Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita

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1 Automaton Robotcs and System CONTROL Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Corso d laurea n Ingegnera Meccatronca MODI E STABILITA DEI SISTEMI DINAMICI CA - 04 ModStablta Cesare Fantuzz (cesare.fantuzz@unmore.t)

2 Anttrasformate d Laplace ס La determnazone dell'evoluzone lbera e dell'evoluzone forzata d un sstema lneare stazonaro s rportano all'anttrasformazone d un rapporto d polnom n s, coè d una funzone del tpo ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( s X b s s X b s s b s b s X s F s Y m m m m m = = = = ס S defnsce n-m grado relatvo della funzone razonale F(s) ס Per la fsca realzzablta del sstema occorre che: n > m n m > 0 Marzo - Gugno 2011 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s X a s s X a s a s a b s s b s b s X s F s Y n n n n n m m = = = = = 2 CA-04-ModStabltà

3 Anttrasformata d Laplace Dalla Funzone d Trasfermento e possble determnare l uscta del sstema una volta applcato un determnato ngresso b s X(s) Y(s) = 0 Y ( s) = X ( s) F(s) n a s m = 0 Applchamo un ngresso mpulsvo x( t) = δ ( t) X ( s) = 1 Y ( s) m = 0 = n = 0 b s a s Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 3

4 Grado Relatvo Se: 1 relatvo grado ס Frazone strettamente propra: s può scomporre l rapporto d P(s) e Q(s) n una somma d termn faclmente anttrasformabl, detta somma d fratt semplc. Esempo: = 0 relatvo grado ס Dvdendo polnom s ottene la somma d una costante e d una frazone strettamente propra, che s possono anttrasformare ndpendentemente (l'anttrasformata della costante è la stessa moltplcata per un mpulso d Drac). Esempo: Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 4

5 Anttrasformata d Laplace E noto che un polnomo d grado n a coeffcent real ammette n zer real o ס compless, coè l'equazone algebrca ottenuta mponendo l'annullars d un polnomo ammette n radc real o complesse. Se fra tal radc ve n è una complessa, v è pure la sua conugata. Data una ס l equazone s dce equazone caratterstca relatva alla funzone d trasfermento F(s). Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 5

6 Anttrasformate d Laplace Sano p 1,, p n le sue radc, per cu l polnomo Φ(s) s ס può scrvere nella forma fattorzzata In partcolare, se z 1,,z m e p 1,,p n sono rspettvamente gl zer d P(s) e Q(s) (polnomo a numeratore e a denomnatore d F(s)) s ha la forma fattorzzata n cu con K (=b m ) s è ndcato un opportuno coeffcente reale. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 6

7 Zer e Pol complesse: S defnscono le costant ס z 1,, z m p 1,, p n zer d F(s) pol d F(s) Una funzone razonale è completamente determnata, a ס meno d un fattore costante K, una volta assegnat suo zer e suo pol. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 7

8 Esempo ס Anttrasformate d Laplace Esempo ס Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 8

9 Anttrasformata d Laplace Rscrvamo n la Funzone d Trasfermento come somma d Fratt semplc (Fattorzzazone) Resduo, da calcolars per soddsfare l uguaglanza Y ( s) = m b s = 0 = n as = 0 n j= 1 s c j p j j - esmo polo della Funzone d Trasfermento Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 9

10 Anttrasformata d Laplace La Fattorzzazone della Funzone d Trasfermento corrsponde alla suddvsone della rsposta mpulsva n element semplc, chamat mod del Sstema H(s) c s 1 p 1 X(s) s c2 p 2 Y(s) s c n p n Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 10

11 Modo del Sstema S defnsce Modo d un Sstema l anttrasfomata (funzone nel domno del tempo) d cascun fratto semplce n cu vene fattorzzata la Funzone d Trasfermento c 1 1 p1t L = c1e s p1 1 Modo del sstema (Caso n cu la Funzone d Trasfermento ha tutt pol semplc) Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 11

12 Mod d un Sstema La somma de mod d un sstema corrsponde all uscta del Sstema a cu e applcato l ngresso Impulso d Drac δ (t) p1t c1e p2 t c2e y(t) c n e p n t Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà Controll Automatc 12

13 Anttrasformate d Laplace Anttrasformazone n caso d pol semplc ס Anttrasformazone n caso d pol multpl ס Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 13

14 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Lo svluppo della F(s) n somma d fratt semplc corrsponde all'espressone ס K : resdu relatv a var pol p Real n corrspondenza d pol real Compless conugat n corrspondenza d pol compless conugat I resdu s possono rcavare faclmente da ס Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 14

15 Anttrasformate d Laplace Pol Rassumendo: ס semplc Complessvamente, s ס ha: Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 15

16 ESEMPIO Sa ס Anttrasformate d Laplace Pol semplc I resdu sono: 0.7 f(t) e nfne, anttrasformando sngol termn, s ottene f(t) Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà Tempo (sec)

17 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Quando s hanno coppe d pol compless conugat, nella anttrasformata f(t) sono present ס esponenzal complesse moltplcate per coeffcent compless: ess s possono però faclmente rcondurre a prodott d esponenzal real per funzon trgonometrche applcando le formule d Eulero. j ω e j φ φ σ e - j φ S abbano nfatt pol compless conugat a cu corrspondono resdu La somma d fratt semplc ad ess relatva è Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 17

18 Posto ס Anttrasformate d Laplace Pol semplc mettendo n forma polare resdu (u 1 +j v 1 = M e j φ1 ) s può scrvere da cu, anttrasformando, s ottene funzone che, nfne, s può porre nella forma Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 18

19 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Sa ס Scomponendo n fratt semplc e calcolando resdu s deduce e pertanto da cu, anttrasformando, Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 19

20 Anttrasformate d Laplace Pol semplc 7 f(t) f(t) Tempo (sec) Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 20

21 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Dovendo anttrasformare l'espressone generale ס s può rcorrere all'mpego d tabelle, che rportano le anttrasformate d alcun fratt elementar. Per usare tal tabelle, anztutto s pone lo svluppo n fratt semplc nella forma τ = 1 p cu: n ס l prmo termne s rfersce ad un eventuale polo nell'orgne, la prma sommatora a cosddett termn del prmo ordne, relatv agl h pol real non null la seconda sommatora a cosddett termn del secondo ordne, relatv alle k coppe d pol compless conugat. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 21

22 Un Esempo: Rsposta al gradno untaro Rsposta al gradno untaro d un sstema elementare del prmo ordne. esempo: Se per ס ha: Anttrasformando due termn s ס A parte un guadagno, la rsposta è del tpo ס f(t) = 1 e -t/τ tempo) La rsposta è dunque caratterzzata dal valore d τ (costante d ס Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 22

23 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Per ottenere termn del prmo ordne da corrspondent termn della F(s) basta ס esegure opportune poszon. Infatt n questo caso pol p sono real e qund: dove l parametro τ τ costante d tempo caratterzza la rsposta al gradno untaro del sstema elementare del prmo ordne. j ω Pano s x σ = -1/τ σ Per t = τ l uscta raggunge l 63.2% del valore d regme Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 23

24 Anttrasformate d Laplace Pol semplc 1) (=5, 4, 3, 2, τ Andamento d f(t) = 1 e -t/τ per dvers valor d ס 1 1-exp(-t/τ) τ = 1 j ω Pano s ,2% x x x x x σ = -1/τ σ τ = 5 τ = 1 τ = 5 Al dmnure d τ, la veloctà dell uscta aumenta Marzo - Gugno CA-04-ModStabltà Tempo (sec) 24

25 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Per quanto rguarda termn relatv a pol compless conugat, s ha ס che equvale ad un termne del tpo n cu s è posto I parametr ס δ coeffcente d smorzamento 1) (0 δ pulsazone naturale ω caratterzzano la rsposta al gradno untaro del sstema elementare del secondo ordne. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 25

26 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Rsposta a gradno d un termne del secondo ordne ס Tempo (sec) Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 26

27 Anttrasformate d Laplace Pol semplc Avendo posto lo svluppo n fratt nella forma ס s può esegure la anttrasformazone mpegando la seguente tabella. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 27

28 Anttrasformate d Laplace Pol multpl grupp, S suppone che gl n pol della funzone razonale F(s) s possano dvdere n h ס cascuno formato da r ( = 1,,h) pol concdent. In altre parole, s suppone che s abbano h pol dvers p ( = 1,, h), cascuno caratterzzato da un ordne d molteplctà r 1. Naturalmente è Lo svluppo n fratt semplc n questo caso è dato da ס n cu le costant K l s rcavano medante la formula ס Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 28

29 Anttrasformate d Laplace Pol multpl Facendo uso della propretà d lneartà e della relazone ס s può nfne ottenere l'anttrasformata come Anche n questo caso coeffcent K sono compless conugat n corrspondenza d pol compless conugat, per cu le esponenzal complesse possono essere sosttute con prodott d esponenzal real e funzon trgonometrche, con procedmento analogo a quello seguto nel caso d pol dstnt. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 29

30 Anttrasformate d Laplace Pol Esempo: Sa ס multpl Calcolando resdu s deduce e pertanto da cu, anttrasformando Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 30

31 ottene: S ס Anttrasformate d Laplace Pol multpl 0.18 f(t) f(t) Tempo (sec) Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 31

32 Anttrasformate d Laplace Nel calcolo d una anttrasformata s ottengono termn del ס tpo: A) K, K e σ t, K e σ t sn(ω t + φ) pol semplc B) K t h, K t h e σ t, K t h e σ t sn(ω t + φ) pol multpl Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 32

33 5 Anttrasformata d Laplace Mod d un sstema K * exp(σ t) 3 K * exp (σ t) * sn(w t + f) K e σ t 2 σ > σ = 0 f(t) σ > 0 σ = 0 σ < 0 Pol semplc f(t) σ < 0 K e σ t sn(ω t + φ) K * t * exp(σ t) K t j e σ t K * t 2 * exp(σ t) * sn(w t + f) K t j e σ t sn(ω t + φ) σ < 0, j = σ < 0, j = f(t) 1 f(t) Pol multpl σ < 0, j = 0 σ < 0, j = Marzo - Gugno Tempo 2011(sec) CA-04-ModStabltà Tempo (sec) 33

34 Anttrasformata d Laplace Rsultato fondamentale: l'anttrasformata d una funzone razonale fratta rmane lmtata se e solo se la ס funzone da anttrasformare non presenta alcun polo a parte reale postva e gl eventual pol a parte reale nulla sono semplc, dverge n caso contraro. I pol che caratterzzano la trasformata della rsposta d un sstema dnamco ס lneare stazonaro a un segnale d ngresso la cu trasformata d Laplace sa una funzone razonale fratta (come l'mpulso d Drac, l gradno, la snusode) sono quell della funzone d trasfermento, pù quell relatv al segnale d ngresso. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 34

35 Convergenza de Mod Come s è vsto, la poszone de pol della funzone d ס trasfermento ( pol del sstema) rspetto all'asse mmagnaro nflusce sulla propretà d convergenza del modo corrspondente. Defnzone: ס Un modo m(t) s dce convergente a zero se: lm m( t) = t Un modo m(t) s dce lmtato se esste una costante M: lm t m( t) Un modo m(t) s dce dvergente all nfnto se: lm = t m( t) M 0 = < Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 35

36 Propreta d convergenza de mod In base alla relazone che esste tra cascun polo del ס sstema e l corrspondente modo, possamo affermare che: Se un polo ha parte reale negatva, l corrspondente modo e convergenze a zero. Se un polo semplce ha parte reale nulla, l corrspondente modo e lmtato Se un polo ha parte reale postva, oppure ha parte reale nulla ma e d molteplcta maggore d uno, l corrspondente modo e dvergente. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 36

37 Defnzone d Stablta d un Sstema y(t) Sa dato un sstema n quete, coe un sstema per cu l uscta ס rmarrebbe costante n presenza d ngresso costante (o nullo). S sottoponga al sstema un ngresso mpulsvo (una approssmazone ס dell mpulso d Drac). Defnzone: ס Il sstema s dce asntotcamente stable se: lm y ( t ) = t Il sstema s dce semplcemente stable se esste M: lmt y( t) = M < Il sstema s dce nstable se: lmt y( t) 0 = Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 37

38 Propreta d Stablta d un Sstema e Sccome la rposta d un sstema all ngresso mpulsvo ס data dalla somma de mod del sstema, l cu carattere d convergenza e a sua volta dpendente dal polo corrspondente: Un sstema e asntotcamente stable se tutt pol hanno parte reale negatva. Un sstema e semplcemente stable se tutt pol hanno parte reale negatva e se esstono pol semplc a parte reale nulla. Un sstema e nstable se esste anche un solo polo a parte reale postva, oppure un polo a parte reale nulla d molteplcta maggore d uno. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 38

39 Sommaro concett: Abbamo defnto due ס I mod d un sstema, come anttrasformata d Laplace della rsposta lbera della Funzone d Trasfermento. Il carattere d convergenza de mod, e qund la stabltà del sstema fsco descrtto dal modello matematco. Rferment al lbro d ס testo: La stabltà n termn general è trattata nel captolo 2.6, da pag. 41. I mod del sstema (trattat con l formalsmo nello spazo degl stat e autovalor) sono trattat nel captolo 3.2.5, da pag. 56. La stabltà de sstem dnamc lnear è trattata nel captolo 3.4, da pag. 63. Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 39

40 Assgnment 4.1 Calcolare la anttrasformata d Laplace delle seguent ס funzon nella varable complessa s: Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 40

41 Automaton Robotcs and System CONTROL Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla MODI E STABILITA. FINE Marzo - Gugno 2011 CA-04-ModStabltà 41