GLI INSIEMI NUMERICI

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1 GLI INSIEMI NUMERICI R π, _ -,8,89 Q Z N _,,66 - e, - -,6 _ -,6 6 R Numeri Reli Q Numeri Rzioli Z Numeri Iteri Reltivi N Numeri Nturli Dl digrmm di Eulero-Ve ovvio è che : N è u sottoisieme rorio di Z, Z è u sottoisieme rorio di Q, Q è u sottoisieme rorio di R I umeri Nturli soo tutti i umeri iteri ositivi, N {,,,,,, 6,,,+ } Nell isieme dei umeri Nturli si ossoo eseguire le oerzioi di : ddizioe, moltiliczioe e otez I umeri Iteri Reltivi soo tutti i umeri iteri ositivi e egtivi, Z{-, -, -,,,, + } Nell isieme dei umeri Iteri Reltivi, oltre ll ddizioe, ll moltiliczioe e ll otez, si uò eseguire che l sottrzioe I umeri Rzioli Q, soo tutti i umeri, ositivi e egtivi, che si ossoo mettere sotto form di frzioe, e cioè tutti i umeri iteri, tutti i umeri decimli limitti, tutti i umeri decimli illimitti eriodici e tutte le frzioi Nell isieme dei umeri rzioli, oltre ll ddizioe, ll sottrzioe, ll moltiliczioe e ll otez, si uò eseguire che l divisioe I umeri Irrzioli I, soo tutti i umeri che o si ossoo mettere sotto form di frzioe, e cioè i umeri decimli illimitti o eriodici I umeri Reli R, soo tutti i umeri rzioli e irrzioli Nell isieme dei umeri reli, oltre lle oerzioi di ddizioe, sottrzioe, moltiliczioe, divisioe e otez, si uò eseguire che l estrzioe di rdice -esim di qulsisi umero ositivo Mtemtic wwwmimmocorrdoit

2 I NUMERI NATURALI L tbelli x x x x x x6 6 x x8 8 x9 9 x x x x 6 x 8 x x6 x x8 6 x9 8 x x x 6 x 9 x x x6 8 x x8 x9 x x x 8 x x 6 x x6 x 8 x8 x9 6 x x x x x x x6 x x8 x9 x 6x 6 6x 6x 8 6x 6x 6x6 6 6x 6x8 8 6x9 6x 6 x x x x 8 x x6 x 9 x8 6 x9 6 x 8x 8 8x 6 8x 8x 8x 8x6 8 8x 6 8x8 6 8x9 8x 8 9x 9 9x 8 9x 9x 6 9x 9x6 9x 6 9x8 9x9 8 9x 9 x x x x x x66 x x88 x99 x Potez di umero turle 8 volte? o h lcu sigificto Prorietà delle oteze : b + ( b) : b ( : b) : + ( ) 6 : (6 : ) ( ) ( ) Criteri di divisibilità U umero è divisibile er qudo termi er cifr ri (,,, 6, 8 ) U umero è divisibile er qudo il umero formto dll somm delle sue cifre è divisibile er U umero è divisibile er qudo termi er zero o er cique U umero è divisibile er 9 qudo il umero formto dll somm delle sue cifre è divisibile er 9 U umero è divisibile er qudo termi er zero Esemi 6 è divisibile er è divisibile er erché che è divisibile er 68 è divisibile er è divisibile er 9 erché che è divisibile er 9 Mtemtic wwwmimmocorrdoit

3 Scomosizioe di u umero i fttori rimi U umero si dice rimo qudo è divisibile solo er se stesso e er uo Soo umeri rimi, d esemio :,,,,,,, 9,, 9,,,,,,, 9, 6, 6,, Per scomorre u umero i fttori rimi, lo si divide er il iù iccolo umero rimo che si suo divisore ; si divide oi il risultto otteuto semre er il suo iù iccolo divisore rimo, e così di seguito fio d otteere 6 x x x x 6 x x x x x x x Mssimo comue divisore Il MCD di due o iù umeri turli si ottiee rededo (dll scomosizioe dei umeri i fttori rimi) i fttori comui, u sol volt, co il miimo esoete Esemio MCD (6,, ) x x Miimo comue multilo Il mcm di due o iù umeri turli si ottiee rededo (dll scomosizioe dei umeri i fttori rimi) i fttori comui e o comui, u sol volt, co il mssimo esoete mcm (6,, ) x x x 6 Esressioi ritmetiche Nel risolvere le esressioi ritmetiche occorre eseguire i clcoli rtire dlle retesi iù itere ( tode, - qudre, - grffe); l ordie di esecuzioe delle oerzioi è il seguete: - oteze, moltiliczioi e divisioi, - ddizioi e sottrzioi { 8 + x [( + + x ) : + x ( + : 6) ] } { 8 + x [( x ) : + x ( + ) ] } { 8 + x [( ) : + x ] } :9 + { 8 + x [ : + x ] } :9 + { 8 + x [ + ] } :9 + { 8 + x } :9 + { } :9 + 9 :9 + + :9 + :9 + Mtemtic wwwmimmocorrdoit

4 NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI I umeri Rzioli ssoluti soo tutti i umeri ositivi che si ossoo mettere sotto form di frzioe U frzioe è u coi ordit di umeri turli, il secodo dei quli diverso d zero è u frzioe, il umero è detto umertore metre il è detto deomitore o h sigificto, o rreset lcu frzioe Per ridurre i miimi termii u frzioe occorre dividere il umertore e il deomitore er il MCD dei termii dell frzioe 8 Addizioe e sottrzioe di frzioi : x : x mcm(, ) 6 Moltiliczioe di frzioi 8 9 x x Divisioe di frzioi 8 : x x Potez di u frzioe x x x 6 x x x 8 Mtemtic wwwmimmocorrdoit

5 Trsformzioe di u frzioe i umero decimle Per trsformre u frzioe i umero decimle bst eseguire l divisioe fr il umertore e il deomitore Esemio :, Trsformzioe di u umero decimle i frzioe U umero decimle limitto è ugule d u frzioe che h er umertore il umero dto reso sez l virgol, e er deomitore il umero seguito d tti zeri qute soo le cifre decimli Esemi, 8,8 Trsformzioe di u umero decimle eriodico i frzioe U umero decimle illimitto eriodico è ugule d u frzioe che h er umertore il umero dto reso sez l virgol dimiuito del umero che recede il eriodo, e come deomitore tti ove qute soo le cifre del eriodo seguiti d tti zeri qute soo le cifre dell tieriodo Esemi, , Osservzioe U umero decimle illimitto o eriodico o uò essere trsformto i frzioe, ertto è u umero irrziole Mtemtic wwwmimmocorrdoit

6 I NUMERI RELATIVI I umeri reltivi soo tutti i umeri receduti dl sego iù o dl sego meo Ad esemio : + ; ; + 8, ; ; 8, -, +, Defiizioi Il vlore ssoluto di u umero reltivo è il umero rivto del sego U umero si dice ositivo se è receduto dl sego + U umero si dice egtivo se è receduto dl sego Due umeri si dicoo cocordi se ho lo stesso sego Due umeri si dicoo discordi se ho sego diverso Due umeri si dicoo oosti qudo differiscoo solo er il sego Esemi Il vlore ssoluto di + è il vlore ssoluto di - è + è u umero ositi vo è u umero egtivo e soo umeri cocordi +,8 e,8 soo umeri oosti e + soo umeri discordi Regol er togliere le retesi Se u retesi (coteete u ddizioe lgebric di due o iù umeri) è recedut dl sego +, l retesi ed il sego + ossoo essere elimiti : + ( ) Se u retesi (coteete u ddizioe lgebric di due o iù umeri) è recedut dl sego, l retesi ed il sego ossoo essere elimiti, m occorre cmbire il sego i termii detro l retesi : ( ) Addizioe e sottrzioe L somm di due umeri cocordi si ottiee sommdo i umeri dti e mettedo il sego comue ( CS ) L somm di due umeri discordi si ottiee fcedo l differez dei umeri dti e mettedo il sego del umero iù grde ( DD ) Mtemtic wwwmimmocorrdoit 6

7 Addizioe e sottrzioe di iù umeri L somm lgebric di iù umeri reltivi è ugule ll differez fr l somm dei umeri ositivi e l somm dei umeri egtivi ( ) ( ) 9 6 Moltiliczioe e divisioe Il rodotto o il quoziete di due umeri cocordi è u umero ositivo Il rodotto o il quoziete di due umeri discordi è u umero egtivo (+) x (+) + ( ) x ( ) + (+) x ( ) ( ) x (+) (+) : (+) + ( ) : ( ) + (+) : ( ) ( ) : (+) Potez umero umero (+) + (+) ositivo ositivo + 8 umero egtivo umero ositivo umero egtivo se l' esoete è ri se l' esoete è disri ( ) ( ) x Mtemtic wwwmimmocorrdoit