Con la mente e con le mani Il calcolo delle aree: esa1o, approssimato, errato

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1 Con la mente e con le mani Il calcolo delle aree: esa1o, approssimato, errato di Franco Ghione e Daniele Pasquazi

2 10 cm. Quanto vale l area di un triangolo equilatero che ha il lato lungo 10 centimetri?

3 14 cm. Quanto vale l area di un triangolo che ha i lati di 15, 14 e 13 centimetri?

4 Area = 84 cm 2 14 cm. Area = 43, cm 2 10 cm.

5 Area = 84 cm 2 14 cm. Area = 43, Cm 2 10 cm. L area del triangolo equalatero è un numero indicibile, con infinite cifre decimali, non periodiche, è un numero irrazionale

6 Area = 7. 12= 84 cm 2 12 cm 5 cm 9cm? Quanto vale l altezza? 5 cm. 5 cm.

7 ? Per calcolare l altezza abbiamo bisogno del Teorema di Pitagora 5 cm. 5 cm.

8 Teorema di Pitagora 100 cm 2 5 cm. 25 cm 2

9 Teorema di Pitagora 100 cm 2 75 cm 2 5 cm. 25 cm 2

10 75 cm 2 Quanto è lungo il lato di un quadrato che ha area 75 cm 2?

11 Per calcolare la lunghezza del lato abbiamo bisogno di un algoritmo che ci permetta di calcolare la radice quadrata 75 cm 2

12 Per fare questo esiste un antichissimo algoritmo: l algoritmo di Erone che converge molto rapidamente e può essere facilmente implementato su una calcolatore tascabile.

13 Per fare questo esiste un antichissimo algoritmo: l algoritmo di Erone che converge molto rapidamente e può essere facilmente implementato su una calcolatore tascabile. 5 cm. Si comincia con un rettangolo con l area data 15 cm.

14 Per fare questo esiste un antichissimo algoritmo: l algoritmo di Erone che converge molto rapidamente e può essere facilmente implementato su una calcolatore tascabile. 5 cm. Si comincia con un rettangolo con l area data 15 cm. Si costruisce un secondo rettangolo che ha un lato uguale alla media aritmetica dei due lati precedenti e la stessa area.

15 Per fare questo esiste un antichissimo algoritmo: l algoritmo di Erone che converge molto rapidamente e può essere facilmente implementato su una calcolatore tascabile. 5 cm. Si comincia con un rettangolo con l area data 15 cm. Si costruisce un secondo rettangolo che ha un lato uguale alla media aritmetica dei due lati precedenti e la stessa area. 7,5 cm. 10 cm.

16 Per fare questo esiste un antichissimo algoritmo: l algoritmo di Erone che converge molto rapidamente e può essere facilmente implementato su una calcolatore tascabile. 5 cm. Si comincia con un rettangolo con l area data 15 cm. Si costruisce un secondo rettangolo che ha un lato uguale alla media aritmetica dei due lati precedenti e la stessa area. 7,5 cm. In questo secondo rettangolo la differenza tra i due lati sarà più piccola e quindi questo secondo rettangolo sarà più quadrato del primo. 10 cm.

17 Per fare questo esiste un antichissimo algoritmo: l algoritmo di Erone che converge molto rapidamente e può essere facilmente implementato su una calcolatore tascabile. 5 cm. Si comincia con un rettangolo con l area data 15 cm. Si costruisce un secondo rettangolo che ha un lato uguale alla media aritmetica dei due lati precedenti e la stessa area. 7,5 cm. In questo secondo rettangolo la differenza tra i due lati sarà più piccola e quindi questo secondo rettangolo sarà più quadrato del primo. 10 cm. Si itera il procedimento ottenendo a ogni passo un rettangolo un po più quadrato

18 Tutto questo può essere facilmente costruito con geogebra 75 cm 2 8,66 cm 75 cm 2 8,36 cm 75 cm 2 5 cm 75 cm 2 15 cm 10 cm

19 75 cm 2 75 = 8,

20 Per calcolare l area di una figura, anche nel caso più semplice del triangolo equilatero, occorre sapere il teorema di Pitagora e un algoritmo per estrarre la radice quadrata, radice che generalmente è un numero irrazionale. Con lo scopo di semplificare, di tralasciare le dimostrazioni, di tramandare solo delle ricette per risolvere problemi pratici, sembra che questa antica sapienza si sia persa nel medio evo. Come veniva insegnato ai ragazzi nell ottavo secolo dopo Cristo il calcolo delle aree?

21 Alcuino di York (alla corte di Carlo Magno) insegnava a calcolare l area di un triangolo in questo modo 30 pertiche 30 pertiche 18 pertiche C è un campo triangolare che ha un lato di 30 pertiche, l altro di 30 pertiche e il fronte di 18 pertiche. Dica, chi è in grado, di quante pertiche quadrate è il campo. Soluzione Somma le due lunghezze di questo campo che fa 60. Prendi la metà che fa 30, e poiché di fronte è 18, fa 9. Moltiplica per 30 fa 270. Questa è l area. Problemi per rendere più acuta la mente dei giovani Problema = 270 La regola sarebbe: Fai la media dei due lati obliqui e moltiplica per metà base

22 Alcuino di York (alla corte di Carlo Magno) insegnava a calcolare l area di un triangolo in questo modo semplificato 30 pertiche 30 pertiche 18 pertiche C è un campo triangolare che ha un lato di 30 pertiche, l altro di 30 pertiche e il fronte di 18 pertiche. Dica, chi è in grado, di quante pertiche quadrate è il campo. Soluzione Somma le due lunghezze di questo campo che fa 60. Prendi la metà che fa 30, e poiché di fronte è 18, fa 9. Moltiplica per 30 fa 270. Questa è l area. Problemi per rendere più acuta la mente dei giovani Problema = 270 La regola sarebbe: Fai la media aritmetica dei due lati obliqui e moltiplica per metà base L area esatta sarebbe : = 257,

23 Alcuino di York (alla corte di Carlo Magno) insegnava a calcolare l area di un quadrilatero in questo modo 30 pertiche 32 pertiche 34 pertiche 32 pertiche C è un campo quadrangolare, che in un lato misura 30 pertiche, nell altro 32 pertiche, il fronte posteriore 34 pertiche e l altro fronte 32 pertiche. Dica chi è in grado, quanti arapenni deve comprendere. Soluzione Le due lunghezze di questo campo fanno 62. Dimezza fa 31. E le due larghezze del medesimo campo fanno 66. Fa la metà di 66 è 33. Moltiplica 31 per 33 fa Problemi per rendere più acuta la mente dei giovani Problema =1023 La regola sarebbe: Fai la media aritmetica dei due lati obliqui e moltiplica per quella degli altri due lati

24 Alcuino di York (alla corte di Carlo Magno) insegnava a calcolare l area di un quadrilatero in questo modo 30 pertiche 32 pertiche 32 pertiche C è un campo quadrangolare, che in un lato misura 30 pertiche, nell altro 32 pertiche, il fronte posteriore 34 pertiche e l altro fronte 32 pertiche. Dica chi è in grado, quanti arapenni deve comprendere. Soluzione Le due lunghezze di questo campo fanno 62. Dimezza fa 31. E le due larghezze del medesimo campo fanno 66. Fa la metà di 66 è 33. Moltiplica 31 per 33 fa pertiche In questo caso esistono addirittura Infiniti quadrilateri con quei lati ognuno di diversa area. Problemi per rendere più acuta la mente dei giovani Problema =1023 La regola sarebbe: Fai la media aritmetica dei due lati obliqui e moltiplica per quella degli altri due lati

25 Aree Esatte Approssimate Errate 10 cm cm 2 43, cm 2 50 cm 2 84 cm 2 84 cm 2 98 cm 2 14 cm. 30 cm cm 2 257, cm cm 2 18 cm.

26 Alcune proposte di lavoro con la mente e con le mani

27 Teorema di Pitagora Alcune proposte di lavoro con la mente e con le mani Qualche storia antica Pitagora che aspetta di essere ricevuto dal tiranno di Samo Policrate Il sacrificio di un enorme bue di pane La sgretezza della scoperta dei numeri irrazionali Ecc. ecc La dimostrazione del Teorema Il caso del triangolo rettangolo isoscele Il caso di triangoli che hanno rapporti tra i cateti semplici 2:1, 3:1 ecc. portando i ragazzi a scoprire la dimostrazione Una dimostrazione personalizzata con dei cartoncini Da una tassellazione del piano si ricava un bellissimo puzzle e una nuova dimostrazione Qualche applicazione interessante L arciere e la Torre La larghezza di un lago Il quadrato somma di quadrati La spirale delle radici quadrate

28 Teorema di Pitagora Un tassellazione con ma9onelle quadrate diverse tra loro Qualche storia antica Il teorema della donna sposata Pitagora che aspetta di essere ricevuto dal tiranno di Samo Policrate Il sacrificio di un enorme bue di pane La dimostrazione Il caso del triangolo rettangolo isoscele Una dimostrazione generale con dei cartoncini Da una tassellazione del piano si ricava una puzzle e una nuova dimostrazione La dimostrazione di Euclide

29 Il calcolo geometrico di aree ovvero la quadratura di una figura Alcune proposte di lavoro con Geogebra e la LIM La quadratura di un triangolo La quadratura di un poligono irregolare Quadrilatero Pentagono Esagono

30 Il calcolo geometrico di aree ovvero la quadratura di una figura Alcune proposte di lavoro con Geogebra e la LIM La quadratura di un triangolo La quadratura di un poligono irregolare Quadrilatero Pentagono esagono Il confronto tra aree La quadratura di superfici irregolari Sicilia Sardegna Alcune piazze di Roma

31 Il calcolo geometrico di aree ovvero la quadratura di una figura Alcune proposte di lavoro con Geogebra e la LIM Il confronto tra aree La quadratura di superfici irregolari Sicilia Sardegna Alcune piazze di Roma

32 Il calcolo geometrico di aree ovvero la quadratura di una figura Alcune proposte di lavoro con Geogebra e la LIM La quadratura di un triangolo La quadratura di un poligono irregolare Quadrilatero Pentagono esagono Il confronto tra aree La quadratura di superfici irregolari Sicilia Sardegna Alcune piazze di Roma

33 Il calcolo geometrico di aree ovvero la quadratura di una figura Alcune proposte di lavoro con Geogebra e la LIM Quanti manifestanti entrano in una piazza Piazza San Giovanni Piazza del Popolo Piazza Navona

34 Il calcolo geometrico di aree ovvero la quadratura di una figura Alcune proposte di lavoro con Geogebra e la LIM Stabilito quante persone possono entrare in un metro quadrato e calcolata l area di una piazza con Geogebra, si può stabilire il numero di manifestanti Che quella piazza può ospitare

35 Algoritmi Alcune proposte di lavoro con Geogebra, la LIM e Excel L algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata Con carta penna e una calcolatrice tascabile Con geogebra Con un foglio di lavoro elettronico L algoritmo di Archimede per il calcolo di π Un gioco in classe