CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI A.A DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI

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1 POLITECNICO DI BARI II FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI A.A DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI Diagrammi del moto semplificati slide 1 di 21 DESCRIZIONE DEL MOTO DI UN VEICOLO ISOLATO Il moto di un veicolo isolato viene descritto mediante DIAGRAMMI DEL MOTO Essi servono a rappresentare le variazioni nel tempo delle grandezze cinematiche caratterizzanti in moto del veicolo Spazio, Velocità, Accelerazione I diagrammi da individuare e di interesse sono: s = s(t) v = v(t) a = a(t) j = j(t) diagramma dello spazio percorso diagramma della velocità diagramma dell accelerazione diagramma del contraccolpo Diagrammi del moto semplificati slide 2 di 21

2 DETERMINAZIONE DEI DIAGRAMMI DEL MOTO I diagrammi del moto possono essere definiti seguendo due approcci 1) MEDIANTE LE EQUAZIONI DELLA CINEMATICA (diagrammi semplificati o diagrammi tipo ) 2) SOLUZIONE DELL EQUAZIONE GENERALE DEL MOTO F- R = M e dv/dt (diagrammi reali del moto) Diagrammi del moto semplificati slide 3 di 21 DIAGRAMMI DEL MOTO Diamo preventivamente delle definizioni atte ad individuare il significato delle grandezze cinematiche rappresentative del moto di un veicolo isolato. Siano: - t il generico istante di tempo in cui si osserva un dato veicolo (misurato rispetto ad un tempo iniziale di riferimento) - s(t) l ascissa curvilinea che individua la posizione del veicolo all istante di tempo t (misurata rispetto ad una ascissa zero di riferimento) Diagrammi del moto semplificati slide 4 di 21

3 PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO VELOCITA Si definisce velocità istantanea la velocità posseduta dal veicolo all istante t: v(t) = ds(t) dt Siano t 1 e t 2 due istanti di tempo (con t 2 > t 1 ), si definisce velocità media nell intervallo di tempo (t 1, t 2 ): v M (t 1, t 2 )= [s(t 2 ) - s(t 1 )] (t 2 - t 1 ) La stessa relazione indica la velocità commerciale media se nell intervallo di tempo (t 1, t 2 ) il veicolo si è arrestato per un certo periodo di tempo (v=0, ad es. arresto al semaforo o arresto di un autobus alle fermate). Diagrammi del moto semplificati slide 5 di 21 PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO ACCELERAZIONE Si definisce accelerazione istantanea (all istante t): a(t) = dv(t) dt Si definisce accelerazione media: a M (t 1, t 2 ) = [v(t 2 ) - v(t 1 )] (t 2 - t 1 ) Diagrammi del moto semplificati slide 6 di 21

4 PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO CONTRACCOLPO Si definisce contraccolpo j (jerk) la variazione istantanea dell accelerazione: j(t) = da(t) dt contraccolpo istantaneo j M (t 1, t 2 ) = [a(t 2 ) - a(t 1 )] (t 2 - t 1 ) contraccolpo medio Le variazioni di accelerazione sono da evitare nei sistemi di trasporto collettivo, per cui si cerca di mantenerle a livelli minimi. Diagrammi del moto semplificati slide 7 di 21 o DIAGRAMMI TIPO Sono diagrammi del moto che rappresentano in maniera approssimata (per valori medi) i parametri caratteristici del moto di un veicolo isolato, ovvero vengono determinati sotto ipotesi semplificative I diagrammi del moto tipo consentono un rapido, anche se approssimato calcolo, delle prestazioni di un veicolo isolato. - velocità massime; - tempi di percorrenza; - tempi di avviamento; - accelerazione massima - etc. Diagrammi del moto semplificati slide 8 di 21

5 Di seguito vengono esaminati 3 diagrammi tipo, che possono essere utilizzati in luogo diagrammi del moto reali, con un grado di approssimazione sempre migliore: diagramma del moto a velocità uniforme (tipo rettangolare); diagramma del moto con variazione lineare della velocità (tipo trapezio); diagramma del moto con variazione lineare della accelerazione (diagramma a contraccolpi costanti). In ciascuno dei tre casi calcoleremo varie grandezze utili a descrivere il moto, tra cui il tempo di percorrenza complessivo. Diagrammi del moto semplificati slide 9 di 21 Diagramma rettangolare Ipotesi: il veicolo viaggia a velocità uniforme per l intera tratta; E un diagramma molto approssimato: può essere usato, per un calcolo di massima, se e soltanto se i tempi di avviamento e di frenatura sono trascurabili rispetto al tempo totale di viaggio. Siano: L AB v M lo spazio da percorrere (lunghezza della tratta) la velocità media (costante) A L AB B Il tempo di percorrenza totale è dato da: t AB = L AB /v M Diagrammi del moto semplificati slide 10 di 21

6 - RETTANGOLO L accelerazione a(t) è teoricamente infinita negli istanti di tempo iniziale e finale. La velocità è costante (per ipotesi), per cui il diagramma della velocità è rettangolare e lo spazio percorso ha andamento lineare: v(t) = v M s(t) = v M t v M V t L AB s t Diagrammi del moto semplificati slide 11 di 21 - TRAPEZIO DIAGRAMMA TRAPEZIO Il moto del veicolo si assume composto di 3 fasi: avviamento intervallo di tempo (0, t 1 ) regime intervallo di tempo (t 1, t 2 ) frenatura intervallo di tempo (t 2, t AB ) Vm V 0 t1 t2 t AB t Diagrammi del moto semplificati slide 12 di 21

7 - TRAPEZIO Fase di avviamento Si ipotizza un moto uniformemente accelerato (a=costante=a M, velocità lineare): v(t) = a(t) t= a M t Lo spazio percorso nell intervallo [0, t] è pari all integrale tra 0 e t della velocità istantanea : s(t) = 0,t v(t) dt = 0,t a M t dt = (a M t 2 )/2 Al termine della fase di avviamento (t=t 1 ) si ha: v(t 1 ) = v MAX = a M (t 1 t 0 ) = a M t 1 (1) da cui a M = v MAX / t 1 s(t 1 ) = (a M t 1 2 )/2 = v 2 MAX/(2 a M ) (2) Diagrammi del moto semplificati slide 13 di 21 - TRAPEZIO Fase di regime il moto è uniforme e valgono le seguenti relazioni: a(t) = 0 ; v(t) = v MAX = cost. ; s(t) = s(t 1 ) + v MAX (t - t 1 ) Lo spazio percorso alla fine della fase di regime è: s(t 2 ) = s(t 1 ) + v MAX (t 2 t 1 ) Fase di frenatura [t 2, t AB ] E analoga a quella di avviamento, con valore dell accelerazione a(t)<0: a(t) = - a M = cost. v(t) = v MAX a M (t t 2 ) (variazione lineare) s(t) = s(t 2 ) + (a M (t t 2 ) 2 )/2 = s(t 1 ) + v MAX (t 2 t 1 ) + (a M (t t 2 ) 2 )/2 Diagrammi del moto semplificati slide 14 di 21

8 Lo spazio di frenatura è dato da: s(t 2, t AB ) = [a M (t AB t 2 ) 2 ]/2 = v 2 MAX/(2 a M ) Lo spazio totale percorso è pari a: L AB = v 2 MAX/(2 a M ) + v MAX (t 2 t 1 ) + v 2 MAX/(2 a M ) (1) L AB spazio percorso - s(t) 0 t 1 t 2 t AB t Diagrammi del moto semplificati slide 15 di 21 - TRAPEZIO Il tempo totale di percorrenza è dato dalla somma di: durata della fase di avviamento t 1 = v MAX /a M durata della fase a regime (t 2 - t 1 ) t durata della fase di frenatura (t AB t 2 )= v MAX /a M t AB = v MAX /a M + (t 2 - t 1 )+ v MAX /a M (2) Ricavando (t 2 - t 1 ) dalla formula (1), si ottiene: (t 2 - t 1 )= L AB /v MAX v MAX /(2 a M ) v MAX /(2 a M ) da cui, sostituendo in (2), il tempo di percorrenza totale risulta pari a: t AB = L AB /v MAX + v MAX /(2 a M ) +v MAX /(2 a M ) (3) Diagrammi del moto semplificati slide 16 di 21

9 - TRAPEZIO I due termini nella (3) v MAX /(2 a M ) e v MAX /(2 a M ) sono detti perditempo, rispettivamente in avviamento ed in frenatura. Se i perditempo sono per ipotesi uguali a M = a M si ha: t AB = L AB /v MAX + v MAX / a M Il diagramma trapezio degenera in un diagramma triangolare quando è assente la fase di regime (diagramma sistema metropolitano). Diagrammi del moto semplificati slide 17 di 21 DIAGRAMMA AD ACCELERAZIONE LINEARE E CONTRACCOLPI COSTANTI Un veicolo per raggiungere una data accelerazione impiega un tempo non nullo. Pertanto si assume che l'accelerazione abbia una fase iniziale e finale con incremento e decremento lineare. Diagrammi del moto semplificati slide 18 di 21

10 La pendenza dell'incremento o del decremento viene definito contraccolpo (variazione di accelerazione nel tempo). Sotto tali ipotesi, viene considerata la presenza di 4 differenti contraccolpi: j 1 il contraccolpo per l'incremento di accelerazione nella fase [0, t 3 ]; j 2 il contraccolpo per il decremento di accelerazione nella fase [t 4, t 1 ]; j 3 il contraccolpo per il decremento di accelerazione nella fase [t 2, t 5 ]; j 4 il contraccolpo per l'incremento di accelerazione nella fase [t 6, t AB ]. Per semplicità di calcolo nel seguito si suppone che: a M = a M1 = a M2 j = j 1 = j 2 = j 3 = j 4 Anche in questo caso si individuano le tre fasi: avviamento, regime e frenatura. Diagrammi del moto semplificati slide 19 di 21 La fase di avviamento e la fase di frenatura sono divise in tre intervalli di tempo ognuna. Durante il primo ed il terzo intervallo di ogni fase si assume il contraccolpo costante e diverso da zero, ovvero l accelerazione variabile linearmente: j(t) = j M a(t) = j M t Nella fase intermedia il contraccolpo è nullo e l accelerazione è costante (vedi caso precedente). 1,5 a M1 a (m/sec 2 ) 0,5 t (sec) ,5 t AB a M2-1,5 Diagrammi del moto semplificati slide 20 di 21

11 Nell ipotesi semplificativa in cui si assume che: - i contraccolpi (4 in totale) siano in valore assoluto uguali tra loro - siano uguali i valori dell accelerazione decelerazione massima Allora, trascurando un termine infinitesimo di ordine superiore, il tempo di percorrenza della tratta è pari a: t AB = L AB /v MAX + v MAX /a M + a M /j M Rispetto al caso precedente c è l ulteriore perditempo a M /j M. Questo diagramma è quello che più si avvicina alla realtà. Diagrammi del moto semplificati slide 21 di 21