Forza e moto. Il metodo piú semplice per definire operativamente una forza è basato sugli effetti dinamici che essa produce.

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1 Forza e moto Se la velocità di un corpo cambia, in valore assoluto o in direzione, qualcosa deve aver causato questo cambiamento,cioè deve aver causato l accelerazione del corpo. Questa interazione che imprime un accelerazione a un corpo è detta forza. Il metodo piú semplice per definire operativamente una forza è basato sugli effetti dinamici che essa produce. In fisica la quiete o il moto rettilineo uniforme sono condizioni naturali degli oggetti e per indurre un cambiamento nel moto dell oggetto sono necessarie delle interazioni con altri oggetti. La forza è quell azione, causata da un agente esterno al corpo in movimento, che provoca una variazione della velocità del corpo (o come intensità o come direzione) e quindi il corpo acquista un accelerazione. Fissato l oggetto A, una forza ha un intensità uguale (doppia, ecc.) ad un altra quando le accelerazioni prodotte sono uguali (doppie, ecc.). Supponendo che A sia il corpo campione, dalla misura delle accelerazioni si determina la misura delle forze. Supponiamo ora di far agire la stessa forza su oggetti puntiformi diversi. Dati due corpi qualsiasi, diremo che hanno la stessa massa quando spinti da una stessa forza acquistano la stessa accelerazione e che un corpo ha massa doppia di un altro quando, spinto dalla stessa forza, acquista un accelerazione pari alla metà dell accelerazione del primo corpo, ecc.

2 La massa di un corpo è un osservabile scalare, inversamente proporzionale al modulo dell accelerazione impressa al corpo da una forza stabilita dati due corpi si ha m 1 a m 1 = a 2 m 2 a 1 Questa definizione permette di costruire una scala delle masse indipendentemente dalla natura dei corpi. La massa di un corpo è la caratteristica che mette in relazione la forza applicata al corpo con l accelerazione che ne risulta. La massa rappresenta la proprietà dei corpi di opporsi al moto e per questo è detta anche massa inerziale. Legge fondamentale della dinamica Consideriamo un corpo qualsiasi di massa m sul quale agisce una forza f; l accelerazione è legata alla massa e alla forza da: f = m a 2 a legge della dinamica la massa è una costante durante il moto. Il problema generale della dinamica del punto si può riassumere così: data una forza comunque variabile nel tempo, applicata ad un punto, trovare il moto di questo punto. Viceversa, dato il moto di un punto cercare una forza capace di determinarlo.

3 Principio di inerzia (1 a legge della dinamica) Un oggetto A qualsiasi sul quale non agisca alcuna forza secondo la legge fondamentale della dinamica ha accelerazione nulla f = 0 a = 0 si deduce quindi che la velocità v del corpo è costante e si ha che se il corpo è inizialmente fermo, esso rimane fermo; analogamente se esso è in moto rettilineo uniforme con velocità v 0 esso prosegue di moto rettilineo uniforme con la stessa velocità v 0. Questo è il principio d inerzia (o prima legge di Newton). I sistemi di riferimento in cui vale questa legge si chiamano inerziali. F = m a è una relazione vettoriale: l accelerazione ha sempre la stessa direzione e lo stesso verso della forza che la induce. Dimensioni e unità di misura MKS CGS massa [M] kilogrammo (kg) grammo (g) forza [MLT 2 ] newton (N) dine 1 N è la forza che imprime ad un corpo di massa pari a 1 kg un accelerazione di 1 m/s 2 1 dine è la forza che imprime a 1 g un accelerazione di 1 cm/s 2 1 dine = 10 5 N

4 Come si misurano le forze Uno strumento per misurare le forze è il dinamometro, formato da una molla attaccata a un sostegno. La molla è un oggetto ideale che ha una massa trascurabile e che se allungata o compressa di un tratto x rispetto alla posizione di equilibrio reagisce con una forza pari a F = k x dove k è una costante, detta costante elastica della molla. Il segno meno sta a indicare che la forza ha sempre verso opposto a quello dello spostamento, cioè tende a riportare la molla nella posizione di equilibrio. Per misurare una forza incognita F, prima si applica al dinamometro la forza unitaria F l 0 l 0 x F 0 e si misura l allungamento x 0 della molla, che sarà tale che F 0 = kx 0. Poi si applica alla molla la forza incognita F e si misura l allungamento corrispondente che indichiamo con x e che sarà tale che F = kx da cui F F 0 = kx kx 0 F = F 0 x x 0 da una misura dell allungamento si può misurare la forza F. Quando su di un corpo puntiforme di massa m agiscono simultaneamente più forze F 1, F 2..., F k, esso si comporta come se su di esso agisse la loro risultante F = F 1 + F F k (cioè la somma vettoriale di tutte le forze agenti). Il corpo quindi subisce un accelerazione nella direzione della risultante F e di intensità pari a a = F/m.

5 Quando la risultante di più forze applicate ad un oggetto puntiforme è nulla lo stato di moto dell oggetto non cambia (in particolare se l oggetto è inizialmente fermo rimane fermo). Esempio: in figura al corpo di massa m sono applicate tre forze e la risultante è stata determinata graficamente mediante la regola del parallelogramma: F 1 F 1 F 1 + F 2 m F 2 F2 F 1 + F 2 F 3 F 1 + F 2 + F 3 F 3 La legge F = m a può essere proiettata sugli assi del sistema di riferimento scelto: y F 1 F 3 θ F 2 x { ( F1 + F 2 + F 3 ) x = F 1 cos θ + F 2 ma x = F 1 cos θ + F 2 ( F 1 + F 2 + F 3 ) y = F 1 sin θ F 3 ma y = F 1 sin θ F 3 Da queste equazioni, note le forze, possiamo calcolare le componenti dell accelerazione lungo gli assi.

6 Terza legge di Newton Le forze si manifestano a coppie: se colpiamo un muro, il muro risponde spingendo in senso inverso contro di noi. Consideriamo due corpi A e B che interagiscono, ossia ciascuno di essi esercita una forza sull altro. Se il corpo A esercita una forza f AB sul corpo B, il corpo B esercita una forza f BA sul corpo A. La terza legge di Newton dice che le due forze hanno la stessa intensità, la stessa direzione e verso opposto: f AB = f BA 3 a legge di Newton Si usa dire che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. Si noti però che le due forze agiscono su corpi diversi. Es.: un martello che colpisce un chiodo: la forza esercitata dal martello sul chiodo (azione) è uguale ed opposta alla forza che il chiodo esercita sul martello (reazione). Alcune forze Forza peso il peso di un corpo è la forza con cui il corpo stesso è attirato verso il centro della terra. La forza è dovuta all attrazione gravitazionale che si esercita fra le masse dei corpi P = m g La forza peso, come g, è un vettore diretto verso il basso ( g = g ĵ, con il verso positivo dell asse y verso l alto).

7 N.B. A volte sui testi si trova: P = m g. In questo caso g è diretto verso l alto ( g = g ĵ) ed il segno meno mette in evidenza il fatto che la forza peso è diretta verso il basso. Forza normale In generale quando un corpo preme su di una superficie, la superficie si deforma e spinge il corpo con una forza normale N, perpendicolare alla superficie stessa. Questa forza è presente anche quando la superficie a cui si appoggia il corpo è rigida. Consideriamo un corpo in stato di quiete appoggiato su di una superficie, ad esempio un tavolo: il corpo è soggetto ad una forza N, la forza normale, che equilibra il peso. In condizioni di equilibrio lungo la verticale si ha N = m g (diretta verso l alto) Attrito Se facciamo scivolare un corpo sopra una superficie si nota una resistenza tra corpo e superficie, detta forza di attrito o semplicemente attrito. La forza di attrito agisce parallelamente alla superficie di contatto ed ha verso opposto alla forza di trascinamento.

8 Tensione Quando un filo (o una fune o un cavo) è fissato ad un corpo ed è tirato, si dice che è sotto tensione. Il filo esercita sul corpo una forza di trazione T, applicata al punto di fissaggio e diretta lungo il filo nel verso di allontanamento dal corpo. Spesso la fune è considerata come priva di massa ed inestensibile. Forza esercitata da una molla La forza esercitata da una molla è chiamata forza di richiamo ed è proporzionale allo spostamento del corpo libero dalla posizione di riposo F = k x Legge di Hooke La forza peso è un tipico esempio di forza statica in quanto è presente anche quando l accelerazione è nulla. Le forze statiche possono essere misurate mediante dinamometri. Si dicono dinamiche le forze che sono presenti solo se i corpi sono in moto. Per misurarle bisogna conoscere l accelerazione.

9 Moto di caduta libera Il moto dei corpi che vengono lasciati cadere dall alto o che vengono lanciati dal basso, è caratterizzato dall accelerazione g, detta accelerazione di caduta libera, o accelerazione di gravità. Essa è indipendente dalle caratteristiche del corpo, quali la massa, la forma, la densità, ecc. ed ha un valore pari a 9.8 m/s 2. La causa di questa accelerazione va ricercata nella forza di attrazione gravitazionale che si esercita tra i corpi. Ogni corpo viene attratto verso il centro della terra dalla forza gravitazionale data da: F = GM T m ˆr dove: G=costante universale, M T = massa della terra m = massa del corpo, r = distanza tra il corpo e il centro della terra, ˆr è il versore della congiungente il corpo di massa m e il centro della terra. Per la 2 a legge della dinamica F = m a, il corpo di massa m lasciato cadere da un altezza h ha un accelerazione pari a a = GM T r 2 e diretta verso il centro della terra. a varia con l altezza rispetto al suolo e con la latitudine (poichè varia la distanza dell oggetto dal centro della terra), ma con una buona approssimazione si può ritenere a costante. Infatti in generale l altezza h del corpo rispetto al suolo è molto minore del raggio della terra per cui r = h + R T R T, dove R T è il raggio della terra. Quindi l accelerazione di caduta libera dei corpi è r 2 a GM T R 2 T = g

10 Il principio di azione reazione Consideriamo un blocco di massa m che si trova ad una certa distanza dal suolo. La forza che agisce sul blocco è in modulo F 1 = G M T m R 2 dove R è la distanza del blocco dal centro della terra. L accelerazione del blocco dovuta a questa forza è F 1 = ma 1 = G M T m a R 2 1 = GM T R 2 La forza che agisce sulla terra, per il principio di azione reazione è in modulo F 2 = F 1 = G M T m R 2 e l accelerazione corrispondente (della terra) è F 2 = M T a 2 = G M T m a R 2 2 = Gm R 2 Ordini di grandezza: R R T = 6, m M T = kg G = 6, m 3 /(s 2 kg) a g = 9.8 m/s 2 a 2 = 6, (6, 4) m(kg) = m(kg) m/s 2 dove m(kg) è il valore numerico della massa espresso in kilogrammi. In altre parole a 2 = m = m(kg) a 1 M T 6

11 Esempio: il piano inclinato Un blocco di massa m è tenuto a riposo su un piano inclinato y N F 1 m g h x θ F 1 = forza esercitata da una fune (tensione della fune) mg = forza peso N = reazione del vincolo (forza normale) Il blocco è a riposo a = 0 F 1 + N +m g = 0. Prendiamo il rifermento in modo tale che l asse x sia diretta lungo il piano inclinato, verso il basso, l asse y ad esso perpendicolare e origine in cima al blocco. componente x: F 1 + mg sin θ = 0 componente y: N mg cos θ = 0 noti m e θ si possono trovare N e F 2, cioè la forza normale e la forza esercitata dalla fune affinchè il blocco stia fermo. Caso dinamico: se si taglia il filo, quindi F1 = 0, il blocco non è più in equilibrio ed inizia a scendere lungo il piano (che supponiamo senza attrito). L accelerazione del blocco si determina dalla 2 a legge della dinamica N + m g = m a { ax = g sin θ a y = (N mg cos θ)/m = 0 a y = 0 sta a indicare che non c è moto lungo l asse y: il blocco nella discesa rimane sempre alla quota y = 0. Il moto lungo l asse x è un moto uniformemente accelerato.

12 Forze di attrito Ci occuperemo di forze di attrito che si manifestano tra corpi solidi. Consideriamo un blocco che si muove su di un tavolo con velocità iniziale v 0 e che alla fine si arresta. Questo significa che durante il moto il blocco è sottoposto ad un accelerazione con direzione parallela alla superficie del tavolo e con verso opposto alla velocità. Poichè all accelerazione si associa una forza, il blocco è sottoposto ad una forza parallela alla superficie del tavolo, e verso opposto alla velocità del blocco, chiamata forza di attrito. Supponiamo di avere un blocco fermo e di spingerlo con una certa forza, inizialmente il blocco non si mette in moto: questo è dovuto alla presenza di una forza di attrito che equilibra la nostra forza. Se aumentiamo la forza con cui spingiamo il blocco, questo inizia a muoversi, questo significa che la forza di attrito ha un massimo di intensità. Quando il blocco non si muove la forza di attrito è detta forza di attrito statico f s. Quando il blocco è in moto, la forza di attrito che si oppone al moto è detta forza di attrito dinamico f k. Di solito la forza di attrito dinamico è minore del massimo valore che può raggiungere la forza di attrito statico.

13 L attrito è dovuto all effetto collettivo delle forze che si e- sercitano tra gli atomi delle due superfici a contatto: a livello microscopico solo alcuni punti delle due superfici sono a contatto, quando sotto l azione della forza esterna il corpo inizia a muoversi, la forza di attrito si riduce perchè i punti di contatto variano istante per istante ed è più facile separarli. Il massimo valore dell intensità della forza di attrito statico è f s,max = µ s N dove µ s è il coefficiente di attrito statico e N è il modulo della forza normale. Se al corpo viene applicata una forza esterna la cui componente parallela alla superficie è F < f s,max il corpo non si muove. Quando il corpo comincia a scivolare lungo la superficie, la forza di attrito è data da f k = µ k N dove µ k è il coefficiente di attrito dinamico. µ s e µ k sono coefficienti adimensionali, che dipendono sia dal corpo che dalla superficie. Supporremo inoltre che µ k non dipenda dalla velocità. N.B. La due relazioni precedenti riguardano i moduli delle forze di attrito: la direzione di queste forze è sempre parallela alla superficie e opposta al moto (desiderato), mentre N è perpendicolare alla superficie di appoggio.

14 Esempio: il piano inclinato con attrito Un corpo scivola su un piano inclinato e tra corpo e piano vi è una forza di attrito dinamico con coefficiente µ k. Sul corpo agiscono le seguenti forze: forza peso P = m g y forza normale N f k forza di attrito dinamico pari in modulo a N h P f k = µ k N tangente al piano x θ e diretta in verso opposto al moto. Per la seconda legge della dinamica m a = P + N + f k Proiettiamo questa equazione lungo gli assi cartesiani: ma x = mg sin θ µ k N ma y = mg cos θ + N Ma a y = 0 perchè non c e moto lungo l asse y quindi N = mg cos θ. Sostituendo nella prima eq. si ottiene l accelerazione con cui il corpo scivola lungo il piano inclinato: ma x = mg sin θ µ k mg cos θ a x = g[sin θ µ k cos θ] (se non c è attrito: a x = g sin θ). Se il corpo parte a t = da x = 0 con velocità nulla, quando arriva a terra ha una velocità v x = 2gh ( 1 µ k cos θ sin θ ) h l altezza del piano inclinato (senza attrito: v x = 2gh che è uguale a quella che si ottiene nel caso di caduta verticale da una quota h).

15 Dinamica del moto circolare Se un corpo si muove su una circonferenza di raggio R, con velocità in modulo costante, si dice che è in moto circolare uniforme. L accelerazione è diretta verso il centro ed è in modulo costante e vale a = v2 accelerazione centripeta R Dalla 2 a legge di Newton sul corpo deve agire una forza F F = m v2 forza centripeta R diretta verso il centro di rotazione e costante in modulo poichè il modulo di v è costante. N.B. la forza centripeta non è un nuovo tipo di forza: il nome indica la direzione della forza rispetto al moto, può essere una forza di attrito (tra le ruote e l asfalto di una macchina in curva), forza di gravità (nel caso di una navicella che ruota attorno alla terra), forza di tensione (sasso trattenuto da una corda legata a un palo che ruota attorno al palo). Una forza centripeta accelera un corpo variandone il vettore velocità senza variarne il modulo. Sistemi di riferimento La prima legge di Newton è detta anche legge di inerzia. I sistemi di riferimento in cui è valida si chiamano inerziali. Essi sono sistemi che o sono fermi rispetto alle stelle fisse o si muovono con velocità costante rispetto ad esse.

16 È possibile tuttavia applicare le leggi della meccanica classica dal punto di vista di un sistema non inerziale, come ad esempio un sistema in rotazione. In questo caso dobbiamo introdurre forze che non sono newtoniane, le cosiddette forze fittizie. Queste forze non sono reali nel senso che non nascono dalla presenza di corpi e scompaiono quando si torna in un sistema inerziale. Consideriamo ad esempio un blocco di massa m posto su di una piattaforma rotante, orizzontale, senza attrito, legato ad una fune. Per l osservatore inerziale il blocco ruota ed ha un accelerazione centripeta che è fornita dalla forza di tensione della fune e la 2 a legge di Newton si scrive T = mv 2 /r. Per un osservatore posto sulla piattaforma il blocco è in quiete, cioè a = 0. Lungo la corda agisce la stessa forza di tensione, quindi per applicare la 2 a legge di Newton occorre introdurre una forza fittizia che bilanci la forza di tensione della corda. Questa forza è detta centrifuga ed è diretta verso l esterno ed ha modulo pari a mv 2 /r.

17 Più in generale consideriamo un sistema di riferimento inerziale Oxy e un altro sistema di riferimento O x y in moto rispetto al precedente (per semplicità consideriamo il caso di due dimensioni). Per il vettore posizione di un punto P nei due sistemi si ha P O = P O + OO derivando rispetto al tempo si trova la relazione tra le velocità nei due sistemi di riferimento v P O = v P O + v OO dove v OO è la velocità del riferimento O x y rispetto a Oxy. Se il riferimento O x y è inerziale, cioè si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al riferimento Oxy, la velocità v OO è costante: derivando rispetto al tempo la relazione (*) si ottiene a P O = a P O le accelerazioni nei due riferimenti sono le stesse e non vi sono forze fittizie. Se il sistema O x y non si muove di moto rettilineo uniforme ma ha un moto rototraslatorio qualsiasi, derivando la relazione (*) si ha dove a P O = a P O + a tr + a Cr ( ) a P O = accelerazione rispetto al sistema xy a P O = accelerazione rispetto al sistema x y a tr = accelerazione di trascinamento a Cr = accelerazione di Coriolis le accelerazioni nei due riferimenti sono diverse e nel riferimento O x y sono presenti delle forze fittizie.