Metodo classico: i G R G. V AB = V AD R X i X = R 1 i 1. i 1. V BC = V CD R o i o = R 2 i 2. R ε R X = (R 1 /R 2 ) R 0 2

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1 Il ponte di è utilizzato per la misura di resistenze con elevata precisione; è adeguato per misure di nell intervallo Ω Strumentazione: Generatore di f.e.m. in corrente continua Tester digitale Cassetta di resistenze variabili tra 0.1 Ω e Ω,regolabile con 5 manopole resistenze da 00 Ω con tolleranza 1% 1 resistenza da 100 Ω con tolleranza 1% 1 resistenza da 0 Ω con tolleranza 1% resistenze di valore nominale 10 Ω ±5% e 18 ±5% kω di cui si deve determinare il valore effettivo Si applicheranno 3 metodi che utilizzano il ponte di Weathstone per la misura di resistenze incognite e si confronteranno i risultati: metodo classico; metodo della doppia pesata; metodo del confronto o di sostituzione 1

2 A i Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Metodo classico: x 1 G B G i G o i i o C Variando opportunamente le resistenze 1, e 0 condizione di ponte bilanciato : quando la corrente nel galvanometro è nulla i G = 0 ovvero V B = V D In tali condizioni: i o = i i 1 = i V AB = V AD i = 1 i 1 i i 1 D ε V BC = V CD o i o = i ε = ( 1 / ) 0

3 = ( 1 / ) 0 Conviene fissare il rapporto 1 / e variare 0 (cassetta di resistenze) per ricercare la condizione di bilanciamento del ponte. La scelta del valore di 1 / è determinata dal valore della resistenza incognita, dall intervallo di variabilità di 0 e dalla sensibilità che si vuole ottenere nella misura Errore relativo e precisione del metodo: ln = ln 1 -ln + ln 0 Δ Δ1 = + 1 La miglior stima dell errore relativo su è ε = ε + ε + ε + ε 1 0 P dove ε P è l errore sul bilanciamento del ponte che dipende dalla sensibilità del tester 3 Δ + Δ 0 0

4 A i H Per stimare l errore ε P è necessario considerare le equazioni di Kirchoff del circuito quando il sistema e sbilanciato: B i 0 = i + i G Nodo B i o i = i 1 + i Nodo A i x G G o ε= 1 i 1 + ε i + i Maglia AHKC 0 = i - 1 i 1 - G i G Maglia ABD C 0 = 0 i 0 + G i G - i Maglia BCD i 1 i i 1 D ε G ε K i G = ε ( 0 1 )/A con A = G ε ( )+ + G ( 0 + )( 1 + )+ + ε ( 1 + )( + 0 )+ + 1 ( + 0 )+ 0 ( 1 + ) 4

5 i G è massima se A è minimo ovvero se G = 0 e ε = 0 A= 1 ( + 0 )+ 0 ( 1 + ) Se il ponte è bilanciato: = 1 / * 0 A = 1 ( 1 / +1) / * 0 ( 1 + )= = 1 / * 0 ( ) = ( 1 + )( 0 + ) Quindi in condizioni prossime all equilibrio: A = B con B = ( 1 + )( 0 + ) e i G = ε*( 0 1 )/B = =ε /B ε 0 1 /B Quindi la sensibilità del metodo è: di d G 0 1 ε = B Cε = con C = 0 1 / [( 1 + )( 0 + )] 5

6 ε Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di = Δ = Δi Cε G Minima variazione di x che produce sbilanciamenti del ponte Si dimostra che la sensibilità è massima quando = 1 = = 0 C=1/4 l errore relativo su è ε( )=4 /ε Δ(i G ) Esempio: = 100 Ω, ε = 10 V e Δi G = 10-7 A e C = 1/4 ε( ) = Nel nostro caso, i 3 metodi sono limitati dalla sensibilità del tester digitale che è 0.1 μa per f.s. 00 μa. L errore su nel metodo classico dipende principalmente dalle tolleranze di 1, e 0 Se è compreso nell intervallo di valori che può assumere la cassetta delle resistenze conviene scegliere 1 = per massimizzare la sensibilità del circuito Per misurare resistenze di valore superiore a Ω si scelgono 1 e in modo che 1 / >1 6

7 Metodo classico in pratica: si realizza il circuito in figura sostituendo al galvanometro un multimetro digitale adoperato inizialmente in modalità di voltmetro (elevata resistenza di ingresso = 10 MΩ) cosicché è possibile evitare di utilizzare la resistenza di protezione G senza rischiare di danneggiarlo B fissato il valore della tensione di alimentazione ε, si diminuisce 0 a partire dal suo valore massimo agendo sulle manopole della cassetta di resistenze, fino a raggiungere la condizione di ponte bilanciato (V multimetro = 0) A i x G G 1 i G i o C La regolazione della cassetta si effettua mediante 5 manopole ciascuna corrispondente a una posizione decimale del valore della resistenza. i D Errore di lettura della resistenza della cassetta = 0.1 Ω, ma si utilizzi 0.Ω (in quanto un po usurate) i 1 i ε 7

8 Al fine di aumentare la sensibilità dello strumento (senza rischiare di danneggiarlo in quanto la corrente che percorre lo strumento è piccola una volta bilanciato col voltmetro) si utilizza successivamente la modalità amperometro del multimetro (sensibilità di 0.1 μa per fondo scala 00 μa) al fine di verificare che la corrente nel tester è i G = 0 Si registri il valore di 0 quando questa condizione è verificata Utilizzare le resistenze di tolleranza 1% ( da 00 Ω, 1 da 0 Ω) come 1 e, scegliendo il valore 1 / in base al valore presunto di rispetto al massimo valore della cassetta di resistenze e cercando di massimizzare, laddove possibile, la sensibilità ( 1 = ) Inoltre si eseguano 3 misure (solo per il metodo classico) con 3 valori delle tensioni di alimentazione (es. ε~3, 6, 9 V) almeno per la prima delle resistenze da misurare 8

9 Tabella di dati ed errori per il metodo classico: ε (Volt) 1 0 σ 0 σ 1 σ Δ x ε Eseguendo la misura per diversi valori di ε si osserva che la sensibilità aumenta con ε Si faccia la media pesata dei risultati Metodo della doppia pesata Il nome deriva dall analogia con il metodo di misura di masse mediante la doppia pesata che consente di rendere la misura indipendente dalla lunghezza dei bracci della bilancia e quindi di eliminare errori sistematici legati alla loro diversa lunghezza spostando la massa da un piatto all altro 9

10 Il metodo della doppia pesata in pratica: si bilancia il ponte e si annota il valore di 0 si scambia la posizione di 1 con si bilancia nuovamente il ponte annotando il valore di 0 Infatti: = ( 1 / ) 0 = ( / 1 ) 0 = ' 0 0 Quindi l errore relativo è: ln = ln 0 + ln 0 d 0 0 = + = ε + ε 0' + ( ) 0 P d 0 d' ' 0 1 ε ε dove ε P deriva dall aver bilanciato il ponte per volte. L errore su è principalmente determinato dalle tolleranze di 0 e 0 V (Volt) 0 0 σ 0 σ 0 Δ x ε 10

11 Metodo del confronto o di sostituzione Si esegue la misura di col metodo classico Si sostituisce con la resistenza di confronto C di valore noto e scelta dello stesso ordine di grandezza di Si misura C bilanciando il ponte = ( 1 / ) 0 C = ( 1 / ) 0 = C ( 0 / 0 ) L errore su è principalmente determinato dalle tolleranze di 0, 0 e C I 3 metodi vanno impiegati solo laddove i valori delle resistenze lo rendono possibile! V (Volt) 0 0 C σ 0 σ 0 σ C Δ x ε 11