2 Vettori applicati. 2.1 Nozione di vettore applicato

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1 2 Vettori applicati 2 Vettori applicati 2.1 Nozione di vettore applicato Numerose grandezze fisiche sono descritte da vettori (spostamento, velocità, forza, campo elettrico, ecc.). Per alcune di esse e, in particolare, per le forze, è necessario tuttavia precisare, oltre a direzione, verso e modulo, anche il punto di applicazione. L effetto di una forza su di un corpo deformabile può infatti variare notevolmente al variare del punto di applicazione. Queste considerazioni si traducono nel fatto che una forza è descritta matematicamente da un vettore applicato. Definizione Si definisce vettore applicato una coppia (A, u), con A E e u V. Il punto A è detto punto di applicazione, la retta cui appartiene u è detta retta d azione. Definizione Si definisce momento del vettore applicato (A, u) rispetto al punto O, detto polo, il vettore (libero) m(o) così definito: m(o) = (A O) u. Si osservi che per le proprietà del prodotto vettoriale, il vettore momento m(o) è perpendicolare al piano passante per O e contenente il segmento orientato B A che rappresenta il vettore u (figura 2.1). Inoltre risulta: m(o) = AO u sin( A O)u = u b, dove b = AO sin( A O)u = AO sin θ (> 0), detto braccio del vettore u rispetto ad O, rappresenta geometricamente la distanza della retta d azione di (A, u) dal polo O; se u 0, allora m(o) = 0 se e solo se il polo O appartiene ala retta d azione del vettore applicato; il momento del vettore applicato (C, u), con C appartenente alla retta d azione r, è uguale a quello di (A, u) prima definito; in altri termini, se facciamo scorrere un vettore applicato lungo la sua retta d azione il suo momento rispetto ad un generico polo C non varia. Corso di Scienza delle Costruzioni 14 A. A

2 2 Vettori applicati 2.2 Sistemi di vettori applicati 2 Vettori applicati 2.2 Sistemi di vettori applicati Fig. 2.1 Il vettore momento è un vettore libero; talvolta, dal punto di vista grafico, i vettori momento sono rappresentati con una freccia a doppia punta o con un arco di circonferenza orientato nel piano perpendicolare al vettore stesso. 2.2 Sistemi di vettori applicati Un sistema di vettori applicati S è un insieme (finito) di vettori applicati del tipo: S = {(A 1, u 1 ), (A 2, u 2 ),..., (A n, u n )}. Definizione Si definisce risultante del sistema di vettori applicati S il vettore (libero) r = u i. Definizione Si definisce momento risultante di S rispetto al polo O E il vettore (libero) m(o) = (A i O) u i. L applicazione O E m(o) è detta campo vettoriale del momento. Dalla definizione di momento risultante, con riferimento ad un polo O, si può scrivere m(o ) = = (A i O ) u i = (A i O) u i + = m(o) + (O O ) [ (Ai O) + (O O ) ] u i = (O O ) u i = u i = m(o) + (O O ) r. Pertanto, al variare del polo, il momento risultante varia secondo la legge m(o )=m(o) + r (O O), (2.1) detta formula di trasposizione dei momenti. La formula appena enunciata permette di stabilire che il momento risultante di un sistema S di vettori applicati non dipende dal polo se e solo se ha risultante r = 0. In tal caso il campo vettoriale di m è quindi omogeneo. Un esempio significativo di sistema di vettori applicati a risultante nullo è la coppia di forze, costituito da due vettori opposti (cioè aventi la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto figura 2.2): S = {(A, u), (B, u)}. Per tale sistema si ha r = u u = 0 m(a) = (A B) u + (B B) u = (A B) u = m (cost.) Detta b la distanza tra le due rette d azione (tra loro parallele), si ha m = b u, ove b è detto braccio della coppia. Per semplicità spesso una coppia viene rappresentata solo attraverso il suo momento. Corso di Scienza delle Costruzioni 15 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 16 A. A

3 2 Vettori applicati 2.3 Asse centrale 2 Vettori applicati 2.3 Asse centrale Fig Asse centrale Si considerino ora sistemi di vettori applicati con risultante r 0. In tal caso, se si scelgono due punti O e O in modo che (O O) r, risulta m(o )= m(o). In altri termini, m non varia lungo rette parallele ad r. Infatti, se si moltiplicano ambo i membri della 2.1 per r, si ha m(o ) r + r (O O) r = m(o ) r. Dunque tale prodotto scalare è costante, e prende il nome di invariante scalare: I = m(o ) r = cost. Questa relazione permette di affermare che la componente di m lungo r (pari a I / r ) è indipendente dal polo O. Se si decompone m nella sua componente vettoriale p parallela ad r ed in quella n ad esso perpendicolare, si ha (figura 2.3): m(o) = p + n(o), (2.2) ove, per quanto visto, la componente p è costante e pari a p = I r 2 r. Pertanto solo la componente normale n dipende dalla scelta del polo O. Fig. 2.3 Definizione Si definisce asse centrale di un sistema di vettori applicati S il luogo dei punti Q E rispetto ai quali m(q) r (cioè n(q) = 0 e m(q) = p). L asse centrale è dunque il luogo descritto dall equazione n(q) = 0. Utilizzando la formula di trasposizione dei momenti, quest ultima equazione assume la forma: n(q) = m(q) p =[m(o) + r (Q O)] p = n(o) + r (Q O) = 0, per cui i punti cercati devono soddisfare l equazione r (Q O) = n(o). Ricordando che un equazione del tipo a x = b, con a, b V, a b = 0, a 0, b 0, ha come soluzioni si ha x = b a a 2 + µa, µ IR, (Q O) = r n(o) r 2 + µr, µ IR. (2.3) Corso di Scienza delle Costruzioni 17 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 18 A. A

4 2 Vettori applicati 2.4 Sistemi equivalenti 2 Vettori applicati 2.4 Sistemi equivalenti L equazione 2.3 descrive, al variare del parametro reale µ, i punti di una retta parallela ad r e passante per il punto O = O + r n(o) r 2 = O + r m(o) r 2. Si osservi che per tutti i punti Q appartenenti all asse centrale si ha m(q) = p e, pertanto, m(q) = p < p 2 + n(o) 2 = m(o), dove O è un generico punto non appartenente all asse centrale. In altri termini, l asse centrale è l insieme dei punti di E rispetto ai quali è minimo il modulo del momento risultante. Per tali punti m(q) = p. Osservazione. Si consideri un punto Q appartenente all asse centrale. Il momento risultante rispetto ad un generico polo O è dato da m(o) = m(q) + r (O Q) = p + r (O Q), (2.4) dove r (O Q) = n(o) è la componente perpendicolare. Alla luce di quanto visto, per studiare il campo del vettore momento è sufficiente rappresentare la legge 2.4 per tutti i punti appartenenti ad un generico piano perpendicolare ad r (figura 2.4). Il campo sarà lo stesso su tutti i piani a quest ultimo paralleli. 2.4 Sistemi equivalenti Definizione Due sistemi di vettori applicati S e S si dicono equivalenti se hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un generico polo O: r = r, m(o) = m (O). (2.5) In virtù della formula di trasposizione dei momenti e della 2.5, due sistemi equivalenti hanno lo stesso momento risultante rispetto a qualunque punto O E. Inoltre, se r 0, i due sistemi hanno lo stesso asse centrale. Definizione Un sistema di vettori applicati S si dice equilibrato o equivalente a zero se risulta: r = 0, m(o) = 0, O E. (2.6) Fig. 2.4 Per la formula di trasposizione dei momenti, dalla 2.6 segue che m(o )= 0 O E. Definizione Sia S un sistema di vettori applicati avente risultante r e momento risultante m(o) rispetto ad un polo O. Un sistema S, di risultante r e momento risultante m (O), si dice equilibrante del sistema S se risulta: r = r, m (O) = m(o). (2.7) Si osservi come, in tal caso, il sistema unione S è equilibrato. Sulla base delle definizioni di equivalenza tra sistemi di vettori, è possibile dimostrare le seguenti proposizioni. Proposizione Un sistema S di vettori applicati è equivalente ad una coppia se e solo se ha risultante nulla. Dimostrazione. ) Sia S un sistema per cui si abbia r = 0 e m 0. Scelto un generico vettore u perpendicolare ad m ed un piano π perpendicolare ad m, siano A, B π e tali che (figura 2.5) A B= u m u 2. Corso di Scienza delle Costruzioni 19 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 20 A. A

5 2 Vettori applicati 2.4 Sistemi equivalenti 2 Vettori applicati 2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo La coppia {(A, u), (B, u)} ha risultante nulla e momento risultante m(b) = (A B) u = u m u 2 u = m, dunque è equivalente ad S. ) Se S è equivalente al vettore (Q, r), il momento risultante di S coincide con il momento di (Q, r), quindi m(q) = (Q Q) r = 0, pertanto I = r m(q) = 0. Proposizione Un sistema S di vettori applicati a risultante r non nullo è equivalente ad un sistema costituito da un vettore applicato (A, r) e da una coppia di momento m(a) pari al momento risultante di S rispetto ad A. Infatti, il sistema {(A, r), coppia di momento m(a)}, Fig. 2.5 ) Se S è equivalente ad una coppia, dalla definizione di equivalenza segue r = 0. Proposizione Un sistema S di vettori applicati a risultante non nullo è equivalente ad un unico vettore applicato se e solo se ha invariante scalare nullo. In particolare il vettore equivalente (Q, r) è costituito dal risultante r applicato ad un generico punto Q dell asse centrale. Il vettore (Q, r) è detto risultante equivalente. Dimostrazione. ) Se I = 0, detto Q un generico punto dell asse centrale di S, il campo dei momenti è descritto dall equazione m(o) = p + r (O Q) = (O Q) r. Tale equazione coincide con quella del sistema costituito dal vettore (Q, r) che ha quindi lo stesso momento risultante. Infine banalmente S e (Q, r) hanno la stessa risultante, per cui i due sistemi sono equivalenti. che prende il nome di sistema equivalente ad S ridotto ad A, ha risultante r e momento risultante rispetto ad A pari ad m(a), essendo nullo rispetto ad A il momento di (A, r). 2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo Di seguito si illustrano alcuni esempi particolarmente significativi di sistemi di vettori ad invariante scalare nullo Sistemi di vettori applicati concorrenti Si consideri un sistema di vettori applicati concorrenti, ossia un sistema di vettori le cui rette d azione sono concorrenti in un unico punto O (figura 2.6). Risulta m(o) = (A i O) u i = 0, (2.8) dunque I = m(o) r = 0. Un sistema così fatto ammette risultante equivalente (O, r). Se, in particolare, risulta r 0, dalla 2.8 si deduce che O appartiene all asse centrale. Corso di Scienza delle Costruzioni 21 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 22 A. A

6 2 Vettori applicati 2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo 2 Vettori applicati 2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo Fig. 2.6 Fig Sistemi piani di vettori applicati Un sistema di vettori S = {(A 1, u 1 ),..., (A n, u n )} è detto piano se tutti i vettori del sistema appartengono ad un unico piano π (figura 2.7), cioè se A i π, u i e =0, i =1,..., n, essendo e un versore perpendicolare a π. In tal caso, il risultante è parellelo a π ed il momento risultante rispetto ad un polo O π è perpendicolare a π. Infatti risulta: r e = u i e = 0 ; m(o) e = [(A i O) u i ] e = 0. Pertanto I = r m(o) = 0 e quindi, se il risultante è non nullo, un sistema piano ammette sempre risultante equivalente. Se invece r = 0, il sistema è equivalente ad una coppia giacente nel piano π Sistemi di vettori applicati paralleli Un sistema di vettori applicati paralleli è un sistema del tipo S = {(A 1, u 1 ),..., (A n, u n )}, u i = f i e, e =1, i =1,..., n. Per un sistema di questo tipo si ha: r = f i e = fe, f = f i [ ] m(o) = (A i O) f i e = f i (A i O) e, I = r m(o) = 0. Pertanto i sistemi di vettori paralleli ammettono, per f 0, un risultante equivalente. Se al contrario f = 0, il sistema è equivalente ad una coppia. Definizione Si definisce centro di un sistema di vettori paralleli a risultante non nullo il punto C E tale che f(c O) = f i (A i O), Corso di Scienza delle Costruzioni 23 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 24 A. A

7 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche dove O è un punto generico. Si osservi che la definizione di centro è indipendente dal punto O. Infatti, preso un punto O O, sia C il centro definito secondo l espressione precedente. Si ha: f(c O ) = f i (A i O )= f i (A i O) + = f(c O) + f(o O )=f(c O ), f i (O O )= e si supponga che r = u 1 + u 2 + u 3 0. Si costruisca il poligono dei vettori O 1, O 2, O 3 O 4, che per le ipotesi fatte sarà aperto, a partire dal punto generico O 1. In particolare, il segmento orientato O 4 O 1 rappresenta, nella scala di rappresentazione adottata per i vettori, il risultante r. Si scelga ora un punto P del piano non appartenente ad alcun lato del poligono dei vettori e siano p 1,p 2,p 3,p 4 le rette del fascio di centro P passanti per i punti O 1, O 2, O 3 O 4. Il punto P è detto polo e le rette p 1,p 2,p 3,p 4 raggi proiettanti. da cui segue la coincidenza tra C e C. Proposizione Per ogni sistema di vettori applicati paralleli S = {(A i,f i e), i =1,..., n}, il centro C appartiene all asse centrale qualunque sia il versore e. Dimostrazione. Il momento risultante di S rispetto al polo C risulta [ ] m(c) = (A i C) f i e = f i (A i C) e = f(c C) e = 0, dunque C appartiene all asse centrale. Il risultato appena esposto mostra che se si ruotano tutti i vettori f i e allo stesso modo (cioè si varia la direzione di e), l asse centrale ruota intorno a C. 2.6 Costruzioni grafiche Poligono funicolare La costruzione del poligono funicolare consente di determinare graficamente l asse centrale di un sistema piano di vettori e, in particolare, il risultante equivalente. Si consideri il caso particolare di un sistema costituito da tre vettori (figura 2.8): S = {(A 1, u 1 ), (A 2, u 3 ), (A 3, u 3 )}, Fig. 2.8 A partire da un generico punto B 0 del piano si costruisca ora la poligonale avente i lati s 1,s 2,s 3,s 4 ordinatamente paralleli ai lati p 1,p 2,p 3,p 4 e i vertici B 1, B 2, B 3 sulle rette d azione r 1,r 2,r 3 del sistema di forze. La poligonale così ottenuta è detta poligono funicolare connesso al sistema S. Si osservi che dalle ipotesi fatte segue che O 1 O 4, cosicché s 1 non è parallela ad s 4. Si può dimostrare che il punto Q di intersezione dei lati s 1 e s 4 è un punto dell asse centrale; in particolare, l asse centrale è la retta per Q parallela al segmento O 4 O 1 ed il vettore (Q, r)è equivalente al sistema S. Il procedimento Corso di Scienza delle Costruzioni 25 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 26 A. A

8 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche mostrato si può estendere facilmente a sistemi costituiti da un numero qualsiasi di vettori. Nel caso particolare in cui r = 0 e m 0 (figura 2.9), il poligono dei vettori è chiuso, dunque il primo e l ultimo lato del poligono funicolare sono tra loro paralleli. Il sitema non ammette risultante equivalente, ma è equivalente ad una coppia. Si può dimostrare che una coppia equivalente è costituita dai vettori (B 1, u 1 ) e (B 3, u 3 ), con u 1 e u 3 ottenuti scomponendo rispettivamente u 1 rispetto alle direzioni s 1 ed s 2,eu 3 rispetto ad s 3 e s 4 s 1. 1 Infatti è facile verificare che u 1 =P O 1 = O 4 P= u 3 Fig Decomposizione di un vettore nel piano Decomporre un vettore vuol dire determinare un sistema di vettori equivalente al vettore assegnato. Decomposizione di un vettore secondo due rette. Fig. 2.9 Si consideri infine il caso in cui r = 0 e m = 0. L equazione r = 0 è equivalente, dal punto di vista grafico, alla condizione che il poligono dei vettori sia chiuso. Inoltre, poiché m = 0, si ha che anche il poligono funicolare è chiuso: il primo lato coincide con l ultimo, cosicché i due vettori (B 1, u 1 )e (B 3, u 3 ) formano una coppia di braccio nullo (figura 2.10): u 1 =P O 1 = O 4 P= u 3. 1 Per una discussione sulla scomposizione di un vettore si veda il paragrafo Si considerino un vettore (A, u) e due rette r 1,r 2 non parallele. Si osservi che se la retta d azione r di (A, u) non appartiene al fascio individuato da r 1 e r 2, il problema non ha soluzione. Infatti in tal caso il momento dei due vettori giacenti su r 1 e r 2 rispetto ad O è nullo, mentre non lo è il momento di (A, u). Se al contrario O r (figura 2.11), il problema ha la seguente soluzione: {(O, v 1 ), (O, v 2 )}, dove v 1 e v 2 sono i vettori che si ottengono costruendo il parallelogramma avente per diagonale u e i lati giacenti su r 1 e r 2. Tale soluzione è unica. Se le rette r 1,r 2 sono parallele, il problema ha soluzione solo se esse hanno la direzione di u. In tal caso la soluzione è unica e può ottenersi come segue. Corso di Scienza delle Costruzioni 27 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 28 A. A

9 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche Fig Si determini dapprima il sistema S = {(A 1, v 1 ), (A 2, v 2 )} equilibrante di (A, u) e con vettori aventi retta d azione coincidenti con r 1 e r 2. S può ottenersi costruendo un poligono funicolare chiuso (figura 2.12). In particolare, dal poligono dei vettori conosciamo il primo lato (coincidente con l ultimo) ed il secondo. Restano quindi determinati i punti B 2 eb 3 e di conseguenza il terzo lato del poligono costituito dal segmento B 2 B 3. Infine mandando da P il raggio proiettante parallelo al segmento B 2 B 3 si determina O 2. I vettori cercati sono quindi v 1 =O 3 O 2 e v 2 =O 4 O 3. A questo punto, se S è equilibrante di (A, u) ha risultante pari a u e momento risultante opposto a quello di (A, u). Pertanto la soluzione cercata è la seguente: Fig {(A 1, v 1 ), (A 2, v 2 )}, dove A 1 ea 2 sono due punti scelti arbitrariamente rispettivamente su r 1 e r 2. Decomposizione di un vettore secondo tre rette assegnate r 1,r 2,r 3. Se le tre rette formano un fascio (proprio o improprio), il problema ammette infinite soluzioni. Consideriamo ad esempio il caso in cui le rette r 1,r 2,r 3 e r siano concorrenti (figura 2.13). Scelto su r 1 un vettore arbitrario (A 1, v 1 ), si determinano i rimanenti vettori (A 2, v 2 ) e (A 3, v 3 ) su r 2 e r 3 decomponendo il vettore u v 1 lungo r 2 e r 3. Nel caso in cui r 1,r 2,r 3 non formano fascio, il problema ha una sola soluzione. Decomponendo u rispetto alle direzioni r 3 e BC (figura 2.14) si ottengono Fig rispettivamente i vettori v 3 e w. Dalla decomposizione di w lungo r 1 e r 2 si ottengono i vettori v 1 e v Riduzione di sistemi piani di forze e criteri di equivalenza a zero Si illustrano nel seguito alcune costruzioni grafiche finalizzate a ridurre i sistemi piani di forze a sistemi equivalenti costituiti da una sola forza e/o da una Corso di Scienza delle Costruzioni 29 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 30 A. A

10 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche Fig Si consideri un sistema piano del tipo S = {(P 1, u 1 ), (P 2, u 2 )}. Fig sola coppia. In particolare si ricorda che nel caso piano (I = 0) se r 0 il sistema è equivalente ad una forza, se r = 0 il sistema è equivalente ad una coppia. Sistemi costituiti da un solo vettore. Un sistema del tipo S = {(P, u)} ha banalmente risultante non nullo. In virtù della proposizione 2.3, tale sistema è equivalente al sistema Si supponga che le rette d azione r 1,r 2 non siano parallele (figura 2.16). In tal caso si ha r 0 e, detto O il punto di intersezione di r 1 ed r 2, m(o) = 0. Il sistema equivalente è S = {(O, r)}, infatti i due sistemi hanno lo stesso risultante e, in virtù della formula di trasposizione dei momenti, hanno lo stesso momento risultante rispetto a qualunque polo. S = {(P, u); m(p )}, ove m(p ) = (P P ) u è il momento risultante del primo sistema S rispetto al punto P (figura 2.15). Infatti risulta: r = u m(p) = 0 r = u = r m (P) = (P P) u + m(p )=0 = m(p). Questa operazione prende il nome di riduzione di (P, u) al punto P e m(p) prende il nome di momento di trasporto. Sistemi piani costituiti da due vettori. Fig Se le rette d azione r 1,r 2 sono parallele può aversi r = 0 o r 0. Nel primo caso (figura 2.17) il sistema è equivalente ad una coppia di momento m = ±b u e, essendo e il versore perpendicolare al piano individuato da r 1 ed Corso di Scienza delle Costruzioni 31 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 32 A. A

11 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche r 2, ed è indipendente dal polo scelto (si veda il paragrafo 2.2 e la proposizione 2.1). Se le due rette d azione sono coincidenti, si ha b = 0, per cui il sistema è equilibrato. Se r 0, è possibile determinare il risultante equivalente mediante due vettori agenti sulla stessa retta d azione e aventi stesso modulo e verso opposto. Sistemi piani costituiti da tre vettori. Un sistema di tre vettori (figura 2.19) S = {(P 1, u 1 ), (P 2, u 2 ), (P 3, u 3 )} Fig la costruzione del poligono funicolare (figura 2.18). Determinata la risultante r mediante il poligono dei vettori, si individuano a partire da un punto arbitrario P le direzioni p 1,p 2,p 3. Condotta da un punto arbitrario B 0 la retta s 1 p 1, si determina B 1 su r 1 e tramite s 2 p 2, si trova B 2 su r 2. Condotta da B 2 la retta s 3 p 3, la retta d azione r del risultante equivalente è la parallela a r 1 e r 2 passante per il punto B 3 di intersezione di s 1 e s 3. È facile provare che r = v 2 b 2 /b 1. è sempre riconducibile ad un sistema di due vettori S = {(P, u 12 ), (P 3, u 3 )}, essendo (P, u 12 ) il risultante equivalente del sistema di due vettori S 12 = {(P 1, u 1 ), (P 2, u 2 )}. Al sistema S si applicano le considerazioni fatte prima, e per esso si può quindi individuare facilmente il vettore (O, r) equivalente al sistema di partenza S. Fig Alla luce di quanto visto, è possibile dunque enunciare il criterio di equivalenza a zero per un sistema piano di due vettori. Proposizione Un sistema piano di due vettori è equivalente a zero se e solo se è costituito da una coppia di braccio nullo, cioé se è formato da Fig È possibile in particolare determinare per tali sistemi un criterio di equivalenza a zero. Perché si abbia r = 0, il poligono delle forze deve essere chiuso. Per quanto riguarda la condizione di annullamento del momento risultante, osservando la figura 2.19 si vede che m(p) = (P 3 P) u 3. Corso di Scienza delle Costruzioni 33 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 34 A. A

12 2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche Tale momento risultante è dunque nullo se (P 3 P) = 0, cioé se la retta d azione di u 3 passa per P. In definitiva si può enunciare il criterio di equivalenza a zero per un sistema piano di tre vettori come segue. Proposizione Un sistema piano di tre vettori è equivalente a zero se e solo se il poligono dei vettori è chiuso e le rette d azione dei vettori sono concorrenti in un unico punto. Si osservi che, nel caso in cui le rette d azione siano concorrenti in un punto improprio (sistema di vettori paralleli), la condizione espressa dalla precedente proposizione è solo necessaria. Sistemi piani costituiti da più di tre vettori. Per sistemi di questo tipo, è sempre possibile ricondursi a sistemi formati da tre o due vettori combinando due a due i vettori del sistema. Per questi valgono quindi le considerazioni fatte in precedenza. Corso di Scienza delle Costruzioni 35 A. A