SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

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1 SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE.Sistema di disequazioni in due incognite di primo grado Una disequazione di primo grado in due incognite: a b c nel piano cartesiano, rappresenta uno dei due semipiani nei quali la retta a b c =, divide il piano stesso. Il metodo più semplice per individuare di quale dei due semipiani si tratta consiste nello scegliere, a piacere, un punto non appartenente alla retta detto punto spia e verificare se le sue coordinate soddisfano o meno la disequazione data: nel primo caso il semipiano sarà quello che contiene il punto spia, nel secondo caso sarà il semipiano opposto. Pertanto nel piano cartesiano un sistema di disequazioni di primo grado in due incognite rappresenta l insieme intersezione dei corrispondenti semipiani. Questa intersezione può essere un poligono convesso, un semipiano, una regione angolare, una striscia,, non è escluso che risulti vuota, o un unico punto, o un segmento, o una semiretta, o una retta. Esempio: Il sistema 6 6 rappresenta l insieme dei punti del piano intersezione dei semipiani: Ognuno di tali semipiani viene individuato prendendo come punto spia l origine delle coordinate. L intersezione è la regione colorata in blu: -6

2 .Sistema di disequazioni in due incognite di grado maggiore di uno Una disequazione di grado in due incognite, nel piano cartesiano, rappresenta una delle due parti nelle quali la conica associata alla disequazione considerata divide il piano stesso. Il metodo per individuare di quale delle due parti di piano si tratta è analogo a quello indicato per una disequazione di primo grado. Associando ad una disequazione di grado un altra disequazione (di primo o di secondo grado) si ottiene un sistema di disequazioni di grado maggiore di uno (esattamente di secondo grado o di quarto grado) che rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti intersezione delle due parti di piano soluzioni di ciascuna delle due disequazioni. Esempio: Determinare l insieme dei punti P (,) per cui ha senso l espressione: L espressione ha senso se e solo se:. Ciò è equivalente all unione dei seguenti sistemi (*) e (**) > < Il sistema(*) risulta soddisfatto dall insieme dei punti intersezione della regione del piano per cui è (punti esterni e sul cerchio di centro l origine e raggio ) col semipiano >. Tale regione è quella colorata.

3 In modo analogo si trova che il sistema (**) risulta soddisfatto nella regione colorata. Pertanto la regione di piano annerita della seguente figura è quella per cui ha senso l espressione data.

4 . Un problema pratico I sistemi di disequazioni, al pari dei sistemi di equazioni, trovano notevoli applicazioni nella risoluzione di numerosi problemi vari. Diamo qui un esempio di un problema per la risoluzione del quale, il modello matematico di cui ci si serve è proprio un sistema di disequazioni lineari. Problema Utilizzando solo due dei tre alimenti A, B e C la cui composizione risulta dalla seguente tabella: Composizione Alimento A Alimento B Alimento C Proteine % % % Carboidrati % 5% 4% è possibile effettuare una dieta che prevede un consumo giornaliero di p proteine compreso tra 75g e 5g, di c carboidrati compreso tra 5g e g in modo che la quantita complessiva di proteine e carboidrati non superi i 75g? Soluzione: Le diete possibili sono tre. caso: la dieta viene effettuata con i soli alimenti A e B. caso: la dieta viene effettuata con i soli alimenti A e C. caso: la dieta viene effettuata con i soli alimenti B e C. LEGENDA p = quantità totale in grammi di proteine c = quantità totale in grammi di carboidrati = quantità totale in grammi dell alimento = quantità totale in grammi dell alimento ) A B ) A C ) B C Le condizioni poste dal problema conducono al seguente sistema di disequazioni lineari: (*) 75 p 5 5 c p c 75 Poiché le ultime due disequazioni portano ad esaminare solo regioni di punti che stanno nel primo quadrante, consideriamo solo le condizioni imposte dalle prime tre disequazioni.

5 Per ciascuno dei tre casi possibili rappresentiamo nel piano cartesiano la regione di punti le cui coordinate costituiscono coppie di quantità ammissibili dei due alimenti. Primo caso: La dieta viene effettuata con i soli alimenti A e B. Il sistema (*) diventa (*) ( )75,, 5 ( )5,, 5 ( ),,5 75 Considerato come punto spia l origine delle coordinate, l individuazione dei semipiani soluzioni delle disequazioni porta ai seguenti risultati: - la disequazione (a) e soddisfatta nel semipiano che non contiene O; la disequazione (b) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Da queste due si deduce che la relazione () del sistema (*)e soddisfatta da tutti i punti del primo quadrante che sono compresi nella striscia di piano individuata dalle due rette (a) e (b). - la disequzione (c) e soddisfatta nel semipiano che non contiene O; la disequazione (d) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Da queste due si deduce che la relazione () del sistema (*) e soddisfatta da tutti i punti del primo quadrante che sono compresi nella striscia di piano individuata dalle due rette (c) e (d). - la disequazione (e) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Le soluzioni del sistema sono date dall insieme intersezione delle due sopraddette strisce di piani e il semipiano individuato dalla disequazione (e) Tale intersezione e costituita solo dal punto R. Grafico Primo caso ( a) 75 ( b ) 5 ( c)4 5 ( d)4 6 ( e) Legenda: Rette: a // b Rette: c // d Retta: e R (5 ; ) R 5

6 La dieta deve consistere di,5 kg del solo alimento A Secondo caso: La dieta viene effettuata con i soli alimenti A e C. Il sistema (*) diventa (*) ( )75,, 5 ()5,,4 (),,5 75 ( a) 75 ( b) 5 ( c) 5. ( d ) 5 ( e) 5 75 Considerato come punto spia l origine delle coordinate, l individuazione dei semipiani soluzioni delle disequazioni porta ai seguenti risultati: - la disequazione (a) e soddisfatta nel semipiano che non contiene O; la disequazione (b) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Da queste due si deduce che la relazione () del sistema (*)e soddisfatta da tutti i punti del primo quadrante che sono compresi nella striscia di piano individuata dalle due rette (a) e (b). - la disequzione (c) e soddisfatta nel semipiano che non contiene O; la disequazione (d) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Da queste due si deduce che la relazione () del sistema (*) e soddisfatta da tutti i punti del primo quadrante che sono compresi nella striscia di piano individuata dalle due rette (c) e (d) - la disequazione (e) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Le soluzioni del sistema sono date dall insieme intersezione delle due sopraddette strisce di piani e il semipiano individuato dalla disequazione (e). Tale intersezione e la regione i cui punti sono contenuti nel triangolo di vertici R (; 75) S (5; 5) T (5;). Grafico Secondo caso Legenda: Rette: a // b Rette: c // d Retta: e R A S Triangolo dai vertici R(;75) S (5; 5) T (5; ) T

7 La dieta può essere realizzata in infiniti modi. Le quantità ammissibili degli alimenti A e C sono date da coppie di valori, che sono le coordinate dei punti contenuti nel sopraddetto triangolo RST. Terzo caso: La dieta viene effettuata con i soli alimenti B e C. Il sistema (*) diventa (*) ( )75,, 5 ()5,5,4 (),5,5 75 ( a) 75 ( b ) 5 ( c) 8 5. ( d) 8 6 ( e)7 75 Considerato come punto spia l origine delle coordinate, l individuazione dei semipiani soluzioni delle disequazioni porta ai seguenti risultati - la disequazione (a) e soddisfatta nel semipiano che non contiene O; la disequazione (b) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Da queste due si deduce che la relazione () del sistema (*)e soddisfatta da tutti i punti del primo quadrante che sono compresi nella striscia di piano individuata dalle due rette (a) e (b). - la disequzione (c) e soddisfatta nel semipiano che non contiene O; la disequazione (d) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Da queste due si deduce che la relazione () del sistema (*) e soddisfatta da tutti i punti del primo quadrante che sono compresi nella striscia di piano individuata dalle due rette (c) e (d). - la disequazione (e) e soddisfatta nel semipiano che contiene O. Le soluzioni del sistema sono date dall insieme intersezione delle due sopraddette strisce di piani e il semipiano individuato dalla disequazione (e). Tale intersezione e la regione i cui punti sono contenuti nel triangolo di vertici R (; 75) S (77; 596) T (85;48). Grafico terzo caso Legenda: Rette: a // b Rette: c // d S R T Retta: e Triangolo dai vertici R(;75) S (77; 596) T (48;85)

8 La dieta può essere realizzata in infiniti modi. Le quantità ammissibili degli alimenti B e C sono date dalle coppie di valori che sono le coordinate dei punti contenuti nel sopraddetto triangolo RST. 4.Esercizi Proposti Rappresentare geometricamente l insieme dei punti del piano cartesiano soddisfacenti alla disequazione ( ) ( 5) 6 <. Rappresentare geometricamente l insieme dei punti del piano per cui risulta: a) b) 6 6 c) Rappresentare geometricamente l insieme dei punti del piano per cui hanno senso le seguenti espressioni: a) b) c) ) )( ( d)log ( ) e) log 4 Trovare al variare di k R l insieme dei punti del piano per cui ha senso l espressione: k 8