni compare un fattore in comune: tale fattore andrà raccolto con raccoglimento totale. x 2 y 2 +2x+2y = x y)x+y)+2x+y) = x+y)[x y)+2] = x+y)x y+2). Polinomi irriducibili Non si possono scomporre: Somme di quadrati ad es. x 2 + 4) 1 ; Falsi quadrati ovvero sviluppi di quadrati in il doppio prodotto è sostituito dal prodotto semplice, ad es. x 2 + xy + y 2 ). 1 In realtà alcune somme di quadrati sono scomponibili, ma non sono argomento di Prima Superiore. 7