1. Definizione. Definiamo il determinante di una matrice quadrata di un qualsiasi ordine n 1 in modo ricorsivo. Per n = 1, poniamo.

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1 Matematica II, Definizine Definiam il determinante di una matrice quadrata di un qualsiasi rdine n 1 in md ricrsiv Per n = 1, pniam per gni matrice [a 11 ] di rdine 1, a 11 = a 11 ; Per n > 1, suppniam di avere definit il determinante per una qualsiasi matrice di rdine n 1, e definiam il determinante a ij i,j=1,,n per una qualsiasi matrice [a ij ] i,j=1,,n di rdine n, cme la smma a segni alterni +,, +, di n termini, dve ciascun termine e il prdtt di un element della prima clnna per il determinante della matrice ttenuta cancelland la riga cui l element appartiene e la prima clnna In simbli: a 11 a 12 a 1n a n1 a n2 a nn n ( 1) i+1 a i1 i=1 = a 12 a 1n a i 1,2 a i 1,n a i+1,2 a i+1,n a n2 a nn Da questa definizine si pu ricavare la frmula esplicita a ij i,j=1,,n = sg(i 1, i 2,, i n ) a i1 1a i2 2 a in n, (i 1,i 2,,i n) dve la smmatria e estesa a tutte le permutazini (i 1, i 2,, i n ) della n pla (1, 2,, n), e sg(i 1, i 2,, i n ) vale +1 1 secnd che il numer delle inversini di (i 1, i 2,, i n ) sia pari dispari Csi, il determinante di una matrice di rdine n e un plinmi mgene di grad n negli elementi della matrice, cstituit da n! termini Si prva che 1

2 il determinante di una matrice cincide cl determinante della sua traspsta 2 Per una matrice trianglare si ha a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a 33 a 3n a nn = a 11 = a 11 a 22 a 22 a 23 a 2n 0 a 33 a 3n 0 0 a nn a 33 a 3n = = a 11 a 22 a 33 a nn 0 a nn Dunque, il determinante di una matrice trianglare e il prdtt dei sui elementi diagnali Tale determinate e divers da zer se e sltant se tutti gli elementi diagnali sn diversi da zer, cie la matrice trianglare e nndegenere Il determinante della matrice I n unita di rdine n vale 1 3 Prprieta dei determinanti Sia n un inter psitiv arbitrariamenente fissat Il determinante della generica matrice A = [a ij ] i,j=1,,n quadrata di rdine n pu essere vist cme una funzine delle n clnne a j = a 1j a nj Det [a 1,, a j,, a n ] di A Cme tale, il determinante e caratterizzat dalle seguenti prprieta Se tre matrici sn uguali, tranne che una clnna della prima matrice e la smma delle crrispndenti clnne delle altre due, allra il determinante della prima matrice e la smma dei determinanti delle altre due; in simbli: per gni j = 1,, n si ha Det [ a 1,, a j 1, a j + a j, a j+1,, a n ] = Det [ a 1,, a j 1, a j, a j+1,, a n ] + Det [ a1,, a j 1, a j, a j+1,, a n ] ; Se due matrici sn in tutt uguali, tranne che una clnna della prima matrice e r ( R) vlte la crrispndente clnna dell altra, allra il determinante della prima matrice e r vlte il determinante dell altra; in simbli: per gni j = 1,, n si ha Det [a 1,, a j 1, ra j, a j+1,, a n ] = rdet [a 1,, a j 1, a j, a j+1,, a n ] ; 2

3 Se una matrice ha due clnne uguali, allra il determinnte della matrice e null; in simbli: per gni 1 i < j n si ha Det [a 1,, a i 1, a, a i+1,, a j 1, a, a j+1,, a n ] = 0; Scambiand due clnne di una matrice, il determinante della matrice cambia segn; in simbli: per gni 1 i < j n si ha Det [a 1,, a i 1, a j, a i+1,, a j 1, a i, a j+1,, a n ] Valgn analghe prprieta per le righe 4 Regla di Cramer = Det [a 1,, a i 1, a i, a i+1,, a j 1, a j, a j+1,, a n ] I determinanti permettn di dare una frmula per la risluzine di un sistema lineare quadrat Sia data una matrice a 11 a 1n A = = [a 1,, a n ] a n1 a nn quadrata di rdine n, cn Det(A) 0 Allra tutti i sistemi lineari a 11 x a 1n x n = b 1, in breve a 1 x a n x n = b, a n1 x a nn x n = b n cn matrice dei cefficienti A sn determinati; inltre 5 Matrice inversa x i = Det [a 1,, a i 1, b, a i+1,, a n ], i = 1,, n Det [a 1,, a i 1, a i, a i+1,, a n ] I determinanti permettn di dare una frmula per la matrice inversa Sia A = [a ij ] i,j=1,,n la generica matrice di rdine n > 1 Per ciascuna scelta di un indice di riga i = 1,, n e di un indice di clnna j = 1,, n, cancelland la i ma riga e la j ma clnna di A tteniam una sttmatrice di rdine n 1 Il determinante di questa sttmatrice, pres cl su segn cl segn ppst secndche i+j sia pari dispari, viene dett cmplement algebric dell element a ij della matrice A e viene indicat cl simbl A ij In simbli, si ha a 11 a 1,j 1 a 1,j+1 a 1n a i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j+1 a i 1,n A ij = ( 1) i+j a 1+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n a n1 a n,j 1 a n,j+1 a nn 3

4 Si prva che, se Det(A) 0, allra A e invertibile; inltre, l inversa di A e il prdtt del reciprc del determinante di A per la traspsta della matrice dei cplementi algebrici di A : A 1 = 1 Det(A) A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn 6 Determinanti, perazini elementari e algritm di Gauss Le prprieta del determinate ci permettn di descrivere l effett che ciascuna delle perazini elementari sulle righe di una matrice ha sul determinante della matrice: l perazine di mltiplicare una riga per un scalare r R ha cme effett di mltiplicare il determinante per r; l perazine di scambiare due righe ha cme effett di cambiare il segn del determinante; l perazine di smmare ad una riga un multipl di un altra riga lascia invariat il determinante Grazie a queste prprieta, pssiam calclare il determinante di una matrice numerica A trasfrmandla, mediante l algritm di Gauss, in una matrice trianglare T, e pi prendend il prdtt degli elementi diagnali di T, eventualmente cambiat di segn se si sn usati scambi di riga Da ci segue Sia A una matrice quadrata, che viene trasfrmata dall algritm di Gauss in una matrice trianglare T Si ha che Det(A) 0 se e sl se T e nn degenere Riassunt dei risultati finra presentati Per una qualsiasi matrice quadrata A, cnsideriam le seguenti prprieta 1 ciascun sistema Ax = b avente matrice dei cefficienti A e determinat; 2 il sistema mgene Ax = 0 avente matrice dei cefficienti A e determinat; 3 l algritm di Gauss trasfrma A in una matrice trianglare superire T nn degenere; 4 A pssiede inversa A 1 ; 5 Det(A) 0 4

5 Pssiamm riassumere gran parte dei risultati finra presentati nel diagramma seguente Ciascuna freccia sta per un terema, ad esempi la freccia che va dalla (5) vers la (1) sta per il terema se Det(A) 0, allra ciascun sistema Ax = b avente matrice dei cefficienti A e determinat (regla di Cramer) (2) (1) (4) (3) (5) Da quest quadr emerge che le prpsizini (1), (2), (4) sn equivalenti, che le prpsizini (3), (5) sn equivalenti, e che ciascuna delle prpsizini (3), (5) implica ciascuna delle prpsizini (1), (2), (4) In realta si prva che le prpsizini (1), (2), (3), (4), (5) sn tutte equivalenti Dunque, se per una certa matrice A una di esse e vera, allra sn vere tutte le altre, e se per una certa matrice A una di esse e falsa, allra sn false tutte le altre Una matrice che sddisfi una (e dunque tutte) queste cndizini si dice matrice nn singlare Osserviam che in particlare si ha il terema per una qualsiasi matrice quadrata A, il sistema lineare mgene Ax = 0 ha una sluzine nn banale x 0 se e sl se Det(A) = 0, che risulta fndamentale per la teria degli autvalri Autvalri e autvettri 1 Sia A una matrice quadrata di rdine n Ricrdiam che un vettre clnna nn null 0 v R n si dice autvettre di A se A agisce su v cme la mltiplicazine per un scalare: Av = λv, λ R; 5

6 l scalare λ si dice autvalre di A assciat all autvettre v Un scalare si dice autvalre di A se e l autvalre assciat a qualche autvettre di A Osserviam che a ciascun autvettre e assciat un sl autvalre Infatti, se λ e µ sn entrambi autvalri assciati ad un stess autvettre v di A, cie se Av = λv, Av = µv, allra si ha l uguaglianza λv = µv, che si pu riscrivere nella frma (λ µ)v = 0, che a sua vlta, piche v 0, implica λ µ = 0, cie λ = µ 2 Ricnsideriam la matrice [ ] A =, [ ] 3 che pssiede un autvettre u = cn autvalre assciat λ = 1 : 2 [ ] [ ] [ ] Au = = = 1 u; [ ] 1 e pssiede un autvettre v = cn autvalre assciat λ = 05 : 1 [ ] [ ] [ ] Av = = = 05 v Iniziam a chiederci cme si pssan ricavare degli autvettri di A cui e assciat l autvalre λ = 1 Tali autvettri sn i vettri clnna x 0 caratterizzati dalla cndizine Ax = x, che si pu riscrivere Ax x = 0 2, Ax I 2 x = 0 2, (A I 2 )x = 0 2 6

7 Abbiam csi trvat il sistema lineare mgene [ ] [ ] [ ] x1 0 =, x 2 che si riduce alla sla equazine lineare mgenea 02x x 2 = 0 Ora, le sluzini di questa equazine sn del tip x 1 = 3 2 x 2 x 2 = qualsiasi Questi vettri, cn x 2 0, sn tutti e sli gli autvettri di A cui e assciat l autvalre λ = 1; in particlare, per x 2 = 2 ritrviam l autvettre u 4 Ci chiediam ra cme si pssn determinare gli autvalri di A Un scalare λ sara un autvalre della matrice A se esistn in R 2 dei vettri nn nulli x 0 che sddisfan la cndizine Ax = λx, che si pu riscrivere Ax λx = 0, Ax λi 2 x = 0, (A λi 2 )x = 0 Abbiam csi trvat il sistema lineare mgene [ ] [ ] [ ] 08 λ 03 x1 0 = λ 0 x 2 Ora, quest sistema lineare mgene avra una sluzine nn banale x 0 se e sl se [ ] 08 λ 03 Det = 0, λ cie se e sl se λ e sluzine dell equazine di secnd grad (08 λ)(07 λ) = 0, cie λ 2 15λ 05 = 0 7

8 Ora, le sluzini di questa equazine sn λ 1 = 1, λ 2 = 05 Abbiam csi ritrvat i due autvalri della matrice A che sn assciati agli autvettri u e v; pssiam inltre affermare che A nn pssiede altri autvalri al di furi di 1 e 05 5 Sia ra A una matrice quadrata di rdine n : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Un scalare λ sara un autvalre della matrice A se esistn dei vettri clnna x 0 che sddisfan la cndizine Ax = λx, che si pu riscrivere Ax λx = 0, Ax λi n x = 0, (A λi n )x = 0 Abbiam csi trvat il sistema lineare mgene di n equazini in n incgnite a 11 λ a 12 a 1n x 1 0 a 21 a 22 λ a 2n x 2 0 a n1 a n2 a nn λ x n = Ora, quest sistema lineare mgene avra una sluzine nn banale x 0 se e sl se a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n Det(A λi n ) = Det = 0 a n1 a n2 a nn λ Il plinmi che cmpare al prim membr di questa equazine e dett plinmi caratteristic della matrice A; e un plinmi di grad n pari all rdine della matrice 8 0

9 Pssiam dunque infine dire che gli autvalri di una matrice A di rdine n sn le radici del plinmi caratteristic di A 9