y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:
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- Emilio Santoro
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1 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni: y = cosecx senx y = sec x cos x y = cot gx y = arcsenx y = arccos x y = arctgx tgx diamo la definizione geometrica (sulla circonferenza goniometrica) di cosecante, secante e cotangente di un angolo: A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia Redatti e pubblicati in data 4/2/0
2 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 2 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
3 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 Prima di trattare le funzioni trigonometriche reciproche ed inverse delle funzioni trigonometriche fondamentali, diamo alcuni concetti essenziali: f F FUNZIONE INIETTIVA: una funzione f : D C si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte ovvero se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio; in simboli, x2 D : 2 ( x ) f ( ) : D C è iniettiva sse x x x f x ; 2 se una funzione reale di variabile reale è iniettiva, allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all asse x, questa intersecherà il grafico della funzione al più una volta. F FUNZIONE SURIETTIVA: una funzione f D C f D coincide con il codominio ovvero quando ogni elemento y del codominio C è immagine di almeno un elemento x del dominio D; in simboli ( x) y f : D C è suriettiva sse y C, x D/ f = : si dice suriettiva quando l insieme delle immagini ( ) F FUNZIONE BIIETTIVA: una funzione sua funzione inversa sarà Osserviamo ancora che: f : C D. f : D C si dice biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva; una funzione biiettiva è invertibile è la F se nell intorno di un punto c la funzione y = f (x) è positiva/negativa, allora il limite della funzione per x c mantiene lo stesso segno della funzione; F se lim f ( x) = 0, allora lim = x c x c f ( x ) A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 3 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
4 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 Funzione trigonometrica fondamentale Funzione reciproca Funzione inversa y = senx y = arcsenx D = ( ; ) y = = cos ecx D = [ ; senx [ ; D = { x R / x kπ, k Z} π π ; 2 2 ; ; ( [ ) operando una restrizione della funzione seno all intervallo π π ;, è garantita la biiettività della funzione seno dunque la 2 2 sua invertibilità; la funzione inversa del seno, cioè l arcoseno, avrà come dominio il codominio della funzione seno e come codominio il dominio della funzione seno ristretta all intervallo π π ; ; 2 2 A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 4 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
5 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 se consideriamo solo la sinusoide se consideriamo solo la sinusoide il grafico della funzione arcoseno si può ottenere applicando al grafico della funzione seno, ristretta all opportuno intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, D = 0;2π D = x R / x kπ, k Z,0 k 2 ovvero [ [ ; { } ( ; [ ; ) π π π π senx : ; S y= x [ ; arcsenx : [ ; ; osserviamo che: lim senx = 0 x 0 lim senx = 0 lim senx = 0 x π x π x 2π lim senx = 0 osserviamo che: lim = x 0 senx lim = x π senx lim = x π senx lim = x 2π senx A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 5 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
6 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 gli zeri della funzione seno sono i valori da escludere nel dominio della funzione cosecante; π sen = 2 π sen 3 = 2 π = cosec = π 2 sen 2 π = cosec 3 = π 2 sen 3 2 la funzione seno periodo T = 2π è periodica di la funzione seno e la funzione cosecante hanno in comune tutti e soli i punti che, nel grafico della funzione seno, hanno ordinata ± ; la funzione cosecante è periodica di periodo T = 2π A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 6 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
7 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 y = cos x y = arccos x y = = sec x D = ( ; ) cos x D = [ ; [ ; π [ 0;π D = x R / x ( 2k ), k Z 2 operando una restrizione della funzione coseno all intervallo ( ; [ ; ) [ 0 ;π, è garantita la biiettività della funzione coseno dunque la se consideriamo solo la cosinusoide se consideriamo solo la sinusoide sua invertibilità; la funzione inversa del coseno, cioè l arcocoseno, avrà come dominio il codominio della funzione coseno e come codominio il dominio della funzione coseno D = [ 0;2π π ristretta all intervallo [ 0 ;π; ; x R / x ( 2k ), k Z, [ D = 0 k ( ; [ ; ) 2 A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 7 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
8 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 il grafico della funzione arcocoseno si può ottenere applicando al grafico della funzione coseno, ristretta all opportuno intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero cos x : [ 0; π [ ; arccos x : [ ; [ 0;π S y= x gli zeri della funzione coseno sono i valori da escludere nel dominio della funzione secante; la funzione coseno e la funzione secante hanno in comune tutti e soli i punti che, nel grafico della funzione coseno, hanno ordinata ± ; la funzione secante è periodica di periodo T = 2π. A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 8 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
9 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 y = tgx D = x R / x ( ; ) ( 2k ) π, k Z 2 y = = cot gx tgx D = { x R / x k, k Z} ( ; ) y = arctgx π ( ; ) π π operando una restrizione della funzione tangente all intervallo D = ; 2 2 π π ; 2 2, è garantita la biiettività della funzione tangente dunque la sua invertibilità; la funzione inversa della tangente, cioè l arcotangente, avrà come dominio il codominio della funzione tangente e come codominio il dominio della funzione tangente ristretta all intervallo π π ; ; 2 2 A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 9 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
10 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 se consideriamo solo la tangentoide x R / x D = k 0 ( ; ) ( 2k ) π, k Z, 2 se consideriamo solo la tangentoide x R / x kπ, k Z, D = 0 k 2 ( ; ) il grafico della funzione arcotangente si può ottenere applicando al grafico della funzione tangente, ristretta all opportuno intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero π π π π tgx : ; S = 2 2 y x 2 2 ( ; ) arctgx : ( ; ) ; gli zeri della funzione tangente sono i valori da escludere nel dominio della funzione cotangente; la funzione cotangente è periodica di periodo T = π A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 0 Redatti e pubblicati in data 4/2/0
11 Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia Redatti e pubblicati in data 4/2/0
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