Classi di reddito % famiglie Fino a Oltre Totale 100

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1 ESERCIZIO Data la seguete dstrbuzoe percetuale delle famgle talae per class d reddto, espresso mlo d lre, (ao 995, fote Istat): Class d reddto % famgle Fo a Oltre Totale 00 Assumedo 00 come valore cetrale dell'ultma classe: ) Rappresetare grafcamete la dstrbuzoe de reddt; ) Determare la percetuale delle famgle co u reddto a. compreso tra 0 e 5 ml d b. compreso tra 5 e 0 ml d c. compreso tra 5 e 7 ml d e tra e 5 ml d d. compreso tra 0 e 50 ml d 3) Msurare la varabltà della dstrbuzoe term assolut e relatv; 4) Stablre come s modfcao meda e varaza del reddto, se s potzza: a) d aumetare tutt reddt d 0 mlo; b) d aumetare tutt reddt del 0%; c) d covertre tutt reddt Euro. 5) Studare la forma della dstrbuzoe attraverso l dce d Fsher SVOLGIMENTO ) Per la rappresetazoe grafca della dstrbuzoe de reddt è ecessaro passare alla costruzoe dell stogramma ormalzzato. E qud ecessaro calcolare le destà d frequeza. Nell potes che 00 sa l valore cetrale dell ultma classe, come rchesto dall eserczo, è agevole determare l lmte superore della stessa: 00 (55 + LmteSuperore) / LmteSuperore ( 00) La dstrbuzoe d parteza per la costruzoe dell stogramma ormalzzato è rportata ella seguete tabella, utamete al calcolo del valore cetrale d cascua classe: Class d reddto % famgle Valore Cetrale Classe Ampezza Classe Destà Frequeza Totale 00

2 ) a) Il calcolo della percetuale d famgle co u reddto compreso tra 0 e 5 ml d può essere otteuto partedo dalla dstrbuzoe class presetata al puto. I partcolare le famgle d teresse soo tutte comprese ella secoda classe che va da 5 a 5 ml d. La secoda classe ha ua frequeza (percetuale) assoluta par a 6. ed ua destà d frequeza par a.6 (frequeza/ampezza 6./0). E qud possble calcolare la frequeza (percetuale) relatvamete alle famgle co reddto tra 0 e 5 ml d come segue: ampezza classe : frequeza ampezza sotto-tervallo : frequeza sotto-tervallo ovvero: (5-5) : 6. (5-0) : da cu s ha: 6. ( 5 0) 6. ( 5 0) ( 5 0).6 8. ( 5 5) ( 5 5) Dalla precedete equazoe s vede come l calcolo della frequeza relatvamete alle famgle co reddto tra 0 e 5 ml d può essere otteuta drettamete moltplcado la destà d frequeza della classe d rfermeto per l tervallo d teresse tero alla classe stessa. Questo è tutvo se s tee coto del sgfcato d destà d frequeza, ovvero della frequeza che sste su cascu tervallo utaro. La seguete fgura rporta l sgfcato della destà d frequeza el caso della classe d teresse:.6 Area Rettagolo Base Altezza Frequeza Classe Ampezza Destà Frequeza Frequeza tra 0 e 5 Ampezza Destà Frequeza

3 Rsulta qud mmedato calcolare la frequeza delle famgle co reddto tra 0 e 5 ml d moltplcado l ampezza dell tervallo d teresse (par a 5) per la destà d frequeza (par a.6) otteedo così l area del rettagolo tratteggato ella parte ferore della precedete fgura. b) e c) Il calcolo d quest due put porta allo stesso rsultato d quato otteuto al puto a: cò dscede dall potes d equdstrbuzoe del carattere all tero della classe. Le famgle co reddto tra 5 e 0 ml d soo fatt coteute ella secoda classe e l tervallo d teresse è par a 5 utà del carattere, così come del resto per le famgle co reddto tra 5 e 7 ml d e tra e 5 ml d. Quato sopra rsulta evdete dall esame della seguete fgura: d) La percetuale delle famgle co reddto compreso tra 0 e 50 ml d teressa vece quattro class (dalla secoda alla quta): 3

4 Class d reddto % famgle Valore Cetrale Classe Ampezza Classe Destà Frequeza Totale 00 Il calcolo s può scomporre facedo rfermeto alle sgole class e sommado le frequeze assocate a cascua d esse. Per la prma classe s è gà calcolata, al puto, la frequeza delle famgle co reddto tra 0 e 5 ml d, che rsulta par a 8. Per la terza e la quarta classe, essedo queste teramete covolte el calcolo, s può cosderate drettamete la frequeza percetuale assocata, par, rspettvamete a. e a 8.6. Co rfermeto alla quta classe, la percetuale d famgle co reddto compreso tra 45 e 50 può essere otteuta moltplcado l ampezza dell tervallo d teresse (par a ) per la destà d frequeza assocata alla classe (par a.36), otteedo qud ua frequeza par a 6.8. La frequeza della famgle co reddto tra 0 e 50 è qud par a: ) Per l calcolo della varabltà term assolut s può calcolare la varaza e lo scarto quadratco medo. La seguete tabella rporta dat per l calcolo della varaza sa el caso s vogla utlzzare la formula basata sulla somma degl scart al quadrato che quella basata sulla dffereza tra mometo secodo e mometo prmo al quadrato: Class d reddto Valore Cetrale Classe % famgle freq. relatva f ( ) (f ) f ( - µ) ( - µ) ( - µ) f Totale I partcolare è utle passare dalle frequeze percetual (coloa 3) a quelle relatve (coloa 4). A questo puto ella coloa 5 è rportato l calcolo della meda: µ f La coloa 6 rporta l calcolo del mometo secodo (meda de quadrat): µ f E qud agevole calcolare la varaza come dffereza tra l mometo secodo ed l mometo prmo al quadrato: 4

5 σ µ I calcol per la formula basata sugl scart: ( ) σ ( ) ( µ ) f soo rportat coloa 7, 8 e 9 della precedete tabella. Lo scarto quadratco medo rsulta vece par a: σ σ Come dce d varabltà relatvo è possble calcolare l coeffcete d varazoe e lo scarto quadratco medo relatvo: 3. CV σ 0.63 µ σ σ 0.63 σ rel 0.06 ma σ µ 00 4) Il calcolo della meda e varaza el caso cu dat soo soggett a trasformazo può essere effettuato trasformado prma dat d parteza e po rpetedo uovamete calcol oppure sfruttado le propretà d tal dc rspetto a trasformazo lear effettuate su dat. D seguto s rportao etramb procedmet per le tre trasformazo rcheste dall eserczo. 4a) Nel caso cu tutt reddt vegoo aumetat d 0 mlo la tabella seguete rporta calcol per la meda e varaza su dat trasformat: Valore Cetrale Classe % famgle freq. relatva ( ) (f ) f f µ f σ µ Come del resto era logco aspettars teedo coto delle propretà d meda e varaza rspetto alla traslazoe de dat: a+ µ a+ µ a σ σ

6 4b) Gl stess calcol soo rportat ella seguete tabella el caso cu tutt reddt soo aumetat del 0%: Valore Cetrale Classe % famgle freq. relatva ( ) (f ) f f Per aumetare tutt reddt del 0% basta moltplcare valor cetral orgar per la costate., come rsulta da seguet semplc calcol: 0 + 0% ( + 0.). 00 La meda e la varaza, seguto a tale trasformazoe, rsultao: µ f σ µ Rcorredo alle propretà d meda e varaza rspetto al cambameto d orge s ottee pù velocemete lo stesso rsultato: a µ a µ a σ a σ c) Per la trasformazoe de dat euro, teedo coto del dfferete orde d gradezza delle due valute, è coveete esprmere dat mglaa d euro. La seguete tabella rporta qud gl aalogh calcol effettuado la trasformazoe de dat mglaa d euro: Valore Cetrale Classe ( ) µ f 5.5 Valore Cetrale Classe mglaa d ( ) % famgle freq. relatva (f ) f f σ µ Rcorredo alle propretà d meda e varaza rspetto al cambameto d orge s ottee pù velocemete lo stesso rsultato. Se fatt s vuole calcolare la meda e la varaza de dat espress mglaa d a partre da valor d tal dc calcolat per dat mlo d s ha: 6

7 '000 a µ a µ '000 a σ a σ ) Tra var dc d forma s rporta d seguto l calcolo dell dce d Fsher, basato su momet terz stadardzzat: 3 3 z 3 AF z f f σ I calcol soo rportat ella seguete tabella: Class d reddto Valore Cetrale Classe ( ) freq. relatva (f ) 3 z ( - µ)/σ z z 3 f Totale Da cu rsulta come la dstrbuzoe sa caratterzzata da u asmmetra postva (dce maggore d zero). Tale rsultato è cofermato dal calcolo della medaa e dal cofroto tra questa e la meda artmetca. La seguete tabella rporta l calcolo delle frequeze relatve cumulate (fuzoe d rpartzoe emprca): Class d reddto freq. relatva (f ) freq. cumulata (F ) Totale Da essa rsulta come la medaa sa compresa ella classe d reddto tra 35 e 45 (la medaa corrspode fatt a quel valore per cu la fuzoe d rpartzoe emprca F()0.5) e qud more della meda (par a ), cofermado la preseza d u asmmetra postva. Cò è dovuto ache alla partcolare scelta che s è fatta co rfermeto al valore cetrale dell ultma classe, che tede a far aumetare otevolmete la meda. Al fe d determare u valore approssmato per la medaa è possble rcorrere al seguete metodo d terpolazoe leare. 7

8 Sa data la seguete otazoe: X me- - X me classe medaa X me- estremo ferore della classe medaa X me estremo superore della classe medaa F me valore della fuzoe d rpartzoe emprca corrspodeza della classe medaa F me- valore della fuzoe d rpartzoe emprca corrspodeza della classe che precede la classe medaa Il seguete grafco rporta tal gradezze ell potes d equspazatura de dat all tero della classe. F F me 0.5 F me- me- Me me Poché due tragol evdezat fgura soo sml s ha: ( Me me ) ( me me ) ( me me )( 0.5 Fme ) Me me F F F F F me me me me me Nel caso dell esempo questoe s ha: ( me me )( 0.5 Fme ) ( 45 35)( ) Me me F F me me 8