POLITECNICO di BARI - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione

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1 POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione Problema Sia f :[0, +[! R una funzione continua. La funzione composta g() =f(kk) è c o n t i n u a? Problema Siano D = {(, y) R + y, + y } ed f : D! R una funzione continua. Dimostrare che l immagine f(d) è un intervallo limitato. Problema 3 Data la funzione f(, y) = p y sin p y + stabilire se l immagine di f è un intervallo limitato. Vale la stessa cosa per g(, y) = log(f(, y) + )? Problema 4 Dimostrare che ogni applicazione lineare L : R n! R k è c o n t i n u a. Problema 5 Stabilire se la funzione f(, y) =p y è c o n t i n u a e l i m i t a t a. Problema 6 Sia f : R! R 3 una funzione vettoriale di componenti 8 3p >< + f (, y) = +5y +3 f (, y) = log º ( y 4 + ) f 3 (, y) = + se 6= 0 >: 0 se =0 Stabilire se f è continua. Problema 7 Sia f : R n! R continua e tale che 8 < f() = se kk = : f() = se kk =. Dimostrare che esistono infinite soluzioni dell equazione f() =0su B (0). Problema 8 Data una funzione continua f : R! R, stabilire se l insieme dei punti (, y) R tali che e arctan(y+y +3) < 5 è un insieme aperto. Problema 9 Dare un esempio di funzione f : D! R continua, definita su un insieme compatto D Ω R,limitataenoncontinua. Problema 0 Dimostrare che la funzione F : R 3! R definita ponendo, per ogni R n, è c o n t i n u a. F (, y, z) = +y+z e t dt

2 POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell Automazione. Data la funzione f(, y) = + y, si consideri il campo vettoriale rf : R! R =(, y) 7! rf(, y). Calcolare la matrice Jacobiana della funzione rf nel punto (,e).. Scrivere la matrice Jacobiana delle seguenti funzioni a valori vettoriali f(, y) =(e cos y, e sin y) nel punto (,º) g(, y) =(, y +, + y ) nel punto (, 0) 3. Calcolare il determinante Jacobiano della traformazione in coordinate sferiche per ogni Ω>0,' [0,º],# [0, º[. T (Ω, #, ') =(Ω sin ' cos #, Ω sin ' sin #, Ω cos ') 4. Data la funzione f(, y) = 3 + y y determinare, se esistono, i punti di massimo relativo, minimo relativo e di sella. 5. Data la funzione f(, y) =( 4) log( +4y 8y) determinare, se esistono, i punti di massimo relativo, minimo relativo e di sella. 6. Data la funzione f(, y) = ye y (a) determinare, se esistono, i punti di massimo relativo, minimo relativo e di sella; (b) calcolare krf(, )k. 7. Data la funzione f(, y) =y 3 y + y 3 y (a) determinare, se esistono, i punti di massimo relativo, minimo relativo e di sella; (b) determinare il piano tangente al grafico di f nel punto (, 0); (c) determinare la derivata direzionale di f nel punto (, 0) lungo la direzione (, p ). (d) data la curva (t) = (log t, 3+t 3 ), calcolare la derivata direzionale di f nel punto () lungo la direzione 0 (). 8. Data la funzione f(, y) =4 y ( y 3)( y + 3) (a) determinare i punti di massimo e minimo relativo; (b) determinare µ il massimo ed il minimo assoluto sul triangolo di vertici (0, 0), (0, 3), 3, 0.

3 9. Data la funzione f(, y) = arctan ( +y (y + )) (a) studiare la diæerenziabilità; (b) determinare, se esistono, i punti di massimo relativo, minimo relativo e di sella; (c) determinare per quali valori di Æ R, la derivata direzionale di f nel punto (, ), lungo la direzione (º, Æ), è uguale a Data la funzione f(, y) = 3 q( y ) 5 ( + y) 5 (a) determinare, se esistono, i punti di massimo relativo, minimo relativo e di sella; (b) data la curva (#) = ( cos #, sin#), calcolare (f ± ) 0 (#), per ogni # [0, º].. Data la funzione f(, y) = +y determinare gli estremi assoluti sull insieme K = {(, y) R + y 4,y 0}.. Data la funzione f(, y) =e determinare gli estremi assoluti sull insieme K = {(, y) R y }. 3. Data la funzione f(, y) = y determinare il massimo ed il minimo assoluti sull insieme K = {(, y) R 9 +y 9}. 4. Data la funzione f(, y) = + y + determinare il massimo ed il minimo assoluti sull insieme K = {(, y) R +y,y 0,y 0}. e y 4y

4 Problema Siano f : X Ω R n! R ed un punto di massimo relativo per f. Dimostrare che è un punto di minimo relativo per la funzione µ arctan f() g() =. 3 Problema (Ortogonalità del gradiente alle linee di livello) Sianof : R! R una funzione diæerenziabile e c R. Si consideri l insieme (, y) R f(, y) =c (linea di livello c) e si supponga che sia il sostegno di una curva regolare = (t). Dimostrare che rf( (t)) 0 (t) =0, ovvero che, in ogni punto, il gradiente è ortogonale alle linee di livello della funzione. (Sugg. Valutare (f ± ) 0.) Problema 3 Siano X un sottoinsieme aperto di R n, f : X! R una funzione di classe C ed un punto di minimo relativo per f tale che f() =. Si consideri, inoltre, la funzione g() =(f() + 3) 3. Determinare l equazione del piano tangente al grafico di g nel punto (, ). Problema 4 Data la funzione f(, y) = arctan y, dimostrare che, per ogni (, y) R (, f (, y) (Eq. di Laplace) Problema 5 Siano f : R! R una funzione derivabile ed u(, y) =f( +y). Dimostrare che la funzione u è derivabile e, per ogni (, y) R soddisfa (, (, y) Problema 6 Data la funzione f(t, ) = p t e 4t, dimostrare che, per ogni (t, ) ]0, (t, ) f (t, Problema 7 Sia L : R 4! R una funzione lineare. La funzione (Eq. del calore) f(, y, z, t) = log( + y + ) + L(, y, z, t) è diæerenziabile? Problema 8 Sia B (0) = { R n kk < } esianof,g : B (0)! R due funzioni di classe C. Stabilire se la funzione h() =e f()+3g() è diæerenziabile. Problema 9 Siano f,g : B (0)! R diæerenziabili e tali che i) rf() =rg(), per ogni B (0); ii) f() = g(). Dimostrare che f() =g(), per ogni B (0).

5 POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione Integrali definiti/indefiniti quasi immediati µ p p d p µ p d 3 arccos p d ( 4 + 7) 3 d + 5p d d º 6 3º 4 sin cos 3 d + + p 3 º d log arctan ( + ) arctan d (log + ) cot( log )d º sin 4 +sin 3 d sin 7 + arctan 7 d tan d sin 4 cos 3 d sin cos sin cos +sin 4 d tan( + 3)d p p ( + ) cos ( + ) p d p sin p d 3 3 µ p + dt 3 + ( + tan ) 3 d d log 5 log d Integrali definiti/indefiniti meno immediati d d d d ( ) ( + ) d 5 3 d

6 sin cos 3 cos 4sin 4sin + d e p e log + (5 + log ) d cos 3 3+ p º sin d 4 8 d e arctan +arctan + d arctan + d log( + sin ) sin d tan log( + 3)d º 3 º 3 cos sin log(sin )d p arcsin( + ) p d + sin log(arcsin ) p d 7 cos d e sin e d + cos d cos( + )d Integrali impropri Stabilire se le seguenti funzioni sono integrabili in senso improprio f() = log cos( p 3) p p ( 3) Æ + 3 su ] p 3, 4], al variare di Æ R f() = e e su ]0, +[ f() = log Æ f() = µ log log + su [, +[, al variare di Æ R su [, +[ f() = p sin 5 ( + ) su ], 0[ e su ]0, +[

7 Calcolare i seguenti integrali + d ( ) + p ( + ) d 5 + e d 3 7p ( ) d 0 log( + p ) pp 3 d + d (3 + ) p 5 5 d + d + Problemi Problema Sia f : R! R una funzione monotona decrescente. Stabilire se la funzione g() =f(arctan e p + ) è integrabile secondo Riemann sull intervallo [, 3]. Problema Data la funzione F () = dimostrare che i) l insieme F ([, ]) è l i m i t a t o ; ii) l insieme F (R) è limitato; iii) l equazione ha almeno una soluzione Problema 3 Studiare la monotonia della funzione F () = 0 e t (t + 3)dt e t (t + 3)dt =0 t +3t + log( + sin t)++sin t dt. Problema 4 Sia f : R! R una funzione continua e dispari. integrale F () = è d i s p a r i. 0 (t + t )f(t)dt Dimostare che la funzione

8 Problema 5 Calcolare, se esistono, i seguenti limiti lim! log t t + dt sin º e e / e t lim!0 + t 4 + e t dt 0 lim!0 lim! 0 0 t arctan tdt t tan tdt 3 log(t t )dt 6 + Problema 6 Sia f :[, +[! R continua e tale che lim!+ f() =l, dove l R\{0}. Dimostrare che f è integrabile in senso improprio su [, +[. Problema 7 Sia f : R! R una funzione di classe C e tale che f() = 3 ed f(3) =. Calcolare la media integrale della derivata prima f 0 sull intervallo [, 3]. Problema 8 Sia f :[a, b]! R una funzione continua con media integrale nulla. Dimostrare che la funzione integrale F () = soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. a f(t)dt ( [a, b])

9 POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell Automazione Equazioni diæerenziali a variabili separabili y 0 = y4 + y + y 0 =(e y + ) log( 3 + ) (log + )y 0 = log y 0 = y +y y + log( + + ) y 0 = arctan tan y ( )y 0 =( 3 + ) p y 3 y 0 = sin log(sin ) y log y y 0 = cos y + Equazioni diæerenziali lineari del primo ordine y 0 = e y y 0 = y + e cos y 0 y = (log ) + log y 0 = y 3 + 3p e y 0 + y cos +sin = +sin y 0 + y = e arctan y 0 += y + sin cot + cot Equazioni diæerenziali di Bernoulli y 0 + y = y log y 0 y 3 p y =0 y 0 =y y 3 y 0 + y = p 3 y y 0 p + y y =0 3 y 0 +( + )y p y =0

10 Equazioni diæerenziali lineari di ordine n a coe±cienti costanti y 00 +4y 0 +5y = cos 3 y 00 y 0 y = e +5 + cos y y 00 + y 0 = e cos y 000 5y 00 +6y 0 y =0 y 000 y 00 + y 0 y += e y 000 3y 00 +4y 0 y = e sin y iv 3y y 00 y 0 = +sin y iv + y = +3 y v +9y =9 + e 8y v + y iv +6y y 00 =0 3y iv 3y = cos 3 Problemi di Cauchy 8 < : y 0 =(4 3 +) cos y y(0) = º 4 ( y 0 + y = e ( + ) y( ) = ( y 0 +y =y p y log y() = ( y 00 +y 0 3y = + y() = 0 y 0 () = ( y y 00 + y 0 + y = y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = ( y 00 y 0 +y = sin y(0) = 0 y 0 (0) = Problema Data l equazione diæerenziale del primo ordine y 0 = p 3 + ( y + y + ) determinare l insieme di definizione dell equazione diæerenziale e dimostrare che esistono soluzioni strettamente crescenti. Problema Data l equazione diæerenziale del primo ordine y 0 =(+ )siny dimostrare che ) esistono infinite soluzioni costanti; ) esistono infinite soluzioni non costanti e limitate. Problema 3 Sia f :[, ]! R unafunzione continua e g : R! R una funzioni continua, periodica, tale che g( ) < 0 e g() > 0. Data l equazione diæerenziale stabilire se ) esistono infinite soluzioni costanti; ) tutte le soluzioni sono limitate. y 0 = f()g(y),

11 Problema 4 Dato il problema di Cauchy 8 >< y 0 =( )(arctan y) p >: y() = ) dimostrare che esiste una unica soluzione locale e che 0 =è un punto di minimo per tale soluzione; ) determinare la soluzione. Problema 5 Siano f : R! R e g : R! R dotata di primitiva G. Si considerino le equazioni diæerenziali del primo ordine y 0 = f(, y) () y 0 = f(, y)g(y) () Dimostrare che, se u è s o l u z i o n e d () i allora v = G ± y è s o l u z i o n e d (). i Problema 6 Data l equazione diæerenziale lineare y 00 +y 0 =( + e ) determinare l integrale generale e stabilire se esistono soluzioni integrabili in senso improprio su R. Problema 7 Data l equazione diæerenziale lineare y 000 y 00 + y 0 y =sin + determinare l integrale generale e stabilire se esistono soluzioni integrabili in senso improprio su [, +[. Problema 8 Risolvere l equazione diæerenziale ponendo z() = + y()+. y 0 =3 +y+ Problema 9 Risolvere l equazione diæerenziale ponendo z() = + y(). y 0 =( + y ) Problema 0 Risolvere l equazione diæerenziale ponendo z() = y(). y 0 = + y y Problema Risolvere il seguente problema diæerenziale ( y 00 y 0 = e + y(0) = 0 y() = 3

12 Problema Risolvere il seguente problema diæerenziale 8 >< >: y 0 = ( + )y lim y() =0! + e y Problema 3 Per ogni n N\{0}, siay n la soluzione del problema di Cauchy ( y 00 y = e n y(0) = y 0 (0) = 0. Calcolare, se esistono, lim y n(0) e lim y n(). n!+ n!+ Problema 4 Sia f : R! R una funzione di classe C e si consideri l equazione diæerenziale y 0 = f(y). Dimostrare che. Se f ha uno zero, allora l equazione ammette almeno una soluzione limitata.. Se f non ha zeri, allora tutte le soluzioni sono strettamente monotone. 3. Se f() = f(5) = 0 ed f() > 0 per ogni ], 5[, allora esistono soluzioni limitate non costanti. 4. Se f(0) = 0 allora non esistono soluzioni di segno variabile. Problema 5 Siano a, b : R! R, a continua e b di classe C. diæerenziale y 0 = e a(y) b(y). Si consideri l equazione Se esistono due soluzioni u e v tali che u(3) = v(3), lafunzionea può essere di classe C?

13 POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica Stabilire il carattere delle seguenti serie numeriche. X n 3 p n +3+ p n p 3n +. X n(e +sinn) 3p n 7 + n + 3. X p p + n n + 4 p n 4. X p n + tan n n 5. X log cos n + n 6. X n µ n sin n 7. X µ n 4 cos n n 8. X 6 n cos 4 n º n + n esin log n 9. X n log n n 0. X. X n 4. X n 3. X 4. X n n n µ n 3 n n + µ n 4 n 5 +3 n n 4 + n µ + 3 n log n + n cos(n! + ) n!+

14 n n 5. X n (n)! 6. X n + (n + )! esin n n! (n)! 7. X ( n) n (n + ) n sin n n 8. X cos(nº) n + n + n 9. X r n + ( ) n n r! n n + 0. X ( ) n n arctan n n. X µ ( ) n n sin n n Stabilire il carattere delle seguenti serie numeriche e calcolarne la somma. X º n n µ arctan 3 n. X n 3 3. X n n n 4. X n n ( 3) n 5 n 5. X (n )(n + ) n 6. X µ log + n n 7. X ( np e n+ p e) 8. X n sin np n 9. X n µ n n arctan n n +

15 Studiare la convergenza puntuale e totale delle seguenti serie di funzioni. X ( + 3) n (n + 5)3 n. X (n!) (n)! n 3. X n 4. X n n + n 5. X n µ n µ n n + µ + n n ( ) n 6. X arcsin n n ( )n + Criterio dell integrale: Siano n a X n una serie a termini positivi ed f :[, +[! R una funzione continua, decrescente e tale che f(n) =a n. Allora X a n converge, n + f()d converge Studiare il carattere delle seguenti serie, utilizzando il criterio dell integrale. X n log 3 n n. X 3 n p log n n 3. X con Æ> næ n 4. X log (n n + n!)

16 Problema Dimostrare che, per ogni a R, la serie X n! è convergente. Problema Sapendo che X n! = ea,calcolare X n n!. a n 3 n Problema 3 Determinare le soluzioni, se esistono, dell equazione X( ) n n =. n! Problema 4 Studiare, al variare di Æ R, il carattere della serie X n Æ arcsin n +. Problema 5 Sia (a n ) n una successione di numeri reali strettamente positivi e tale che La serie X na n converge? a n+ lim = n!+ a n. a n Problema 6 Sia (a n ) n una successione di numeri reali strettamente positivi, crescente e divergente positivamente. Dimostrare che la serie X ( ) n arctan an è convergente. Problema 7 Sia f :[0, ]! R continua. Dimostrare che la serie numerica X µ (n + ) f n + converge. Problema 8 Siano (a n ) n e (b n ) n due successioni numeriche tali che (i) b n a n b n per ogni n ; (ii) X b n è assolutamente convergente. La serie X a n è convergente? È assolutamente convergente? Problema 9 Sia X a n una serie convergente. Calcolare, se esiste, e a n lim. n!+ sin a n

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