LEZIONE 10. d(a, B) = AB = AB = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2.

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1 LEZIONE Distanze. Definizione In S n sia fissata un unità di misua u. Se A, B S n, definiamo distanza fa A e B, e sciviamo d(a, B), la lunghezza del segmento AB ispetto ad u. Abbiamo già pecedentemente visto come calcolae la lunghezza del segmento avente come estemi due punti A, B S 3 di cui si conoscono le coodinate ispetto ad un fissato sistema di ifeimento O ı j k. Se A = (x A, y A, z A ) e B = (x B, y B, z B ) alloa d(a, B) = AB = AB = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2. (si veda la Fomula (6.2.8)). Vogliamo estendee la nozione di distanza ad una qualsiasi coppia di sottoinsiemi X, Y S n. A tale scopo osseviamo che, in geneale, X ed Y conteanno più punti, quindi avemo più segmenti aventi un estemo in X ed uno in Y. X x1 x3 x2 y2 y1 y3 Y d(x,y) Figua È possibile peciò associae agli insiemi X ed Y un insieme di numei eali D X,Y = { d(x, y) x X, y Y }. Poiché d(x, y) 0 pe ogni coppia di punti x, y S n segue che D X,Y [0, + [. In paticolae D X,Y è un insieme limitato infeiomente, quindi isulta avee un estemo infeioe pe la completezza di R. 1 Typeset by AMS-TEX

2 DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA O DA UN PIANO Definizione In S n sia fissata un unità di misua u. Se X, Y S n, definiamo distanza fa X e Y il numeo d(x, Y ) = inf{ d(x, y) x X, y Y }. Veebbe natuale pensae alla distanza fa X ed Y come alla minima delle distanze fa i punti di X ed i punti di Y. In geneale ciò non è veo. Esempio Si consideino in S 2 gli insiemi X = { ( 1/n, 0) n Z, n > 0 } e Y = { (0, 0) }. Alloa d(x, Y ) = inf{ d(( 1/n, 0), (1, 0)) n Z, n > 0 } = 0 ma, chiaamente, d(( 1/n, 0), (0, 0)) = 1 n > 0 pe ogni n Z, n > 0. Chiaamente se X = { A } e Y = { B } alloa d(x, Y ) = d(a, B). Inolte sia X Y. Scelto A X Y isulta 0 d(x, Y ) = inf{ d(x, y) x X, y Y } d(a, A) = 0, sicché d(x, Y ) = 0. Il vicevesa, cioè se d(x, Y ) = 0 alloa X Y, non è veo (si veda l Esempio ) Distanza di un punto da una etta o da un piano. Andiamo oa ad esaminae i vai casi in cui X è un punto fissato P 0 ed Y è una etta o un piano. A tale scopo ci estingeemo al caso di sottoinsiemi dello spazio S 3 e suppoemo, d oa innanzi, di ave fissato un sistema di ifeimento O ı j k : sia P 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Consideiamo come pimo caso quello di un piano α di equazione ax+by+cz = d. Si deve valutae d(p 0, α) = inf{ d(p 0, P ) P α }. Si considei la etta passante pe P 0, pependicolae ad α e sia H il punto di intesezione di con α. Alloa se P α il tiangolo di vetici P 0, H e P isulta essee ettangolo in H. È noto dalla geometia elementae che, in un tiangolo ettangolo, la lunghezza dell ipotenusa è sempe maggioe od eguale alla lunghezza di ogni suo cateto. In paticolae d(p 0, H) d(p 0, P ) pe ogni P = (x, y, z) α. D alta pate fa i punti che intevengono nella definizione di d(p 0, α) c è anche H, quindi isulta d(p 0, H) d(p 0, α) = inf{ d(p 0, P ) P α } d(p 0, H).

3 LEZIONE 10 3 In paticolae d(p 0, α) = d(p 0, H) e, dunque, l estemo infeioe è, in questo caso, un minimo. P0 H P 1 P2 α Figua Passiamo oa a deteminae una fomula esplicita pe calcolae d(p 0, α). Innanzi tutto osseviamo che si tatta di calcolae la distanza d(p 0, H): questo numeo può essee facilmente calcolato ossevando che coincide con la lunghezza della poiezione del vettoe P 0 P = (x 0 x) ı + (y 0 y) j + (z 0 z) k lungo una diezione otogonale a α. A tale scopo possiamo fa uso di quanto visto nell Ossevazione Si icodi che, dato un vettoe w ed una etta pe l oigine, la poiezione otogonale w, di w lungo si ottiene come w = w, v v v v, ove v è un qualsiasi vettoe paallelo a : dunque w = w, v. v Nel nosto caso a ı + b j + c k è pependicolae ad α, peciò d(p 0, α) = d(p 0, H) = P 0 H = a(x 0 x) + b(y 0 y) + c(z 0 z) a2 + b 2 + c 2 = = ax 0 + by 0 + cz 0 ax by cz a2 + b 2 + c 2. D alta pate P α, quindi ax + by + cz = d, sicché otteniamo (10.2.2) d(p 0, α) = ax 0 + by 0 + cz 0 d a2 + b 2 + c 2.

4 DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA O DA UN PIANO Esempio In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O ı j k e si consideino il punto P 0 = (1, 2, 3) e il piano α di equazione catesiana 3x 2y z = 0. Alloa, utilizzando la Fomula (10.2.2), si ha d(p 0, α) = = Ovviamente la distanza d(p 0, α) può anche essee ottenuta calcolando diettamente come d(p 0, H) = H P 0. Nel nosto caso la etta passante pe P 0 e pependicolae ad α ha equazioni paametiche x = 1 + 3t y = 2 2t z = 3 t. Quindi H = (x H, y H, z H ), punto di intesezione di con α, coisponde alla soluzione dell equazione 3(1 + 3t) 2(2 2t) (3 t) = 0, cioè a t = 2/7. In paticolae H P 0 = (6 ı 4 j 2 k )/7, da cui segue 8 d(p 0, α) = d(p 0, H) = H P 0 = 7 (si noti che H = (13/7, 10/7, 19/7)). Come secondo caso consideiamo quello di una etta. Si deve valutae d(p 0, ) = inf{ d(p 0, P ) P }. Si considei la etta s passante pe P 0, pependicolae ed incidente a e sia H il punto di intesezione di con s. Come nel caso pecedente deduciamo che d(p 0, ) = d(p 0, H) e, di nuovo, l estemo infeioe è un minimo. P0 P H Figua Deteminiamo anche in questo caso una fomula pe deteminae d(p 0, H). Si noti che la deteminazione della etta s menzionata sopa può pesentae difficoltà. s

5 LEZIONE 10 5 Infatti tale etta deve soddisfae due condizioni: di essee pependicolae e, simultaneamente, incidente ad. Possiamo aggiae il poblema in due modi. Un pimo modo è quello di ossevae che s è sempe contenuta nel piano α passante pe P 0 e pependicolae a, sicché s = α. La deteminazione di un equazione di α è, in geneale, semplice, così come calcolane l intesezione H con : a questo punto d(p 0, ) = d(p 0, H). Un secondo modo può essee il seguente. Siano P 1 e P 2 punti abitai su. Alloa il segmento P 0 H è esattamente l altezza di un paallelogamma avente lato obliquo P 0 P 1 e base P 1 P 2 : se A è la misua dell aea di tale paallelogamma alloa d(p 0, ) = d(p 0, H) = P 0 H = A P 1 P 2. P0 H P2 P 1 Figua s Ricodiamo quanto visto nell Ossevazione Se abbiamo un paallelogamma di cui conosciamo te vetici consecutivi P 0, P 1, P 2 la sua aea A si detemina come A = (P 0 P 1 ) (P 1 P 2 ). Consideiamo il nosto caso. Se è data tamite le sue equazioni paametiche x = x 1 + lt y = y 1 + mt z = z 1 + nt. Alloa, pesi ad esempio P 1 e P 2 i punti coispondenti ispettivamente a t = 0 e t = 1, cioè P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P 2 = (x 1 + l, y 1 + m, z 1 + n), segue che (10.2.6) d(p 0, ) = ((x 0 x 1 ) ı + (y 0 y 1 ) j + (z 0 z 1 ) k ) (l ı + m j + n k ) l2 + m 2 + n 2.

6 DISTANZA DI UN PIANO DA UNA RETTA O DA UN PIANO Esempio In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O ı j k e si consideino il punto P 0 = (1, 2, 3) e la etta di equazioni paametiche x = 3 + t y = t 2 z = 2t 3. Un vettoe paallelo a è v = ı + j + 2 k. Alloa il piano α passante pe P 0 e pependicolae a ha equazione catesiana x + y + 2z = 9. Quindi il punto d intesezione H = (x H, y H, z H ) di con α coisponde alla soluzione dell equazione (3 + t) + (t 2) + 2(2t 3) = 9 cioè t = 7/3, sicché H = (16/3, 1/3, 5/3). Risulta H P 0 = (13 ı 5 j 4 k )/3, da cui segue d(p 0, ) = d(p 0, H) = H P 0 = 9 = 3. Pocediamo nel secondo modo utilizzando la Fomula (10.2.6). Poiché P 0 P 1 = 2 ı + 4 j + 6 k, si ha d(p 0, ) = ( 2 ı + 4 j + 6 k ) ( ı + j + 2 k ) = 2 ı + 10 j 6 k = = Distanza di un piano da una etta o da un piano. Andiamo oa ad esaminae il caso in cui X sia un piano. A tale scopo, come al solito, suppoemo di ave fissato sistema di ifeimento O ı j k nello spazio S 3 e sia ax + by + cz = d l equazione di α.. Iniziamo ad esaminae il caso in cui Y sia un secondo piano α, di equazione catesiana a x + b y + c z = d. Se α α alloa α α, dunque d(α, α ) = 0. Possiamo peciò iduci ad esaminae il caso in cui α α. Pe ogni punto A α sia A α l unico punto tale che d(a, α ) = d(a, A ).

7 LEZIONE 10 7 A α A' α' Figua Come già ossevato nel paagafo pecedente pe ogni alto P α si ha d(a, A ) d(a, P ), quindi pe ogni A α d(α, α ) = inf{ d(a, A ) A α, A α } = = inf{ d(a, A ) A α } = d(a, A ) = d(a, α ). Utilizzando la Fomula (10.2.2) che espime la distanza di A = (x A, y A, z A ) da α, otteniamo subito d(α, α ) = d(a, α ) = a x A + b y A + c z A d a 2 + b 2 + c 2. Poiché α α possiamo suppoe che a = a, b = b, c = c. Inolte il fatto che A α implica ax A + by A + cz A = d. Concludiamo alloa che (10.3.2) d(α, α ) = d d a2 + b 2 + c 2. Esempio In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O ı j k e si consideino i piani α, α e α ispettivamente di equazioni catesiane α : x + y + z = 1, α : x y + 2z = 1, α : y 2z x = 1. Iniziamo a consideae i due piani α e α. Poiché k = segue che α α, dunque d(α, α ) = 0. Consideiamo oa i due piani α e α. Poiché k =

8 DISTANZA DI UN PIANO DA UNA RETTA O DA UN PIANO segue che α α. Pe deteminae la distanza d(α, α ) utilizzando la Poposizione si devono pima modificae le equazioni date di α e α in modo che abbiano lo stesso pimo membo: possiamo alloa suppoe che le due equazioni siano ispettivamente sicché la Fomula (10.3.2) ci dà α : x y + 2z = 1, α : x y + 2z = 1, d(α, α ) = = 2 6. In maniea simile si può pocedee nel caso in cui si debba calcolae la distanza fa una etta ed un piano α. Anche in questo caso o α e d(, α) = 0 oppue α e d(, α) = d(p 0, α) pe un qualsiasi punto P 0 α. Quindi, in questo secondo caso, si può applicae la Fomula (10.2.2). Esempio Si consideino le ette, ispettivamente di equazioni paametiche x = 3 + t { x + y z = 4 : y = t 2 : x y = 5 z = 2t 3, e il piano α di equazione 3x + y 2z = 0. Un vettoe paallelo a è v = ı + j + 2 k mente un vettoe pependicolae ad α è v α = 3 ı + j k. Poiché v, v α = 0 segue che α. Petanto, posto P 0 = (3, 2, 3), dalla Fomula (10.2.2) si ha d(, α) = d(p 0, α) = Un vettoe paallelo ad è v = ( ı + j k ) ( ı j ) = ı j 2 k = v, quindi e, dunque, α. Pe calcolae d(, α) possiamo pocedee in due modi. Un pimo modo è quello di deteminae un punto P 0, pe esempio P 0 = (5, 0, 1) e poi calcolae d(, α) = d(p 0, α). Un alto modo è quello di ossevae che il piano α di equazione 3x + y 2z 13 = 2(x + y z 4) + (x y 5) = 0 contiene ed è paallelo a α: peciò d(, α) = d(α, α) = =

9 LEZIONE Distanza fa due ette. Andiamo oa ad esaminae l ultimo caso imanente, cioè il caso in cui X ed Y siano due ette, diciamo ed. Sia O ı j k un sistema di ifeimento fissato nello spazio S 3. Dobbiamo distinguee due casi pincipali. Il caso in cui ed siano complanai ed il caso in cui non lo siano, ovveo il caso in cui ed siano ette sghembe. Nel pimo caso o, sicché e, dunque d(, ) = 0, oppue, nel qual caso d(, ) = d(p 0, ) pe un qualsiasi punto P 0. P0 ' Figua Esempio In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O ı j k e si consideino le due ette ed di equazioni paametiche x = 3 + t x = 1 + t : y = t 2 : y = 2 + t z = 2t 3, z = 3 + 2t. Le ette e sono entambe paallele al vettoe v = ı + j + 2 k, quindi sono paallele fa loo. Poiché P 0 = (1, 2, 3) segue dall Esempio che 70 d(, ) = d(, P 0 ) = 3. Passiamo oa ad esaminae il caso più inteessante in cui le due ette e sono sghembe. In questo caso esiste un unico piano α contenente e paallelo a. Infatti siano v e v vettoi non nulli paalleli a ed ispettivamente. Poiché segue che v v, sicché il vettoe w = v v è non nullo. Ogni piano contenente e paallelo ad deve essee paallelo sia a v che a v, quindi deve essee pependicolae a w: dovendo intesecae tale piano è univocamente deteminato. In modo simile si dimosta l esistenza e l unicità di un piano α contenente e paallelo a. Poiché, pe definizione, α e α si ha d(α, α ) d(, ).

10 DISTANZA FRA DUE RETTE Vedemo nel seguito che, di fatto, vale l uguaglianza e, quindi, il calcolo della distanza d(, ) si iduce al più semplice calcolo della distanza fa i due piani paalleli α e α. Poposizione Siano, ette sghembe. Esiste un unica etta s incidente e pependicolae sia a che ad. Dimostazione. Fissiamo un sistema di ifeimento O ı j k in S 3 avente come asse delle ascisse. Alloa dei sistemi di equazioni paametiche pe e sono x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt, x = t y = 0 z = 0. Poiché segue che m ed n non sono simultaneamente nulli. Vogliamo dimostae che esistono due punti R e R univocamente deteminati tali che R R e R R. Poiché ( ) R R = (x 0 + lt t ) + (y 0 + mt) + (z 0 + nt), è paallela a l ı +m j +n k e è paallela a ı segue che i punti cecati coispondono alle eventuali soluzioni del sistema ( ) { R R, ı = 0 R R, l ı + m j + n k = 0. Si noti che alloa R R è paallelo al vettoe w = ı (l ı + m j + n k ) che è pependicolae ad ogni piano paallelo sia a che ad. Sostituendo l espessione di R R data dalla Fomula ( ) nel Sistema ( ), si ottiene il sistema esplicito Poiché l 1 l 2 + m 2 + n 2 l { lt t = x 0 (l 2 + m 2 + n 2 )t lt = x 0 l y 0 m z 0 n. = l2 + l 2 + m 2 + n 2 = m 2 + n 2 che è diveso da zeo pechè m ed n non sono simultaneamente nulli, segue l esistenza e l unicità dei punti R ed R cecati e, di conseguena, della etta s. La etta s definita nell enunciato della Poposizione viene detta etta di minima distanza fa ed. Tale etta è pependicolae ad ogni piano simultaneamente paallelo sia a che ad. I punti R ed R ispettivamente intesezione di ed con s soddisfano evidentemente la condizione d(, ) d(r, R ). Poiché si ha anche che la etta s

11 LEZIONE è pependicolae sia a α che a α isulta anche d(r, R ) = d(r, α ) = d(α, α ). Anche in questo caso l estemo infeioe che definisce la distanza d(, ) è, quindi, un minimo. R α α' R' s ' Figua Esempio In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O ı j k e si consideino le ette ed ispettivamente di equazioni paametiche x = 3 + t x = t : y = t 2 : y = t 2 z = 2t 3, z = 2t + 1. La etta è paallela al vettoe v = ı + j + 2 k, mente la etta è paallela la vettoe v = ı + j + 2 k, quindi. Inolte il sistema 3 + t = t t 2 = t 2 2t 3 = 2t + 1, non ha soluzione. Concludiamo che ed sono sghembe. Vogliamo deteminae d(, ). A tale scopo pocediamo come nella dimostazione della Poposizione , deteminando due punti R ed R tali che R R v, v. Si ha R R = (3 + t + t ) ı + (t t ) j + (2t 2t 4) k, dunque le condizioni R R v, v si taducono nel sistema { 6t 4t = 5 4t 6t = 11 la cui unica soluzione è data da t = 7/10 e t = 23/10 coispondente ai due punti R = (23/10, 27/10, 44/10), R = (23/10, 43/10, 36/10).

12 ANGOLI Segue che d(, ) = d(r, R ) = = Pe completezza osseviamo che la etta s di minima distanza fa ed, che è la etta passante pe R e R, ha equazioni paametiche x = 23/10 y = 27/10 16t z = 44/10 + 8t Angoli. In questo paagafo vogliamo intodue le nozioni di angolo fa due ette, due piani, una etta e un piano e spiegae come calcolali. Tali nozioni, al pai della nozione di distanza, sono utili pe descivee la posizione elativa degli oggetti geometici con cui lavoiamo. Definizione Sia O S 3 e siano, S 3 ette. Diciamo che e fomano un angolo ϕ [0, π] se esistono due vettoi v, v V 3 (O), paalleli a e ispettivamente, tali che v v = ϕ. Osseviamo che se e fomano l angolo ϕ alloa esse fomano anche l angolo π ϕ. Infatti se v alloa anche v e si ha v v = π v v. Ricodando quanto visto nella Lezione 7 in meito al significato geometico del podotto scalae si ha alloa che gli angolo fomati dalle due ette sono v, v v, v accos, π accos. v v v v Si noti che non è ichiesto dalla definizione che le ette siano incidenti. In paticolae si può palae di angoli fa ette paallele o sghembe. α α' v' O v ' -v ' Figua

13 LEZIONE Esempio Siano date le ette : x = 3 + t y = t 2 z = 2t 3, : { x + 3z = 0 y z = 2. Risulta =. Infatti gli eventuali punti d intesezione coispondeebbeo ai valoi del paameto t che soddisfano simultaneamente le due equazioni 7t 6 = t 3 = 0. Inolte i vettoi v = ı + j + 2 k e v = ( ı + 3 k ) ( j k ) = 3 ı + j + k sono ispettivamente paalleli alle ette e. Poiché v, v = 0 segue che le due ette e fomano un angolo di π/2 adianti: si dice anche che le ette e sono otogonali. Sia poi la etta di equazioni paametiche : x = t y = t z = t. Si ha v, quindi gli angoli fomati da e sono 4 4 accos, π accos Definizione Sia O S 3 e siano, α S 3 una etta e un piano ispettivamente. Diciamo che e α fomano un angolo ϕ [0, π] se esistono due vettoi v, v α V 3 (O), il pimo paallelo a e il secondo pependicolae a α, tali che v v α = π/2 ϕ. La agione pe cui si dà la definizione sopa è che l angolo fa e α può essee pensato come l angolo fomato dalla etta con la sua poiezione otogonale sul piano α. Osseviamo che, anche in questo caso, se e α fomano l angolo ϕ alloa essi fomano anche l angolo π ϕ. Sempe pe il significato geometico del podotto scalae, tenendo conto che cos(π/2 ϕ) = sin ϕ, si ha alloa che gli angolo fomati dalla etta e dal piano sono acsin v, v α v, v α, π acsin. v v α v v α

14 ANGOLI vα v O v ' ' α Esempio Sia data la etta Figua : x = 3 + t y = t 2 z = 2t 3, ed il piano α di equazione x + y + z = 0. Si noti che un vettoe paallelo a è v = ı + j + 2 k, mente un vettoe pependicolae a α è v α = ı + j + k. Poiché v, v α = 4 segue che e α fomano gli angoli 4 4 acsin, π acsin Definizione Sia O S 3 e siano α, α S 3 piani. Diciamo che α e α fomano un angolo ϕ [0, π] se esistono due vettoi v α, v α V 3 (O), pependicolai a α e α ispettivamente, tali che v α v α = ϕ. Se α α è facile veificae che gli angoli fomati da α e α sono 0 e π. Supponiamo che α α, sicché s = α α è una etta: alloa gli angoli fa α e α sono gli angoli fomati dalle ette = α β e = α β pe ogni piano β pependicolae a s. Anche in questo caso, se α e α fomano l angolo ϕ alloa essi fomano anche l angolo π ϕ. Pe il significato geometico del podotto scalae gli angolo fomati dai due piani sono accos vα, v α, π accos v α v α vα, v α. v α v α

15 LEZIONE α' s β α vα' O vα Figua Esempio Siano dati i piani α e α ispettivamente di equazioni catesiane α : x + 2y z = 1, α : 3x y + z = 0. I vettoi α = ı + 2 j k e v α = 3 ı j k sono pependicolai ispettivamente a α e α. Poiché v α, v α = 2 segue che α e α i due angoli 2 2 accos, π accos