Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015

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1 Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che prevede un reddito di 3000e con una probabilitá p 1 = 0, 1 e di 8000e con probabilitá p 2 = 0, 6 e di 0e con probabilitá p 3 = 0, 3. Calcolare l utilitá attesa di questa remunerazione e l equivalente certo. Sia X la variabile aleatoria (discreta) che descrive il gioco. Si ha 3000, p 1 = 0, , p 2 = 0, 6 0, p 3 = 0, 3. Allora u(x) è la variabile aleatoria definita da: 9, 80, p 1 = 0, 1 u(x) = 10, 79, p 2 = 0, 6 0, p 3 = 0, 3. Ricordiamo la formula per il calcolo dell utilità attesa per una variabile aleatoria discreta: n E[u(X)] = u(x i )p i, (1) dove x i, i = 1,..., n sono i diversi possibili valori assunti da X e p i la loro relativa probabilità. Nel nostro caso si ha: i=1 E[u(X)] = 9, 80 0, , 79 0, 6 0, 3 = 7, 4. Ricordiamo ora l equivalente certo corrispondente al gioco considerato. dell importo CE definito da Si tratta u(ce) = E[u(X)]; equivalentemente, CE = u 1 (E[u(X)]), 1

2 dove u 1 è la funzione inversa di u. Determiniamo dunque u 1 : poichè y = ln(1 + 6x) e y = 1 + 6x x = ey 1, 6 vale u 1 (y) = ey 1 6. Dunque l equivalente certo vale CE = u 1 (7, 4) = 272, 50e Esercizio 2 Un agente presenta una funzione di utilitá Egli dispone di due progetti incerti: u(x) = ln(x + 200). - Progetto A che prevede un reddito di 3000e con una probabilitá 0, 3 e di 10000e con probabilitá 0, 7; - Progetto B che prevede un reddito di 5000e con una probabilitá p e di 8000 euro con probabilitá 1 p; Determinare p affinché i due progetti siano equivalenti secondo il criterio dell utilitá attesa. Le variabili aleatorie che descrivono i due progetti incerti sono definite da 3000, p A = 0, , p B X A = X A = 10000, 1 p A = 0, , 1 p B. I due progetti saranno indifferenti secondo il criterio dell utilità attesa se E[u(X A )] = E[u(X B )]. Utilizzando la formula (1), si trova E[u(X A )] = 8, 88 e E[u(X B )] = 8, 56p B +9, 01(1 P B ); vogliamo dunque 8, 88 = 8, 56p B + 9, 01(1 p B ), da cui p B = 0, 29. Esercizio 3 Si consideri il gioco seguente: si lanciano contemporaneamente due dadi. Se esce il numero 2 al primo dado ed un numero pari al secondo dado si vincono 300e, altrimenti si vincono 2e. Calcolare il valore atteso del gioco. Calcolare inoltre l equivalente certo per un agente che ha come funzione di utilitá ( ) x u(x) = 5 5 exp. 10 2

3 Sia X la variabile aleatoria che descrive il gioco. I possibili valori assunti da X sono 300e e 2e. La probabilità che esca 2 col primo dado è 1/6, mentre la probabilità che esca un numero pari col secondo dado è 1/2. Poichè i due eventi sono indipendenti, la probabilità di vincere 300e si ottiene moltiplicando le probabilità che si verifichino entrambi, ovvero P( 300) = p = 1/12. Conseguentemente, P( 2) = p = 11/12 e 300, p = , 1 p = Ripetendo i calcoli svolti nell esercizio 1., l utilità attesa e il certo equivalente risultano pari a E[u(X)] = 1, 25 e CE = 2, 88. N.B. In questo caso la funzione inversa u 1 è data da u 1 (y) = 10 ln 5 y 5. Esercizio 4 Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta, se esce testa si vincono 10e e il gioco termina, se esce croce si ripete il lancio. Al secondo lancio se esce testa si vincono 100e, se esce croce si vincono 5e. In entrambi i casi il gioco termina. Calcolare il valore atteso del gioco. Calcolare inoltre l equivalente certo per un agente che ha come funzione di utilitá u(x) = 5 6x. Sia X la variabile aleatoria che descrive il gioco: 10, p 1 = 0, 5 100, p 2 = 0, 25 5, p 3 = 0, 25. Dai calcoli si trova E[X] = 31, 25. La variabile u(x) è data da 38, 73, p 1 = 0, 5 u(x) = 122, 47, p 2 = 0, 25 27, 39, p 3 = 0, 25, da cui E[u(X)] = 56, 83. L equivalente certo risulta invece pari a CE = 21, 53. In questo caso, infatti, la funzione inversa dell utilità risulta u 1 (y) = y Esercizio 5 Francesco possiede un capitale certo di 10000e. Valuta se partecipare alla lotteria seguente: si estrae un numero tra 1 e 90. Se esce un numero pari si vincono 1000e, altrimenti non si vince nulla. Il prezzo del biglietto é 130e. 3

4 Sapendo che la funzione di utilitá di Francesco é u(x) = x( x), dire se Francesco giudica vantaggioso comprare 1 biglietto della lotteria; 2. dire quale é il numero massimo di biglietti che Francesco ritiene conveniente comprare. Osserviamo innanzitutto che se Francesco non compra alcun biglietto della lotteria la sua utilità è u(10000) = Se invece Francesco partecipa alla lotteria, la probabilità di vittoria è pari a 1/2. La sua scelta è descritta dalla variabile aleatoria , p 1 = 0, , p 2 = 0, 5, ovvero La sua utilità è 10870, 0, , 0, 5. u(x) = 9688, 0, , 0, 5, da cui E[u(X)] = Dunque Francesco preferisce comprare un biglietto della lotteria piuttosto che non comprarne alcuno. Se Francesco compra n biglietti della lotteria, la sua scelta è descritta dalla variabile aleatoria n 130n, p 1 = 0, n, p 2 = 0, 5, ovvero La sua utilità è n, 0, n, 0, 5. u( n), 0, 5 u( n), 0, 5. 4

5 La sua utilità attesa è E[u(X)] = u( n) + u( n). 2 Egli riterrà più conveniente comprare n biglietti della lotteria piuttosto che non comprarne alcuno se vale la disuguaglianza u( n) + u( n) 2 > 9000, ovvero, risolvendo, se n < 76, 5. Pertanto Francesco ritiene conveniente acquistare un massimo di 76 biglietti della lotteria. Esercizio 6 Giovanni dispone di 1000e, risparmiati nel corso dell anno. Puó impiegarli in titoli a reddito fisso che rendono il 3% in modo certo oppure in azioni che rendono il 2% se la situazione economica internazionale é sfavorevole oppure l 8% se la situazione economica internazionale evolve positivamente. Le azioni possono essere acquistate in tagli di 500e (o multipli di 500). Supponiamo che la situazione economica internazionale sia sfavorevole con probabilitá 2/3. Le preferenze di Giovanni sono rappresentate dalla funzione di utilitá u(x) = x, con x che indica il valore del risparmio. 1. Si definiscano le possibili alternative a disposizione di Giovanni in termini di valore del risparmio. 2. Si determini come Giovanni impiegherá il suo risparmio comportandosi in modo razionale. 3. Per quale livello del tasso di interesse dei titoli a reddito fisso le alternative a disposizione di Giovanni sono equivalenti? 1. Indichiamo con B il risparmio impiegato in titoli a reddito fisso e con E il risparmio impiegato in azioni. Giovanni deve rispettare il vincolo di bilancio: B +E = Poichè inoltre le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro, le alternative a disposizione di Giovanni sono tre: 1. acquistare solamente titoli a reddito fisso: B 1 = 1000, E 1 = 0; 2. acquistare il taglio minimo di azioni e impiegare il risparmio rimanente in titoli a reddito fisso: B 2 = 500, E 2 = 500; 3. acquistare solamente azioni: B 3 = 0, E 3 = Indichiamo con W i, i = 1, 2, 3 il risparmio di Giovanni nei tre casi considerati. Se consideriamo la prima alternativa avremo: W 1 = , 03 = 1030 p (1) = 1. 5

6 Se consideriamo la seconda alternativa avremo invece 500 1, , 08 p (2) = 1/3 W 2 = 500 1, , 02 1 p (2) = 2/ p (2) = 1/3 = p (2) = 2/3. Se invece consideriamo la terza alternativa avremo , 08 p (3) = 1/3 W 3 = , 02 1 p (3) = 2/ p (3) = 1/3 = p (3) = 2/3. 2. Per determinare la scelta razionale di Giovanni dobbiamo calcolare l utilità attesa associata a ciascuna alternativa. Se consideriamo l alternativa 1 ricaviamo dalla seconda alternativa abbiamo infine, dalla terza alternativa abbiamo E[u(W 1 )] = 1030; E[u(W 2 )] = = 1035; 3 E[u(W 3 )] = = 1040; 3 Poichè E[u(W 1 )] < E[u(W 2 )] < E[u(W 3 )], Giovanni si comporta in modo razionale investendo tutti i risparmi nellacquisto di azioni. 3. É sufficiente considerare la condizione seguente: 1000(1 + r) = 1040, cioè la condizione di uguaglianza fra le utilità attese delle due alternative estreme (quella in cui Giovanni acquista solo titoli a reddito fisso e quella in cui acquista solo azioni); si ricava: r = 0, 4. 6