Non è una definizione rigorosa, ma la adottiamo per semplicità. Vediamo ora alcuni esempi.

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1 1 Funzione Continua Una definizione intuitiva di funzione continua è la seguente. Una funzione è continua se puoi tracciarne il grafico senza staccare la matita dal foglio. Non è una definizione rigorosa, ma la adottiamo per semplicità. Vediamo ora alcuni esempi. 1. F(x)= n+1 per n x<n+1 dove n sono i numeri interi compresi tra 0 e 4 (vedi grafico qui sotto). Chiaramente la funzione è continua nei tratti con x tra n ed n+1, ma non lo è in x=n, dove salta di livello (discontinuità).. f(x)=x f(x)=x +1 per x<1; per x 1; è continua ovunque tranne che in x=1. 3. f(x)= sen (x) è continua ovunque. 0 π/ π π Però presenta discontinuità nella derivata quando x è multiplo di. Discontinuità nella derivata hanno l aspetto di spigoli.

2 Massimi e Minimi La funzione f(x) ha un massimo assoluto in x=x M se per ogni valore x per cui la funzione è definita. f(x M ) f(x) Si dice invece che ha un massimo relativo in x=x m se f(x m ) f(x) per ogni valore x contenuto in un intorno di x m. L' intorno di x m è un segmento (anche molto piccolo) di valori x che circonda x m. Esempio 1. F(x 1 ), F(x ), F(x 3 ) ed F(x 4 ) sono massimi della funzione F(x). F(x 1 ) è un massimo assoluto, F(x ), F(x 3 ) ed F(x 4 ) sono massimi relativi. F(x 5 ) non è un massimo. Esempio. F(x 1 ), F(x ), F(x 3 ) ed F(x 4 ) sono tutti massimi relativi. F(x ) è anche massimo assoluto.

3 3 Analogamente, f(x) ha un minimo assoluto in x=x M se per ogni valore x per cui la funzione è definita. Inoltre f(x) ha un minimo relativo in x=x m se per tutti gli x in un intorno di x m. f(x M ) f(x) f(x m ) f(x) Come possiamo identificare massimi e minimi di una funzione? Gli esempi sembrano suggerire che un massimo od un minimo relativo sia associato ad una derivata pari a zero (la pendenza della curva appare piatta nei massimi o nei minimi relativi). Ma questa non è una condizione né necessaria, né sufficiente. Se infatti la derivata della funzione non è continua, potremo avere un massimo relativo con uno spigolo che non si associa ad una derivata uguale a zero. Oppure potremmo avere un punto in cui, pur essendo la derivata nulla, la funzione passa dall essere convessa all essere concava (quindi un punto dove la funzione presenta un flesso ) e quindi dove non si presenta un massimo relativo. Nella figura seguente la derivata, positiva per valori x<x 0, diminuisce fino a 0 avvicinandosi ad x 0. Ma quando x supera x 0 la derivata diviene nuovamente positiva e la funzione continua a crescere. Il punto x 0 è un flesso.

4 4 Per definire un criterio che individui massimi e minimi relativi di una funzione, dovremmo allora considerare solo funzioni continue assieme alla loro derivata. Inoltre non ci basterà considerare la derivata della funzione (o derivata prima), ma dovremo tenere conto anche della derivata della funzione derivata (o derivata seconda), come illustrato dal seguente schema. I tre grafici nella prima colonna mostrano (dall alto in basso) una funzione F(x) con un massimo relativo in x 0, la sua derivata F (x), e la derivata della funzione derivata (o derivata seconda, F (x)). La derivata è positiva fino ad x 0, dove F(x) raggiunge il massimo relativo: qui F (x 0 )=0. Per x>x 0 la funzione F(x) inizia a decrescere, e la derivata diviene negativa. Quindi la funzione derivata è una funzione decrescente che intercetta l asse X nel punto x 0. Pertanto la derivata seconda (cioè la pendenza della derivata) è negativa nel punto di massimo: F (x 0 )<0. Il discorso opposto vale per il minimo relativo (pannelli in a colonna). In questo caso la derivata è negativa fino ad x 0 : qui F (x 0 )=0. Per x>x 0 la funzione cresce, e la derivata diviene positiva. Quindi F (x) è una funzione crescente che intercetta l asse X nel punto di minimo relativo. Pertanto la derivata seconda (cioè la pendenza della derivata) sarà positiva nel punto di minimo: F (x 0 )>0. Nel caso di flesso, sia crescente (pannelli in 3 a colonna) che decrescente (pannelli in 4 a colonna) abbiamo una situazione differente. La derivata vale zero nel punto di flesso, ma è sempre positiva (o uguale a zero) nell intorno del flesso crescente; sempre negativa (o uguale a zero) nell intorno del flesso decrescente. Quindi il punto di flesso corrisponde ad un minimo o ad un massimo della funzione derivata. La derivata seconda (cioè la pendenza della derivata) cambia segno e nel punto di flesso è pari a zero.

5 5 In conclusione: Se una funzione f(x) è continua, e lo sono anche la derivata prima e seconda, f (x) ed f (x) allora un punto in cui f (x)=0 è: un massimo relativo se f (x)<0; un minimo relativo se f (x)>0. Problemi di Massimi e Minimi Problema 1). Quello che segue è un problema storicamente importante. Infatti è il primo problema che sia stato risolto applicando il criterio detto dei punti stazionari (cioè i punti in cui la derivata di una funzione è zero) prima ancora che si sviluppasse la teoria del calcolo delle derivate. Autore del problema e della sua elegante soluzione è stato Pierre de Fermat ( ). Dato un segmento di lunghezza L, a quale distanza x da un estremità lo dobbiamo dividere se vogliamo che il rettangolo formato dai due sotto-segmenti risultanti abbia la massima area? Se spezziamo il segmento in x, i due segmenti risultanti hanno lunghezza x ed L-x. Dobbiamo scegliere x in modo da massimizzare l area A= x(l-x) Quindi il problema diviene quello di trovare il massimo della funzione A(x)= xl-x. La derivata prima è A (x)= L-x A (x)=0 in L-x =0 x=l/ La derivata seconda A (x)=- è sempre <0, quindi x=l/ è un massimo.

6 6 Problema ). Un produttore vende carne in scatolette di volume V. Per risparmiare alluminio, il produttore vuole ridurre al minimo la superficie della scatoletta. Le scatolette sono cilindriche. Quale sarà il rapporto ottimale tra altezza h del cilindro e raggio r della base del cilindro per usare la quantità minima di alluminio? La superficie S del cilindro è data da: S= S Base +S lato La superficie della base è S Base r La superficie laterale è S lato = rh Quindi S= r + rh La superficie S è funzione di variabili: r ed h. Bisogna però considerare che r ed h non possono variare liberamente. Infatti il volume della scatoletta, V è un valore fisso, è un dato del problema. Il volume V di un cilindro di altezza h e base di raggio r è: V r h V da cui ricaviamo che: h r Sostituendo questa espressione di h otteniamo: rv S(r)= r = r V r = r 1 r Vr Quindi, poiché V è costante, S è funzione solo di r. Per minimizzare S, calcoliamone la derivata prima. S' r 4 r V ( 1) r = V 4 r r Troviamo ora il valore di r per cui S (r)=0, e cioè per cui: V 4 r r quindi Ma V r h e quindi Pertanto se r=h/ abbiamo S (h/)=0 Poiché la derivata seconda r 3 V 3 r h r V S (r)= 4 = 3 r 4V = 4 3 r è positiva (il volume V e il raggio r sono maggiori di 0), allora in r=h/ abbiamo un minimo. La scatoletta deve essere alta quanto il diametro della base. rh

7 7 superficie complessiva. Esercizio. Un produttore di casseruole ne vuole minimizzare il peso a parità di capacità (volume V). Quale rapporto dovrà scegliere tra raggio della base r ed altezza della casseruola h? Attenzione: il problema si differenzia dal precedente (scatoletta) perché la casseruola non ha il coperchio, e quindi cambia il calcolo della Nota. I problemi di questo paragrafo sono stati ispirati da: G. Bessiere Il calcolo integrale e differenziale reso facile ed attraente Ulrico Hoepli, Milano, Funzioni Polinomiali Sono le funzioni: f(x) = a n x n + a n-1 x n a 0 dove n è un numero intero maggiore o uguale a zero e dove a n 0. Vediamo alcuni esempi. 1) Se n=0 otteniamo la funzione f(x) = a 0 (polinomio di ordine 0). E una funzione continua, uguale ad a 0 per qualsiasi valore x. L equazione f(x)=0 non ha soluzioni (ricordate che si assume a 0 0). Nel piano cartesiano y=a 0 è una linea retta orizzontale. y a 0 x ) Se n=1 otteniamo la funzione f(x) = a 1 x+ a 0 (polinomio del primo ordine). E una funzione continua, con derivata f (x)=a 1 anch essa continua. Poiché a 1 0, questa funzione non ha massimi o minimi relativi. L equazione a 1 x +a 0 =0 ha una sola radice: x 1 =- a 0 / a 1.

8 8 Nel piano cartesiano, y= a 1 x+a 0 è una retta di pendenza a 1. 3) Se n= otteniamo la funzione f(x) = a x + a 1 x+ a 0 (polinomio del secondo ordine, o funzione quadratica) E una funzione continua con derivata: f (x)= a x+ a 1 La derivata è un polinomio del primo ordine, e quindi ammette una sola radice dell equazione a1 f (x 1 )=0 in x1 a la derivata seconda è: f (x)= a Quindi il punto x 1 sarà un massimo se la derivata seconda è minore di zero, se cioè: Sarà invece un minimo se: a <0 a >0 Esercizio. Perché nel punto x 1 =- a 1 /(a ) NON può esserci un flesso? L equazione a x +a 1 x+a 0 =0 ha al più due radici reali: x 1, x. Le radici possono coincidere (una sola soluzione doppia ). Nel caso non abbia radici reali, l equazione avrà due radici complesse coniugate, e cioè con la stessa parte reale ma con parte immaginaria opposta. Nel piano cartesiano y= a x +a 1 x+ a 0 rappresenta una parabola la cui concavità sarà verso l alto o verso il basso a seconda del segno della derivata seconda, cioè del segno di a.

9 9 4) Se n=3 otteniamo la funzione f(x) = a 3 x 3 +a x + a 1 x+ a 0 (polinomio del terzo ordine o funzione cubica). E una funzione continua. La derivata f (x) è un polinomio del secondo ordine: f (x) = 3a 3 x +a x+ a 1 Pertanto ci potranno essere al massimo due punti con derivata nulla: f (x) =0 Non è detto però che siano un massimo ed un minimo. Potrebbero infatti esserci flessi, come nell esempio f(x) = x 3-1 In questo caso: f (x) = 6 x e f (x) = 1 x f (x) =0 in x 1 =0 e questo punto non è né massimo né minimo perché f (x 1 ) =0. 5) In generale: f(x) = a n x n + a n-1 x n a 0 è una funzione continua, con derivate prima e seconda continue. Ha al più n radici reali, ed ammette sempre n radici complesse. Essa ha al più n-1 minimi o massimi. Inoltre: Se F n (x) è un polinomio di grado n, e G m (x) è un polinomio di grado m (con m n) allora: H(x) = F n (x) G m (x) è un polinomio di grado m + n. H(x) = F n (x) + G m (x) è un polinomio di grado m.

10 10 Compiti 1) Un produttore di casseruole ne vuole minimizzare il peso a parità di capacità (volume V). Quale rapporto dovrà scegliere tra raggio della base r ed altezza della casseruola h? Attenzione: il problema si differenzia dal precedente (scatoletta) perché la casseruola non ha il coperchio, e quindi cambia il calcolo della superficie complessiva. ) Data la funzione f(x) = a x + a 1 x+ a 0 perché nel punto x 1 =- a 1 /(a ) NON può esserci un flesso? 3) Calcolare valore e pendenza delle seguenti funzioni f(x) nel punto x= f(x)=4; f(x)=-3x+6 f(x)=x -x-1 4. Quanti massimi ha la funzione f(x)= x 3 + x x 1? 5. Date le funzioni f 1 (x) = x +x +3 f (x) = x x +3 quante soluzioni (reali o complesse) avrà l equazione del quarto ordine: f 1 (x) f (x)= ( x +x +3)( x x +3)=0?