Controllo a Retroazione della velocità di un veicolo

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1 Facoltà di Ingegneria Corso di Studi in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Controlli Automatici Controllo a Retroazione della velocità di un veicolo Anno Accademico 2011/2012 Candidato: Marco Ferro matr. N

2 A tutta la mia famiglia, che mai, in questi tre anni e ancora prima, ha smesso anche solo per un momento di credere in me.

3 Indice Introduzione 4 Capitolo 1. Presentazione del problema Modellistica Analisi Sintesi Osservazioni sugli effetti della retroazione sul transitorio Azione Integrale 13 Capitolo 2. Modellistica, analisi e sintesi nello spazio di stato Modello nello spazio di stato Progetto del controllore nello spazio di stato Azione integrale nello spazio di stato Progetto del controllore 18 Capitolo 3. Funzione di trasferimento, analisi e sintesi nel dominio di Laplace Sintesi di un controllore proporzionale Sintesi di un controllore proporzionale - integrale Taratura dei guadagni con il metodo di Ziegler-Nichols a ciclo aperto Taratura dei guadagni al calcolatore 26 Capitolo 4. Simulazione al calcolatore Simulazione con controllore proporzionale Simulazione con controllore proporzionale - integrale 29 Capitolo 5. Un fenomeno di non linearità: l effetto Wind-up Descrizione del fenomeno Effetto Wind-up sul sistema di Cruise Control La soluzione Anti Wind-up 36 Conclusioni 37 Bibliografia 38 III

4 Introduzione Possono ricondursi agli anni del secondo sviluppo industriale del XIX secolo e a tutto il secolo scorso le origini e lo sviluppo di settori ingegneristici legati all automazione e all informatica, dei quali obiettivo comune è quello di favorire il progresso tecnologico a mezzo di progettazione di macchine che, in maniera autonoma ed automatica, rendano sempre meno indispensabili l attività e il lavoro dell uomo. La storia dopotutto racconta, e racconterà prevedibilmente ancora di più in futuro, di anni che hanno visto un rapido sviluppo, sempre più consistente e notevole, di macchine opportunamente ideate e progettate per realizzare attività sostitutive ad un lavoro finora manuale: è un operazione che trova oggi la sua vertigine nella progettazione di sistemi mirati al controllo di processi o all elaborazione di dati, i cui vantaggi sono indiscutibili e evidentemente legati ad un risparmio di risorse umane e ad un miglioramento significativo in termini di performance. Soprattutto, al di là di una chiave di lettura strettamente industriale, l avvento dell automazione e dell informatica ha evidentemente presentato il preludio ad una vita più comoda, più facile, più semplice, favorita dalle attività che calcolatori, circuiti e macchine compiono automaticamente per noi. È in questo contesto che è possibile giustificare e comprendere la nascita di tecniche e di tecnologie che oggi circondano il nostro quotidiano, facilitano le nostre attività e concorrono alla realizzazione delle stesse, svincolandoci dall esecuzione di lavori eventualmente pesanti o pericolosi. Obiettivo di quest elaborato è dunque quello di fornire, in maniera rigorosa ed analitica, una 4

5 presentazione di una delle tecnologie più comuni e più vicine alla vita quotidiana, e che quindi in questo senso ben si contestualizza nello scenario presentato, ma dalla trattazione non banale: il sistema di cruise control o controllo di crociera. Per quanti ancora non abbiano avuto finora l occasione o l opportunità di guidare alcune delle più moderne automobili, si sappia che il cruise control è un sistema installato e utilizzato su un autovettura che si occupa di regolare automaticamente la velocità del veicolo ad un valore di riferimento, anche a fronte di disturbi indesiderati legati ad esempio alla pendenza del fondo stradale. Preliminarmente ad ogni tipo di analisi, è opportuno innanzitutto distinguere la tipologia e la funzionalità di alcuni componenti che in questo contesto entrano in gioco: un sistema o processo: la realtà d interesse, regolata da leggi fisiche, che si desidera controllare. Nel nostro caso, è l autovettura in esame. un sensore: un dispositivo che si occupa di effettuare una misurazione della grandezza in esame che si desidera controllare e correggere. È una stima, e come tale può essere affetta da incertezza, rumore o ritardi. In questo contesto, parleremo di un sensore di velocità; un controllore: il componente incaricato di elaborare e calcolare una legge di controllo soddisfacente alle specifiche di progetto, ovvero un algoritmo che calcoli l azione di controllo in funzione dei valori misurati dal sensore. È l oggetto principale del nostro studio, in quanto il comportamento risultante del sistema e quindi la velocità che dovrà assumere l automobile sono vincolati alle scelte di progetto effettuate su questo componente. Nel nostro caso, quindi, è incaricato di valutare la variazione di velocità che deve essere apportata all autovettura per raggiungere la velocità desiderata; un attuatore: un dispositivo incaricato di mettere in atto, di attuare, appunto, la legge di controllo elaborata dal controllore. Le autovetture utilizzano un attuatore che interviene sulla posizione della valvola a farfalla. Tale valvola controlla il momento torcente rilasciato dal motore, che è trasmesso attraverso gli ingranaggi e 5

6 le ruote, generando così una forza che muove l automobile ([1]). disturbi Velocità di riferimento Controllore Attuatore Sistema Sensore La trattazione in merito che segue, dunque, si svilupperà nei seguenti passi: Nel Capitolo 1 si presenteranno in modo generale le caratteristiche e gli aspetti principali del problema che abbiamo intenzione di trattare. Si realizzeranno una modellistica, un analisi e una sintesi preliminari, di tipo qualitativo, che brevemente evidenzieranno la struttura e il comportamento del sistema sia in assenza che in presenza di un azione di controllo. Nel Capitolo 2, quindi, si discuterà ampiamente del problema lavorando nel modello di rappresentazione dello spazio di stato. Si ricaverà, a livello teorico, il progetto di un controllore in grado di garantire il raggiungimento della velocità desiderata. Nel Capitolo 3, lo studio viene effettuato nel dominio di Laplace mediante le funzioni di trasferimento del sistema. Si effettuerà la sintesi del controllore valutando la funzione d anello del sistema e la funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso. Nel Capitolo 4, si validerà la progettazione dei controllori sintetizzati nel Capitolo 3 mediante il supporto del calcolatore e dell ambiente MATLAB, permettendo di verificare l efficacia dei risultati prodotti anche grazie alla visualizzazione di grafici a supporto. 6

7 Nel Capitolo 5, infine, si affronterà una problematica legata alla natura del sistema di cruise control e in generale di qualsiasi altro sistema di controllo dalla progettazione analoga, ovvero il fenomeno di wind-up. Si illustrerà in tal senso l origine del fenomeno e una delle possibili soluzioni che possono essere adoperate per far fronte al problema. 7

8 Capitolo 1 Presentazione del problema Figura 1. Schema generale di controllo di un sistema. Sono stati evidenziati gli ingressi e le uscite degli attuatori e dei sensori. In generale, la presenza degli attuatori e dei sensori all interno dello schema di controllo introduce un grado maggiore di complessità legato alla loro non idealità, dovuta ad esempio a fenomeni di saturazione: con riferimento alla Figura 1, ciò che ne consegue è che la velocità misurata dal sensore non coincide esattamente con la velocità corrente dell autovettura dell attuatore. Analogamente, l ingresso fisico che agisce sul sistema per mezzo non coincide con il risultato prodotto dalla logica di controllo. La nostra trattazione si riserverà, ad ogni modo, di studiare il problema nell ipotesi in cui entrambi i dispositivi siano ideali, per cui ipotizzeremo: 8

9 Poste queste ipotesi semplificative, per ricavare un modello matematico rigoroso su cui lavorare con validi strumenti teorici, concentriamo la nostra attenzione sul sistema da controllare, vale a dire sulla nostra automobile. 1.1 Modellistica Un modello matematico può essere ricavato sfruttando le equazioni differenziali ordinarie: attraverso di esse sarà possibile, note opportune condizioni iniziali, evidenziare il bilanciamento delle leggi fisiche in gioco nel sistema. Da un punto di vista prettamente fisico, l automobile è un corpo con una data massa, che, per effetto di una forza opportuna applicata su di essa, si muove con una certa velocità. Formalmente, con riferimento al seguente schema: u Automobile y Sia u la forza applicata in ingresso all automobile e prodotta dal momento torcente del motore per effetto della valvola a farfalla, e sia y la velocità dell automobile risultante. Sia inoltre un disturbo o ingresso non manipolabile, legato a un generico fenomeno fisico che può intervenire sul sistema e sul quale non abbiamo possibilità di controllo. Siano inoltre m la massa dell automobile, c il coefficiente di attrito del suolo stradale, e sia F la forza risultante. Si avrà: nell ipotesi che la velocità dell automobile all istante iniziale sia nulla, cioè y(0) = Analisi In una prima analisi preliminare, dunque, supponiamo di essere in condizioni tali da poter assumere = 0. Supponiamo dunque di voler controllare la velocità dell automobile ad un 9

10 valore di riferimento costante pari a. La scelta più intuitiva e immediata che possiamo pensare di effettuare è selezionare un ingresso u per l automobile che sia esattamente proporzionale al valore di riferimento, cioè: dove k è una costante detta guadagno di controllo. L equazione differenziale di cui sopra ci permette di ricavare in modo molto agevole il valore della velocità raggiunta dal sistema avendo applicato costantemente l ingresso indicato. Si avrà infatti: Possiamo quindi, in teoria, progettare il guadagno k in modo tale che sia k = c, per ottenere così un uscita del sistema (la velocità dell automobile) esattamente uguale al valore desiderato. Nella pratica, però, questo tipo di scelta non evidenzia una soluzione ottimale, in quanto è evidentemente irragionevole l idea di dover misurare il valore di attrito della strada. Supponiamo ora che sia In questo caso l equazione differenziale del modello diventa: e la risposta sarà: In presenza del disturbo, il controllore non è robusto, in quanto in questo caso la velocità finale del sistema varia di una quantità sulla quale non abbiamo nessun tipo di controllo. L inefficienza di questo tipo di soluzione risiede nel fatto che l ingresso u non dipende mai 10

11 dalla reale velocità dell automobile, ma solo dalla velocità di riferimento. Si parla in tal caso di analisi a ciclo aperto del sistema: l informazione sullo stato corrente del sistema non è utilizzata nella progettazione dell azione di controllo, che dipende solo dallo stato desiderato. Il diagramma a blocchi che possiamo ricavare da questo tipo di soluzione è quindi il seguente: δ u k Sistema y L intenzione sarebbe quella di prevedere dunque un azione di controllo che dipenda anche dalla velocità corrente della vettura, e quindi dipendente dal comportamento corrente del sistema. 1.3 Sintesi La sintesi del controllore necessario a soddisfare la regolazione automatica della velocità dell auto come richiesta può prevedere un ingresso di controllo che sia di tipo proporzionale: dove k è una generica costante di proporzionalità, è detto errore di controllo, e individua lo scarto tra la velocità di riferimento desiderata e la velocità corrente del sistema. In questo caso lo schema a blocchi diventa: e u k Sistema y Si evidenzia qui la presenza di un meccanismo di retroazione, per il quale l uscita prodotta dal sistema si ripresenta in ingresso al controllore che potrà valutare quindi un opportuno 11

12 controllo in funzione della velocità corrente dell automobile. Come prima, assumiamo il caso in cui sia = 0. In questo caso, l equazione differenziale diventa: A regime, avremo: Possiamo allora pensare di scegliere, in modo da eliminare la dipendenza della risposta dal coefficiente di attrito c. In realtà, elevati valori del guadagno non sono sempre desiderabili, in quanto richiedono uno sforzo di controllo eccessivo, legato all energia che abbiamo materialmente a disposizione e al costo di progetto. È necessario quindi trovare un compromesso tra i due aspetti. Osserviamo ad ogni modo che in queste condizioni (, riusciamo a rendere l errore a regime estremamente piccolo: In presenza di eventuali disturbi esterni, invece, posto quindi, si ha: Si osserva facilmente che per, riusciamo a rendere l uscita del sistema prossima a quella desiderata, e allo stesso tempo riusciamo a rigettare il disturbo indesiderato, minimizzando l effetto dei disturbi. Si parla in questo caso di reiezione del disturbo, ed è un aspetto molto significativo per un sistema di controllo in quanto influenza pesantemente le prestazioni dell intero sistema. 12

13 1.4 Effetti della retroazione sul transitorio Supponendo, osserviamo che l equazione differenziale in esame può anche essere scritta come: La formulazione logico-matematica dell azione di controllo, per il sistema a ciclo chiuso, si traduce sul sistema in una variazione virtuale del coefficiente di attrito della strada: variando k stiamo praticamente cambiando la natura stessa della descrizione matematica del sistema, e possiamo quindi alterarne le proprietà transitorie. In presenza di questa legge di controllo, è come se il sistema fosse descritto non più dall equazione originaria, ma da un sistema meccanico in cui la forza elastica è data da. La velocità dell automobile, cioè l uscita del sistema, può essere espressa quindi come: dove è una soluzione particolare dell equazione differenziale. Un aumento del guadagno k, dunque, influisce positivamente sulla dinamica del sistema rendendola più veloce, poichè il transitorio si esaurisce in un tempo minore. Nella realtà, però, più grande è il valore di k, più il sistema tende verso l instabilità. È lo stesso principio per il quale una vecchia automobile, sollecitata a raggiungere elevate velocità, inizia a esibire delle piccole oscillazioni. È il fenomeno non lineare più semplice che possa portare un sistema che non preveda oscillazioni a oscillare, conosciuto con il nome di Biforcazione di Hopf. 1.5 Azione Integrale La legge di controllo analizzata nei paragrafi precedenti è di tipo proporzionale, poiché l ingresso applicato al sistema è direttamente proporzionale all errore di controllo tra la velocità corrente del sistema e la velocità di riferimento. Una legge di questo tipo, tuttavia, 13

14 non è in grado di garantire che tale errore, a regime, si annulli: il risultato che si ottiene è che, dopo un certo tempo transitorio, la velocità dell autovettura si stabilizzi ad una data velocità con un certo scarto di errore rispetto a quella di riferimento desiderata. Faremo vedere allora che un errore a regime nullo è conseguibile soltanto in presenza di un azione integrale da parte del controllore, tale cioè da calcolare l ingresso del sistema come: In questo modo, infatti, otteniamo: Da qui, derivando, possiamo eliminare il segno di integrale: La velocità finale del sistema coincide esattamente con la velocità desiderata. 14

15 Capitolo 2 Modellistica, analisi e sintesi nello spazio di stato La soluzione che presenteremo in questo capitolo è descritta in una rappresentazione detta rappresentazione in spazio di stato o state-space. Questo tipo di rappresentazione permette di modellare un sistema fisico mediante equazioni differenziali ordinarie in cui gli insiemi di ingressi, uscite e stati sono espressi mediante dei vettori. Dalla Teoria dei Sistemi, possiamo dire che, se il sistema è lineare e tempo-invariante (LTI), allora il suo modello nello spazio di stato può essere scritto come: Dove:,. In questo capitolo cercheremo di rappresentare il nostro sistema in questa forma, ci preoccuperemo quindi di valutare una legge di controllo che sia conforme a questo modello e che ci permetta di individuare le variabili di progetto necessarie per soddisfare l obiettivo di controllo. 2.1 Modello nello spazio di stato Partiamo dall equazione differenziale già nota e incontrata nel precedente capitolo: 15

16 Scegliamo come variabile di stato del nostro sistema la velocità y dell automobile, quindi assumiamo. Avremo: Posto: e considerando anche la presenza di disturbi esterni indesiderati, si ottiene: 2.2 Progetto del controllore a retroazione nello spazio di stato Il controllore che cercheremo di progettare sfrutterà un meccanismo di retroazione: ciò implica che l ingresso calcolato dalla legge di controllo dipenda, oltre che dalla velocità di riferimento desiderata, anche dallo stato del sistema, che abbiamo indicato come la velocità dell automobile. È per questo motivo che si parla, in questo caso, di controllo a retroazione di stato. Formalmente quindi, e con riferimento al modello nello spazio di stato ricavato nel paragrafo precedente, la legge di controllo, di tipo proporzionale, può essere progettata come: dove r è il riferimento,. 16

17 2.2.1 Azione integrale nello spazio di stato Abbiamo accennato che un controllore di tipo proporzionale non è in grado di annullare completamente l errore di regime. Formalmente, infatti, si avrà: e l uscita non sarà mai esattamente pari a r. Il controllore deve contenere allora un azione integrale, e si parla in tal caso di Controllore PI (Proporzionale - Integrale). Consideriamo, quindi, un termine aggiuntivo dipendente dall integrale dell errore: Rivediamo allora il modello nello spazio di stato del sistema, esteso a quest informazione aggiuntiva: che, in forma matriciale, può essere vista come: Vogliamo dunque calcolare una nuova azione di controllo per questo nuovo sistema. Sarà sufficiente selezionare o progettare un controllore a retroazione di stato tale da rendere la dinamica asintoticamente stabile, poiché in tal caso il sistema convergerà verso il suo punto di equilibrio, nel quale vale che: 17

18 Per giungere a questo risultato, scegliamo una legge di controllo che sia del tipo: A ciclo chiuso, il sistema si può scrivere nella forma: O equivalentemente, in forma matriciale: Affinché il sistema sia asintoticamente stabile e converga verso il suo punto di equilibrio, dobbiamo scegliere e in modo tale che gli autovalori della matrice siano a parte reale negativa. Si avrà infatti che: Si osservi che tale risultato è conseguibile indipendentemente dal valore di nella prima dinamica, e può quindi essere omesso dalla legge di controllo. Possiamo ora applicare le considerazioni fatte al nostro sistema in esame, e ricavare quindi delle condizioni sulle variabili di progetto e tali da permettere all autovettura di raggiungere una velocità esattamente pari alla velocità desiderata Progetto del controllore Riprendiamo il modello nello spazio di stato del nostro sistema: 18

19 L azione di controllo prevista per il nostro controllore sarà allora del tipo: A ciclo chiuso, il sistema può scriversi nella forma: e in forma matriciale si ha: Poiché la matrice A ha dimensionalità 2x2, possiamo agevolmente calcolare il polinomio caratteristico e dunque i suoi autovalori come: dove è la somma degli elementi della diagonale principale, e è il determinante della matrice. Si avrà: Per il Criterio di Cartesio, il sistema risulterà asintoticamente stabile se i coefficienti del polinomio caratteristico sono tutti positivi. Le condizioni da imporre dunque sono: 19

20 Le scelte di progetto sulle variabili e devono essere dunque fatte in modo da rispettare queste due condizioni, così da ottenere: In questo caso, avremo: 20

21 Capitolo 3 Funzione di trasferimento, analisi e sintesi nel dominio di Laplace Il progetto di un sistema di controllo può essere realizzato, oltre che a mezzo delle equazioni differenziali ordinarie e del modello ricavato nello spazio di stato, anche nel dominio di Laplace, rappresentando il sistema mediante una particolare funzione complessa a valori in campo complesso che prende il nome di funzione di trasferimento, definita come: Dove e sono rispettivamente la trasformata di Laplace del segnale d ingresso e del segnale d uscita. La funzione di trasferimento del nostro sistema, dunque, sarà: La funzione di trasferimento risulta essere uno strumento teorico molto efficiente attraverso il quale realizzare il progetto di un sistema di controllo, in quanto l individuazione degli autovalori è molto rapida, e il progetto del controllore è riconducibile allo studio della funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso, esprimibile come: 21

22 L analisi e la sintesi del sistema, in particolare, vertono sullo studio della funzione d anello, mediante l utilizzo del luogo delle radici del sistema, ovvero il luogo nel piano complesso in cui si spostano gli autovalori del sistema al variare del guadagno. L obiettivo di controllo sul raggiungimento della velocità desiderata può non essere l unico richiesto in un generico progetto di sintesi del controllore previsto per il sistema in esame. A scopo puramente illustrativo, per sottolineare con chiarezza l efficacia dell azione integrale a supporto di quella proporzionale, immaginiamo che, oltre al raggiungimento di una velocità di riferimento, sia richiesto che tale raggiungimento avvenga in un tempo limitato. Imponiamo, ad esempio, che il tempo di assestamento, cioè il tempo impiegato affinchè la velocità dell autovettura si stabilizzi al valore desiderato, sia minore di 10s: Contestualmente, immaginiamo di dover rispettare una specifica meno rigida sulla velocità finale del sistema, potendo permetterci, ad esempio, un errore a regime inferiore al 5%: In questo contesto possiamo sintetizzare qualsiasi tipo di controllore, semplicemente combinando gli effetti delle azioni Proporzionale, Integrale, Derivativa (Regolatori PID). Va detto che i risultati che di qui ai paragrafi successivi saranno ottenuti sono stati calcolati considerando il caso, assolutamente realistico, in cui si abbia: 3.1 Sintesi di un controllore proporzionale Supponiamo dunque di dover progettare un controllore di tipo Proporzionale: 22

23 La funzione d anello e la funzione di trasferimento a ciclo chiuso del nostro sistema sono rispettivamente: Traducendo le specifiche imposte, si ha che: Dallo studio sul luogo delle radici sulla funzione d anello, si verifica che un buon valore del guadagno proporzionale che soddisfi le specifiche è (Figura 2): Figura 2. Rappresentazione del luogo delle radici della funzione d anello. In giallo è evidenziata la regione di non ammissibilità imposta dalla specifica sul tempo di assestamento. Si osservi in basso il valore del guadagno ( ) che permette di posizionare l autovalore della funzione di trasferimento a ciclo chiuso nella regione desiderata ( ). Nel Capitolo 4 si osserverà nel dettaglio in che misura tale valore è soddisfacente rispetto ad altri valori arbitrari. Ad ogni modo, come abbiamo già detto, per una regolazione che garantisca un errore a regime esattamente nullo è necessario introdurre un azione integrale, che nel dominio di Laplace si traduce con l aggiunta di un polo nell origine nella funzione d anello. 23

24 3.2 Sintesi di un controllore proporzionale - integrale Scegliamo allora di utilizzare un controllore la cui funzione di trasferimento sia espressa come: La funzione d anello e la funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso sono rispettivamente: Come è stato possibile evincere anche dal paragrafo precedente, la taratura dei guadagni è un processo fondamentale nella progettazione di un sistema di controllo. Tale regolazione può avvenire, nota la funzione di trasferimento del sistema, nel dominio del tempo, nel dominio di Laplace o nel dominio della frequenza, così da selezionare valori dei guadagni che soddisfino le specifiche. Nell ambito industriale, tuttavia, non sempre la funzione di trasferimento del sistema è resa disponibile, motivo per il quale sono stati introdotti dei metodi di taratura automatica, di natura esclusivamente empirica, che consentono di regolare automaticamente i guadagni di un sistema pur non conoscendone la funzione di trasferimento, al costo, evidentemente accettabile, di una minore precisione ed esattezza rispetto alle specifiche imposte. In questa circostanza vogliamo mostrare l efficacia di un particolare metodo di taratura automatica, che va sotto il nome di Metodo di Ziegler-Nichols a ciclo aperto, per confrontarne quindi l efficacia con i risultati prodotti dalla regolazione automatica di un calcolatore Taratura dei guadagni con il metodo di Ziegler Nichols a ciclo aperto Supponendo di non conoscere la funzione di trasferimento del nostro sistema in esame, l idea di partenza è quella di ipotizzare che tale funzione sia approssimabile alla seguente: 24

25 Dove è il guadagno, la costante di tempo equivalente e il ritardo equivalente. E possibile stimare tali valori dall andamento della risposta al gradino del sistema a ciclo aperto, dopodiché si regoleranno i guadagni del controllore in funzione delle stime effettuate. La risposta al gradino del sistema risulta avere questo andamento: Figura 3 Risposta al gradino del sistema a ciclo aperto, in cui è stata evidenziata la retta tangente alla curva nel punto di massima pendenza per la stima di e Da qui, per la stima di tracciamo la retta tangente al grafico nel punto di massima pendenza del transitorio (in rosso). I punti di intersezione intercettati con l asse dei tempi e con il valore di regime (scelto come stima del guadagno ) sono scelti rispettivamente come stima di. Nel nostro caso, abbiamo: La regolazione dei guadagni, a questo punto, si effettua con l ausilio della tabella di Ziegler-Nichols a ciclo aperto, per la quale i guadagni risultano essere, a seconda del controllore utilizzato, e in funzione delle stime valutate: Regolatore P: ; ; ; Regolatore PI: ; ; ; Regolatore PID: ; ; ; 25

26 Si riserva al capitolo successivo il compito di mostrare la misura dell efficacia di questo metodo di taratura, confrontando i risultati ottenuti con quelli ricavati analiticamente o al calcolatore Taratura dei guadagni al calcolatore Si può verificare che due buoni valori dei guadagni e sono sicuramente. A questi risultati si è giunti realizzando una regolazione automatica del controllore PI mediante calcolatore, la cui trattazione è riservata al capitolo successivo, in cui ci occuperemo anche di mostrare la validità di tali risultati, e la capacità di un controllore PI di annullare l errore a regime. 26

27 Capitolo 4 Simulazione al calcolatore La bontà della trattazione teorica finora esaminata può essere validata attraverso l utilizzo di un potente strumento di calcolo diffusissimo in tutti i settori industriali nei quali siano richiesti calcoli numerici e analisi statistiche, ovvero l ambiente MATLAB. MATLAB è un linguaggio di alto livello e un ambiente interattivo per il calcolo numerico, l'analisi e la visualizzazione dei dati e la programmazione ([2]), e nel nostro caso ci consentirà di simulare virtualmente dei casi realistici del sistema trattato, ovvero la nostra automobile: potremo osservare il comportamento del sistema sotto specifici ingressi esemplificativi e scelte di progetto determinate, potendo quindi valutare in che misura queste possono dirsi efficienti per il conseguimento dell obiettivo desiderato. In accordo con l approccio finora utilizzato, di tipo trial and error, mostriamo le dinamiche del sistema prima in presenza di un controllore che utilizzi la sola azione proporzionale (P), e successivamente in presenza di un controllore che combini anche l azione integrale (PI). Ricordiamo, inoltre, che il caso realistico che stiamo esaminando prevede: dovendo rispettare le seguenti specifiche: 27

28 4.1 Simulazione con controllore proporzionale Ricordiamo che la funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso, in caso di controllore proporzionale, è: Nel capitolo precedente abbiamo osservato, mediante calcoli analitici, che un buon valore del guadagno di controllo per le specifiche imposte è. Supponiamo allora di voler osservare la dinamica del sistema in tre casi differenti: a), b), c) ingresso:. Dalla Command Window di MATLAB, dunque, impostiamo i seguenti dati in m = 1000; c= 70; r = 100; kp = 6; % b) kp = 63; c) kp = 630; num = [kp]; den = [m c+kp]; step(r*num,den); A seconda del valore impostato per, il calcolatore esibisce i seguenti grafici digitando il comando step(r*num,den); : 28

29 Figura 4. Risposte al gradino del sistema con controllore proporzionale in cui sia: a) ; b) ; c) ; È immediato verificare che nei casi a) e b) l uscita del sistema non si comporta secondo le specifiche richieste, richiedendo ben più di 10s per assestarsi a un valore di regime che è comunque lontano da quello nominale. Il caso c), invece, rispetta sia la specifica sul tempo di assestamento che sull errore a regime: la dinamica dell uscita esaurisce il transitorio in meno di 10s e si assesta ad un valore di regime che è prossimo a quello nominale. 4.2 Simulazione con controllore proporzionale integrale Verifichiamo ora la validità del controllore PI progettato nel capitolo precedente per richiedere un errore a regime nullo, e quindi una velocità reale del sistema esattamente pari a quella desiderata. Ricordando l espressione della funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso: 29

30 Si è detto che la coppia di valori di e che può soddisfare le specifiche è. La scelta di questi valori è stata eseguita utilizzando Simulink, un ambiente grafico per la simulazione multi dominio e il Model-Based Design ([3]), che si occupa della modellazione, dell analisi e della sintesi di sistemi dinamici. Parallelamente, abbiamo effettuato una taratura automatica dei guadagni mediante il metodo di Ziegler-Nichols a ciclo aperto. Confrontiamo dunque i risultati ottenuti con le due strategie diverse, e osserviamone le differenze. Con Simulink è possibile realizzare una rappresentazione grafica dello schema di controllo, indicando con chiarezza il sistema da controllare e il controllore utilizzato, oltre a uno scope incaricato di visualizzare l uscita a video. Con riferimento alla Figura 5, lo schema di controllo dell automobile è stato così rappresentato: Figura 5. Schema di controllo con retroazione mediante controllore PI Il blocco interposto tra il sommatore e il sistema dell automobile, il PID Controller, implementa gli algoritmi di controllo PID sia a tempo continuo che a tempo discreto e permette di regolare automaticamente i guadagni del controllore grazie alla funzionalità Tune. Questa funzionalità fornisce un interfaccia grafica estremamente semplice e intuitiva, attraverso la quale è possibile osservare in che misura la dinamica del sistema cambia modificando i parametri desiderati (Figura 6): 30