Lezione 3. Angoli al centro e angoli alla circonferenza

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1 Lezione 3. Angoli al centro e angoli alla circonferenza 1 Angoli in una circonferenza La proprietà illustrata dalle proposizioni 0, 1 e 3 del terzo libro degli Elementi si riferisce a una delle caratteristiche più notevoli della circonferenza. Essa infatti mette in relazione l unico angolo al centro che insiste su un determinato arco con i molteplici angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco. Poiché tale relazione non dipende dalla posizione del vertice dell angolo alla circonferenza, possiamo dedurre l importante conseguenza che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco sono uguali (avendo la stessa relazione con unico angolo al centro). 1.1 Il teorema dell angolo al centro La relazione tra l angolo al centro e un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sul medesimo arco è semplicemente che il primo è doppio del secondo. Vale cioè il seguente teorema: In un cerchio, l angolo al centro è il doppio dell angolo alla circonferenza quando essi abbiano lo stesso arco come base Per la dimostrazione consideriamo separatamente il caso in cui l angolo alla circonferenza AC ˆ B, relativo all angolo al centro AO ˆ B, contenga il centro O oppure no (Figura 1). Supponiamo dapprima che il centro O sia interno all angolo AC ˆ B Figura 1 Il teorema dell'angolo al centro nei due casi di centro (cerchio di sinistra nella Figura contenuto o meno nell'angolo alla circonferenza 1). Tracciamo il diametro CD e consideriamo il triangolo AOC, isoscele sulla base AC essendo AO CO in quanto raggi. AO ˆ D è angolo esterno nel triangolo AOC ed è quindi uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti: AOD ˆ ACO ˆ CAO ˆ ACˆ O, poiché gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali. Consideriamo ora il triangolo isoscele COB e ripetiamo lo stesso ragionamento basato sul teorema dell angolo esterno somma degli angoli interni non adiacenti ottenendo: BOD ˆ BCˆ O. Sommando le due uguaglianze termine a termine troviamo infine AOB ˆ ACˆ B, che è la nostra tesi. Formalizziamo i passaggi di questa prima parte della dimostrazione: Ipotesi: L angolo alla circonferenza AC ˆ B e l angolo al centro AO ˆ B insistono sul medesimo arco AB; il centro della circonferenza è interno a AC ˆ B 1. AOD ˆ ACO ˆ CAˆ. OC OA in quanto raggi (ipotesi) 3. ACO ˆ CAˆ O (teorema del triangolo isoscele, ) 1

2 4. AOD ˆ ACˆ O (1, 3) 5. BOD ˆ BCO ˆ CBˆ 6. OC OB in quanto raggi (ipotesi) 7. BCO ˆ CBˆ O (teorema del triangolo isoscele, 6) 8. BOD ˆ BCˆ O (5, 7) 9. Tesi: AOB ˆ ACˆ B (somme di cose uguali sono uguali, 4, 8) Passiamo ora al caso in cui il centro non sia contenuto nell angolo alla circonferenza (cerchio di destra nella Figura 1). Anche in questo caso tracciamo il diametro CD e consideriamo il triangolo AOC, isoscele sulla base AC essendo AO CO in quanto raggi. AOD ˆ è angolo esterno nel triangolo AOC ed è quindi uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti: AOD ˆ ACO ˆ CAO ˆ ACˆ O, poiché gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali. Passiamo ora al triangolo isoscele COB e ripetiamo lo stesso ragionamento basato sul teorema dell angolo esterno somma degli angoli interni non adiacenti ottenendo: BOD ˆ BCˆ O. A differenza di quanto visto nel caso precedente, adesso l angolo al centro e quello alla circonferenza sono dati dalla differenza tra BO ˆ D e AOD ˆ, e tra BC ˆ O e AC ˆ O rispettivamente. Tuttavia, poiché differenze di cose uguali sono uguali, avremo ancora AOB ˆ ACˆ B. Formalizziamo i passaggi di questa prima parte della dimostrazione: Ipotesi: L angolo alla circonferenza AC ˆ B e l angolo al centro AO ˆ B insistono sul medesimo arco AB; il centro della circonferenza è interno a AC ˆ B 1. AOD ˆ ACO ˆ CAˆ. OC OA in quanto raggi (ipotesi) 3. ACO ˆ CAˆ O (teorema del triangolo isoscele, ) 4. AOD ˆ ACˆ O (1, 3) 5. BOD ˆ BCO ˆ CBˆ 6. OC OB in quanto raggi (ipotesi) 7. BCO ˆ CBˆ O (teorema del triangolo isoscele, 6) 8. BOD ˆ BCˆ O (5, 7) 9. Tesi: AOB ˆ ACˆ B (differenze di cose uguali sono uguali, 4, 8) Osserviamo che nel primo e nel secondo caso tutti i passaggi della dimostrazione sono esattamente uguali tranne l ultimo, che richiede una somma quando il centro è interno all angolo alla circonferenza e una differenza quando invece è esterno. 1. Un importante corollario Dal fatto che l angolo al centro sia uguale al doppio dell angolo alla circonferenza che insiste sul medesimo arco, indipendentemente dal punto della circonferenza in cui si trova il vertice di quest ultimo segue (proposizione 1 del III libro) il corollario:

3 In un cerchio, angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco sono uguali tra loro Se infatti l angolo al centro è doppio dell angolo alla circonferenza indipendentemente da dove quest ultimo ha il vertice, due angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco saranno uguali in quanto entrambi la metà dello stesso angolo al centro. Il triangolo inscritto in un semicerchio Tra tutti i possibili triangoli inscritti in una circonferenza consideriamo quelli in cui un lato coincide con un diametro (Figura ): indipendentemente dalla posizione del vertice B un tale triangolo è sempre rettangolo. Vale cioè il seguente teorema: In un cerchio, l angolo alla circonferenza inscritto in un semicerchio è retto È possibile derivare questo risultato come un semplice corollario del teorema dell angolo al centro; infatti AB ˆ C è un angolo alla circonferenza che insiste sul medesimo arco dell angolo al centro piatto AO ˆ C (che è appunto una semicirconferenza). Tuttavia negli Elementi viene data di questo teorema che costituisce la prima parte della proposizione 31 del terzo libro una dimostrazione più elegante che non fa riferimento al teorema dell angolo al centro e che è basata unicamente su proprietà elementari dei triangoli. Vediamo quindi la dimostrazione originale di Euclide. Avendo prolungato il lato AB oltre B osserviamo che l angolo CB ˆ D è uguale alla somma degli angoli interni nel triangolo ABC ad esso non adiacenti: CBD ˆ BAC ˆ ACˆ B. Consideriamo poi il triangolo AOB, essendo AO OB in quanto raggi esso è isoscele; si ha quindi BAO ˆ OBˆ A. Analogamente, poiché anche BOC è un triangolo isoscele, avremo OBC ˆ BCˆ O. Ora, essendo ABC ˆ ABO ˆ OBˆ C, che gli angoli CB ˆ D e AB ˆ C sono uguali in quanto somma di angoli uguali, e poiché insieme formano l angolo piatto ABD ˆ Figura Triangolo inscritto in, sono entrambi retti. Formalizziamo i passaggi della un semicerchio dimostrazione: Ipotesi: La costruzione della Figura, il lato AC del triangolo ABC è un diametro della circonferenza circoscritta 1. CBD ˆ BAC ˆ ACˆ B (teorema dell angolo esterno somma degli angoli interni non. AO OB in quanto raggi (ipotesi) 3. BAO ˆ OBˆ A (teorema del triangolo isoscele, ) 4. CO OB in quanto raggi (ipotesi) 5. OBC ˆ BCˆ O (teorema del triangolo isoscele, 4) 6. ABC ˆ ABO ˆ OBˆ C (ipotesi) 7. CBD ˆ ABˆ C (1, 6, 3, 5) 8. ABC ˆ CBˆ D (ipotesi) 3

4 9. Tesi: ˆ ˆ A BC CBD (7, 8) 3 L angolo tra la tangente e la secante Il corollario del teorema dell angolo al centro secondo cui tutti gli angoli alla circonferenza sono uguali, prevede un caso notevole caso particolare: quello in cui uno dei due lati dell angolo sia tangente alla circonferenza, il vertice dell angolo sia il punto di tangenza e l altro lato sia secante alla circonferenza, come ad esempio l angolo EA ˆ B di Figura 3. A prima vista può non risultare evidente che tale angolo sia un angolo alla circonferenza. Per convincersi intuitivamente di ciò consideriamo l angolo alla circonferenza AD ˆ B che insiste Figura 3 L'angolo tra la tangente e la sull arco AB e supponiamo che il vertice D si secante muova sulla circonferenza avvicinandosi al punto A; la retta a cui appartiene la corda DA tenderà a divenire tangente, l angolo EA ˆ B potrà dunque essere visto come un caso limite di AD ˆ B in cui i punti D e A sono portati a coincidere. Un simile ragionamento ricorda più i concetti del moderno calcolo infinitesimale che quelli della geometria sintetica, e infatti Euclide non afferma mai che l angolo tra la tangente e la secante sia un particolare angolo alla circonferenza. Egli si limita a dimostrare (proposizione 3 del terzo libro) che l angolo EA ˆ B tra la tangente e la secante è uguale a un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sull arco AB. Se una retta è tangente ad un cerchio, e dal punto di contatto si conduce nel cerchio un altra retta che lo venga a tagliare, gli angoli che essa forma con la tangente saranno uguali agli angoli alla circonferenza inscritti nei segmenti alterni del cerchio Si noti che nell enunciato di questa proposizione si parla degli angoli (al plurale) e non dell angolo tra la tangente e la secante; in effetti oltre a EA ˆ B vi è il suo supplementare, che è uguale agli angoli alla circonferenza che insistono sul maggiore degli archi AB. Per la dimostrazione consideriamo un particolare angolo alla circonferenza che insiste sull arco AB, e precisamente l angolo AC ˆ B in cui il lato AC è un diametro. Il triangolo ABC risulta pertanto rettangolo in B secondo il teorema precedentemente dimostrato (paragrafo ). Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto ˆ ˆ A CB CAB. D altra parte è stato anche dimostrato che la tangente e il diametro passante per il punto di tangenza sono perpendicolari (lezione, paragrafo.), cosicché CAE ˆ è un angolo retto. Potremo dunque scrivere che ˆ ˆ C AB BAE. Confrontando le due relazioni si ottiene immediatamente BAE ˆ ACˆ B, che è la nostra tesi. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione: Ipotesi: La retta AE è tangente alla circonferenza, AC è un diametro 1. ˆ A BC (teorema sul triangolo inscritto in un semicerchio, ipotesi) 4

5 . ˆ ˆ A CB CAB (teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, ipotesi) 3. ˆ C AE (teorema sulla tangente perpendicolare al raggio, ipotesi) 4. ˆ ˆ C AB BAE (3) 5. Tesi: BAE ˆ ACˆ B (, 4) 4 Verifiche di comprensione 1. Definisci l angolo al centro e l angolo alla circonferenza.. Enuncia il teorema dell angolo al centro. 3. Dimostra il teorema dell angolo al centro nel caso in cui il centro è interno all angolo alla circonferenza. 4. Dimostra il teorema dell angolo al centro nel caso in cui il centro è esterno all angolo alla circonferenza. 5. In cosa differiscono le dimostrazioni del teorema dell angolo al centro nei due casi di centro interno ed esterno all angolo alla circonferenza? 6. Quale importante corollario possiamo dedurre dal teorema dell angolo al centro? 7. Enuncia il teorema del triangolo inscritto in un semicerchio. 8. Come si potrebbe dedurre il teorema del triangolo inscritto in un semicerchio dal teorema dell angolo al centro? 9. Come dimostra Euclide il teorema del triangolo inscritto in un semicerchio? 10. Enuncia il teorema dell angolo tra tangente e secante. 11. Come si potrebbe dedurre il teorema dell angolo tra tangente e secante dal teorema dell angolo al centro? 1. Come dimostra Euclide il teorema dell angolo tra tangente e secante? 5 Problemi 1. Sia AB il diametro di una circonferenza di centro O e AC una sua corda, sia inoltre D il punto di intersezione tra la tangente alla circonferenza per C e quella per B. Dimostra che OD e AC sono parallele.. Date due circonferenze tangenti esternamente, di centri rispettivamente O e O, sia t la tangente comune nel punto di contatto tra le circonferenze. Costruisci con riga e compasso le altre due rette tangenti comuni alle due circonferenze (Suggerimento: detto A il punto in cui una delle due tangenti incontra la t, quanto misura l angolo OAO ˆ?... ). 3. Dimostra la proposizione inversa del teorema del triangolo inscritto in un semicerchio, vale a dire: dato un triangolo ABC rettangolo in B, la circonferenza passante per i tre vertici ha AC come diametro (Suggerimento: procedi per assurdo considerando il triangolo che ha per vertici A, C e il punto in cui uno dei due cateti o il suo prolungamento incontra la circonferenza di diametro AC...). 4. Dato un triangolo isoscele ABC di base AB traccia la circonferenza avente il centro O sul prolungamento del lato CB e che sia tangente ad AC nel punto A. Indicata con D l ulteriore intersezione della retta AB con la circonferenza, dimostra che l angolo 5

6 COD ˆ è retto (Suggerimento: dopo aver stabilito la relazione tra CA ˆ B e AO ˆ D considera gli angoli del triangolo OBD...). 5. Sia AC ˆ B l angolo alla circonferenza che insiste su un arco AB e sia D il punto in cui la bisettrice di tale angolo incontra la circonferenza. Dimostra che i due archi AD e DB sono uguali. 6. Date due circonferenze tra loro tangenti traccia per il punto di contatto una retta secante ad entrambe che incontra la prima circonferenza in A e la seconda in B. Dimostra considerando separatamente il caso di circonferenze tangenti internamente ed esternamente che la tangente in A alla prima circonferenza e la tangente in B alla seconda sono tra loro parallele (Suggerimento: traccia la retta tangente alle due circonferenze per il punto comune e considera i vari angoli tra tangente e secante che si vengono a formare...). 7. Da un punto A esterno a una circonferenza traccia due secanti, la prima che incontra la circonferenza in B e C (con B interno ad AC) e la seconda che incontra la circonferenza in D ed E (con D interno a AE). Dimostra che ABD ˆ AEˆ C. 8. Sono date due circonferenze secanti che si incontrano nei punti A e B. Traccia il diametro AC nella prima circonferenza e AD nella seconda. Le due circonferenze sono poste in modo tale che C ed si trovino dalla stessa parte rispetto alla retta AB. Dimostra che i punti B, C e D sono allineati. 9. Sono date due circonferenze secanti che si incontrano nei punti A e B. Traccia il diametro AC nella prima circonferenza e AD nella seconda. Le due circonferenze sono poste in modo tale che C ed si trovino da parti opposte rispetto alla retta AB. Dimostra che i punti B, C e D sono allineati. 10. Sono date due circonferenze tangenti internamente; sia A il punto di contatto e B l altro estremo del diametro che, nella circonferenza maggiore, passa per A. Traccia poi la corda BD della circonferenza maggiore, tangente in C alla circonferenza minore. Dimostra che la semiretta AC è la bisettrice dell angolo BA ˆ D (Suggerimento: detto E l ulteriore punto in cui AB incontra la circonferenza minore, considera i triangoli ACE e ACD...). 11. Sull arco AB di una circonferenza di centro O prendi due punti qualsiasi C e D. Sulla semiretta AC fissa un punto E esterno alla circonferenza tale che CE CB e, similmente, sulla semiretta AD fissa un punto F esterno alla circonferenza tale che DF DB. Dimostra che CEB ˆ DFˆ B. 1. Date due circonferenze tangenti internamente, sia T il punto di contatto tra di esse. Da T traccia una semiretta che incontri la circonferenza maggiore in A e la minore in B. Sia C l altro estremo del diametro della circonferenza minore passante per A, e D l altro estremo del diametro della circonferenza maggiore passante per B. Dimostra che i punti C, D e T sono allineati (Suggerimento: dopo aver mostrato che TCA ˆ TDB ˆ procedi per assurdo ipotizzando che TD incontri la retta AC in un punto diverso da C...). 13. Da un punto C dell arco AB di una circonferenza traccia la bisettrice dell angolo ACB ˆ, che incontra la circonferenza nell ulteriore punto D. Successivamente, traccia la corda DE parallela ad AC. Dimostra che le corde CB e DE sono uguali. 14. Data una corda AB di una circonferenza traccia la tangente in A e su questa un punto C in modo che AC AB e che detto D il punto in cui la retta CB incontra la circonferenza D sia compreso tra C e B. Dimostra che DC DA. 15. Dati due diametri AB e CD in un cerchio, traccia da C la perpendicolare ad AB che incontra la circonferenza in P. Dimostra che DP è parallela ad AB. 6