Algebra Lineare e Geometria - Lezione 20

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1 Algebra Lineare e Geometria - Lezione 20 Giuseppe Zappalà Università di Catania 20 aprile 2020 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

2 Luoghi geometrici Esercizio 1 Nello spazio A 3 R, determinare il luogo geometrico descritto dalle rette complanari alle tre rette sghembe r 1 { y = 0 z = 0, r 2 { x z = 0 y 1 = 0, r 3 { 2x z = 0 y 2 = 0. Soluzione. La generica retta r complanare ad r 1 ed r 2 ha equazione r : { ay + bz = 0 c(x z) + d(y 1) = 0 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

3 Luoghi geometrici Esercizio 1 (continuazione) Essa è complanare anche ad r 3 se e solo se il sistema omogeneo ay + bz = 0 c(x z) + d(y t) = 0 2x z = 0 y 2t = 0 ammette soluzioni non nulle. Ovvero se e solo se 0 a b 0 c d c d c c d c d d = 0 a b = Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

4 Luoghi geometrici Esercizio 1 (continuazione) 2a( c + 2c) 2b( 2d + d) = 0 2ac + 2bd = 0 ac + bd = 0. Adesso { eliminiamo i parametri dall equazione di ay + bz = 0 r : ; a = z, b = y, c = y 1, d = x + z. c(x z) + d(y 1) = 0 Sostituendo otteniamo l equazione del luogo geometrico z(y 1) y( x + z) = 0 xy z = 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

5 Cambiamenti di coordinate Proiettività In P 2 K si chiama proiettività un cambiamento lineare di coordinate del tipo x = q 11 X + q 12 Y + q 13 T y = q 21 X + q 22 Y + q 23 T t = q 31 X + q 32 Y + q 33 T con det(q ij ) 0. Poniamo Q = (q ij ). In forma compatta, possiamo scrivere x = QX, x X dove x = y e X = Y. t T Quindi una proiettività è una funzione biettiva f : P 2 K P2 K., Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

6 Cambiamenti di coordinate Affinità Si chiama affinità una proiettività del tipo x = q 11 X + q 12 Y + q 13 T y = q 21 X + q 22 Y + q 23 T t = T Traslazione Si chiama traslazione una affinità del tipo x = X + q 13 T y = Y + q 23 T t = T q 11 q 12 q 13 ; Q = q 21 q 22 q q 13 ; Q = 0 1 q Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

7 Cambiamenti di coordinate Rotazione Si chiama rotazione una affinità del tipo x = q 11 X + q 12 Y y = q 21 X + q 22 Y t = T q 11 q 12 0 ; Q = q 21 q ( ) q11 q dove P = 12 è una matrice ortogonale speciale. q 21 q 22 Le matrici ortogonali speciali in K 2,2 sono sempre della forma ( ) h k P =, h 2 + k 2 = 1. k h Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

8 Cambiamenti di coordinate Rotazione Quindi la matrice di una rotazione è del tipo h k 0 Q = k h 0, h 2 + k 2 = Rototraslazione o trasformazione ortogonale Si chiama rototraslazione o anche trasformazione ortogonale una proiettività che è la composizione di rotazioni e di traslazioni. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

9 Cambiamenti di coordinate Rototraslazione Sia f r : P 2 K P2 K una rotazione e sia f t : P 2 K P2 K una traslazione. Supponiamo che f r (x) = Q r x e f t (x) = Q t x. Sia f rt = f t f r. Allora f rt (x) = f t (f r (x)) = f t (Q r x) = Q t Q r x. Quindi la matrice di una rototraslazione si ottiene moltiplicando la matrice di una traslazione per quella di una rotazione. 1 0 a h k 0 h k a Q rt = 0 1 b k h 0 = k h b Nota che det Q rt = h 2 + k 2 = 1. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

10 Cambiamenti di coordinate Rototraslazione Si vede facilmente che Q 1 rt = h k kb ha k h hb + ka Se K = R, si ha inoltre che cos ϑ sen ϑ a Q rt = sen ϑ cos ϑ b Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

11 Cambiamenti di coordinate Rototraslazioni e isometrie Sia K = R. Si chiama isometria un affinità che conserva la distanza tra due punti. Le rototraslazioni sono particolari isometrie, dette isometrie dirette. Le rototraslazioni formano un gruppo rispetto alla composizione, detto gruppo delle isometrie dirette o anche gruppo euclideo speciale. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

12 Cambiamenti di coordinate Traslazione Y y X x Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

13 Cambiamenti di coordinate Rotazione Y y X α x Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

14 Cambiamenti di coordinate Rototraslazione Y y X x Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

15 Coniche Definizione di conica Le ipersuperfici di P 2 K si chiamano curve. Le curve di grado 2 si chiamano coniche. L equazione generale di una conica è quindi f = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 xt + 2a 23 yt + a 33 t 2 = 0. Sia B la matrice simmetrica associata a tale forma quadratica. L equazione della conica si può quindi scrivere in forma matriciale t x B x = 0. Nel seguito supporremo che K = C e che i coefficienti di f siano numeri reali. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

16 Coniche Coniche riducibili Una conica γ di equazione f = 0 si dice riducibile o spezzata se il polinomio f è riducibile ovvero si può scomporre come prodotto di due polinomi di primo grado. Altrimenti γ si dirà irriducibile. Sia γ una conica riducibile. Allora f = g 1 g 2, con deg g 1 = deg g 2 = 1. I polinomi g 1 e g 2 definiscono quindi due rette r 1 ed r 2. Si possono verificare due casi. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

17 Coniche Coniche riducibili Caso 1. g 1 è proporzionale a g 2. Allora g 2 = ag 1, ovvero f = ag 2 1. In questo caso f = 0 se e solo se g 1 = 0 e quindi il grafico di γ è una retta. In tal caso si dice che γ si spezza in due rette coincidenti. r 1 = r 2 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

18 Coniche Coniche riducibili Caso 2. g 1 non è proporzionale a g 2. In questo caso f = 0 se e solo se g 1 = 0 oppure g 2 = 0, quindi il grafico di γ è costituito da due rette distinte. In tal caso si dice che γ si spezza in due rette distinte. Tali rette si intersecano in un punto P 0 che può essere proprio o improprio. r 1 P 0 r 2 Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

19 Punti singolari Osservazione Se una conica contiene una retta allora essa è riducibile. Definizione Sia γ una conica e sia P 0 γ. Diremo che P 0 è un punto singolare per γ se per ogni P γ, P P 0, la retta PP 0 è contenuta in γ. Osservazione Se una conica ha un punto singolare, allora essa contiene almeno una retta e quindi è riducibile. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

20 Punti singolari Proposizione Se una conica si spezza in due rette coincidenti allora tutti i suoi punti sono singolari. Se una conica si spezza in due rette distinte r 1 ed r 2 allora ha un solo punto singolare che è P 0 = r 1 r 2. Dim. Segue subito dalla definizione di punto singolare. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

21 Coniche Intersezione tra una conica ed una retta Sia γ : t x B x = 0 una conica. Siano P 0, P 1 P 2 C, P 0 P 1. Siano x 0 e x 1 i vettori colonna delle coordinate di P 0 e P 1, rispettivamente. Siano x = λx 0 + µx 1 le equazioni della retta P 0 P 1 scritte in forma vettoriale. Vogliamo studiare l intersezione (P 0 P 1 ) γ. { x = λx 0 + µx 1 t x B x = 0 { x = λx 0 + µx 1 t (λx 0 + µx 1 )B(λx 0 + µx 1 ) = 0. Osserviamo che, essendo t x 0 Bx 1 una matrice 1 1, t x 0 Bx 1 = t ( t x 0 Bx 1 ) = t x 1 ( t B)x 0 = t x 1 Bx 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

22 Coniche Intersezione tra una conica ed una retta La seconda equazione del sistema diventa ( t x 0 Bx 0 )λ 2 + ( t x 0 Bx 1 )λµ + ( t x 1 Bx 0 )λµ + ( t x 1 Bx 1 )µ 2 = 0 ( t x 0 Bx 0 )λ 2 + 2( t x 1 Bx 0 )λµ + ( t x 1 Bx 1 )µ 2 = 0 ( ). Quest ultima è una equazione omogenea di secondo grado in λ e µ oppure è una identità. Nel primo caso la retta incontra la conica in due punti che possono essere distinti o coincidenti. Nel secondo caso la retta è contenuta nella conica. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

23 Sistema dei punti singolari Teorema Sia γ : t x B x = 0 una conica e sia P 0 (x 0 ) P 2 C. P 0 è singolare per γ se e solo se Bx 0 = 0. Dim. Supponiamo che P 0 sia singolare per γ. Sia P 1 (x 1 ) P 2 C. Consideriamo la retta P 0 P 1. Intersecando P 0 P 1 con γ otteniamo l equazione (*) ( t x 0 Bx 0 )λ 2 + 2( t x 1 Bx 0 )λµ + ( t x 1 Bx 1 )µ 2 = 0. Per ipotesi, P 0 γ ovvero t x 0 Bx 0 = 0; l equazione diventa quindi µ[2( t x 1 Bx 0 )λ + ( t x 1 Bx 1 )µ] = 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

24 Sistema dei punti singolari Teorema (continuazione) Essendo P 0 un punto singolare, la retta P 0 P 1 interseca γ solo in P 0 oppure è tutta contenuta in γ. Quindi l equazione sopra o ammette due soluzioni coincidenti, oppure è una identità. Essa ammette la soluzione µ = 0 doppia se e solo se t x 1 Bx 0 = 0; essa è una identità se e solo se t x 1 Bx 0 = t x 1 Bx 1 = 0. Quindi ricaviamo che t x 1 Bx 0 = 0, per ogni x 1 Bx 0 = 0. Viceversa supponiamo che Bx 0 = 0. Segue che t x 0 Bx 0 = 0, ovvero P 0 γ. Sia P 1 (x 1 ) γ, P 1 P 0. Dobbiamo dimostrare che la retta P 0 P 1 è contenuta in γ, ovvero dobbiamo dimostrare che (*) è una identità. Infatti t x 0 Bx 0 = t x 1 Bx 0 = 0, per il fatto che Bx 0 = 0 e t x 1 Bx 1 = 0 perché P 1 γ. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

25 Classificazione delle coniche in base al rango di B Teorema Sia γ : t x B x = 0 una conica. Allora 1) rk B = 1 se e solo se γ si spezza in due rette coincidenti. 2) rk B = 2 se e solo se γ si spezza in due rette distinte. 3) rk B = 3 se e solo se γ è irriducibile. Dim. 1) rk B = 1 se e solo se il sistema Bx = 0 ammette 2 soluzioni, se e solo se γ ha una retta di punti singolari, se e solo se γ si spezza in due rette coincidenti. 2) rk B = 2 se e solo se il sistema Bx = 0 ammette 1 soluzioni, se e solo se γ ha un solo punto singolare, se e solo se γ si spezza in due rette distinte. 3) rk B = 3 se e solo se il sistema Bx = 0 ammette solo la soluzione x = 0, se e solo se γ è priva di punti singolari, se e solo se γ è irriducibile. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

26 Classificazione delle coniche in base al rango di B Esercizio 2 Determinare i valori di h affinché la conica γ : 2x 2 2xy 4y 2 + 6x + h = 0 sia riducibile e determinare le rette in cui si spezza. Soluzione. Scriviamo la matrice associata a γ B = ; 3 0 h det B = 8h + 36 h = 9h + 36; det B = 0 h = 4. Per h 4, rk B = 3, quindi γ è irriducibile. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

27 Classificazione delle coniche in base al rango di B Esercizio 2 (continuazione) Per h = 4, rk B = 2, quindi γ si spezza in due rette distinte. Per determinare tali rette pensiamo il polinomio nella variabile x f = 2x 2 + 2(3 y)x 4y = 0. 4 = (3 y)2 2(4 4y 2 ) = 9 6y +y 2 8+8y 2 = 9y 2 6y +1 = (3y 1) 2. 2x = y 3 ± (3y 1) 2x y + 3 ± (3y 1) = 0. E quindi f = 2(x + y + 1)(x 2y + 2). Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

28 Classificazione delle coniche in base al rango di B Esercizio 2 (continuazione) Per determinare il punto singolare di γ basta risolvere il sistema x { x + 4y = 0 x = y = 0 3x + 4t = 0 ; y = t t = 3 Il punto singolare è quindi P 0 ( 4 3, 1 3 ). Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

29 Coniche irriducibili Classificazione delle coniche irriducibili Le coniche irriducibili si classificano in base ai punti impropri. Ogni conica irriducibile ha due punti impropri. Si possono verificare tre casi. Una conica irriducibile si chiama iperbole se ha due punti impropri reali e distinti. Una conica irriducibile si chiama parabola se ha due punti impropri coincidenti. Una conica irriducibile si chiama ellisse se ha due punti impropri immaginari e coniugati. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

30 Coniche irriducibili Sottomatrice A Sia γ : t x B x = 0 una conica. Indichiamo con A la sottomatrice di B individuata dalle prime due righe e dalle prime due colonne. Teorema Sia γ : t x B x = 0 una conica irriducile. 1) γ è una iperbole se e solo se det B 0 e det A < 0. 2) γ è una parabola se e solo se det B 0 e det A = 0. 3) γ è una ellisse se e solo se det B 0 e det A > 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

31 Coniche irriducibili Teorema (continuazione) Dim. Sappiamo ( che γ è) irriducibile se e solo se det B 0. a11 a Si ha che A = 12. a 12 a 22 I punti impropri di γ sono dati dal sistema { t x B x = 0 t = 0 { a11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 = 0 t = 0. La prima è una equazione omogenea di secondo grado con discriminante 4 = a2 12 a 11 a 22 = det A. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32

32 Coniche irriducibili Teorema (continuazione) Quindi le soluzioni del sistema sono due punti impropri 1) reali e distinti se e solo se 4 > 0 det A < 0. 2) coincidenti se e solo se 4 = 0 det A = 0. 3) immaginari e coniugati se e solo se 4 < 0 det A > 0. Giuseppe Zappalà (Università di Catania) Algebra Lineare e Geometria - Lezione aprile / 32