Note per il corso di Geometria e algebra lineare Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni

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1 Note per il corso di Geometria e algebra lineare Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Spazi di n-uple e matrici. I prodotti cartesiani RR R e RRR R 3, costituiti dalle coppie e terne ordinate di numeri reali, engono utilizzati in geometria analitica per rappresentare i punti del piano e dello spazio, mediante l'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane. Ora generalizziamo il concetto, introducendo gli spazi di n -uple. Denizione. L'insieme R n f(a ; a ; : : : ; a n ) j a i R; i ; : : : ; ng e detto spazio delle n -uple di numeri reali, dette anche ettori numerici a n componenti. Introduciamo in R n un'operazione, che rende lo spazio delle n -uple un gruppo commutatio. Date due n -uple a (a ; : : : ; a n ) e b (b ; : : : ; b n ), la loro somma e la n -upla a + b (a + b ; : : : ; a n + b n ): L'elemento neutro e la n -upla nulla O (0; : : : ; 0) e il simmetrico di a e l'opposto a ( a ; : : : ; a n ). Nel seguito useremo anche una seconda operazione, la moltiplicazione per scalare: dati k R e a R n, poniamo ka (ka ; : : : ; ka n ): Osseriamo che algono: 0a O e a a 8a R n. Inoltre ( )a a.. Introduciamo ora le matrici, uno degli oggetti fondamentali usati nel corso. L'aritmetica delle matrici consente di trattare piu semplicemente i sistemi lineari e fornisce uno strumento adatto per formulare e risolere ari problemi applicatii. Denizione. Siano m; n due interi positii. Una matrice reale di tipo (m; n) (o m n ) e una tabella rettangolare di mn numeri reali costituita da m righe e n colonne. a a a n A a a a n a m a m a mn Useremo la notazione A [a ij per denotare la matrice A, di elementi a ij, doe il primo indice indica la riga e il secondo la colonna. Il simbolo M m;n (R) indica l'insieme delle matrici reali m n. Una matrice di tipo (; n) puo essere identicata con la n -upla (a ; a ; : : : ; a n ) R n e iene chiamata ettore riga, mentre una matrice di tipo (m; ) iene chiamata ettore colonna e puo essere identicata con la m -upla (a ; a ; : : : ; a m ) R m : Se m n la matrice e detta quadrata. Useremo il simbolo M n (R) per l'insieme delle matrici reali quadrate n n. Inne, una matrice sara sempre identicata con lo scalare a.

2 .3 Operazioni sulle matrici.3 Operazioni sulle matrici Sulle matrici si introducono alcune operazioni: la somma, la moltiplicazione per scalare, il prodotto di matrici righe per colonne. Usando le n -uple come modello, deniamo le prime due operazioni mediante la somma e il prodotto di numeri reali componente per componente. Denizione 3. Il prodotto di uno scalare k R per una matrice A [a ij e la matrice ka [ka ij. L'opposta di una matrice A [a ij e la matrice A ( )A [ a ij. La somma di due matrici, A [a ij, B [b ij, dello stesso tipo, e la matrice A+B [a ij +b ij. La dierenza A B e la matrice A + ( B) [a ij b ij. Denizione. Si dicono conformabili due matrici A; B, tali che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B. Siano A [a ij di tipo (m; n), B [b jk di tipo (n; r). Il prodotto C AB e la matrice [c ik, di tipo (m; r), in cui c ik n h a ih b hk a i b k + a i b k + + a in b nk : In particolare, il prodotto di un ettore riga, di componenti a ; : : : ; a n per un ettore colonna, di componenti b ; : : : ; b n, e lo scalare a b + a b + + a n b n. Quindi l'elemento c ik del prodotto AB e il prodotto del ettore riga di indice i per il ettore colonna di indice k (per questo si chiama anche prodotto \righe per colonne"). Ad esempio, il prodotto delle matrici A [ e B 0 0 e la matrice [ 0 C 3 3 Una prima motiazione della particolare denizione del prodotto di matrici e data dalla possibilita di scriere i sistemi di equazioni lineari in forma matriciale. Ad esempio, il sistema x + x + x 3 x + x + 5x 3 x + 6x + 8x 3 puo essere scritto in forma di prodotto matriciale come Ax b doe A 5 e la matrice dei coecienti del sistema, x 6 8 delle incognite e b e la colonna dei termini noti. x x x 3 e il ettore colonna

3 . Proprieta delle operazioni 3. Proprieta delle operazioni Le seguenti proprieta delle operazioni fra matrici sono di facile erica (dimostrarne almeno una per esercizio): La somma di matrici e commutatia e associatia: A + B B + A e (A + B) + C A + (B + C). Detta matrice nulla (o matrice zero) una matrice, denotata con O, di tipo (m; n), con elementi tutti nulli, si ha A + ( A) A A O. Dunque (M m;n (R); +) e un gruppo commutatio. Il prodotto di uno scalare per la somma di matrici gode delle proprieta distributie: e della proprieta associatia k(a + B) ka + kb 8k R (k + k )A k A + k A 8k ; k R (k k )A k (k A) 8k ; k R Il prodotto di matrici e associatio e distributio rispetto alla somma: (AB)C A(BC) ) scrieremo ABC A(B + C) AB + AC, (A + B)C AC + BC k(ab) (ka)b A(kB) 8k R: (naturalmente, le matrici deono essere conformabili). Il prodotto di matrici non e commutatio, come mostra l'esempio seguente [ [ [ [ [ [ ma : La matrice identica di ordine n e la matrice quadrata I n cos denita: I n [ ij, con ij 0 per i 6 j, ij per i j. Se A e una matrice conformabile con I n, a destra o a sinistra, si ha AI n A (oppure I n A A). Denizione 5. Una matrice A, quadrata di ordine n, si dice inertibile se esiste una matrice A, tale che A A AA I n. La matrice A si chiama inersa di A. Si dimostra facilmente che l'inersa di una matrice, se esiste, e unica. Esempi.. La matrice A Infatti AB BA I. [ e inertibile, con inersa la matrice B [.

4 .5 Esercizi [ [ 0. La matrice C 0 non e inertibile. Infatti se esistesse una matrice C0 x y z w [ [ tale che CC0 0 x y 0 z w I, si arebbe x ; y 0 e anche x 0; y, che e assurdo. L'esempio () mostra che il prodotto di matrici ha[ proprieta ben [ dierse dal prodotto di numeri: ad esempio, il prodotto delle due matrici non nulle e e la matrice nulla. Osserazione. Il prodotto di matrici inertibili e inertibile: se A e B sono inertibili, si ha (AB)(B A ) AA I n e (B A )(AB) BB I n e quindi (AB) B A. Dunque l'insieme delle matrici inertibili con l'operazione di prodotto e un gruppo (non commutatio se n > ). Denizione 6. Sia k 0 un intero. La potenza k -esima di una matrice quadrata A M n (R) e la matrice identica I n se k 0 e la matrice se k > 0. Vale la proprieta: A i A j A i+j A j A i. A k A A A (k olte) Denizione 7. La matrice trasposta della matrice A [a ij, di tipo (m; n), e la matrice A T [a ji, di tipo (n; m), che si ottiene prendendo come righe le colonne di A. La matrice e detta simmetrica se e quadrata (m n ) e A T A. Vale la proprieta seguente: (AB) T B T A T..5 Esercizi. Siano A [ 0 e B [ 0 (a) A + 3B; (b) A B:. Calcolare le seguenti matrici:. Siano A e B come in (). Risolere le equazioni: nella incognita X (matrice 3). (a) X + 3A B; (b) A 3X 3B 3. Utilizzando le proprieta delle operazioni, dimostrare la seguente aermazione riguardo alle matrici m n : se ka O allora k 0 oppure A O.. Siano A; B M n (R). Vale la proprieta (AB) A B? Sia k. Vale la proprieta (AB) k A k B k? 5. Sia A Mostrare che A 6 O e A 3 O

5 .6 Combinazioni lineari 5.6 Combinazioni lineari Denizione 8. Una combinazione lineare delle matrici A ; A ; : : : ; A k e una matrice della forma c A + c A + + c k A k doe c ; : : : ; c k sono scalari e le matrici sono tutte dello stesso tipo. In particolare, sono denite le combinazioni lineari di ettori riga con n componenti e dei ettori colonna con n componenti e quindi delle n -uple. Esempio. Calcolare la combinazione lineare A + 3A A 3 dei ettori colonna A 6 ; A e A 3 Si ha A + 3A A 3 O. Un osserazione importante da fare ora e che i sistemi lineari, oltre alla scrittura mediante il prodotto matriciale, nella quale le righe della matrice A dei coecienti hanno un ruolo principale, possono essere rappresentati anche mediante le combinazioni lineari delle colonne di A. Ad esempio, il sistema x + x + x 3 x + x + 5x 3 x + 6x + 8x 3 puo essere scritto come x + x + x Dunque il sistema e risolubile esattamente quando la colonna dei termini noti e combinazione lineare delle colonne di A..7 Altre applicazioni del calcolo matriciale.7. Gra Un grafo G e un insieme V, i cui elementi sono detti ertici, assieme a una lista E di coppie non ordinate di ertici, detti lati. Un grafo orientato e un insieme V, i cui elementi sono detti ertici, assieme a una lista E di coppie ordinate di ertici, detti lati (orientati). I gra sono strumenti utili in molti modelli matematici. Un grafo orientato puo essere descritto dalla sua matrice di adiacenza: se V f ; : : : ; n g contiene n ertici, la matrice di adiacenza e una matrice A [a ij, di tipo n n, con elemento a ij uguale al numero di lati che anno dal ertice i al ertice j. Se il grafo non e orientato, si ha sempre a ij a ji, cioe la matrice e simmetrica. Esempio. Se V f ; ; 3 ; g e E f(; ); (; ); (3; ); (; 3); (; )g e un grafo orientato, 0 : 3

6 .7 Altre applicazioni del calcolo matriciale 6 la matrice di adiacenza e 0 0 A La matrice di adiacenza puo essere usata per ottenere importanti proprieta del grafo, ad esempio il numero di cammini di lunghezza s nel grafo. Un cammino nel grafo e una successione di lati che congiunge un ertice ad un altro. Il numero di lati nel cammino e la sua lunghezza. Teorema. Sia A la matrice di adiacenza di un grafo G. L'elemento di posto (i; j) della matrice A s e uguale al numero di cammini di lunghezza s con inizio nel ertice i e ne in j. Consideriamo ad esempio il caso s. Esiste almeno un lato da i a k e da k a j esattamente quando il prodotto a ik a kj e dierso da 0. Altrimenti, almeno uno dei fattori e 0. Dunque il numero di cammini di lunghezza da i a j e dato dalla somma a i a j + +a in a nj, che e l'elemento (i; j) di A. Esempio. Nell'esempio precedente si ha A ; A ; A Dunque ci sono, ad esempio, due cammini orientati di lunghezza 5 dal ertice al ertice (quali?).