Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).

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1 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai PPUNTI ngli frmati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, crrispndenti, cniugati). In un triangl l angl estern è cngruente alla smma degli angli interni nn adiacenti ad ess. Smma degli angli interni ed esterni di un plign di n lati: Si = (n ) 18 Se = 36 In un triangl il segment che cngiunge i punti medi di due lati è parallel al terz lat e cngruente alla sua metà. E EF // EF = ½ F Lughi gemetrici Insiemi di punti che sddisfan tutti ad una stessa prprietà. sse di un segment (retta perpendiclare al segment e passante per il su punt medi) Lug gemetric dei punti equidistanti dagli estremi di un segment. P P = P isettrice di un angl (semiretta uscente dal vertice che divide l angl in due parti cngruenti). Lug gemetric dei punti equidistante dai lati dell angl. O P OP ˆ POˆ P = P

2 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai Punti ntevli dei triangli irccentr Punt in cui si incntran i tre assi di un triangl È equidistante dai vertici del triangl (lug gemetric) È il centr della circnferenza circscritta al triangl Può essere intern estern al triangl Incentr Punt in cui si incntran le tre bisettrici di un triangl È equidistante dai lati del triangl (lug gemetric) È il centr della circnferenza inscritta al triangl È sempre intern al triangl. Ortcentr Punt di incntr delle tre altezze del triangl Può essere intern estern al triangl aricentr Punt di incntr delle tre mediane di un triangl Divide ciascuna mediana in due parti: quella che cntiene il vertice è dppia della altra. ircnferenza Lug gemetric dei punti equidistanti da un punt fiss dett centr. La perpendiclare cndtta dal centr ad una crda divide sia la crda, sia l arc, sia l angl al centr in due parti cngruenti. O

3 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai rde cngruenti equidistan dal centr e viceversa. Retta tangente ad una circnferenza È una retta che tcca la circnferenza in due punti cincidenti La retta tangente è perpendiclare al raggi nel punt di tangenza. O ngli al centr ngli aventi il vertice nel centr di una circnferenza O ngli alla circnferenza ngli aventi il vertice sulla circnferenza e i lati entrambi secanti un secante e l altr tangente. V V In una circnferenza l angl al centr è sempre il dppi del crrispndente angl alla circnferenza. V O O ˆ V ˆ ngli alla circnferenza che insistn sull stess arc su archi cngruenti sn cngruenti

4 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai ngli alla circnferenza che insistn su una semicircnferenza sn retti I segmenti di tangente cndtti ad una circnferenza da un punt P estern ad essa sn cngruenti. O P Inltre PO è bisettrice degli angli O ˆ e P ˆ. Quadrilateri Se un quadrilater è circscritt ad una circnferenza allra la smma di due lati ppsti è cngruente alla smma degli altri due. O D + D = + D Se un quadrilater è inscritt in una circnferenza allra gli angli ppsti sn supplementari. O D ˆ+ ˆ 18 ˆ+ Dˆ 18

5 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai Teremi di Euclide H 1 Euclide: = H Euclide: H = H H = H I teremi di Euclide pssn anche essere enunciati nel md seguente: Un catet è medi prprzinale tra la sua priezine sull iptenusa e l iptenusa stessa: H : = : ppure H : = : L altezza relativa all iptenusa è media prprzinale tra le priezini dei cateti sull iptenusa: H : H = H : H Terema di Talete Un fasci di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente prprzinali, ciè il rapprt tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapprt dei segmenti crrispndenti sull altra trasversale. t t d esempi : : D = : D D D Il terema di Talete trva applicazine nei triangli : Una retta parallela ad un lat di un triangl divide gli altri due in parti direttamente prprzinali. Hp: EF // E F Th: E : E = F : F ppure E : = F :

6 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai TEOREM DELL ISETTRIE DELL NGOLO INTERNO In un triangl la bisettrice di un angl intern divide il lat ppst in due parti direttamente prprzinali agli altri due lati. D D : D = : FIGURE PRTIOLRI Triangl isscele inscritt in una circnferenza Si prlunga l altezza H fin ad incntrare la circnferenza in D. Si ttiene il triangl rettangl D al quale si pssn applicare i teremi di Euclide. Trapezi circscritt ad una circnferenza Si hann le seguenti prprietà: I segmenti di tangenza sn cngruenti +D = D+ (prprietà dei quadrilateri circscritti ad una circnferenza) O e OD sn triangli rettangli, ai quali si pssn applicare i teremi di Euclide Trapezi circscritt ad una semicircnferenza I triangli DK e HO sn cngruenti D = O I triangli M e LO sn cngruenti = O

7 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai Trapezi rettangl inscritt in una semicircnferenza semicircnferenza ppure un punt pres sulla Si cngiunge un punt che si trva sulla semicircnferenza cn gli estremi del diametr, ttenend csì un triangl rettangl, al quale applicare i teremi di Euclide. Triangl isscele circscritt ad una semicircnferenza l triangl O si pssn applicare i teremi di Euclide Triangl isscele circscritt ad una circnferenza I triangli H e OD sn simili, pertant si pssn applicare le prprietà della similitudine. TRINGOLI RETTNGOLI ON GLI NGOLI PRTIOLRI DI 3, 6, 45 F G D E = catet ppst all angl di 3 è : = catet ppst all angl di 6 è : DE = catet ppst all angl di 45 è : quindi : EF = lat 1 3 EF ppure EF diagnale del quadrat DEGF e

8 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai RELZIONI TR I LTI E I RGGI DEI POLIGONI REGOLRI INSRITTI IN UN IRONFERENZ Quadrat inscritt è un triangl rettangl cn gli angli di 45, pertant: l 4 = = r = r l 4 = r Triangl equilater inscritt Si prlunga l altezza H, ttenend il triangl rettangl D cn gli angli particlari di 3 e 6 : 3 3 l 3 = D = r = r 3 l 3 = r 3 Esagn inscritt r 6 l O r Il triangl O è equilater, pertant ha i lati cngruenti: l = r 6 OSSERVZIONI Le tre prprietà appena descritte si ritrvan nei prblemi stt la seguente frma: In una circnferenza di raggi r si chiede di tracciare una crda cngruente al lat del triangl equilater inscritt. 3 Si hann due infrmazini: = r 3 La crda frma cn il diametr un angl di 3

9 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai In una circnferenza di raggi r si chiede di tracciare una crda cngruente al lat dell esagn inscritt. 6 Si hann due infrmazini: = r La crda frma cn il diametr un angl di 6 In una circnferenza di raggi r si chiede di tracciare una crda cngruente al lat del quadrat inscritt. 45 O Si hann due infrmazini: = r La crda frma cn il diametr un angl di 45 SEZIONE URE DI UN SEGMENTO E la parte di segment che è media prprzinale tra l inter segment e la sua parte restante. a x a-x = x è la sezine aurea di : = : Sstituend nella prprzine i valri in figura: a : x = x : (a-x) x =a(a-x) x + ax a = Rislvend l equazine si trva che la sezine aurea è: x = 5 1 a=, a RPPORTO UREO E il rapprt tra la misura del segment e la sua sezine aurea (si indica cn la lettera ϕ ): 5+ 1 ϕ = = 1, Osservazine: il rapprt aure è un numer pur. LTO DEL DEGONO REGOLRE INSRITTO D UN IRONFERENZ Il lat di un decagn reglare è la sezine aurea del raggi della circnferenza circscritta l 1 = 5 1 r

10 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai RGGIO DELL IRONFERENZ INSRITT IN UN TRINGOLO di cui si cnscn le misure dei lati Dati: = c = a = b Dve Verificare che r = p p = semiperimetr = area del triangl da calclare cn la frmula di Erne RGGIO DELL IRONFERENZ IROSRITT D UN TRINGOLO di cui si cnscn le misure dei lati Dati: = c = a = b Dve Verificare che a b c r = 4 = area del triangl da calclare cn la frmula di Erne SIMILITUDINE DEI TRINGOLI Definizine: Due triangli si dicn simili se hann gli angli rdinatamente cngruenti e i lati, ppsti agli angli cngruenti, in prprzine. ˆ ˆ ', ˆ ˆ ', ˆ ˆ ' : ' ' : ' ' : ' '

11 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai In due triangli simili si dicn crrispndenti mlghi i lati ppsti agli angli cngruenti Si chiama rapprt di similitudine il rapprt tra due lati mlghi. riteri di similitudine Permettn di stabilire se due triangli sn simili. 1 criteri: Due triangli sn simili se hann due angli rispettivamente cngruenti. criteri: Due triangli sn simili se hann un angl rispettivamente cngruente cmpres tra lati prprzinali (ad esempi: ˆ ˆ ' e : ' ' : ' ' ). 3 criteri: Due triangli sn simili se hann i tre lati rispettivamente prprzinali : ' ' : ' ' : ' '. Prprietà dei triangli simili 1) In due triangli simili le basi stann fra lr cme le rispettive altezze Hp: H H Th: : = H : H ) In due triangli simili i perimetri stann fra lr cme due lati mlghi. Hp: Th: p : p = : 3) In due triangli simili le aree stann fra lr cme i quadrati di due lati mlghi. Hp: Th: = : ' : ' '

12 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai 4) Terema delle crde Se due crde di una circnferenza si intersecan, i segmenti che si frman su una di esse sn i medi di una prprzine e i segmenti sull altra sn gli estremi della stessa prprzine. D Hp : e D crde Th: E : DE = E : E E 5) Terema delle secanti Se da un punt estern ad una circnferenza si cnducn due secanti, la parte esterna e l intera secante di una secante sn i medi di una prprzine e la parte esterna e l intera secante dell altra secante sn gli estremi della stessa prprzine. Hp: P e P secanti D P Th: P : PD = P : P 6) Terema della secante e della tangente Se da un punt estern ad una circnferenza si cnducn una tangente e una secante, il segment di tangenza è medi prprzinale tra l intera secante e la sua parte esterna. T Hp: P secante e PT tangente P Th: P : PT = PT : P

13 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai LUNGHEZZ DELL IRONFERENZ ircnferenza rettificata: il segment ad essa equivalente. Pstulat Data una crda minre del diametr, sttesa da un arc di circnferenza, l arc è cmpres tra la crda e la smma di +, ciè: < arc < + Terema 1 La circnferenza rettificata è minre del perimetr di un plign circscritt e maggire del perimetr di un plign inscritt. p inscritt < circnferenza < p circscritt ll aumentare del numer dei lati, i perimetri dei due pligni tendn a diventare uguali alla lunghezza della circnferenza. Pertant la circnferenza è l element di separazine delle due classi cntigue dei perimetri dei pligni inscritti e circscritti alla circnferenza stessa(analg al discrs sui numeri reali). Terema Il rapprt tra gni circnferenza rettificata e il su diametr è cstante; il rapprt misura π. Indicand cn la lunghezza della circnferenza e d il su diametr si ha: d = π Pertant la lunghezza della circnferenza risulta: = πr RE DEL ERHIO Terema 3 L area di un cerchi è minre dell area di un plign circscritt e maggire dell area di un plign inscritt. rea plign inscritt < rea del cerchi < rea del plign circscritt ll aumentare del numer dei lati, le aree dei due pligni tendn a diventare uguali all area del cerchi. Pertant l area del cerchi è l element di separazine delle due classi cntigue delle aree dei due pligni inscritti e circscritti al cerchi stess (analg al discrs sui numeri reali).

14 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai Terema 4 Un cerchi è equivalente ad un triangl avente per base la circnferenza rettificata del cerchi e per altezza il su raggi. π r r rea= = π r cerchi =π r LUNGHEZZ DI UN RO DI IRONFERENZ Per calclare la misura l di un arc crrispndente ad un dat angl al centr di misura α, si utilizza la prprietà che gli archi di una circnferenza sn direttamente prprzinali ai crrispndenti angli al centr, ciè: l : l = α : α. Quindi cnsiderand la circnferenza cme un particlare arc di lunghezza πr al quale crrispnde un angl al centr di 36, si ha: l : π r = α : 36 da cui si può ricavare: l 18 α = π r π rα ppure l = 18 Terema In due circnferenze disuguali, gli archi rettificati che sttendn angli al centr cngruenti sn direttamente prprzinali ai rispettivi raggi. l Hp: O ˆ = ' Oˆ ' = α r O r α Th: l : l' = r : r' α O l Dimstrazine Da quant ttenut dal calcl della lunghezza di un arc, si ha: facend il rapprt tra le due uguaglianze si ttiene: l r = l' r' π r π r' l = α e l' = α e quindi La prprzine del terema precedente può essere riscritta nel md seguente l : r= l': r', ciè: il rapprt tra l arc l e il raggi r, a parità di angl al centr α, è cstante al variare della l l' circnferenza, ciè: = = cstante. r r'

15 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai RE DI UN SETTORE IROLRE Si definisce settre circlare la parte di cerchi cmpresa tra due raggi; l angl al centr si dice ampiezza del settre. Per calclare l area di un settre si utilizza la prprietà che i settri di una stess cerchi sn direttamente prprzinali agli angli al centr. Quindi cnsiderand il cerchi un particlare settre di ampiezza 36, si ha: π r α settre : π r = α : 36 settre = 36 MISUR DEGLI NGOLI La misura di un angl si può esprimere in diversi mdi, a secnda dell unità di misura che si sceglie. Sistema sessagesimale Si assume cme unità di misura degli angli il grad (ciè u = 1 ), che è la 9-esima parte dell angl rett. I sui sttmultipli sn il prim (1/6 di grad) e il secnd (1/6 di prim). In tale unità si ha, ad esempi, che l angl piatt misura 18 e l angl rett 9. Osservazine: Gli angli espressi in gradi nn sn numeri reali, ma un qualcsa che permettn di visualizzare rapidamente l ampiezza di un angl; pertant nn pssn essere riprtati sugli assi cartesiani. Sistema radiale circlare Dat un angl α (espress in gradi) e più circnferenze aventi il centr nel vertice dell angl, risulta che il rapprt tra l arc l e il raggi r è cstante al variare della circnferenza, ciè: l l' l α = = cstante; infatti tale rapprt, che misura = π, dipende sl dall angl al centr e r r' r 18 nn dipende dall unità di misura, essend un rapprt di grandezze mgenee. O α r l l r Prpri queste cnsiderazini cnsentn di assumere tale rapprt cstante cme misura dell angl α, ciè: l misura di α = α r = r e prendere cme unità di misura l ampiezza dell angl per cui tale rapprt vale 1, ssia l angl radiante (u = 1 rad), ciè l ampiezza di un angl al centr di una circnferenza il cui arc rettificat è uguale al raggi.

16 ppunti di gemetria.s Prf. Luigi ai α r r Esempi r l πr r - Se α è l angl gir l = πr α = = = π α = π r r iè l angl gir espress in radianti è pari a π. - L angl rett espress in radianti è pari a π/. - l angl di 1 radiante misura circa 57,3 ( = ), infatti: α : = 1: π α = = 57,3 π Passaggi dai radianti ai gradi e viceversa In teria, dette α e α r rispettivamente le misure di un angl in gradi e in radianti, si utilizza la prprzine: 18 : π = α : α r In pratica, si prcede nel seguente md: gradi radianti radianti gradi π π = π = 7 Osservazine: Gli angli misurati in radianti sn numeri reali, pertant pssn essere messi in crrispndenza biunivca cn i punti della retta e quindi pssn essere riprtati sugli assi cartesiani. Per esempi, l angl di 1 radiante misura circa 57,3 ( = ), infatti: α :18 = 1: π 18 1 α = = 57,3 π