Campo elettrico in un conduttore

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1 Cmpo elettico in un conduttoe In entmbi i csi se il conduttoe è isolto e possiede un cic totle, dett cic si dispone sull supeficie esten del conduttoe; se così non fosse inftti ci sebbe un foz sulle ciche (dovut l cmpo elettico esistente ll inteno del conduttoe) e si fomeebbeo delle coenti elettiche nel conduttoe. Speimentlmente si tov che ueste coenti non esistono e uindi, in condizioni sttiche, il cmpo elettico ll inteno di un conduttoe cico di fom ulsisi è nullo e le ciche si dispongono sull supeficie esten del conduttoe.

2 Cmpo elettico di un distibuzione sfeic di ciche Pendimo un sfe di ggio con cic il cmpo, pe uestioni di simmeti deve essee dile. Consideimo o un supeficie gussin di ggio concentic con l pim, bbimo Φ u nds ds S S π pplichimo Guss e d esminimo le possibilità l vie di > l cic è tutt contenut nell supeficie gussin di ggio ( π ) π È come se l cic fosse tutt concentt nel cento dell sfe

3 < Se l cic è supeficile Se l cic è distibuit unifomemente in tutto il volume dell sfe è l cic contenut ll inteno dell supeficie gussin e vle Quindi ' π π ( π ) π Il cmpo elettico dento d un sfe isolnte unifomemente cic vi popozionlmente d

4 Infine est d esmine cos succede sull supeficie dell sfe π π venendo dll' inteno + π venendo dll' esteno I due loi + ed - coincidono uindi il cmpo è continuo

5 Cmpo elettico geneto d un distibuzione cilindic di cic di lunghezze infinit Φ Φ Φ Consideimo un distibuzione di cic pe unità di lunghezz l distibuit unifomemente su un ttto cilindico di ltezz h e tle che lh; si il ggio del cilindo. Il cmpo elettico h diezione dile pe uestioni di simmeti e cetmente dipendeà dll distnz dll sse del cilindo. Consideo un supeficie cilindic cossile ll supeficie cic e con ggio, il flusso ttveso dett supeficie vle sempe ( ) + Φ ( ) + Φ ( sup.lt. ) Φ ( sup.lt. ) n S ( sup.lt. ) u ds πh nche in uesto cso dobbimo distinguee vi csi

6 > l cic è tutt contenut nell supeficie gussin di ggio λh π h λ π Come nel cso del filo infinito con cic unifome < Se l cic è supeficile Se l cic è distibuit unifomemente in tutto il volume del cilindo è l cic contenut ll inteno dell supeficie gussin e vle ' π π h h λh λh λ π h π Il cmpo elettico dento d un cilindo isolnte unifomemente cico vi popozionlmente d (come pe l sfe)

7 Infine est d esmine cos succede sull supeficie del cilindo λ π λ π venendo dll' inteno + λ π venendo dll' esteno I due limiti coincidono uindi il cmpo è continuo

8 x z C C D D d dx Legge di Guss in fom diffeenzile L pete CD h e ds dxdz e il flusso del cmpo elettico ttveso di ess vle Φ ( CD) ds cosϑ ( cosϑ) dxdz dxdz ttveso C D bbimo un flusso negtivo Φ ' ' ( ' ' C' D' ) dxdz ttveso l supeficie del cubo in diezione il flusso vle Φ ( ) ' ( ' dxdz )dxdz ( ) dxdz + Se o icodimo che d è infinitesimo, bbimo che nche l diffeenz è molto piccol, uindi ' con d d piditàdi vizionedell componente di

9 Quindi il flusso totle in diezione vle d dxdz d ttveso tutto il volume bbimo d d z x d z d d x z x z x Φ icodndo o che d d, ottenimo + + div z x z x elzione locle t cmpo elettico e distibuzione di cic

10 Il potenzile elettico e l enegi potenzile Foz elettic è centle consevtiv enegi potenzile elettic Definimo il potenzile elettico in un punto come l enegi potenzile possedut d un cic uniti post in uel punto U U C [ ] volt m kgs Il potenzile è un ctteistic del cmpo e non dell cic Il potenzile, come U, è definito meno di un costnte biti: ponimo pe si muove d veso lungo l cuv e ttves un egione in cui c è cmpo elettico ds S U U U U ( ) U L lvoo fttosullcic

11 Petnto tovimo L ( ) diffeenz di potenzile elettico L d F d d Lungo un pecoso chiuso, dto che il cmpo è consevtivo, bbimo d In genele, lungo un pecoso ulunue se S è l componente del cmpo lungo il pecoso, si h S ds ( ) Se e sono molto vicini possimo scivee Possimo nche definie il potenzile come il lvoo ftto dl cmpo elettico pe pote l cic di pov dll infinito l punto in cui si misu, (-L /) d

12 Quindi S x ds d x S s z z gd In uesto modo posso clcole noto e viceves d esempio consideimo un cmpo elettico unifome ( costnte) con unic componente lungo l sse delle x dx d dx d -x x x pe x Notimo che in uesto cso il potenzile cesce nell diezione in cui il cmpo elettico decesce, ovveo che l diezione del cmpo elettico è uell in cui decesce

13 Se mi sposto d x d x ho x d ( x x ) d ( x x ) x d [ ] m NC Notimo che se - > v d x x se - < v d x x Consideimo o un cic puntifome sogente del cmpo π π d π d d d pe > o < second dell cic >

14 Il potenzile è dditivo, petnto se ho più ciche, ottengo n π π π π Le supefici pe cui è costnte sono supefici euipotenzili, è sempe ^ i punti di un supeficie euipotenzile (il lvoo pe muovesi su un supeficie euipotenzile è nullo) Se è unifome, llo costnte x costnte supefici euipotenzili sono dei pini Se è geneto d un cic puntifome supefici euipotenzili sono delle sfee n n i i i

15 Consideimo il cso del filo di lunghezz infinit ed unifomemente cico con distibuzione linee di cic λ λ u π d λ d π d λ π d -gd λ ln + C se C pe () π

16 Consideimo o l enegi totle di un pticell di mss m e cic in un zon in cui è pesente un cmpo elettico TOT K + U mv + Dto che non ci sono foze dissiptive, undo l pticell si muove dll posizione ll bbimo, pe il pincipio di consevzione dell enegi TOT mv K mv () + L TOT mv () mv mv ( ) + mv L ( ) olt vizione di potenzile elettico che un cic di C deve effettue pe umente l popi enegi di J > K ument spostndosi veso infeioi < K ument spostndosi veso supeioi

17 Se v e in è mv pincipiosu cui sibsno gli cceletoi elettosttici e (.6-9 C ) ( ).6-9 J e m e c J.5 Me p m p c.5 - J 98.6 Me n m n c.55 - J Me

18 iconsideimo o il cso dell sfe isolnte con cic e ggio ) cic supeficile unifome s ( ) ( ) ( ) ( ) d costnte σ π π σ π σ σ π >

19 b) cic volumetic unifome () () π π π π > < <

20 Pe il potenzile bbimo ( ) ( ) MX () () d d d d - d d < < > 6 ) ( ) ( 6 ) ( π π