Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed

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1 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso. Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati: Si = (n ) 18 Se = 36 In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. E o EF // EF = ½ F o Luoghi geometrici Insiemi di punti che soddisfano tutti ad una stessa proprietà. sse di un segmento (retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio) Luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento. P o o P = P isettrice di un angolo (semiretta uscente dal vertice che divide l angolo in due parti congruenti). Luogo geometrico dei punti equidistante dai lati dell angolo. O o o P OP ˆ POˆ P = P

2 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Punti notevoli dei triangoli ircocentro Punto in cui si incontrano i tre assi di un triangolo È equidistante dai vertici del triangolo (luogo geometrico) È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Può essere interno o esterno al triangolo Incentro Punto in cui si incontrano le tre bisettrici di un triangolo È equidistante dai lati del triangolo (luogo geometrico) È il centro della circonferenza inscritta al triangolo È sempre interno al triangolo. Ortocentro Punto di incontro delle tre altezze del triangolo Può essere interno o esterno al triangolo aricentro Punto di incontro delle tre mediane di un triangolo Divide ciascuna mediana in due parti: quella che contiene il vertice è doppia della altra. irconferenza Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La perpendicolare condotta dal centro ad una corda divide sia la corda, sia l arco, sia l angolo al centro in due parti congruenti. O o o

3 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai orde congruenti equidistano dal centro e viceversa. Retta tangente ad una circonferenza È una retta che tocca la circonferenza in due punti coincidenti La retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. O ngoli al centro ngoli aventi il vertice nel centro di una circonferenza O ngoli alla circonferenza ngoli aventi il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti o uno secante e l altro tangente. V V In una circonferenza l angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza. V O O ˆ V ˆ ngoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti

4 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai ngoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa sono congruenti. O P Inoltre PO è bisettrice degli angoli O ˆ e P ˆ. Quadrilateri Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. O D + D = + D Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari. O D ˆ + ˆ 18 ˆ + Dˆ 18

5 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Teoremi di Euclide H 1 Euclide: = H Euclide: H = H H = H I teoremi di Euclide possono anche essere enunciati nel modo seguente: Un cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull ipotenusa e l ipotenusa stessa: H : = : oppure H : = : L altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa: H : H = H : H Teorema di Talete Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali, cioè il rapporto tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapporto dei segmenti corrispondenti sull altra trasversale. t t d esempio : : D = : D D D Il teorema di Talete trova applicazione nei triangoli : Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti direttamente proporzionali. Hp: EF // E F Th: E : E = F : F oppure E : = F :

6 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai TEOREM DELL ISETTRIE DELL NGOLO INTERNO In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti direttamente proporzionali agli altri due lati. D D : D = : FIGURE PRTIOLRI Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza Si prolunga l altezza H fino ad incontrare la circonferenza in D. Si ottiene il triangolo rettangolo D al quale si possono applicare i teoremi di Euclide. Trapezio circoscritto ad una circonferenza Si hanno le seguenti proprietà: I segmenti di tangenza sono congruenti +D = D+ (proprietà dei quadrilateri circoscritti ad una circonferenza) O e OD sono triangoli rettangoli, ai quali si possono applicare i teoremi di Euclide Trapezio circoscritto ad una semicirconferenza I triangoli DK e HO sono congruenti D = O I triangoli M e LO sono congruenti = O

7 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Trapezio o rettangolo inscritto in una semicirconferenza semicirconferenza oppure un punto preso sulla Si congiunge un punto che si trova sulla semicirconferenza con gli estremi del diametro, ottenendo così un triangolo rettangolo, al quale applicare i teoremi di Euclide. Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza l triangolo O si possono applicare i teoremi di Euclide Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza I triangoli H e OD sono simili, pertanto si possono applicare le proprietà della similitudine. TRINGOLI RETTNGOLI ON GLI NGOLI PRTIOLRI DI 3, 6, 45 F G 6 o 45 3 o 45 D E = cateto opposto all angolo di 3 è : = cateto opposto all angolo di 6 è : DE = cateto opposto all angolo di 45 è : quindi : EF = lato 1 3 EF oppure EF diagonale del quadrato DEGF e

8 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai RELZIONI TR I LTI E I RGGI DEI POLIGONI REGOLRI INSRITTI IN UN IRONFERENZ Quadrato inscritto è un triangolo rettangolo con gli angoli di 45, pertanto: l 4 = = r = r l 4 = r Triangolo equilatero inscritto Si prolunga l altezza H, ottenendo il triangolo rettangolo D con gli angoli particolari di 3 e 6 : 3 3 l 3 = D = r = r 3 l 3 = r 3 Esagono inscritto r 6 l O r Il triangolo O è equilatero, pertanto ha i lati congruenti: l = r 6 OSSERVZIONI Le tre proprietà appena descritte si ritrovano nei problemi sotto la seguente forma: In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del triangolo equilatero inscritto. 3 Si hanno due informazioni: = r 3 La corda forma con il diametro un angolo di 3

9 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato dell esagono inscritto. 6 Si hanno due informazioni: = r La corda forma con il diametro un angolo di 6 In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del quadrato inscritto. 45 O Si hanno due informazioni: = r La corda forma con il diametro un angolo di 45 SEZIONE URE DI UN SEGMENTO E la parte di segmento che è media proporzionale tra l intero segmento e la sua parte restante. a x a-x = x è la sezione aurea di : = : Sostituendo nella proporzione i valori in figura: a : x = x : (a-x) x =a(a-x) x + ax a = Risolvendo l equazione si trova che la sezione aurea è: x = 5 1 a =, a RPPORTO UREO E il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea (si indica con la lettera ϕ ): ϕ = = 1, Osservazione: il rapporto aureo è un numero puro. LTO DEL DEGONO REGOLRE INSRITTO D UN IRONFERENZ Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta l 1 = 5 1 r

10 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai RGGIO DELL IRONFERENZ INSRITT IN UN TRINGOLO di cui si conoscono le misure dei lati Dati: = c = a = b Dove Verificare che r = p p = semiperimetro = area del triangolo da calcolare con la formula di Erone RGGIO DELL IRONFERENZ IROSRITT D UN TRINGOLO di cui si conoscono le misure dei lati Dati: = c = a = b Dove Verificare che a b c r = 4 = area del triangolo da calcolare con la formula di Erone SIMILITUDINE DEI TRINGOLI Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati, opposti agli angoli congruenti, in proporzione. ˆ ˆ ', ˆ ˆ ', ˆ ˆ ' : ' ' : ' ' : ' '

11 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai In due triangoli simili si dicono corrispondenti o omologhi i lati opposti agli angoli congruenti Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi. riteri di similitudine Permettono di stabilire se due triangoli sono simili. 1 criterio: Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti. criterio: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra lati proporzionali (ad esempio: ˆ ˆ ' e : ' ' : ' ' ). 3 criterio: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali : ' ' : ' ' : ' '. Proprietà dei triangoli simili 1) In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze Hp: H H Th: : = H : H ) In due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi. Hp: Th: p : p = : 3) In due triangoli simili le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi. Hp: Th: : = :

12 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai 4) Teorema delle corde Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse sono i medi di una proporzione e i segmenti sull altra sono gli estremi della stessa proporzione. D Hp : e D corde Th: E : DE = E : E E 5) Teorema delle secanti Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, la parte esterna e l intera secante di una secante sono i medi di una proporzione e la parte esterna e l intera secante dell altra secante sono gli estremi della stessa proporzione. Hp: P e P secanti P Th: P : PD = P : P D 6) Teorema della secante e della tangente Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente e una secante, il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l intera secante e la sua parte esterna. T Hp: P secante e PT tangente P Th: P : PT = PT : P

13 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai LUNGHEZZ DELL IRONFERENZ irconferenza rettificata: il segmento ad essa equivalente. Postulato Data una corda minore del diametro, sottesa da un arco di circonferenza, l arco è compreso tra la corda e la somma di +, cioè: < arco < + Teorema 1 La circonferenza rettificata è minore del perimetro di un poligono circoscritto e maggiore del perimetro di un poligono inscritto. p inscritto < circonferenza < p circoscritto ll aumentare del numero dei lati, i perimetri dei due poligoni tendono a diventare uguali alla lunghezza della circonferenza. Pertanto la circonferenza è l elemento di separazione delle due classi contigue dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza stessa(analogo al discorso sui numeri reali). Teorema Il rapporto tra ogni circonferenza rettificata e il suo diametro è costante; il rapporto misura π. Indicando con la lunghezza della circonferenza e d il suo diametro si ha: d = π Pertanto la lunghezza della circonferenza risulta: = πr RE DEL ERHIO Teorema 3 L area di un cerchio è minore dell area di un poligono circoscritto e maggiore dell area di un poligono inscritto. rea poligono inscritto < rea del cerchio < rea del poligono circoscritto ll aumentare del numero dei lati, le aree dei due poligoni tendono a diventare uguali all area del cerchio. Pertanto l area del cerchio è l elemento di separazione delle due classi contigue delle aree dei due poligoni inscritti e circoscritti al cerchio stesso (analogo al discorso sui numeri reali).

14 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai Teorema 4 Un cerchio è equivalente ad un triangolo avente per base la circonferenza rettificata del cerchio e per altezza il suo raggio. π r r rea = = π r cerchio = π r LUNGHEZZ DI UN RO DI IRONFERENZ Per calcolare la misura l di un arco corrispondente ad un dato angolo al centro di misura α, si utilizza la proprietà che gli archi di una circonferenza sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli al centro, cioè: l : l = α : α. Quindi considerando la circonferenza come un particolare arco di lunghezza πr al quale corrisponde un angolo al centro di 36, si ha: l : π r = α : 36 da cui si può ricavare: l 18 α = π r o o π rα oppure l = 18 Teorema In due circonferenze disuguali, gli archi rettificati che sottendono angoli al centro congruenti sono direttamente proporzionali ai rispettivi raggi. l Hp: O ˆ = ' Oˆ ' = α r O r α Th: l : l' = r : r' α O l Dimostrazione Da quanto ottenuto dal calcolo della lunghezza di un arco, si ha: l r facendo il rapporto tra le due uguaglianze si ottiene: = l' r' π r π r' l = α e l' = α e quindi o o La proporzione del teorema precedente può essere riscritta nel modo seguente l : r = l': r', cioè: il rapporto tra l arco l e il raggio r, a parità di angolo al centro α, è costante al variare della l l' circonferenza, cioè: = = costante. r r'

15 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai RE DI UN SETTORE IROLRE Si definisce settore circolare la parte di cerchio compresa tra due raggi; l angolo al centro si dice ampiezza del settore. Per calcolare l area di un settore si utilizza la proprietà che i settori di una stesso cerchio sono direttamente proporzionali agli angoli al centro. Quindi considerando il cerchio un particolare settore di ampiezza 36, si ha: π r α settore : π r = α : 36 settore = 36 MISUR DEGLI NGOLI La misura di un angolo si può esprimere in diversi modi, a seconda dell unità di misura che si sceglie. Sistema sessagesimale Si assume come unità di misura degli angoli il grado (cioè u = 1 ), che è la 9-esima parte dell angolo retto. I suoi sottomultipli sono il primo (1/6 di grado) e il secondo (1/6 di primo). In tale unità si ha, ad esempio, che l angolo piatto misura 18 o e l angolo retto 9 o. Dire che un angolo ha ampiezza 3, significa dire che l angolo è 3 volte l angolo grado, cioè α = 3 1 = 3 Sistema radiale o circolare Dato un angolo α e più circonferenze aventi il centro nel vertice dell angolo, risulta che il rapporto l l' tra l arco l e il raggio r è costante al variare della circonferenza, cioè: = = costante. r r' O α r l l r Proprio questa proprietà consente di assumere come misura dell angolo α tale rapporto costante, cioè: l misura di α = α r = r

16 ppunti di geometria.s Prof. Luigi ai e prendere come unità di misura l angolo radiante (u = 1 rad), cioè l ampiezza di un angolo al centro di una circonferenza il cui arco rettificato è uguale al raggio. Pertanto un angolo dell angolo O ˆ espresso in radianti è : O ˆ r = α 1rad, cioè O ˆ r rispetto all unità di misura u (= 1 rad) e si può anche scrivere: α r α è la misura O ˆ = 1rad Esempio 1 r α Dire che un angolo α misura 3 rad, significa: α = 3 1rad = 3 rad oppure α = = 3 1 rad Esempio r l circonferenza π r - misura dell angolo giro : α = = = = π r r r - l angolo piatto misura π. Osservazioni ome unità di misura conviene usare il sistema radiale, per i seguenti motivi: I radianti sono numeri reali (per esempio: π = 3,14.., π = 6,8..), quindi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri reali, cioè ad ogni angolo espresso in radianti corrisponde un numero reale (o un punto sulla retta) e viceversa. Invece la misura in gradi esprime un valore che non è assimilabile ad alcun numero reale, ma a qualcosa che è utile usare fino a quando non si parla di misura; infatti α = non è un numero reale e quindi non può essere messo in corrispondenza biunivoca con R, e quindi non può essere rappresentato sugli assi cartesiani. Le formule dove intervengono misure in radianti, sono assai più semplici delle corrispondenti formule in cui intervengono misure in gradi. Se α è espresso in radianti, la misura di un arco si calcola: l = α r Passaggio dai gradi ai radianti o r Dato l angolo Â, sia α la sua misura in gradi e α la sua misura in radianti, prendendo come riferimento l angolo piatto Pˆ, le cui misure sono 18 in gradi e π in radianti, risulta: ˆ : Pˆ : 18 o o r = α e π ˆ ˆ o o r : P = α : α :18 = α : π tale proporzione permette di passare dal sistema radiale al sistema sessagesimale e viceversa. Per esempio, l angolo di 1 radiante misura circa 57,3 ( = ), infatti: α :18 = 1: π o o 18 1 α = = 57,3 π