Figura 1: Disposizione sperimentale per lo studio delle proprietà elastiche della molla.

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1 Elementi di Didattica della Fisica Prof. Augusto Garuccio Prima esperienza di laboratorio: 1. Determinazione della costante elastica di una molla 2. Uso di una molla calibrata nello studio della spinta di Archimede 3. Determinazione della costante elastica di una molla mediante la misura del periodo di oscillazione 1. Determinazione della costante elastica di una molla La legge di Hooke Nella prima parte dell'esperienza studierete le deformazioni di una molla sottoposta a una forza che potrete variare e verificherete la relazione che sussiste tra gli allungamenti subiti dalla molla e la forza applicata. Questa relazione è nota come legge di Hooke, dal nome del fisico inglese Robert Hooke ( ) che per primo la formulò. La legge afferma che quando in un sistema fisico, come ad es. una molla, l applicazione di una forza esterna produce una deformazione il sistema produce una forza elastica di reazione che si oppone alla forza applicata; l'intensità della forza elastica è direttamente proporzionale alla deformazione, mediante una costante di proporzionalità, detta costante elastica della molla, il cui valore dipende dal tipo di materiale con cui è stata realizzata la molla e dal numero e dimensione delle spire che compongono la molla. Calibrazione di uno strumento per le misure delle intensità delle forze (dinamometro) Utilizzeremo questa proprietà delle molle per costruire uno strumento che serve a misurare l'intensità di una forza (dinamometro). Avete a disposizione un supporto metallico, una molla, un cestello, 10 sferette metalliche di uguale massa, una riga millimetrata e una bilancia elettronica. Il supporto metallico è fissato al tavolo mediante due morsetti e ad esso è agganciato, nel forellino praticato sulla piccola piastra orizzontale, un estremo della molla. All'altro estremo della molla è appeso il cestello contenente una sferetta metallica di dimensione e massa maggiore delle 10 sferette a disposizione (non essenziale al fine della calibrazione, ma utile in questa prima fase). Il sistema è schematizzato per vostra comodità in Figura 1. 1

2 Figura 1: Disposizione sperimentale per lo studio delle proprietà elastiche della molla. Esplicitazione del modello Prima di eseguire le misure, proveremo a immaginare diversi esperimenti e a rispondere ad alcune domande in modo da poter esprimere il vostro punto di vista sul comportamento delle molle (ed in seguito dei vostri alunni). Osservate bene il dispositivo sperimentale: supporto metallico, molla, cestello e sferette metalliche uguali, riga millimetrata. Il cestello è appeso alla molla fissata a sua volta al supporto. Domanda: Se ponete nel cestello un certo numero di sferette, per esempio 4, cosa vi aspettiate che accada alla molla? Spiegate perché. Domanda: Sapete darne una spiegazione considerando le forze (quali?) che agiscono sul cestello? Domanda: Se ponete nel cestello un numero doppio di sferette ( 8 ) cosa? Spiegate perché. Domanda: Supponete di avere introdotto nel cestello 8 sferette. Se ne togliete 4 cosa vi aspettiate che accada? Spiegate perché. Domanda: Le risposte che avete dato alle domande precedenti si basano su qualche ipotesi da voi implicitamente fatta circa il comportamento della molla. Sapete spiegare queste ipotesi a parole o mediante una qualche relazione matematica? Le ipotesi che avete fatto costituiscono il vostro "modello" sul comportamento della molla nella situazione in cui immaginate di aver sperimentato. 2

3 Domanda: Ritenete che il vostro modello descriva bene il comportamento della molla per tutti i possibili valori della massa m aggiunta (cioè per qualunque numero di sferette introdotte nel cestello)? Calibrazione della molla Ora eseguirete delle misure basate su una procedura, detta calibrazione, simile a quella utilizzata quando abbiamo costruito una bilancia analogica per le misure di massa. Prendete la riga e disponetela, poggiandola sul piano del tavolo verticalmente e parallelamente, molto vicina, al cestello. Assicuratevi che il sistema (cestello + molla) sia fermo. La sommità del cestello (potete prendere un qualsiasi punto di riferimento sul cestello: base, una tacca già segnata, un segno di pennarello fatto da voi) sarà a una certa quota individuata sulla riga da un valore dell'altezza, espresso in cm, che chiamerete l 0. Annotate questo valore. Prendete una sferetta che avete a disposizione, ponetela sulla bilancia e valutate la massa di una sferetta. Annotate il valore. Domanda: Quale errore potete aver commesso nella determinazione di questa massa? Prendete ora le 10 sferette che avete a disposizione, ponetele sulla bilancia e valutate la massa di una sferetta dividendo per 10 il valore che avete trovato. Domanda: I valori misurati nei due modi coincidono? Quale secondo voi è il più preciso? Motivatelo. Ora introducete nel cestello una sferetta di massa nota. Osservate che il cestello si porta a una certa quota che valuterete con la riga ed annoterete nella Tabella 1 sotto riportata. Calcolate e riportate in Tabella 1 la differenza Δl = (l 1 - l 0 ). Domanda: Cosa rappresenta questa differenza? In che relazione è con gli allungamenti subiti dalla molla? Domanda: E' positiva o negativa? Da cosa dipende il segno della differenza? Questa differenza, che nel seguito prenderete sempre come positiva, costituisce una variabile (allungamento della molla) dell'esperimento e della procedura di calibrazione. 3

4 Domanda: Dal punto di vista fisico, a cosa è dovuto (qual è la causa di) tale allungamento? La causa dell'allungamento è la forza peso applicata al cestello per effetto dell'introduzione della sferetta. Questa quantità rappresenta un'altra variabile dell'esperimento: il numero di sferette introdotte cambierà nel corso dell'esperimento. Riportate in Tabella 1 il valore di tale forza: F 1 = m*g dove m=massa della sferetta in grammi e g=980 cm/s 2 è il valore dell'accelerazione di gravità. Domanda: Qual è l'unità di misura della forza così calcolata? Ricordate quanto abbiamo detto a proposito delle forze elastiche di reazione della molla. Domanda: Cosa è accaduto quando la molla dopo essersi allungata un po' si è fermata cosicché il cestello ad essa appeso è in pratica fermo? In che relazione è la forza elastica di reazione della molla con la forza peso dovuta alla sferetta aggiunta? Introducete ora due sferette e prendete nota della quota l 2 che riporterete nella Tabella 1. Calcolate e riportate in Tabella 1 l'allungamento Δl 2 =l 2 -l 0, la forza peso applicata F 2 = 2*m*g dovuta a 2 sferette. Ripetete quanto fatto precedentemente per n=3, sferette, riportando tutti i calcoli nella Tabella 1. Riporta nell'ultima colonna della Tabella 1 i rapporti tra le forze di reazione elastica della molla e gli allungamenti da essa subiti di volta in volta. Domanda: Osservando l'ultima colonna della tabella, cosa potete ragionevolmente concludere? Domanda: Descrivete le vostre ipotesi in merito alla relazione che pensate intercorra fra la forza di reazione elastica e gli allungamenti della molla. Domanda: Le vostre conclusioni coincidono con quanto avete affermato all'inizio mediante il vostro "modello"? Spiegate eventuali discrepanze. 4

5 Tabella 1 Numero di sferette 1 Massa corrispondente (gr) Forza peso corrispondente (dine) Quota l i della base del cestello (cm) Allungamenti subiti dalla molla Δ l i = ( l i l 0 ) (cm) Rapporto F i / Δl i (dine/cm)

6 Rappresentazione grafica delle misure effettuate e determinazione della costante elastica Dalle osservazioni fatte precedentemente dovrebbe risultare evidente che una ipotesi ragionevole per la relazione fra le forze di reazione elastica della molla e gli allungamenti da essa subiti può essere del tipo : F el = k*δl cioè fra forze elastiche ed allungamenti sussiste una relazione lineare e alla quantità k si dà il nome di costante elastica della molla. Domanda: Nel modello ipotizzato quali sono le unità di misura della costante elastica k? Ci proponiamo di verificare se tale modello è compatibile con i dati sperimentali. Riportate i dati sperimentali della Tabella 1 in un sistema di assi cartesiani, ponendo in ascisse gli allungamenti della molla espressi in cm ed in ordinate le forze (espresse in dine) di reazione elastica corrispondenti. Attenzione: Scegliete opportunamente le unità di misura per i due assi in modo da poter riportare tutti i valori da voi misurati. Domanda: I vostri dati sperimentali sono compatibili con il modello ipotizzato? Tracciate la linea che secondo voi rappresenta la relazione fra le due variabili allungamenti-forze. Domanda: Potete imporre il passaggio della linea per l'origine? Perché? I vostri dati dovrebbero essere ben rappresentati da una retta la cui pendenza è proprio la costante elastica della molla. Ricordando l equazione della retta in coordinate cartesiane y = m*x + q, individuate sulla retta due punti "molto distanti" e valutate le loro coordinate (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) dove x gli allungamenti e y le forze di reazione elastica. Determinate la pendenza k (costante elastica) della retta come rapporto: k= (y 2 - y 1 ) / (x 2 - x 1 ) Abbiamo concluso la parte di calibrazione della molla; ora possiamo utilizzarla come strumento di misura delle forze. Domanda: Se la molla subisce un allungamento di 3.5 cm, quanto vale l'intensità della forza applicata? 6

7 Domanda: Mediante una forza esercitata dalle dita supponete di avere allungato la molla di 6 cm. Diminuendo la forza l'allungamento si riduce a 4 cm. Di quanto avete ridotto la forza applicata? Gli allungamenti e gli accorciamenti corrispondono a forze agenti in verso opposto. In conclusione, avendo determinato k (costante elastica della molla) mediante la relazione: F= k*δl potete risalire dagli allungamenti o dagli accorciamenti subiti dalla molla alle forze che li hanno determinati. Queste forze sono proprio quelle di reazione elastica della molla. Avete quindi costruito uno strumento (dinamometro) che vi permette di misurare le forze. Domanda: Se applicate alla molla una forza di dine di quanto si allunga? Domanda: Ritenete che con questo strumento si possano valutare forze di qualunque intensità? La procedura da voi seguita corrisponde a effettuare la calibrazione della molla per risalire da misure di allungamenti o di accorciamenti alle intensità delle forze in un intervallo definito di allungamenti-forze. Cioè il vostro strumento ha una portata definita. Al di fuori di tale intervallo non potete estrapolare con certezza l utilizzazione del tuo strumento. Domanda: Conoscete altri strumenti calibrati? Quali? Per ognuno di quelli citati indicate qual è la grandezza che si misura e la grandezza che varia. Calcolo dell'errore sulla misura della costante elastica Le misure delle deformazioni della molla che avete eseguito sono state effettuate per confronto diretto con uno strumento (riga millimetrata), cioè avete eseguito una misura diretta dell'allungamento della molla. La misura della costante elastica k è stata ottenuta per via indiretta, cioè utilizzando nella formula del coefficiente angolare della retta i risultati delle misure degli allungamenti e i valori della forza di reazione elastica (uguali a quella della forza peso). Le misure degli allungamenti della molla sono affette da un errore pari alla precisione della riga utilizzata, mentre possiamo considerare trascurabile l'errore sulla misura 7

8 della forza peso (uguale alla forza di reazione elastica) in quanto risulta trascurabile l'errore sulla misura della massa di una sferetta. Pertanto, tenendo conto solo dell'errore sugli allungamenti della molla, calcolate il valore più piccolo K min e il valore più grande K max della costante elastica k in corrispondenza rispettivamente dell'allungamento minimo e massimo subito dalla molla. La semidifferenza di questi due valori: K max K min 2 rappresenta l'errore (o incertezza) nella misura indiretta di k. Pertanto il risultato della misura di k è: " K ± K max K min % $ ' # 2 & Osservazione sulla calibrazione della molla Ripetete le misure con il cestello vuoto (cioè senza la sferetta di massa maggiore). Domanda: Riuscite a misurare l'allungamento della molla nelle prime due misure? Domanda: In corrispondenza di quale numero minimo di sferette riuscite a misurare l'allungamento della molla? Annotate i dati sperimentali nella Tabella 2 e riportateli in un sistema di assi cartesiani, come avete fatto in precedenza. Domanda: Cosa osservate? La molla non si allunga fino a quando la forza peso, applicata introducendo le sferette, supera un certo valore (valore di precompressione della molla) e la molla comincia a deformarsi. Al di sotto di questo valore di soglia la molla non si allunga. 8

9 Tabella 2 Numero di sferette 1 Massa corrispondente (gr) Forza peso corrispondente (dine) Quota l i della base del cestello (cm) Allungamenti subiti dalla molla Δ l i = ( l i l 0 ) (cm) Rapporto F i / Δl i (dine/cm)

10 2. Uso di una molla calibrata nello studio della spinta di Archimede In questa seconda parte dell'esperienza utilizzerete la molla che avete calibrato per studiare sperimentalmente la relazione fra il volume di un corpo immerso in un liquido e la forza, detta spinta di Archimede, verso l alto che il liquido esercita sul corpo immerso. Avete a disposizione la molla calibrata, il cestello su cui sono riportati valori crescenti di volume da 5 cm 3 a 50 cm 3, la riga millimetrata, le sferette metalliche, la sferetta di massa maggiore e un contenitore cilindrico di plastica. Fissate la molla al supporto e appendete al suo estremo il cestello. Disponete la riga e il cestello all interno del contenitore cilindrico e introducete nel cestello la sferetta di massa maggiore e le 10 sferette piccole, sufficienti a far scendere il cestello ad alcuni centimetri dal fondo. Versate dell acqua nel contenitore fino a raggiungere la prima tacca (5 cm 3 ) riportata sul cestello. Misurate con la riga la quota della base del cestello e indicatela con l 0. Prima di eseguire le misure, supponete di versare nel contenitore cilindrico altra acqua fino a che la superficie libera del liquido si porta in corrispondenza della tacca (10 cm 3 ) riportata sul cestello. Domanda: Cosa vi aspettate accada? Sapete darne una spiegazione? Quando introducete dell acqua portando la superficie libera in corrispondenza della tacca di 10 cm 3, una parte del volume del cestello è immersa in acqua e sul cestello agisce una ulteriore forza verso l alto (detta spinta di Archimede) che 10

11 tende a far diminuire l allungamento della molla. Quest ultima si oppone a tale sollecitazione modificando la forza elastica sul cestello F = k Δl. Il cestello rimane nuovamente fermo quando la spinta di Archimede verso l alto è perfettamente bilanciata dalla forza F. Introducete dell'acqua nel cilindro fino a che la superficie libera raggiunge la tacca (10 cm 3 ) segnata sul cestello. Domanda: Come valutereste la spinta di Archimede? Per determinare la spinta di Archimede: misurate la quota l 1 a cui si porta, innalzandosi, la base del cestello. calcolate l accorciamento della molla Δl = l 1 - l 0 e riportate il valore nella Tabella 3 sottostante. valutate F = k Δl dove k è la costante elastica determinata sperimentalmente durante la calibrazione della molla. Per quanto detto sopra, F misura la spinta di Archimede sul cestello. Riportate il valore nella Tabella 3. Tabella 3 Volume immerso (cm 3 ) Accorciamenti Δl (cm) Spinta di Archimede F = k Δl (dine) 11

12 Ripetete la procedura versando acqua nel contenitore fino a ricoprire volumi crescenti del cestello corrispondenti a x = 15, 50 cm 3. Calcolate per ogni quota, e quindi per ogni volume della parte immersa del cestello, la corrispondente spinta di Archimede. Riportate tutte le misure e i calcoli effettuati nella Tabella 3. Domanda: Confrontando la colonna dei volumi immersi di volta in volta e quella delle spinte di Archimede corrispondenti osservate qualche regolarità? Domanda: Quando il cestello è parzialmente immerso in acqua, occupa nell'acqua dei volumi cioè sposta dell'acqua. In che relazione sono i volumi immersi del cestello con i volumi d'acqua spostati? Rappresentazione grafica dei risultati Su un sistema di assi cartesiani ortogonali riportate in ascisse i volumi (volume della parte immersa del cestello = volume del liquido spostato dal cestello) e in ordinate le corrispondenti spinte di Archimede misurate con il dinamometro. Scegliete opportunamente le scale in modo che i risultati delle misure effettuate siano "ben spaziati". Rappresentate ogni coppia di valori volume-spinta di Archimede con un punto "ben marcato". Domanda: Notate qualche regolarità nella vostra serie di misure? Provate a tracciare una linea che "approssimi" ragionevolmente i vostri punti sperimentali. I risultati delle vostre misure dovrebbero essere allineati su una retta passante per l'origine. Domanda: Come esprimereste a parole quanto trovato sperimentalmente? La spinta di Archimede di cui risentono i corpi immersi in un fluido è proporzionale al volume di fluido spostato. 12

13 3. Determinazione della costante elastica di una molla mediante la misura del periodo di oscillazione La costante elastica di una molla può essere determinata sperimentalmente anche nel seguente modo. Inserite le 10 sferette nel cestello (che contiene già la sferetta di massa maggiore). Sia m la somma della massa delle 10 sferette, di quella della sferetta più grande e della massa del cestello. Ora supponete di spostare il cestello con le sferette, e quindi la molla, dalla sua posizione di equilibrio. Domanda: Una volta lasciato il cestello, cosa vi aspettate accada? Se consideriamo trascurabile la massa della molla, si osserva che la massa m, una volta lasciata, oscilla lungo la verticale con un moto periodico. Un'oscillazione è definita come la variazione periodica nel tempo della posizione a riposo di un sistema fisico. Il tempo impiegato dal sistema a compiere un'intera oscillazione si chiama periodo di oscillazione T ed è espresso dalla seguente relazione (1): T = 2π m k (La precedente relazione si ottiene applicando l'equazione fondamentale del moto, o seconda legge della dinamica, al sistema ed eseguendo alcuni calcoli.) Dall'espressione di T possiamo ricavare la costante elastica della molla che è data dalla seguente relazione (2): k = 4π 2 m T 2 Domanda: Poiché il periodo T di oscillazione è piuttosto breve, come pensate di poterlo misurare in modo da rendere minimi gli errori? Poichè il periodo di oscillazione è piuttosto breve e difficile da misurare in modo da rendere minimo l'errore (tenendo conto che il metodo di misurazione è influenzato dalla vostra prontezza di riflessi che produrrebbe un'imprecisione di valutazione non trascurabile), misurate l'intervallo di tempo t impiegato dalla molla (e dal sistema) per compiere N oscillazioni, in modo da ricavare il periodo T come T=t/N e ridurre così l'errore derivante dalle difficoltà evidenziate. Con il cronometro che avete a disposizione misurate l intervallo di tempo t che la molla impiega a compiere N=20 oscillazioni. 13

14 Domanda: Qual è l'errore Δt sulla misura di t? Ripetete per 6 volte la misura di t e annotate i dati sperimentali nella Tabella 4. Calcolate il periodo T e annotate i dati nella Tabella 4. Tabella 4 N=20 t (s) T (s) Dalla Tabella 4 calcolate il valore medio T m del periodo. Domanda: Come potete stimare l'errore sulla misura del periodo T? Possiamo stimare l'errore sulla misura del periodo T nel seguente modo. Se l'errore nell'avviare il cronometro è dovuto alla prontezza dei riflessi, esso è quindi uguale a 0.3 s oppure 0.4 s, e così anche l'errore nel fermare il cronometro. Pertanto sommando tali errori e dividendo per N=20 otteniamo un errore uguale a 0.02 s. Altro modo per calcolare l errore e quello di individuare nella tabella 4 il valore più grande e quello più piccolo e calcolare l errore come ΔT = (T max T min )/2 Confrontate i risultati ottenuti. Prendete il valore più grande ottenuto e utilizzatelo come valore dell errore nella misura del periodo. Scrivete il risultato della misura del periodo: T = T m ± ΔT Inserendo il valore T m nella relazione (2) calcolate la costante elastica k della molla. Infine, confrontate il valore di k con quello ottenuto nella prima parte dell'esperienza. Commentate i risultati. 14