I seguenti grafici rappresentano istantanee dell onda di equazione:

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1 Descrizione matematica di un onda armonica La descrizione matematica di un onda è data dalla seguente formula : Y ; t) A cos( k ω t + ϕ ) () ( ove ω e k, dette rispettivamente pulsazione e numero d onda, rappresentano il numero di periodi della funzione goniometrica disegnati nell intervallo temporale e spaziale [,]. A è detta ampiezza; l argomento della funzione trigonometrica è detto fase. ω e k soddisfano la relazione ω v, essendo v la velocità con cui si sposta l energia trasportata dall onda. k Dimostrazione Si consideri il punto del mezzo che si trova in (si ponga anche ϕ ), la dipendenza dal tempo della perturbazione Y è Y ( ; t) A cos( ω t) A cos( ω t). diagramma orario della perturbazione Y (profilo temporale),5 Y,5 -,5,5,5,5 3 t - -,5 Il grafico costituisce il diagramma orario di un moto armonico, quale quello di un peso che oscilla K sospeso ad una molla, nel qual caso si dimostra che ω essendo m la massa del peso e K la m costante elastica della molla. Si definisce periodo il tempo impiegato dalla perturbazione Y per compiere una oscillazione completa, cioè affinché la fase vari di. 3 Si può dimostrare [teorema di Fourier] che ogni perturbazione periodica che si propaga in un mezzo è rappresentabile coma somma di funzioni tipo () con opportuni valori dei parametri ω, k, ϕ. Si ricordi che il numero puro posto come argomento di una funzione trigonometrica è la misura di un angolo. 3 ale moto può essere visto come il moto della proiezione su un diametro di un punto che si muove su una circonferenza con velocità angolare ω costante: la pulsazione ω è quindi la velocità con cui cambia la fase. Poiché ω si può dire che la pulsazione rappresenta il numero di periodi contenuti in un intervallo temporale di.

2 Si consideri ora la formula () all istante t (sempre con ϕ ); la dipendenza della perturbazione Y dalla posizione è: Y ( ;) A cos( k ). Istantanea della perturbazione Y (profilo spaziale),5 Y λ, ,5 - -,5 Il grafico costituisce il profilo spaziale di un onda. Si definisce lunghezza d onda λ la distanza tra due creste contigue, cioè la distanza che separa punti sfasati di. 4 Più semplicemente si può definire la lunghezza d onda come la distanza tra due creste (o valli) consecutive nel profilo spaziale dell onda. La collocazione spazio-temporale dell energia 5 che si propaga è stabilita dalla condizione che la fase α(,t) k - ωt + ϕ sia costante. Facendo riferimento alla soluzione (), l energia nella posizione e all istante t è rappresentata dal valore della fase α(,) ϕ ; all istante t tale energia sarà localizzata in una ω posizione che deve soddisfare l equazione ϕ k ωt + ϕ, da cui segue. Poiché t k V ω, si ha che è la velocità con cui si propaga l energia dell onda e che viene detta velocità t k ω λ dell onda; risulta infine che v λν, essendo ν la frequenza, cioè il reciproco del periodo. k L analisi dei grafici sopra fornisce i seguenti dati particolari: A, (dal profilo temporale), λ 6 (dal profilo temporale), la cui velocità di propagazione risulta quindi V 3. Per determinare la fase iniziale ϕ : dal profilo temporale in Y (;) cos( ϕ) ϕ dal profilo spaziale a t Y (;) cos( ϕ ) ϕ 4 In maniera analoga a quanto visto nella nota precedente si potrebbe dire che tale legge rappresenta una oscillazione lungo lo spazio in cui la fase varia proporzionalmente alla variazione di posizione secondo la costante k : λ k ; dunque il numero d onda rappresenta il numero di lunghezze d onda contenute in un intervallo spaziale di. 5 L energia associata alla perturbazione è proporzionale ad A. Nel caso di un onda elastica, l energia, associata all oscillazione (moto armonico) dei punti materiali, è la somma dell energia cinetica ½ mv e potenziale elastica ½ ky, essendo Y la posizione del punto materiale dal punto di equilibrio e v la velocità del punto materiale. Quando v si ha che tutta l energia è potenziale: ½ k(y ma ) e il valore massimo della perturbazione Y si ha proprio quando il valore della fase è o un multiplo di

3 In generale, dalla conoscenza di A, ω, k e del valore della perturbazione in un luogo ad un istante t : Y(;t), si trova il valore ϕ risolvendo l equazione goniometrica elementare seguente: Y ; t) A cos( k ω t + ϕ ). I seguenti grafici rappresentano istantanee dell onda di equazione: Y ( ; t) cos t 6 ( In viola è rappresentata l istantanea a t In verde è rappresentata l istantanea a t, In rosso è rappresentata l istantanea a t, 3

4 Sul teorema di Fourier Il teorema di Fourier afferma che esistono un sacco (!) di funzioni periodiche che possono essere scritte come somma (eventualmente infinita) di funzioni sinusoidali. Quanto segue risulterà più chiaro studiando la matematica del quinto anno (e verrà utilizzato per lo studio della meccanica quantistica). Se la funzione periodica di periodo è sviluppata come segue: f() A + Σ [A n cos(nω) + B n sin(nω)], i coefficienti dello sviluppo di f() si calcolano nel seguente modo: A f ( ) d A n f ( )cos( nω) d B n f ( )sen( nω) d Se invece si vuole scrivere lo sviluppo seguente: f() A + Σ A n sin(nω + ϕ n ), allora i coefficienti dello sviluppo di f() si calcolano nel seguente modo: f n i n d, è A n f n, ϕ n posto f n ( )[ cos( ω ) sen( ω )] f n arctg Im( ) Re( f n ) Di seguito sono presentati i grafici della sviluppo di Fourier (fino a 4 termini) delle funzioni periodiche onda quadra e onda triangolare, i cui sviluppi completi sono: onda quadra: E se ; f ( ) 4 4 altrove_ in ; con E / e ; f() + 4 k ( ) k + cos k [( k ) ] N.B. poiché f() E / f() + 4 k k + + ( ) ( ) k k k 4 k 4

5 5

6 E E se + ; onda triangolare: f ( ) E E se + con E /4 e ; ; f() 8 + cos ( k ) ( k ) k [ ] N.B. poiché f() E /4 f() 8 + k ( k ) 4 8 ( ) k k 6

7 Confrontando inoltre questo risultato con quello precedente si ha anche che: + k k k k ( ) k Si ricorda che i coefficienti dello sviluppo si ottengono mediante i prodotti scalari nello spazio di Hilbert della funzione periodica da sviluppare con le funzioni del sistema ortonormale completo di Fourier: ( ) + k sen( + ϕ k) f A A k k ( ) A f k k sen( ( ) Osservazione: si ricordi che le finzioni goniometriche sono sviluppabili in serie di Mc Lorin: sen ( ) k ( k )! k cos( ) k k! k tan() Di seguito altri grafici ottenuti con un software di rappresentazione grafica: f() + 4 k ( ) k + cos k [( k ) ] ypi/4+cos() cos(3)/3+cos(5)/5 cos(7)/7+cos(9)/9 7

8 ypi/4+cos() cos(3)/3 f() 8 + cos ( k ) ( k ) k [ ] y(pi^)/8+cos()+cos(3)/9+cos(5)/5+cos(7)/49+cos(9)/8+cos()/+cos(3)/69 8

9 y(pi^)/8+cos()+cos(3)/9 y(pi^)/8+cos()+cos(3)/3 9