Lezioni di Ricerca Operativa 2 Dott. F. Carrabs

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1 Lezioni di Ricerca Operativa Dott. F. Carrabs.. 009/00 Lezione 6: - mmissibilità di un vincolo - Vincoli alternativi - Vincoli alternativi a gruppi - Rappresentazione di funzioni non lineari: Costi fissi - Rappresentazione di funzioni non lineari: Funzioni lineari a tratti

2 Vincoli di tipo logico: ammissibilità di un vincolo Una delle più semplici domande logiche che possono sorgere in un modello matematico è se una data scelta della variabili decisionali soddisfa o meno un vincolo del problema. Più precisamente, quando il vincolo f(,,, n ) b è soddisfatto? 0 se il altrimenti vincolo è soddisfatto f(,,, n ) M b

3 Vincoli di tipo logico: vincoli alternativi Dati i due seguenti vincoli: f (,,, n ) b () f (,,, n ) b () Voglio che almeno uno tra questi due vincoli sia soddisfatto (i) ssocio ad ogni vincolo una variabile binaria 0 se il vincolo () è soddisfatto altrimenti 0 se il vincolo () è soddisfatto altrimenti (ii) Modifico i vincoli inserendo le variabili binarie: f (,,, n ) M b f (,,, n ) M b (iii) ggiungo il vincolo logico:

4 Esempio: Vino fisciano_doc Un azienda agricola produce il vino fisciano_doc ottenuto tramite la miscelazione di tipi differenti di vino v,,v. La quantità massima di litri disponibili per ogni tipologia di vino è 00 litri. Ogni vino utilizzato ha un costo, una gradazione ed una densità differenti riportati nella seguente tabella: v v v v Costo (per litro) Gradazione (per litro) Densità (per litro) Quando i vini vengono mescolati sia la gradazione che la densità del prodotto finale crescono linearmente. Per poter rispettare i requisiti di qualità prodotto e le tradizione della zona è necessario che almeno una delle seguenti due condizioni sia soddisfatta: - La gradazione del fisciano_doc non superi i 5 gradi. - La densità del fisciano_doc non superi il valore 6. Il fisciano_doc viene venduto ad un prezzo pari di Euro 5 per litro. Qual è la migliore miscelazione che massimizza i profitti netti?

5 ) ( 5t ma t s t Esempio: Vino fisciano_doc Che valore devo assegnare {0,}, 0 0, 0, 0, 0, t t M t M Che valore devo assegnare ad M ed M?

6 Esempio: Vino fisciano_doc ma s. t., 8.8 5t - ( , 7 {0,} 9.7 t 0.5 0, 0, , t M.8 ) M 8.8*00 6.*00 *00.*00 60 M *00 7*00 0.5*00 9* Ovviamente, con calcoli più precisi è possibile individuare valori più piccoli (e quindi migliori). M 0 6t 5t

7 Vincoli di tipo logico: vincoli alternativi Dati i due seguenti vincoli: f (,,, n ) b () f (,,, n ) b () Voglio che solamente uno tra questi due vincoli sia soddisfatto (i) ssocio ad ogni vincolo una variabile binaria 0 se il vincolo () è soddisfatto altrimenti 0 se il vincolo () è soddisfatto altrimenti (ii) Modifico i vincoli inserendo le variabili binarie: f (,,, n ) M b f (,,, n ) M b (iii) ggiungo il vincolo logico:

8 Esempio: processo produttivo Una fabbrica di automobili produce tre tipi di auto, e. La fabbrica ha a disposizione due catene di montaggio M ed M per la produzione di questi tre modelli. M può funzionare per 0 ore settimanali mentre M per 05 ore. Su M sono richieste rispettivamente ore per produrre una, 0 ore per una e 7 ore per una. Su M sono invece richieste rispettivamente 9 ore per una, 7 per una e 5 per una. Il profitto per la vendita delle tre auto è rispettivamente di 9000 Euro per una, 000 euro per una e 5000 euro per una. Vincoli di produzione aggiuntivi impongono di non produrre più di 5 pezzi di, più di 0 pezzi di e più di 0 pezzi di. causa di uno sciopero degli operai però è possibile far funzionare solo una delle due catene di montaggio. Si vuole determinare il piano di produzione che, usando una sola catena di montaggio, massimizzi i profitti.

9 5 05 ) 000( ma Esempio: processo produttivo { } 0, integer,, 0 0 5

10 Vincoli di tipo logico: vincoli alternativi a gruppi Mi interessa riuscire a modellare la seguente situazione: Dati i seguenti n vincoli: f (,,, n ) b f (,,, n ) b. f n (,,, n ) b n Voglio che almeno k tra questi n vincoli siano soddisfatti (i) Introduco n variabili binarie associata ad ognuno dei vincoli (ii) modifico i vincoli: f i (,,, n )- M i i b i i,, n (iii) aggiungo il vincolo logico: n i i n k

11 Funzioni obiettivo non lineari: Costi fissi Come modellare una funzione obiettivo di questo tipo: f ( ) 0 se 0 p c se > 0 (i) Introduco una variabile binaria per indicare quando il costo fisso deve essere considerato se 0 se (ii) la funzione obiettivo diventa: pc (iii) aggiungo il vincolo logico: M > 0 0

12 Esempio: localizzazione di impianti Sia C un insieme di n clienti che devono essere serviti e L un insieme delle possibili localizzazioni dove aprire k impianti. Il costo di servizio del cliente i da parte dell impianto nella locazione j è pari a c ij. Quando un impianto viene attivato si devono sostenere dei costi fissi di apertura pari a p j. Si vogliono localizzare k impianti in modo tale che:. tutti i clienti siano serviti. ogni cliente sia servito da non più di un impianto. i costi totali siano minimizzati

13 Esempio: localizzazione di impianti min i j c ij ij j p j j j ij i C i ij M j j I j j ij j k { 0,} j I { 0,} j I i C

14 Funzioni obiettivo non lineari: lineari a tratti Come modellare una funzione obiettivo di questo tipo: f c se 0 ( ) c se < 0 c se 0 < 5

15 Esempio : cquisto dvd ( caso) In un centro commerciale sono state esposte delle offerte sull acquisto di DVD vergini. In particolare i prezzi sono fissati come segue: costo 60. se se se Per permettere a più consumatori di usufruire dell offerta, non è possibile acquistare più di 000 dvd. Noi abbiamo bisogno di acquistare almeno 80 dvd. causa di questo vincoli quanti dvd ci conviene acquistare per minimizzare i costi?

16 Esempio : cquisto dvd ( caso) Per prima cosa definisco tre variabili decisionali, e che rappresentano: il numero di dvd acquistati ad.60 euro il numero di dvd acquistati a.0 euro il numero di dvd acquistati a 0.0 euro E tre variabili binarie: i se i > 0 0 altrimenti Ovviamente, solo una delle tre variabili decisionali può assumere un valore diverso da zero e quindi il numero totale di dvd acquistati è pari a. La funzione obiettivo del problema diventa c c c, ossia: min

17 Esempio : cquisto dvd ( caso) E riscrivo questi vincoli: 0 0 In questo modo: con

18 Esempio : cquisto dvd ( caso) Consideriamo le possibili combinazioni di valori di, e :, 0, , ,, , , 0, 0 000,

19 Esempio : cquisto dvd ( caso) min s. t

20 Esempio : cquisto dvd ( caso) In un centro commerciale sono state esposte delle offerte sull acquisto di DVD vergini. In particolare i prezzi sono fissati come segue: costo 60. per i primi00 dvd 0. per i successivi dvd tra 0e per i successivi dvd tra 00 e000 Per permettere a più consumatori di usufruire dell offerta, non è possibile acquistare più di 000 dvd.

21 Esempio : cquisto dvd ( caso) Per prima cosa esprimiamo il numero totale di DVD acquistati come la somma di tre variabili, e che rappresentano: indica di quanto supera il valore 0, ma non eccede 00. (0 00) indica di quanto supera il valore 00, ma non eccede 00. (0 00) indica di quanto supera il valore 00, ma non eccede 000. (0 600) In base alle caratteristiche del problema sappiamo che: se >0 allora 00 e se >0 allora 00 Per poter rispettare questi vincoli logici introduciamo le seguenti variabili binarie: se > 0 0 altrimenti se > 0 0 altrimenti

22 Esempio : cquisto dvd ( caso) E riscrivo questi vincoli: 0 0 In questo modo: verifichiamo!

23 Esempio : cquisto dvd ( caso) Consideriamo le possibili combinazioni di valori di e : 0 e , e non si può verificare e 0 00, 0 00, e 00, 00, In generale se si hanno k segmenti la tipologia di vincoli da definire è del tipo: L j j j L j j- dove L j è la lunghezza del j-esimo segmento