Appunti di Calcolo finanziario. Mauro Pagliacci

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1 Appunti di Calcolo finanziario Mauro Pagliacci c Draft date 4 maggio 2010

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3 Premessa In questo fascicolo sono riportati gli appunti dalle lezioni del corso di Elaborazioni automatica dei dati per le applicazioni economiche e finanziarie tenute per il corso di laurea in Economia e gestione dei servizi turistici (prima parte: Calcolo finanziario) negli anni accaddemici e Per la comprensione completa di questi appunti, bisogna usare il file Excel CalcoloFinanziario.xls, disponibile nel sito del corso nella sezione File di lavoro, File Excel per il Calcolo finanziario L obiettivo è quello di fornire gli strumenti necessari per comprendere i fondamenti teorici e risolvere concretamente i problemi che si presentano nella gestione di una azienda legati alle più semplici operazioni finanziarie. L approccio al calcolo finanziario è sostanzialmente di tipo operativo, partendo da esempi concreti e sviluppando la teoria in modo da avere a disposizione lo strumento necessario per risolvere il problema. Un ringraziamento particolare al prof. Walter Betori che, collaborando alla stesura di questi appunti, ne ha resa possibile la realizzazione. i

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5 Indice Indice Premessa i i 1 Le grandezze fondamentali del calcolo finanziario Esempio introduttivo Le grandezze fondamentali Dal mercato alle convenzioni La legge degli interessi semplici (legge lineare) Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare La legge degli interessi composti (legge esponenziale) Tassi equivalenti in capitalizzazione esponenziale Osservazioni sui fattori di sconto L intensità istantanea di interesse Tassi nominali Esercizi proposti Le operazioni finanziarie Generalità Valore di una operazione finanziaria Operazioni finanziarie eque Valutazione rispetto ad una struttura per scadenza Esercizi proposti iii

6 1 3 Il tasso interno di rendimento L equazione del tasso interno di rendimento Le funzioni di Excel TIR.COST e TIR.X Esercizi proposti Le rendite Generalità Rendita immedita, posticipata, temporanea e a rata costante Rendita perpetua posticipata Rendita anticipata Rendita perpetua anticipata Rendita differita di m periodi Rendite frazionate Problemi inversi Piani di ammortamento Esercizi proposti

7 Capitolo 1 Le grandezze fondamentali del calcolo finanziario 1.1 Esempio introduttivo Tra i titoli più diffusi nel mercato obbligazionario italiano ci sono i Buoni ordinari del tesoro (BOT), che rappresentano un esempio di titolo a cedola nulla (TCN), detti anche, con terminologia anglosassone, zero coupon bond (ZCB). Tali titoli, prevedono il pagamento di una somma P (prezzo di emissione) al momento dell acquisto (t 0 ), essendo predeterminato il valore di rimborso R alla scadenza s. La quotazione dei BOT è data giornalmente, relativamente alle varie scadenze e rispetto ad un valore di rimborso assegnato R = 100. Consideriamo la quotazione che si trova nei quotidiani del 20 febbraio 2008 relativa ai BOT, riportata nella fig. 1.1 e, tra i titoli presenti, scegliamo quelli con scadenza, rispettivamente, , , e I dati relativi ai suddetti titoli si trovano nel file CalcoloFinanziario.xls (cartella BOT). Qui riporteremo soltanto i dati relativi al BOT con scadenza Il giorno di valutazione dei titoli, trattati il , è di due giorni successivi a questa data; pertanto la valutazione deve essere fatta il Per semplicità di notazione indichiamo t 0 = 0 l istante di valutazione, lasciando denotata con s la scadenza del titolo. La quotazione dei titoli presenti nel mercato obbligazionario italiano il , rappresenta, di fatto, una equivalenza tra importi monetari esigibili in tempi diversi. Per esempio, il BOT con scadenza , stabilisce che 100e esigibili il , sono equivalenti a 98,98e il

8 4CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Figura 1.1: Quotazioni BOT del Lo scopo di questa prima parte del corso è di introdurre le grandezze che servono per controllare l operazione finanziaria che consiste, per esempio, nell investire 98,98e con valuta il , per avere 100e il Ovviamente la stessa operazione, dal punto di vista dell emittente (lo stato italiano) consiste nell indebitarsi per 98,98e il per restituire 100e il Indichiamo con W (t, s) il valore in t di un titolo che vale W (s, s) in s. Nel nostro esempio, ponendo t = 0, istante di acquisto del titolo e s = 99, tempo (in giorni) di rimborso, abbiamo: W (0, 99) = 98, 98 e W (99, 99) = 100. Quando non c è possibilità di confusione, se 0 t s, possiamo scrivere W (t, s) = W (t). Pertanto, nell esempio abbiamo W (0) = 98, 98 e W (99) = 100. Osserviamo che i valori di W (t) sono importi monetari e che W (t), al variare di t tra 0 e s, rappresenta come varia il valore del titolo dall acquisto alla scadenza. A posteriori è possibile descrivere esattamente tutti i valori assunti da W (t), in ogni istante di valutazione (per esempio ogni giorno). Tuttavia è comodo considerare W (t) come una funzione, definita nell intervallo [0, s], continua e monotona crescente. 1.2 Le grandezze fondamentali Si chiama interesse maturato tra 0 e s, e si indica con I(0, s), l incremento assoluto della funzione W (t) nell intervallo [0, s]; in altri termini: I(0, s) = W (s) W (0). Osserviamo che l interesse, essendo una differenza tra importi monetari, è un importo monetario.

9 1.2. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI 5 Esempio Relativamente al BOT di cui si è parlato nel paragrafo precedente, risulta che I(0, 99) = W (99) W (0) = 1, 02e. Allo stesso BOT faremo riferimento anche negli altri esempi di questo paragrafo. Nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio BOT si trova il valore di I(0, s) anche per gli altri titoli, insieme alle altre grandezze fondamentali di cui parleremo tra poco. L incremento assoluto della funzione W (t) non è però molto significativo. E interessante considerare l incremento relativo della funzione W (t) nell intervallo [0, s], che si chiama tasso d interesse (nell intervallo [0, s]) e che si indica con j(0, s). Risulta pertanto: j(0, s) = W (s) W (0) W (0) = I(0, s) W (0). E importante osservare che il tasso d interesse, essendo un rapporto tra due grandezze omogenee (importi monetari) è un numero, di solito espresso in forma percentuale. Esempio j(0, 99) = I(0,99) W (0) = 1,02 98,98 = 0, (1,031%). Analogamente al tasso di interesse, nell intervallo [0, s] si introduce il tasso di sconto d(0, s) come rapporto tra l interesse e il valore alla scadenza W (s), cioè: d(0, s) = W (s) W (0) W (s) = I(0, s) W (s). Anche il tasso di sconto, dal punto di vista dimensionale, è un numero Esempio d(0, 99) = I(0,99) = 1,02 W (99) 100 = 0, 0102 (1,02%). Molto importanti e significativi sono il fattore di sconto v(0, s) e il fattore montante m(0, s) definiti come: v(0, s) = W (0) W (s) ; W (s) m(0, s) = W (0). Esempio Relativamente al BOT con scadenza , possiamo scrivere v(0, s) = 98, = 0, 9898, m(0, s) = = 1, ,98 Osserviamo che v(0, s) può essere considerato come il prezzo, al tempo 0, di un titolo a cedola nulla che vale 1e in s (titolo a cedola nulla unitario). Analogamente m(0, s) può essere considerato il prezzo in s di un titolo a cedola nulla che vale 1e in 0. Dalla definizione segue subito che:

10 6CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO v(0, s) = 1 1 ; m(0, s) = m(0, s) v(0, s). Le possibili relazioni tra le varie grandezze fondamentali fino ad ora considerate si possono sintetizzare nella seguente tabella, nella quale, all incrocio tra ogni riga e ogni colonna, si trova la relazione che esprime la grandezza indicata nella riga in funzione di quella indicata nella colonna. Per semplicità nella tabella sono stati omessi gli argomenti (0, s) di tutte le grandezze (j) (m) (d) (v) d j = j m 1 1 d 1 m = 1 + j m j 1+j d = 1 v = 1+j m 1 1 d 1 v v 1 v m d 1 v 1 m 1 d v Dimostriamo ora alcune delle relazioni sopra scritte. W (s) W (0) j(0, s) = W (0) j(0, s) = m(0, s) 1 = 1 W (s) W (0) d(0, s) = W (s) m(0, s) = 1 + j(0, s). 1 v(0, s) = 1 + j(0, s). v(0, s) = 1 d(0, s). 1 m(0, s) = 1 d(0, s). 1 v(0, s) j(0, s) = = v(0, s) 1 d(0, s) = 1 m(0, s) = W (s) 1 = m(0, s) 1. W (0) v(0, s) = 1 W (0) W (s) d(0, s) 1 d(0, s). = m(0, s) 1 m(0, s) 1 v(0, s) 1 =. v(0, s) = = 1 v(0, s). j(0, s) 1 + j(0, s). Le grandezze considerate fino ad ora non tengono conto della durata dell operazione finanziaria, quindi è difficile confrontarle fra di loro. Si definisce intensità di interesse γ(0, s) nell intervallo[0, s], il rapporto tra il tasso d interesse e l ampiezza dell intervallo, cioè:

11 1.3. DAL MERCATO ALLE CONVENZIONI 7 γ(0, s) = j(0, s) s (s al denominatore è l ampiezza dell intervallo [0, s]). Dal punto di vista dimensionale, poiché j(0, s) è un numero e al denominatore c è un tempo, l intensità di interesse è [tempo] 1. Analogamente si definisce l intensità di sconto β(0, s), tra 0 ed s, come il rapporto tra il tasso di sconto e l ampiezza dell intervallo temporale, β(0, s) = d(0, s). s Ovviamente anche β(0, s), dal punto di vista dimensionale è [tempo] 1. Esempio Relativamente al BOT con scadenza , abbiamo: γ(0, 99) = β(0, 99) = j(0, 99) 99 d(0, 99) 99 = 0, gg 1, = 0, gg 1. Poichè γ(0, s) e β(0, s), dal punto di vista dimensionale, sono [tempo] 1, non possono essere espresse in forma percentuale e vengono rappresentate in [unità di misura del tempo] 1, quindi nell esempio in [giorni] 1. Osservazione Nel file di calcolo CalcoloFinanziario.xls le grandezze di γ(0, s) relative ai quattro BOT sono fra loro confrontabili. Stessa situazione per β(0, s) 1.3 Dal mercato alle convenzioni Nei due paragrafi precedenti abbiamo individuato le grandezze fondamentali del calcolo finanziario partendo da un esempio concreto (titoli del debito pubblico italiano). Quindi sostanzialmente abbiamo visto come alcune grandezze si possono leggere direttamente dal mercato. La situazione più in generale consiste nel vedere la funzione W (t), di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente, come la funzione che rappresenta il cambiamento di valore di un importo al variare del tempo, che stabilisce una legge di equivalenza intertemporale tra importi esigibili in tempi diversi.

12 8CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Considerando, ad esempio, il BOT con scadenza , possiamo immaginare di costruire il grafico della funzione che rappresenta l evoluzione del prezzo del titolo al passare del tempo, indicando con W (t i ) il valore di mercato del titolo nel giorno t i, con i = 0, 1,..., n. A posteriori, quindi, potremmo rappresentare i valori della funzione : W (t 0 ), W (t 1 ),..., W (t n ). Ovviamente W (t 0 ) = 98, 98 e se t 0 = 0 è il prezzo di acquisto del titolo il e W (t n ) = 100 e è il valore di rimborso del titolo in data , t 0 n t Figura 1.2: BOT scad Tale ricostruzione a posteriori, effettivamente non serve a niente, ma fa capire la necessità di fare delle ipotesi sulla funzione W (t). Tali ipotesi permettono di confrontare operazioni finanziarie con scadenze diverse. Naturalmente, scrivere una possibile forma funzionale per la funzione W (t) deve essere motivato da una ben determinata convenzione contrattuale. Nella pratica due sono i tipi di contratto in uso: 1) La legge degli interessi semplici 2) La legge degli interessi composti Vedremo che applicare la prima convenzione significa ipotizzare che la funzione W (t) sia lineare, mentre applicare la seconda significa ipotizzare che la funzione W (t) sia esponenziale.

13 1.4. LA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI (LEGGE LINEARE) La legge degli interessi semplici (legge lineare) Accettare un contratto in cui vale la legge degli interessi semplici significa che, alla fine del primo periodo vengono calcolati gli interessi sul capitale iniziale, e così alla fine di ogni periodo successivo, senza calcolare gli interessi maturati nei periodi precedenti. Questa la situazione che il codice civile chiama calcolo degli interssi senza anatocismo. Vediamo ora come accettare un contratto di questo tipo sia equivalente ad ipotizzare che la funzione W (t) sia lineare, cioè espressa da un polinomio di primo grado in t. Supponiamo di disporre, al tempo 0, di un capitale iniziale W (0) e di stipulare un contratto che preveda la crescita del capitale iniziale secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo di interesse i. Osserviamo che l ipotesi ora fatta significa scegliere come unità di misura del tempo l anno. Alla fine del primo anno avremo a disposizione un importo Alla fine del secondo anno: W (1) = W (0) + i W (0) = W (0) (1 + i). W (2) = W (0) (1 + i) + i W (0) = W (0) + 2i W (0) = W (0) (1 + 2i). Alla fine dell n-esimo anno : W (n) = W (0) (1 + n i). Evidentemente la funzione W (t) così scritta è lineare rispetto a n. Se supponiamo che la variabile t sia continua, con t [0, m] (m quindi è la durata del contratto), la funzione W (t) = W (0)(1 + it), lineare rispetto a t, rappresenta come varia l importo W (t), al variare di t. Esempio Se W (0) = 100 e, i=2% e m= 6 anni, allora W (6) = 100(1 + 0, 02 6) = 112, 44 e. Osservazione La legge lineare ci consente di calcolare anche la somma maturata (montante) in frazioni di anno. Infatti se W (0) = 100 e, i=2%, m = 3 anni e 5 mesi, m = = 41, pertanto W ( ) ( = , ) = 106, 83e. Nella legge lineare (1) W (t) = W (0)(1 + i t)

14 10CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO W(t) W(m) W(0) 0 m t sono presenti le grandezze: 1) W (0) : capitale iniziale; 2) i : tasso annuo di interesse; 3) t: durata del contratto; 4) W (t) : capitale maturato al tempo t. Figura 1.3: Capitalizzazione lineare Noi sappiamo determinare W (t) note le altre grandezze W (0), i e t. Tuttavia, in generale, dalla legge lineare è molto facile, note tre delle quattro grandezze W (0), i, t e W (t), determinare il valore della quarta. Infatti possiamo scrivere W (0) = W (t) 1 + it i = 1 t t = 1 i ( ) W (t) W (0) 1 ( ) W (t) W (0) 1 Esempi 1. Determinare W (0) sapendo che W (t) = 120e, i = 2%, t = 3 anni. Osserviamo che questo equivale a determinare quale è il capitale che dobbiamo impiegare oggi, secondo la legge degli interessi semplici al tasso del 2% annuo, per avere 120 e tra tre anni. W (0) = W (t) 1 + it = , 02 = 113, 2075e. 2. Determinare il tasso annuo i, noti W (0) = 100e, W (t) = 104, 25e, t = 2 anni e 3 mesi

15 1.4. LA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI (LEGGE LINEARE) 11 Questo significa trovare a quale tasso di interesse della legge lineare, investendo 100e per 2 anni e 3 mesi, si ottiene un montante di 104,25e, i = 1 t ( ) W (t) W (0) 1 = 12 ( ) 104, 25 1 = 0, 0188 (1, 88%) Determinare t, noti: W (t) = 106, 32e, i = 3, 2% e W (0) = 102e. In altri termini si tratta di determinare in quanto tempo un capitale di 102e disponibile in data odierna, se investito secondo un contratto che prevede la remunerazione degli interessi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo del 3, 2%, fornisce un montante di 106,3235e, t = 1 i ( ) W (t) W (0) 1 = 1 ( ) 106, 32 1 = 1, 3235 anni. 0, Osservazione Il tempo è espresso in frazioni decimali di anno. esprimere la parte decimale in mesi e giorni dobbiamo scrivere 0, 3235 = 3235 mesi e 26 giorni. = x Se vogliamo, x = 116, 46, x = 3 mesi e 26 giorni. Quindi t = 1 anno, 3 Nota Ovviamente il modo più semplice per ottenere i risultati degli esempi 1.,2.,3. è il calcolo diretto come è stato appena svolto. Tuttavia gli esempi appena visti forniscono lo spunto per utilizzare per la prima volta il risolutore di Excel, applicandolo alla risoluzione di una equazione di primo grado. L idea di base del risolutore consiste nello scrivere una formula che contiene dati nel foglio elettronico. Poi cambiare i dati, come necessario dal problema e chiedere di modificare una casella (l obiettivo, cioè la soluzione da trovare), attribuendo un valore assegnato ad un altra variabile (quella data dalla formula). Supponiamo di voler risolvere gli esempi 1, 2 e 3 con tale procedura. In tutti i casi aprire il foglio LeggeLineare.xls nel file CalcoloFinanziario.xls. Il primo esempio del foglio contiene, nella casella B8, la formula di valutazione di (1). Per risolvere gli esempi 1.,2. e 3. con Excel, selezionare le celle (A-B-C, ) e ricopiarli. Esempio 1 Cambiare la durata t = 3 anni (il tasso d interesse è lo stesso). Nel menu strumenti selezionare Ricerca Obiettivo e nelle finestre che compaiono fare la seguente selezione: Imposta la cella cliccare sulla cella in cui riportato il valore W (t); Al valore mettere il valore di W (t) che si ha nel problema (120e );

16 12CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Cambiando la cella cliccare sulla cella in cui riportato il valore di W (0) Cliccare su Ok. Allora la cella in cui è scritto il valore di W (0) riporta la soluzione dell esempio 1: 113,2075e. Esempio 2 Riportare i valori di W (0) (100e ) e di t (2 anni e 3 mesi, cioè = = 2, 25); 12 Aprire Ricerca Obiettivo dal menu Strumenti; Imposta la cella Selezionare la cella valore di W (t); Al valore mettere il valore 104,25e ; Cambiando la cella selezionare cella valore di i; Cliccare su Ok. Si trova così il valore i = 0, Esempio 3 Riportare i valori di W (0) (102e ) e di i (0,032); Aprire Ricerca Obiettivo dal menu Strumenti; Imposta la cella Selezionare la cella valore di W (t); Al valore mettere il valore 106,32e ; Cambiando la cella selezionare cella valore di t; Cliccare su Ok. Si trova così il valore t = 1, anni. 1.5 Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare Supponiamo di avere 1e al tempo 0 e di impiegarlo secondo la legge lineare al tasso di interesse annuo i. Dopo un anno il montante sarà 1 + ie. Supponiamo di dividere l anno in n frazioni di anno di ampiezza pari a 1 -esimo di n anno. Sia ora i (n) il tasso di interesse della legge lineare su 1 -esimo di anno. Per esempio, n i (2) è tasso di interesse su 1 di anno, cioè un semestre, i 2 (12) è il tasso di interesse su 1 12 di anno, cioè un mese, etc. Disponendo sempre di un capitale iniziale unitario (1 e ), avremo questa situazione rispetto al montante maturato:

17 1.5. TASSI EQUIVALENTI IN CAPITALIZZAZIONE LINEARE i (n) 1+2 i(n) 1+n i(n) 1+i 0 1 anno 0 1/n 2/n 3/n n/n frazioni di anno Figura 1.4: Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare tempo montante dopo 1 -esmo di n anno 1 + i (n) dopo 2 -esmi di anno i n (n) dopo n-esmi di n anno (1 anno) 1 + n i (n) Pertanto il tasso annuo i e quello periodale i (n) sono equivalenti, cioè producono lo stesso montante dopo un anno, se risulta 1 + i = 1 + n i (n). Tale uguaglianza fornisce le due semplici relazioni tra i e i (n) : i = n i (n), i (n) = i n. Esempio Il tasso annuo d interesse i del 6% è equivalente, se usiamo la convenzione lineare, al tasso semestrale i (2) = 3%, a quello bimestrale i (6) = 1%, a quello mensile i (12) = 0, 5%. Osservazione Importante. Se consideriamo il BOT con scadenza , sappiamo che j(0, s) = 0, il tasso di interesse su 99 giorni, cioè su esimi di anno. Pertanto possiamo determinare il tasso annuo i(0, s), equivalente, in capitalizzazione lineare, al tasso j(0, s). Risulta che:

18 14CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO i(0, s) = j(0, s) = , = 0, (3, 8%). Il tasso i(0, s) si chiama tasso di interesse a pronti, su base annua, ipotizzando una sottostante legge lineare. Nel calcolo che abbiamo svolto abbiamo preso in considerazione l anno solare (365gg). Un altra possibile convenzione consiste nel prendere in esame l anno commerciale (360 gg). Nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio GrandezzeFondamentali, troviamo calcolati, con entrambe le convenzioni, i tassi i(0, s), al variare di s, dove s una delle scadenze dei titoli esaminati. In generale l insieme {i(0, s) : s è una scadenza} si chiama struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti) in vigore al tempo s. La struttura per scadenza dei tassi di interesse fornisce una importantissima informazione sui mercati dei capitali. Nel nostro esempio introduttivo riusciamo a scrivere la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore il per scadenze entro l anno. Con informazioni più accurate è possibile determinare la struttura per scadenza dei tassi in vigore in un certo istante di valutazione fino a scadenze di 30 anni. 1.6 La legge degli interessi composti (legge esponenziale) In un contratto stipulato secondo la legge degli interessi composti, l interesse è calcolato, alla fine di ogni periodo, sulla somma tra il capitale e l interesse già maturato alla fine del periodo precedente. Nella terminologia giuridica è l interesse con anatocismo. Vedremo che accettare un contratto in cui vale la legge degli interessi composti equivale ad ipotizzare che il denaro cresca secondo una funzione W (t), esponenziale rispetto a t. Sia W (0) il capitale iniziale, i il tasso annuo di interesse, m la durata del contratto, misurata in anni. La dinamica di evoluzione del capitale è la seguente.

19 1.6. LA LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI (LEGGE ESPONENZIALE)15 t = 0, W (0), t = 1, W (1) = W (0) + i W (0) = W (0) (1 + i), t = 2, W (2) = W (0)(1 + i) + i W (0)(1 + i) = W (0) (1 + i) 2, t = 3, W (3) = W (0)(1 + i) 2 + i W (0)(1 + i) 2 = W (0) (1 + i) 3,... t = k, W (k) = W (0)(1 + i) k 1 + i W (0)(1 + i) k 1 = W (0) (1 + i) k,... t = m, W (m) = W (0) (1 + i) m. Analogamente a quanto visto nel caso della legge degli interessi semplici, se supponiamo che la variabile t [0, m] sia continua, la funzione (2) W (t) = W (0) (1 + i) t, esponenziale rispetto a t, rappresenta come varia l importo W (t), al variare di t. Poichè i > 0, 1 + i > 1, la funzione esponenziale con base 1 + i è strettamente monotona crescente. W(t) W(2) W(1) W(0) t Figura 1.5: Legge degli interessi in capitalizzazione composta Esempio Prendendo gli stessi valori già usati nel caso della legge lineare, W (0) = 100e, i = 0, 02 (tasso annuo), m = 6 anni, abbiamo: W (6) = W (0) (1 + i) 6 = 100 (1 + 0, 02) 6 = 112, 616e.

20 16CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO Analogamente alla legge lineare, anche nel caso della legge esponenziale è facile, dalla relazione (2), ricavare - W (0) in funzione di W (t), i e t, - i in funzione di W (t), W (0) e t, - t in funzione di W (t), i e W (0). Infatti da (2) segue subito che W (0) = che fornisce W (0) in funzione di W (t), i e t. Inoltre, sempre da (2) è immediato scrivere: da cui: W (t) (1 + i) t, (3) (1 + i) t = W (t) W (0), cioè: (1 + i) = ( ) 1 W (t) t, W (0) i = ( ) 1 W (t) t W (0) 1, che fornisce i in funzione di W (t), W (0) e t. Considerando il logaritmo naturale di entrambi i membri della (3) otteniamo da cui Poiché da ciò segue che: ln(1 + i) t = ln W (t) W (0), t ln(1 + i) = ln W (t) W (0).

21 1.6. LA LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI (LEGGE ESPONENZIALE)17 t = ln W (t) W (0) ln(1 + i), è risolto anche il problema di determinare t in funzione di W (t), i e W (0). Esempi Riproponiamo gli stessi esempi del paragrafo 4., ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 1. Determinare W (0), sapendo che: W (t) = 120e, i = 0, 02, t = 3 anni. Questo equivale a determinare quale è il capitale che dobbiamo impiegare oggi, secondo la legge degli interessi composti al 2% annuo, per avere 120e tra 3 anni. W (0) = W (t) (1 + i) = 120 = 113, 0784e. 3 (1 + 0, 02) 3 2. Determinare i, sapendo che: W (t) = 104, 25e, W (0) = 100e, t = 2 anni e 3 mesi. i = ( ) 1 W (t) t W (0) ( 104, 25 1 = 100 ) = 0, (annuo) (1, 867%). 3. Determinare t, noti: W (t) = 106, 32e, W (0) = 102e, i = 3, 2%. Si tratta di calcolare in quanto tempo un capitale di 102 e, disponibile in data odierna, se investito secondo un contratto che prevede la legge degli interessi composti al tasso annuo del 3, 2%, fornisce un montante di 106,32e. t = ln W (t) W (0) ln(1 + i) 106,32 ln 102 = ln(1, 032 = 1, 3169 anni. Esprimendo il tempo in frazione di anno, poichè anni corrispondono a 114 giorni, cioè a 3 mesi e 24 giorni risulta che t è uguale a 1 anno, 3 mesi e 24 giorni. Nota La stessa procedura utilizzata con RicercaObiettivo di Excel per trovare le grandezze nel caso della legge lineare, può essere usata anche nel caso della legge esponenziale. Ovviamente la formula da usare è (2) al posto di (1). Si veda il file CalcoloFinanziario.xls, foglio LeggeEsponenziale.

22 18CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO 1.7 Tassi equivalenti in capitalizzazione esponenziale Utilizzando lo stesso procedimento del paragrafo 5, supponiamo di disporre di 1e al tempo 0 e di impiegarlo, secondo la legge esponenziale, al tasso annuo di interesse i. Dopo 1 anno il montante di 1e è 1 + i e. Sia i (n) il tasso di interesse della legge esponenziale su 1 -esimo di anno. n Disponendo di 1 e, al variare del tempo, avremo la seguente situazione rispetto al montante maturato: tempo montante dopo 1 -esmo di n anno 1 + i (n) dopo 2 -esmi di anno (1 + i n (n)) dopo n-esmi di n anno (1 anno) (1 + i (n)) n i(n) (1+i(n)) n 1+i (1+ i(n)) 0 1 anni 0 1/n 2/n n/n frazioni di anno Figura 1.6: Tassi equivalenti in capitalizzazione composta Pertanto il tasso annuo i e quello periodale i (n) sono equivalenti, cioè producono lo stesso montante dopo un anno se Dalla (4) segue che : (4) (1 + i) = (1 + i (n) ) n. (5) i = (1 + i (n) ) n 1.

23 1.7. TASSI EQUIVALENTI IN CAPITALIZZAZIONE ESPONENZIALE 19 Inoltre, elevando a 1 n entrambi i membri di (4), si ha (1 + i) 1 n = 1 + i(n), da cui (6) i (n) = (1 + i) 1 n 1. La (5) fornisce il tasso annuo, noto quello periodale e, viceversa, la (6) fornisce quello periodale, noto quello annuo. Osserviamo che le relazioni (5) e (6) sono diverse dalla relazioni tra i e i (n) trovate nel paragrafo 5. Esempi Negli esempi che seguono troveremo il tasso equivalente a quello assegnato ipotizzando una sottostante legge esponenziale. 1. Trovare il tasso annuo equivalente al tasso mensile i (12) = 0, 2%. Applicando la (5), con n = 12, otteniamo: i = (1 + i (12) ) 12 1 = (1 + 0, 002) 12 1 = 0, (2, 43%). Osserviamo che se avessimo ipotizzato una sottostante legge lineare avremmo ottenuto, i lin = 12 0, 0002 = 0, 024 (2, 4%). 2. Trovare il tasso trimestrale i (4) equivalente al tasso annuo i = 4%. Applicando la (6), con n = 4, otteniamo: i (4) = (1 + i) = (1 + 0, 04) = 0, (0, 9853%). Se avessimo ipotizzato una sottostante legge lineare, sarebbe stato i (4) lin = i 4 = 0, 04 4 = 0, 01 (1%). 3. Consideriamo il BOT con scadenza Siamo interessati a trovare il tasso annuo equivalente al tasso periodale j(0, 99) = 0, su 99 giorni, ipotizzando una sottostante legge esponenziale. Osserviamo che j(0, 99) è il tasso su 99 -esimi di anno (facendo riferimento all anno 365 solare), pertanto possiamo scrivere che il tasso i(0, 99) su base annua che stiamo cercando è :

24 20CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO i(0, 99) = (1 + j(0, 99)) = (1 + 0, 1031) = 0, (3, 85%). Ripetendo la stessa procedura per gli altri BOT visti nel paragrafo 1, troviamo la struttura per scadenza dei tassi (a pronti) ipotizzando una sottostante legge esponenziale: {i(0, s) : s {39, 99, 179, 361}}, che è riportata nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio BOT. 1.8 Osservazioni sui fattori di sconto Il caso della legge esponenziale Abbiamo visto che il valore al tempo t di un importo W (t) disponibile al tempo 0, se ipotizziamo una sottostante legge esponenziale, è dato da W (t) = W (0) (1 + i) t, (0 t s). Pertanto, Ricordando che risulta: W (t) W (0) = (1 + i)t. W (t) W (0) = m(0, t), m(0, t) = (1 + i) t e v(0, t) = 1 m(0, t) = (1 + i) t. Quindi la relazione già vista nel paragrafo 1.6 (Problemi inversi) i = ( ) 1 W (t) t 1, W (0) fornisce il tasso di interesse su base annua (se il tempo è misurato in anni), noto il fattore montante (oppure il fattore di sconto). Risulta infatti:

25 1.9. L INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE 21 i = i(0, t) = m(0, t) 1 t 1 = v(0, t) 1 t 1. Notiamo che i(0, t) fornisce, al variare di t, la struttura per scadenza dei tassi di interesse, su base annua, ipotizzando una sottostante legge esponenziale. Esempio Considerando il BOT con scadenza , Pertanto v(0, 99) = 98, = 0, 9898, t = 99 gg = -esimi di anno. 365 i(0, 99) = v(0, 99) = (0, 9898) = 0, (3, 85%). Il caso della legge lineare Nel caso di una sottostante legge lineare, sappiamo che W (t) = W (0) (1 + i t), da cui: e W (t) W (0) = 1 + i t = m(0, t) Possiamo pertanto scrivere v(0, t) = 1 m(0, t) = (1 + i t) 1. i t = m(0, t) 1 = 1 v(0, t) 1, da cui i = 1 t (m(0, t) 1) = 1 t 1 v(0, t). v(0, t) 1.9 L intensità istantanea di interesse Abbiamo definito l intensità di interesse γ(0, s) tra 0 ed s come

26 22CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO γ(0, s) = W (s) W (0). s W (0) Il problema che ci poniamo ora è quello di vedere che cosa succede a γ(0, s), quando l ampiezza dell intervallo [0, s] tende a zero; vogliamo cioè calcolare il lim s 0 γ(0, s). Osserviamo che l analogo problema riferito al tasso di interesse j(0, s) tra 0 ed s fornisce come risultato 0. Infatti W (s) W (0) lim j(0, s) = lim s 0 s 0 W (0) = 0, se supponiamo, come è ragionevole, che la funzione W (t) sia continua. Calcoliamo allora il W (s) W (0) lim γ(0, s) = lim s 0 s 0 s W (0) Se la funzione W (t) è derivabile in 0, abbiamo che e quindi W (s) W (0) lim s 0 s = W (0) lim γ(0, s) = W (0) s 0 W (0). L ultima relazione caratterizza l intensità istantanea di interesse nel punto 0. Più in generale, consideriamo ora una operazione finanziaria che avviene nell intervallo temporale [t, t + τ], dove t è l istante di valutazione (fino ad ora abbiamo considerato t = 0) e τ è un incremento temporale positivo (fino ad ora, τ = s). Analogamente a quanto definito nei paragrafi precedenti, possiamo considerare j(t, t + τ) = W (t + τ) W (t) W (t), γ(t, t + τ) = W (t + τ) W (t). τ W (t) In modo simile possiamo anche definire d(t, t + τ), β(t, t + τ), etc. Se W (t) è derivabile, allora l intensità istantanea di interesse δ(t) è definita come