Algebra Lineare e Geometria - Lezione 20
|
|
- Raffaela Grandi
- 2 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Algebra Lineare e Geometria - Lezione 20 Giuseppe Zappalà Università di Catania 20 aprile 2020 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
2 Luoghi geometrici Esercizio 1 Nello spazio A 3 R, determinare il luogo geometrico descritto dalle rette complanari alle tre rette sghembe r 1 { y = 0 z = 0, r 2 { x z = 0 y 1 = 0, r 3 { 2x z = 0 y 2 = 0. Soluzione. La generica retta r complanare ad r 1 ed r 2 ha equazione r : { ay + bz = 0 c(x z) + d(y 1) = 0 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
3 Luoghi geometrici Esercizio 1 (continuazione) Essa è complanare anche ad r 3 se e solo se il sistema omogeneo ay + bz = 0 c(x z) + d(y t) = 0 2x z = 0 y 2t = 0 ammette soluzioni non nulle. Ovvero se e solo se 0 a b 0 c d c d c c d c d d = 0 a b = Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
4 Luoghi geometrici Esercizio 1 (continuazione) 2a( c + 2c) 2b( 2d + d) = 0 2ac + 2bd = 0 ac + bd = 0. Adesso { eliminiamo i parametri dall equazione di ay + bz = 0 r : ; a = z, b = y, c = y 1, d = x + z. c(x z) + d(y 1) = 0 Sostituendo otteniamo l equazione del luogo geometrico z(y 1) y( x + z) = 0 xy z = 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
5 Cambiamenti di coordinate Proiettività In P 2 K si chiama proiettività un cambiamento lineare di coordinate del tipo x = q 11 X + q 12 Y + q 13 T y = q 21 X + q 22 Y + q 23 T t = q 31 X + q 32 Y + q 33 T con det(q ij ) 0. Poniamo Q = (q ij ). In forma compatta, possiamo scrivere x = QX, x X dove x = y e X = Y. t T Quindi una proiettività è una funzione biettiva f : P 2 K P2 K., Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
6 Cambiamenti di coordinate Affinità Si chiama affinità una proiettività del tipo x = q 11 X + q 12 Y + q 13 T y = q 21 X + q 22 Y + q 23 T t = T Traslazione Si chiama traslazione una affinità del tipo x = X + q 13 T y = Y + q 23 T t = T q 11 q 12 q 13 ; Q = q 21 q 22 q q 13 ; Q = 0 1 q Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
7 Cambiamenti di coordinate Rotazione Si chiama rotazione una affinità del tipo x = q 11 X + q 12 Y y = q 21 X + q 22 Y t = T q 11 q 12 0 ; Q = q 21 q ( ) q11 q dove P = 12 è una matrice ortogonale speciale. q 21 q 22 Le matrici ortogonali speciali in K 2,2 sono sempre della forma ( ) h k P =, h 2 + k 2 = 1. k h Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
8 Cambiamenti di coordinate Rotazione Quindi la matrice di una rotazione è del tipo h k 0 Q = k h 0, h 2 + k 2 = Rototraslazione o trasformazione ortogonale Si chiama rototraslazione o anche trasformazione ortogonale una proiettività che è la composizione di rotazioni e di traslazioni. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
9 Cambiamenti di coordinate Rototraslazione Sia f r : P 2 K P2 K una rotazione e sia f t : P 2 K P2 K una traslazione. Supponiamo che f r (x) = Q r x e f t (x) = Q t x. Sia f rt = f t f r. Allora f rt (x) = f t (f r (x)) = f t (Q r x) = Q t Q r x. Quindi la matrice di una rototraslazione si ottiene moltiplicando la matrice di una traslazione per quella di una rotazione. 1 0 a h k 0 h k a Q rt = 0 1 b k h 0 = k h b Nota che det Q rt = h 2 + k 2 = 1. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
10 Cambiamenti di coordinate Rototraslazione Si vede facilmente che Q 1 rt = h k kb ha k h hb + ka Se K = R, si ha inoltre che cos ϑ sen ϑ a Q rt = sen ϑ cos ϑ b Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
11 Cambiamenti di coordinate Rototraslazioni e isometrie Sia K = R. Si chiama isometria un affinità che conserva la distanza tra due punti. Le rototraslazioni sono particolari isometrie, dette isometrie dirette. Le rototraslazioni formano un gruppo rispetto alla composizione, detto gruppo delle isometrie dirette o anche gruppo euclideo speciale. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
12 Cambiamenti di coordinate Traslazione Y y X x Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
13 Cambiamenti di coordinate Rotazione Y y X α x Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
14 Cambiamenti di coordinate Rototraslazione Y y X x Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
15 Coniche Definizione di conica Le ipersuperfici di P 2 K si chiamano curve. Le curve di grado 2 si chiamano coniche. L equazione generale di una conica è quindi f = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 xt + 2a 23 yt + a 33 t 2 = 0. Sia B la matrice simmetrica associata a tale forma quadratica. L equazione della conica si può quindi scrivere in forma matriciale t x B x = 0. Nel seguito supporremo che K = C e che i coefficienti di f siano numeri reali. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
16 Coniche Coniche riducibili Una conica γ di equazione f = 0 si dice riducibile o spezzata se il polinomio f è riducibile ovvero si può scomporre come prodotto di due polinomi di primo grado. Altrimenti γ si dirà irriducibile. Sia γ una conica riducibile. Allora f = g 1 g 2, con deg g 1 = deg g 2 = 1. I polinomi g 1 e g 2 definiscono quindi due rette r 1 ed r 2. Si possono verificare due casi. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
17 Coniche Coniche riducibili Caso 1. g 1 è proporzionale a g 2. Allora g 2 = ag 1, ovvero f = ag 2 1. In questo caso f = 0 se e solo se g 1 = 0 e quindi il grafico di γ è una retta. In tal caso si dice che γ si spezza in due rette coincidenti. r 1 = r 2 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
18 Coniche Coniche riducibili Caso 2. g 1 non è proporzionale a g 2. In questo caso f = 0 se e solo se g 1 = 0 oppure g 2 = 0, quindi il grafico di γ è costituito da due rette distinte. In tal caso si dice che γ si spezza in due rette distinte. Tali rette si intersecano in un punto P 0 che può essere proprio o improprio. r 1 P 0 r 2 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
19 Punti singolari Osservazione Se una conica contiene una retta allora essa è riducibile. Definizione Sia γ una conica e sia P 0 γ. Diremo che P 0 è un punto singolare per γ se per ogni P γ, P P 0, la retta PP 0 è contenuta in γ. Osservazione Se una conica ha un punto singolare, allora essa contiene almeno una retta e quindi è riducibile. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
20 Punti singolari Proposizione Se una conica si spezza in due rette coincidenti allora tutti i suoi punti sono singolari. Se una conica si spezza in due rette distinte r 1 ed r 2 allora ha un solo punto singolare che è P 0 = r 1 r 2. Dim. Segue subito dalla definizione di punto singolare. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
21 Coniche Intersezione tra una conica ed una retta Sia γ : t x B x = 0 una conica. Siano P 0, P 1 P 2 C, P 0 P 1. Siano x 0 e x 1 i vettori colonna delle coordinate di P 0 e P 1, rispettivamente. Siano x = λx 0 + µx 1 le equazioni della retta P 0 P 1 scritte in forma vettoriale. Vogliamo studiare l intersezione (P 0 P 1 ) γ. { x = λx 0 + µx 1 t x B x = 0 { x = λx 0 + µx 1 t (λx 0 + µx 1 )B(λx 0 + µx 1 ) = 0. Osserviamo che, essendo t x 0 Bx 1 una matrice 1 1, t x 0 Bx 1 = t ( t x 0 Bx 1 ) = t x 1 ( t B)x 0 = t x 1 Bx 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
22 Coniche Intersezione tra una conica ed una retta La seconda equazione del sistema diventa ( t x 0 Bx 0 )λ 2 + ( t x 0 Bx 1 )λµ + ( t x 1 Bx 0 )λµ + ( t x 1 Bx 1 )µ 2 = 0 ( t x 0 Bx 0 )λ 2 + 2( t x 1 Bx 0 )λµ + ( t x 1 Bx 1 )µ 2 = 0 ( ). Quest ultima è una equazione omogenea di secondo grado in λ e µ oppure è una identità. Nel primo caso la retta incontra la conica in due punti che possono essere distinti o coincidenti. Nel secondo caso la retta è contenuta nella conica. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
23 Sistema dei punti singolari Teorema Sia γ : t x B x = 0 una conica e sia P 0 (x 0 ) P 2 C. P 0 è singolare per γ se e solo se Bx 0 = 0. Dim. Supponiamo che P 0 sia singolare per γ. Sia P 1 (x 1 ) P 2 C. Consideriamo la retta P 0 P 1. Intersecando P 0 P 1 con γ otteniamo l equazione (*) ( t x 0 Bx 0 )λ 2 + 2( t x 1 Bx 0 )λµ + ( t x 1 Bx 1 )µ 2 = 0. Per ipotesi, P 0 γ ovvero t x 0 Bx 0 = 0; l equazione diventa quindi µ[2( t x 1 Bx 0 )λ + ( t x 1 Bx 1 )µ] = 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
24 Sistema dei punti singolari Teorema (continuazione) Essendo P 0 un punto singolare, la retta P 0 P 1 interseca γ solo in P 0 oppure è tutta contenuta in γ. Quindi l equazione sopra o ammette due soluzioni coincidenti, oppure è una identità. Essa ammette la soluzione µ = 0 doppia se e solo se t x 1 Bx 0 = 0; essa è una identità se e solo se t x 1 Bx 0 = t x 1 Bx 1 = 0. Quindi ricaviamo che t x 1 Bx 0 = 0, per ogni x 1 Bx 0 = 0. Viceversa supponiamo che Bx 0 = 0. Segue che t x 0 Bx 0 = 0, ovvero P 0 γ. Sia P 1 (x 1 ) γ, P 1 P 0. Dobbiamo dimostrare che la retta P 0 P 1 è contenuta in γ, ovvero dobbiamo dimostrare che (*) è una identità. Infatti t x 0 Bx 0 = t x 1 Bx 0 = 0, per il fatto che Bx 0 = 0 e t x 1 Bx 1 = 0 perché P 1 γ. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
25 Classificazione delle coniche in base al rango di B Teorema Sia γ : t x B x = 0 una conica. Allora 1) rk B = 1 se e solo se γ si spezza in due rette coincidenti. 2) rk B = 2 se e solo se γ si spezza in due rette distinte. 3) rk B = 3 se e solo se γ è irriducibile. Dim. 1) rk B = 1 se e solo se il sistema Bx = 0 ammette 2 soluzioni, se e solo se γ ha una retta di punti singolari, se e solo se γ si spezza in due rette coincidenti. 2) rk B = 2 se e solo se il sistema Bx = 0 ammette 1 soluzioni, se e solo se γ ha un solo punto singolare, se e solo se γ si spezza in due rette distinte. 3) rk B = 3 se e solo se il sistema Bx = 0 ammette solo la soluzione x = 0, se e solo se γ è priva di punti singolari, se e solo se γ è irriducibile. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
26 Classificazione delle coniche in base al rango di B Esercizio 2 Determinare i valori di h affinché la conica γ : 2x 2 2xy 4y 2 + 6x + h = 0 sia riducibile e determinare le rette in cui si spezza. Soluzione. Scriviamo la matrice associata a γ B = ; 3 0 h det B = 8h + 36 h = 9h + 36; det B = 0 h = 4. Per h 4, rk B = 3, quindi γ è irriducibile. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
27 Classificazione delle coniche in base al rango di B Esercizio 2 (continuazione) Per h = 4, rk B = 2, quindi γ si spezza in due rette distinte. Per determinare tali rette pensiamo il polinomio nella variabile x f = 2x 2 + 2(3 y)x 4y = 0. 4 = (3 y)2 2(4 4y 2 ) = 9 6y +y 2 8+8y 2 = 9y 2 6y +1 = (3y 1) 2. 2x = y 3 ± (3y 1) 2x y + 3 ± (3y 1) = 0. E quindi f = 2(x + y + 1)(x 2y + 2). Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
28 Classificazione delle coniche in base al rango di B Esercizio 2 (continuazione) Per determinare il punto singolare di γ basta risolvere il sistema x { x + 4y = 0 x = y = 0 3x + 4t = 0 ; y = t t = 3 Il punto singolare è quindi P 0 ( 4 3, 1 3 ). Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
29 Coniche irriducibili Classificazione delle coniche irriducibili Le coniche irriducibili si classificano in base ai punti impropri. Ogni conica irriducibile ha due punti impropri. Si possono verificare tre casi. Una conica irriducibile si chiama iperbole se ha due punti impropri reali e distinti. Una conica irriducibile si chiama parabola se ha due punti impropri coincidenti. Una conica irriducibile si chiama ellisse se ha due punti impropri immaginari e coniugati. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
30 Coniche irriducibili Sottomatrice A Sia γ : t x B x = 0 una conica. Indichiamo con A la sottomatrice di B individuata dalle prime due righe e dalle prime due colonne. Teorema Sia γ : t x B x = 0 una conica irriducile. 1) γ è una iperbole se e solo se det B 0 e det A < 0. 2) γ è una parabola se e solo se det B 0 e det A = 0. 3) γ è una ellisse se e solo se det B 0 e det A > 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
31 Coniche irriducibili Teorema (continuazione) Dim. Sappiamo ( che γ è) irriducibile se e solo se det B 0. a11 a Si ha che A = 12. a 12 a 22 I punti impropri di γ sono dati dal sistema { t x B x = 0 t = 0 { a11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 = 0 t = 0. La prima è una equazione omogenea di secondo grado con discriminante 4 = a2 12 a 11 a 22 = det A. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
32 Coniche irriducibili Teorema (continuazione) Quindi le soluzioni del sistema sono due punti impropri 1) reali e distinti se e solo se 4 > 0 det A < 0. 2) coincidenti se e solo se 4 = 0 det A = 0. 3) immaginari e coniugati se e solo se 4 < 0 det A > 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
DettagliFissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
DettagliConiche in forma generale
LE CONICHE Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonaleo, x, y, u. Coniche in forma generale Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro
Dettagli1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2
1 Coniche Studieremo le curve nel piano euclideo, cioè nel piano con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo piano, ottenuto con l introduzione
DettagliParte 12b. Riduzione a forma canonica
Parte 2b. Riduzione a forma canonica A. Savo Appunti del Corso di Geometria 202-3 Indice delle sezioni. Coniche, 2. Esempio di riduzione, 4 3. Teoremi fondamentali, 6 4. Come determinare l equazione canonica,
DettagliStudio generale di una conica
Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica
DettagliClassificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
Dettagli22 Coniche proiettive
Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu-06 95 22 Coniche proiettive (22.1) Definizione. Sia K[x 0, x 1,..., x n ] l anello dei polinomi nelle indeterminate (variabili) x 0, x 1,..., x n. Un polinomio di
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliGeometria 2, a.a. 2006/2007 Ingegneria Edile-Edile Architettura
Geometria 2, a.a. 2006/2007 Ingegneria Edile-Edile Architettura Tutore: Eleonora Palmieri 14 febbraio 2007 Esercizio 1: Si consideri in R 2 la conica Γ : 2x 2 1 + 4x 2 2 + x 1 + 2x 2 = 0. 1. Ridurre Γ
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Edile ed Edile/Architettura. Geometria Proiettiva Docente F.
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Edile ed Edile/Architettura Geometria Proiettiva Docente F. Flamini CONICHE PROIETTIVE: Classificazione e forme canoniche proiettive Si
DettagliLe quadriche. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.
Le quadriche Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadrica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate
Dettagli25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica
Lezione 25 25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento Oxyz e consideriamo un polinomio q(x, y, z) di grado 2 nelle tre variabili x, y, z amenodicostantimoltiplicativenon
DettagliQuadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016
Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016 Sia K un campo. Informalmente, una ipersuperficie (algebrica) nello spazio proiettivo P n K è il luogo dei punti [t 0 : t 1 : : t n ] tali che (t 0, t 1,..., t n )
DettagliApplicazioni lineari simmetriche e forme quadratiche reali.
Applicazioni lineari simmetriche e forme quadratiche reali 1 Applicazioni lineari simmetriche Consideriamo lo spazio IR n col prodotto scalare canonico X Y = t XY = x 1 y 1 + + x n y n Definizione Un applicazione
DettagliSullo svolgimento di una delle quattro versioni della prova scritta di Geometria analitica e algebra lineare del giorno 11 febbraio 2013.
Sullo svolgimento di una delle quattro versioni della prova scritta di Geometria analitica e algebra lineare del giorno febbraio 0 x + y + z = 0 Stabilire se le due rette r, di equazioni cartesiane ed
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Corso integrato di Analisi 1 (Geometria e Algebra Lineare) 29 aprile 2011 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Corso integrato di Analisi 1 (Geometria e Algebra Lineare) 9 aprile 011 Tema A Tempo a disposizione: ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliFissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.
Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici Quadriche Quadriche in forma canonica Quadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazio Coniche nello spazio Coni e cilindri in forma canonica e parametrica
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici geometriche algebriche e matrici e isometrie Riduzione Invarianti Studio di coniche Intersezione con rette e tangenti in forma parametrica 006 Politecnico di Torino
DettagliL algebra lineare nello studio delle coniche
L algebra lineare nello studio delle coniche È possibile utilizzare le tecniche dell algebra lineare per studiare e classificare le coniche. Data l equazione generale di una conica, si considera la sua
DettagliProva scritta di Algebra lineare e Geometria- 8 Settembre 2010
CdL in Ingegneria d(el Recupero Edilizio ed Ambientale - - Ingegneria Edile-Architettura (A-L),(M-Z)- Ingegneria delle Telecomunicazioni - - Ingegneria Informatica (A-F), (R-Z) Prova scritta di Algebra
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica (Cp-I e J-Pr) - Ingegneria Elettronica (Cp-I e J-Pr) - Ingegneria REA
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (Cp-I e J-Pr) - Ingegneria Elettronica (Cp-I e J-Pr) - Ingegneria REA Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 0 Febbraio 019 Durata della prova: tre ore.
Dettagli24.1 Coniche e loro riduzione a forma canonica
Lezione 24 24. Coniche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y amenodicostantimoltiplicativenonnulle,diciamo ax
DettagliNoi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p.
Durante il corso abbiamo studiato insiemi (rette e piani) che possono essere descritti come luogo di zeri di equazioni (o sistemi) di primo grado. Adesso vedremo come applicare quanto visto per studiare
Dettagli1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema
1 Quadriche Studieremo le quadriche nello spazio riferito ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo spazio, ottenuto con l introduzione delle
DettagliUn fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche:
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
DettagliLEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione
LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici
DettagliEsercitazioni del Marzo di Geometria A
Esercitazioni del -5 Marzo di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica AA 07/08 Matteo Bonini matteobonini@unitnit Esercizio Si consideri la matrice 0 A 0 0 0 0 (i Scrivere
DettagliCorso di Laurea in Matematica GEOMETRIA A. Seconda prova intermedia aa. 2018/ k 1 (k + 1) 1 k 1 2 A :=
Corso di Laurea in Matematica GEOMETRIA A Seconda prova intermedia aa. 018/019 Esercizio 1. Si consideri il piano euclideo V = E munito del prodotto scalare standard e della base ortonormale e 1, e } e
DettagliAlgebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009
Algebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009 Esercizio 1. Nello spazio vettoriale reale R 3 [x] si considerino l insieme A k = {1 + x, k + (1 k)x 2, 1 + (k 1)x 2 + x 3 }, il vettore v k = k + kx x 3 e la
DettagliCenni sulle coniche 1.
1 Premessa Cenni sulle coniche 1. Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile Università degli Studi di Palermo A.A. 2013/2014 prof.ssa Paola Staglianò (pstagliano@unime.it) Scopo della geometria analitica
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria analitica: rette e piani parametriche Allineamento nel piano nello spazio Angoli tra rette e distanza 2 2006 Politecnico di Torino 1 Esempio 2 Sia A = (1, 2). Per l interpretazione geometrica
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate
DettagliDidattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica
Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) QUADRICHE DI R 3. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliCorso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni
Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 4: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Esercizio. Sono dati i seguenti sistemi lineari omogenei nelle incognite x, y, z: { x + y z = x + y z = x + y z = S : x y + z =, S :, S 3 : x 3y =,
DettagliSoluzioni della prova scritta di Geometria 1 del 27 giugno 2019 (versione I)
Soluzioni della prova scritta di Geometria 1 del 7 giugno 019 (versione I) Esercizio 1. Sia R 4 lo spazio quadridimensionale standard munito del prodotto scalare standard con coordinate canoniche (x 1,
DettagliConiche R. Notari 15 Aprile
Coniche R. Notari 15 Aprile 2006 1 1. Notazioni. Proposizione 1 Ogni conica si rappresenta tramita un equazione algebrica di secondo grado della forma a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 + +2a 13 x + 2a 23 y
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 08-09 Prova scritta del --09 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Sia k R tale che k > 0, k 4 e sia b k : R
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Alcuni di questi esercizi forse sono un po difficili visto che abbiamo fatto questa parte un po in fretta, ma si può sempre provare. Esercizio. Si scrivano le equazioni
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica (J-Pr) e Ingegneria Elettronica (J-Pr)
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (J-Pr e Ingegneria Elettronica (J-Pr Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 2 Luglio 218 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di
Dettagli[ ], classe. ( ) = 0 di grado n. [ ] di terne non nulle di. [ ] = x 1 x LE CONICHE DEL PIANO REALE
LE CONICHE DEL PIANO REALE 1. - IL PIANO PROIETTIVO REALE A) Coordinate omogenee Ad ogni punto P= x,y del piano R associamo una terna ordinata ( x 0, x 1, x ) non nulla in modo che: x = x 1 x 0 y = x x
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliIsometrie e cambiamenti di riferimento
Isometrie e cambiamenti di riferimento Isometrie Le isometrie sono trasformazioni del piano o dello spazio che conservano angoli e distanze. Esempi sono le rotazioni del piano, le riflessioni in una retta
DettagliCLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e
DettagliFasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente
1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della
DettagliProva scritta di Geometria 1 Docente: Giovanni Cerulli Irelli 20 Gennaio 2017
Prova scritta di Geometria Docente: Giovanni Cerulli Irelli Gennaio 7 Esercizio. Si considerino i seguenti tre punti dello spazio euclideo: P :=, Q :=, R :=.. Dimostrare che P, Q ed R non sono collineari.
DettagliCdL in Ingegneria Industriale (F-O)
CdL in Ingegneria Industriale (F-O) Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 1 Giugno 018 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.
DettagliGeometria affine e proiettiva
Geometria affine e proiettiva Laura Facchini 7 aprile 20 Esercizio. Sia E 4 il 4-spazio euclideo numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y, z, w. Siano P (0, 0,,, P (, 2,,,
DettagliGEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma
DettagliCorso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 30 gennaio 2017
Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 Prova scritta del 30 gennaio 2017 Cognome Nome Numero di matricola Voto ATTENZIONE. Riportare lo svolgimento completo degli esercizi. I soli risultati,
DettagliGE210 Geometria e algebra lineare 2 A.A. 2018/2019
GE210, I Semestre, Crediti 9 GE210 Geometria e algebra lineare 2 A.A. 2018/2019 Prof. Angelo Felice Lopez 1. Forme bilineari e forme quadratiche Forme bilineari, simmetriche ed antisimmetriche. Esempi:
DettagliEsercitazioni del Aprile di Geometria A
Esercitazioni del 4-6-7-8 Aprile di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Matteo Bonini matteo.bonini@unitn.it Esercizio Si considerino in E 3 (R) i piani
DettagliEsericizi Quadriche e Coniche nello spazio
Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio 1. In R 3 sia A = (1, 1, 0) e sia r la retta passante per A, parallela al piano x + y + z = 0 e complanare alla retta s di equazione cartesiana x + y z = 0 =
Dettagli1 Cambiamenti di riferimento nel piano
1 Cambiamenti di riferimento nel piano Siano date due basi ortonormali ordinate di V : B = ( i, j) e B = ( i, j ) e supponiamo che i = a i + b j j = c i + d j allora per un generico vettore v V abbiamo
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003
Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile/Architettura Primo Appello del corso di Geometria 2 Docente F. Flamini, Roma, 22/02/2007 SVOLGIMENTO COMPITO I APPELLO
DettagliSOLUZIONE della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata giorno 1 ottobre 2012
Prova scritta di giorno ottobre 0 SOLUZIONE della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata giorno ottobre 0 x ) Sia X = z u e solo se I y t una matrice in R 3, X V se e solo se esiste λ R
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 27 GIUGNO 2016
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 7 GIUGNO 06 MATTEO LONGO Ogni versione del compito contiene solo due tra i quattro esercizi 6-7-8-9. Esercizio. Considerare
DettagliH precedente. Procedendo come sopra, si costruisce la matrice del cambiamento di base
Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 9/1 Commenti ad alcuni esercizi 17 Diagonalizzazione di matrici simmetriche Coniche Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 17 Diagonalizzazione
DettagliUniversità di Pisa. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Geometria e Algebra Lineare
Università di Pisa Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Geometria e Algebra Lineare Cognome e Nome: Corso di studi: Anno di iscrizione: Numero di matricola: Scritto n. 1 del 16 Esercizio 1. Si studi
DettagliEsercitazioni di Geometria A: spazi proiettivi
Esercitazioni di Geometria A: spazi proiettivi 30-31 marzo 016 Esercizio 1 Esercizio dell appello (del corso di Geometria II) di luglio 015. Soluzione dell esercizio 1 Si vedano le soluzioni in rete sulla
DettagliCambiamenti di riferimento nel piano
Cambiamenti di riferimento nel piano Stefano Capparelli November, 2013 Abstract Illustriamo con alcuni esempi il cambiamento di coordinate 1 Cambiamento di base Siano date due basi ortonormali ordinate
DettagliFACOLTA DI INGEGNERIA
FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria Telematica ed Ambiente e il Territorio Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 9/09/004 - Durata della prova: due ore - Non si può
DettagliCAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.
CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si
DettagliStudio generale di una quadrica
Studio generale di una quadrica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce quadrica Q un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice
DettagliRIPASSO E APPROFONDIMENTO DI ARGOMENTI DEL TERZO ANNO
RIPASSO E APPROFONDIMENTO DI ARGOMENTI DEL TERZO ANNO 1 La circonferenza. 2 La parabola. 3 L ellisse. L iperbole. 5 Le coniche. 6 Equazione generale di una conica. 7 Calcolo delle principali caratteristiche
DettagliQuesti sono alcuni esercizi indicativi. Vedere anche [Franchetta-Morelli]. CONICHE. 9x 2 2 4( 4x 2 2)
Questi sono alcuni esercizi indicativi. Vedere anche [Franchetta-Morelli]. CONICHE Esercizio 1 Fissato nell ampliamento proiettivo complesso del piano un sistema di coordinate omogenee, classificare (dal
DettagliAutovettori e autovalori
Autovettori e autovalori Definizione 1 Sia A Mat(n, n), matrice a coefficienti reali. Si dice autovalore di A un numero λ R tale che v 0 R n Av = λv. Ogni vettore non nullo v che soddisfa questa relazione
DettagliProva scritta di Geometria 1 Docente: Giovanni Cerulli Irelli 15 Febbraio 2017
Prova scritta di Geometria Docente: Giovanni Cerulli Irelli 5 Febbraio 7 Esercizio. Si considerino i due sottospazi π e π di R dati dalle seguenti equazioni: π : x y + z = ; π : x + y z =.. Trovare una
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria 2
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria A.A. 9-1 - Docente: Prof. A. Verra Tutori: Dott.ssa Paola Stolfi e Annamaria Iezzi Soluzioni Tutorato numero 6 (1 Dicembre
DettagliProva scritta di Algebra lineare e Geometria- 16 Aprile 2010
CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale - - Ingegneria Edile-Architettura (M-Z)- Ingegneria delle Telecomunicazioni - - Ingegneria Informatica (A-F), (R-Z) Prova scritta di Algebra lineare
DettagliFACOLTA DI INGEGNERIA
FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria Edile Arcitettura Prova scritta di Geometria assegnata il 5/3/ - Durata della prova: due ore - Non si può uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente
DettagliUniversità di Pisa. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Geometria e Algebra Lineare
Università di Pisa Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Geometria e Algebra Lineare Cognome e Nome: Corso di studi: Anno di iscrizione: Numero di matricola: Scritto n. 1 del 016 Esercizio 1. Si studi
Dettagli2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.
Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi
DettagliINGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 17 SETTEMBRE 2012
INGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 7 SETTEMBRE 202 Esercizio. Sia V = R[X] 2 lo spazio vettoriale dei polinomi ax 2 + bx + c nella variabile X di grado al più 2 a coefficienti
DettagliCdL in Ingegneria Industriale (A-E e F-O)
CdL in Ingegneria Industriale (A-E e F-O) Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- Febbraio 06 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.
DettagliCdL in Ingegneria Informatica - Ingegneria Elettronica (P-Z) Ingegneria delle Telecomunicazioni
CdL in Ingegneria Informatica - Ingegneria Elettronica (P-Z) Ingegneria delle Telecomunicazioni Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 9 Gennaio 3 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall
DettagliFacsimile di prova d esame Esempio di svolgimento
Geometria analitica 18 marzo 009 Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento 1 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche x,y,z, è assegnata la retta r di equazioni
Dettagli23. Le coniche nel piano euclideo.
3. Le coniche nel piano euclideo. 3. Definizione. Una matrice C ad elementi reali quadrata C si dice ortogonale se C T = C. 3. Osservazione. Una matrice C ad elementi reali quadrata C è ortogonale se e
Dettagli(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.
Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 11
Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliCorso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni)
I Esonero - 21 novembre 2003 Esercizio 1. Per ogni n>0 sia B n M n (R) la matrice simmetrica di coefficienti b ij = i + j 2, i,j =1,...,n. Determinare rango e segnatura di B 1,B 2 e B 3. Soluzione. Si
DettagliCorso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 27/09/2016 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
Corso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 7/9/6 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI Esercizio. Si consideri la quadrica affine C d equazione cartesiana xy + yz z + 4x =. ()
DettagliEsercitazioni di Geometria A: curve algebriche
Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione
DettagliGeometria 1 Prof. Paolo Piazza Secondo esonero. Soluzione.
Geometria Prof. Paolo Piazza Secondo esonero. 5 Giugno 07 Esercizio.. Consideriamo E e l affinità T A,c, T A,c (x) := Ax + c, con A = e c = Determinare sottogruppi propri di Aff (R), G, G, G ed elementi
DettagliSimilitudine (ortogonale) e congruenza (ortogonale) di matrici.
Lezione del 4 giugno. Il riferimento principale di questa lezione e costituito da parti di: 2 Forme bilineari, quadratiche e matrici simmetriche associate, 3 Congruenza di matrici simmetriche, 5 Forme
DettagliEsame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano Ingegneria informatica Appello 15 Settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola:
Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano Ingegneria informatica Appello 5 Settembre 5 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su
DettagliRisoluzione di sistemi lineari
Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini
Dettagli