Il paesaggio matematico

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1 754_Fico_gillo_00:754_Fico_gillo_ :46 Pgin Mripi Fico, Gbriell Crini, Slvtore Mttin 9 Volume A Teori degli insiemi e funzioni U Gli insiemi numerici: d N R J Elementi di logic Volume B Le equzioni e le disequzioni C Il pino crtesino: l rett D Il pino crtesino: le coniche Volume Esponenzili e logritmi Primi elementi di trigonometri Trigonometri Gli insiemi numerici: i numeri complessi Volume R Sttistic descrittiv S Sttistic inferenzile Volume I Successioni e progressioni M Funzioni e limiti N Clcolo differenzile O Clcolo integrle Volume Approssimzione e nlisi numeric Volume L Geometri nello spzio Volume P Clcolo combintorio Q Probbilità Volume K Serie numeriche e pprossimzione di funzioni Volume X Funzioni di due vribili, equzioni differenzili, trsformt di Lplce QUESTO CORSO È COSTITUITO DA: ISBN A+U+J ISBN B+C+D ISBN E+F+G+H ISBN V+Z ISBN I+M+N+O ISBN L ISBN P+Q ISBN R+S ISBN ISBN K ISBN X ISBN RISORSE PER L'INSEGNANTE E PER LA CLASSE + DVD EPSILON TEST 754 FICO, CARIANI, MATTINA IL PAESAGGIO MATEMATICO GIALLO APPROSSIMAZIONE E ANALISI NUMERICA Il pesggio mtemtico Epsilon Test. Il corso è corredto di un pcchetto softwre finlizzto ll redzione, somministrzione e vlutzione di test rispost chius. Con Epsilon Test il docente può: redigere test rispost chius ttingere d un mpio rchivio web di domnde, periodicmente ggiornto; generre differenti versioni stmpbili del test con rimescolmento csule di domnde e/o risposte per l somministrzione in clsse; somministrre e vlutre immeditmente i test in un lbortorio scolstico dotto di LAN; pubblicre i propri test su portle WEB dedicto, predisposto sul sito Loescher, scegliendo se rendere disponibile llo studente l'utovlutzione e se monitorre o meno le risposte; ottenere un rpporto dettglito delle risposte fornite i propri test pubblicti sul portle WEB. Con Epsilon Test lo studente può: svolgere i test personlizzti, pubblicti dl proprio docente sul portle WEB; svolgere i test di recupero, in form nonim, disponibili sul portle WEB. Il pesggio mtemtico E F G H Volume V Algebr linere Z Le ffinità del pino Fico, Crini, Mttin 0 Il pesggio mtemtico In copertin: A Bn Bo Sng, Thilndi, mnutenzione degli ombrellini di crt. M. Freemn/Corbis FI C O PA IS ES B A N G. 97 M 8AT 8 8. GI AL LO QUESTO VOLUME, SPROVVISTO DI TALLONCINO A FRONTE (O OPPORTUNAMENTE PUNZONATO O ALTRIMENTI CONTRASSEGNATO), È DA CONSIDERARSI COPIA DI SAGGIO - CAMPIONE GRATUITO, FUORI COMMERCIO (VENDITA E ALTRI ATTI DI DISPOSIZIONE VIETATI: ART. 7, C. L. 633/94). ESENTE DA IVA (DPR , N. 633, ART., LETT D). ESENTE DA DOCUMENTO DI TRASPORTO (DPR , N. 633, ART. 74).

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3 Mripi Fico, Gbriell Crini, Slvtore Mttin Il pesggio mtemtico gillo

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5 Mripi Fico, Gbriell Crini, Slvtore Mttin Il pesggio mtemtico gillo Approssimzione e nlisi numeric LOESCHER EDITORE

6 Loescher Editore I diritti di elborzione in qulsisi form o oper, di memorizzzione nche digitle su supporti di qulsisi tipo (inclusi mgnetici e ottici), di riproduzione e di dttmento totle o przile con qulsisi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotosttiche), i diritti di noleggio, di prestito e di trduzione sono riservti per tutti i pesi. L'cquisto dell presente copi dell'oper non implic il trsferimento dei suddetti diritti né li esurisce. Fotocopie per uso personle (cioè privto e individule) nei limiti del 5% di ciscun volume possono essere effettute negli esercizi che deriscono ll ccordo tr SIAE - AIE - SNS e CNA - Confrtiginto - CASA - Confcommercio del 8 dicembre 000, dietro pgmento del compenso previsto in tle ccordo; oppure dietro pgmento ll SIAE del compenso previsto dll rt. 68, commi 4 e 5, dell legge prile 94 n Per riproduzioni d uso non personle l editore potrà concedere pgmento l utorizzzione riprodurre un numero di pgine non superiore l 5% delle pgine del presente volume. Le richieste per tle tipo di riproduzione vnno inoltrte : Associzione Itlin per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell ingegno (AIDRO) Corso di Port Romn n. 08, 0 Milno e-mil segreteri@idro.org e sito web L editore, per qunto di propri spettnz, consider rre le opere fuori del proprio ctlogo editorile. L riproduzione mezzo fotocopi degli esemplri di tli opere esistenti nelle biblioteche è consentit, non essendo concorrenzile ll oper. Non possono considerrsi rre le opere di cui esiste, nel ctlogo dell editore, un successiv edizione, le opere presenti in ctloghi di ltri editori o le opere ntologiche. Nel contrtto di cessione è esclus, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed rchivi, l fcoltà di cui ll rt. 7 - per legge diritto d utore. Mggiori informzioni sul nostro sito: Ristmpe N ISBN Nonostnte l pssione e l competenz delle persone coinvolte nell relizzzione di quest oper, è possibile che in ess sino riscontrbili errori o imprecisioni. Ce ne scusimo fin d or con i lettori e ringrzimo coloro che, contribuendo l migliormento dell oper stess, vorrnno segnlrceli l seguente indirizzo: Loescher Editore s.r.l. Vi Vittorio Amedeo II, 8 0 Torino Fx clienti@loescher.it Loescher Editore S.r.l. oper con sistem qulità certificto CERMET n. 679-A secondo l norm UNI EN ISO Il professor Luigi Fcciotto è utore dell Unità 5, Metodi numerici per l risoluzione di sistemi lineri e di equzioni differenzili Relizzzione editorile: Cpoverso s.r.l. - Torino - redzione: Polo Binco, Irene Cerutti - indice nlitico: Irene Cerutti - progetto grfico e impginzione: Filippo Cbiddu, Ginluigi Bertin - ricerc iconogrfic: Polo Binco, Stefni Bessone - disegni: Stefni Frncescutto Redttore responsbile: Pol Crdno Ricerc iconogrfic: Emnuel Mzzucchetti Copertin: Visul Grfik - Torino Stmp: L Grfic - Boves (CN)

7 Indice APPROSSIMAZIONE E ANALISI NUMERICA U Approssimzioni ed errori TEORIA ESERCIZI Introduzione Approssimzione di un numero rzionle 8 Approssimzione di un numero rele 5 9 Q Questionrio 0 V Verific finle U Risoluzione pprossimt di equzioni TEORIA Zeri di un funzione ESERCIZI Metodo dell seprzione delle rdici 3 3 Determinzione dell rdice pprossimt tenendo conto dell precisione ssegnt Metodo di bisezione Metodo delle tngenti o di Newton Metodo delle secnti o di Lgrnge 3 36 Procedimento congiunto del metodo delle tngenti e del metodo delle secnti Metodo del punto unito 8 38 Q Questionrio 40 V Verific finle 4 U 3 Approssimzione di un funzione TEORIA ESERCIZI Interpolzione polinomile Funzioni di cui non si conosce l espressione nlitic 43 Funzioni di cui si conosce l espressione nlitic 44 Interpolzione linere Interpolzione polinomile di Lgrnge Interpolzione polinomile di Newton Second formul di Newton Stim dell errore 55 Q Questionrio 67 V Verific finle 69 V

8 Indice U 4 L nlisi numeric: derivzione e integrzione numeric TEORIA ESERCIZI L derivzione numeric L integrzione numeric Metodo dei rettngoli Metodo dei trpezi o di Bézout Metodo del dimezzmento del psso trpezi 79.3 Metodo delle prbole o di Cvlieri-Simpson Metodo del dimezzmento del psso prbole 8 Esercizi di riepilogo 89 Q Questionrio 9 V Verific finle 9 U 5 Metodi numerici per l risoluzione di sistemi lineri e di equzioni differenzili TEORIA ESERCIZI Sistemi lineri Metodi estti 93 0 Metodo dell mtrice invers 93 Regol di Crmer 94 0 Metodo del pivot 97 Metodo di Guss 99 Metodo di Jordn-Guss o del pivot 0 3. Metodi itertivi 05 4 Metodo delle pprossimzioni successive 05 4 Metodo di Seidel 08 5 Q Questionrio - Sistemi lineri 6 V Verific finle - Sistemi lineri 8 Equzioni differenzili Metodo di Eulero 0 9. Metodo di Eulero-Cuchy Metodo di Heun Metodo di Runge-Kutt 7 30 informtic & LAB Q Questionrio - Equzioni differenzili 3 V Verific finle - Equzioni differenzili 33 L Risoluzione di un sistem linere di ordine 4 con lo schem di Guss 34 L Risoluzione di equzioni differenzili del primo ordine 38 VI

9 Appendici Indice Formulrio Principli simboli utilizzti nel testo 44 Alcune formule già note 45 Modulo 47 Indice nlitico Modulo 49 VII

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11 Approssimzione e nlisi numeric Sommrio del modulo UNITÀ Approssimzioni ed errori Introduzione Approssimzione di un numero rzionle 8 Approssimzione di un numero rele 5 9 Q Questionrio 0 V Verific finle UNITÀ Risoluzione pprossimt di equzioni Zeri di un funzione Metodo dell seprzione delle rdici 3 3 Determinzione dell rdice pprossimt tenendo conto dell precisione ssegnt 6 34 Q Questionrio 40 V Verific finle 4 UNITÀ 3 Approssimzione di un funzione TEORIA TEORIA ESERCIZI ESERCIZI Interpolzione polinomile Interpolzione linere Interpolzione polinomile di Lgrnge Interpolzione polinomile di Newton Second formul di Newton Stim dell errore 55 Q Questionrio 67 V Verific finle 69 TEORIA ESERCIZI UNITÀ 4 L nlisi numeric: derivzione e integrzione numeric TEORIA L derivzione numeric L integrzione numeric Q Questionrio 9 V Verific finle 9 TEORIA UNITÀ 5 Metodi numerici per l risoluzione di sistemi lineri e di equzioni differenzili ESERCIZI ESERCIZI Sistemi lineri 93 0 Q Questionrio - Sistemi lineri 6 V Verific finle - Sistemi lineri 8 Equzioni differenzili 09 9 Q Questionrio - Equzioni differenzili 3 V Verific finle - Equzioni differenzili 33 L Risoluzione di un sistem linere di ordine 4 con lo schem di Guss 34 L Risoluzione di equzioni differenzili del primo ordine 38

12 unità Teori - Approssimzioni ed errori TEORIA Approssimzioni ed errori Introduzione In quest Unità introducimo e pprofondimo lcuni concetti, già noti, dell teori degli errori, che sono prerequisiti necessri per l nlisi numeric. L nlisi numeric è quell prte dell mtemtic che studi metodi per l risoluzione di problemi, quli d esempio l ricerc delle soluzioni di un equzione o l ricerc dell re di un regione pin limitt d un curv. I metodi di nlisi numeric che utilizzeremo per risolvere un problem potrebbero fornire un soluzione estt oppure un soluzione pprossimt del problem stesso. D qui l necessità di riprendere i concetti di pprossimzione di un numero e di errore di pprossimzione. ESERCIZI 8 Approssimzione di un numero rzionle Sppimo che un numero rzionle gener o un numero decimle finito o un numero decimle illimitto, periodico semplice o misto. Se si oper nell risoluzione di un problem o in qulsisi lgoritmo risolutivo è utile fre i clcoli con un numero limitto di cifre decimli. È quindi necessrio pprossimre il numero. Troncre un numero decimle ll prim, second, terz,, n-esim cifr decimle signific scrivere il numero fino ll prim cifr decimle, fino ll second cifr decimle, fino ll terz cifr decimle fino ll n-esim cifr decimle, trscurndo tutte le cifre decimli dll second in poi, dll terz in poi, dll qurt in poi, dll n +-esim in poi. E S E M P I O Sppimo che il numero rzionle 68 gener il numero periodico 3 054: è il numero ottenuto troncndo ll second cifr decimle; è il numero ottenuto troncndo ll terz cifr decimle; è il numero ottenuto troncndo ll qurt cifr decimle. Il numero pprossimto che si ottiene è sempre minore o ugule l numero rzionle ssegnto. Si può pprossimre un numero decimle in ltri due modi: per difetto e per eccesso.

13 Teori - Approssimzioni ed errori unità D e f i n i z i o n e Un numero decimle si dice pprossimto per difetto meno di qundo il numero 0n viene troncto ll n-esim cifr decimle. E S E M P I O Il numero 0 6 è il numero pprossimto per difetto meno di del numero 0 63; 0 il numero 0 63 è il numero pprossimto per difetto meno di del numero 0 63; 0 il numero è il numero pprossimto per difetto meno di del numero D e f i n i z i o n e Un numero decimle si dice pprossimto per eccesso meno di qundo il numero 0n viene troncto ll n-esim cifr decimle e successivmente viene umentt di uno l n-esim cifr decimle del numero troncto. E S E M P I O Riprendimo l esempio precedente. Il numero 0 7 è il numero pprossimto per eccesso meno di del numero 0 63; 0 il numero 0 64 è il numero pprossimto per eccesso meno di del numero 0 63; 0 il numero è il numero pprossimto per eccesso meno di del numero In generle, detto il numero decimle illimitto periodico e x l su pprossimzione: se x <, x è un pprossimzione per difetto di. se x >, x è un pprossimzione per eccesso di. ESERCIZI 8 E S E M P I O Errore ssoluto ed errore reltivo Qundo pprossimimo un numero commettimo sempre un errore. Vlgono le seguenti definizioni, trtte dll teori degli errori. D e f i n i z i o n i Dti un numero rzionle e un suo vlore pprossimto x, chimimo errore ssoluto e il vlore ssoluto dell differenz tr e x. In simboli: e = x. Dti un numero rzionle e un suo vlore pprossimto x, chimimo errore reltivo e r il rpporto tr l errore ssoluto e il vlore ssoluto di. x In simboli: e r =. Considerimo il numero =5 58 e l su pprossimzione x =5 6: l errore ssoluto è e = =0 04; l errore reltivo è e r = 0 00, che corrisponde un errore dello 0 %

14 unità Teori - Approssimzioni ed errori Considerimo or invece il numero = 5 58 e l su pprossimzione x =5: l errore ssoluto è e = =0 58; l errore reltivo è e r = =0 03, che corrisponde un errore del 3% Utilizzndo l errore reltivo ci ccorgimo come nell prim pprossimzione l errore che compimo è decismente minore di quello che compimo nell second. Nell pprossimzione di un numero, per indicre qunto ci discostimo dl numero stesso, il dto fornito dll errore reltivo è più significtivo di quello fornito dll errore ssoluto, perché esso indic l percentule dell errore. E S E M P I Esempio Considerimo il numero 0 4. L su pprossimzione per difetto meno di 0 è 0 4; l su pprossimzione per eccesso meno di 0 è 0 5. L errore ssoluto che commettimo se pprossimimo 0 4 per difetto è =0 04. L errore ssoluto che commettimo se pprossimimo 0 4 per eccesso è =0 05. L errore reltivo che commettimo se pprossimimo 0 4 per difetto è = =0, che corrisponde l 0%. L errore reltivo che commettimo se pprossimimo 0 4 per eccesso è = =0 5, che corrisponde l 5%. In questo cso osservimo che l pprossimzione per difetto produce un errore in percentule minore dell pprossimzione per eccesso. Esempio Considerimo il numero 0 6. L su pprossimzione per difetto meno di 0 è 0 6; l su pprossimzione per eccesso meno di 0 è 0 7. L errore ssoluto che commettimo se pprossimimo 0 6 per difetto è =0 06. L errore ssoluto che commettimo se pprossimimo 0 6 per eccesso è =0 03. L errore reltivo che commettimo se pprossimimo 0 6 per difetto è = =0, che corrisponde l 0%. L errore reltivo che commettimo se pprossimimo 0 6 per eccesso è = =0 05, che corrisponde l 5%. In questo cso osservimo che l pprossimzione per eccesso produce un errore in percentule minore dell pprossimzione per difetto. 4

15 Teori - Approssimzioni ed errori unità Possimo d questi esempi concludere che un numero rzionle ssegnto è meglio pprossimto per difetto se l su k-esim cifr è un numero minore o ugule quttro e per eccesso se l su k-esim cifr è un numero mggiore di quttro. ESERCIZI 9 E S E M P I O E S E M P I Approssimzione di un numero rele Sppimo che ogni numero rele che non si rzionle è un numero decimle illimitto non periodico. Tutte le volte che cerchimo di scrivere un numero irrzionle in form decimle commettimo un errore, perché non simo in grdo di scrivere le infinite cifre decimli che lo compongono. Operndo con l estrzione di rdice qudrt simo in grdo di scrivere con un, due, tre,, k cifre decimli; se ttrverso l operzione di estrzione di rdice qudrt ci fermimo ll terz cifr dopo l virgol, trovimo 44. Poiché è un numero illimitto, 44 <. Con procedimento nlogo quello studito per l pprossimzione di un numero rzionle, è possibile pprossimre per difetto o per eccesso un numero R. Se si conosce l k +-esim cifr decimle del numero rele R, si può pprossimre meno di ; l pprossimzione può essere poi scelt per difetto o per eccesso. 0k Esempio Se usimo l operzione di estrzione di rdice qudrt, per 56 meno di si trov : rppresent l pprossimzione per difetto di 56 meno di 0 3 ; 7 49 rppresent l pprossimzione per eccesso di 56 meno di 0 ; rppresent l pprossimzione per eccesso di 56 meno di 0 7. Esempio L clcoltrice scientific nove cifre decimli fornisce per il vlore Pensndo che l ultim cifr decimle può essere stt pprossimt per difetto o per eccesso, possimo dire che conoscimo otto cifre decimli di ; in ltre prole, è l pprossimzione per difetto di meno di 0 8. Esempio 3 Se usimo l clcoltrice trovimo che 080 rppresent l pprossimzione per difetto di 3 9 meno di, e che 080 rppresent l pprossimzione per eccesso meno di Esempio 4 Per il vlore di e l clcoltrice fornisce il numero Trscurndo l ultim cifr decimle, possimo dire che di e conoscimo 8 cifre decimli e 7888 rppresent un pprossimzione per difetto di e meno di

16 unità Teori - Approssimzioni ed errori Esempio 5 Per π l clcoltrice fornisce il numero rppresent dunque un pprossimzione per difetto di π meno di 0 8. ESERCIZI 9 Errore ssoluto ed errore reltivo Dopo ver pprossimto un numero rele non rzionle possimo di nuovo chiederci qunto ci discostimo dl numero scegliendo di utilizzre un su pprossimzione x. Allo stesso modo dei numeri rzionli, definimo nche per i numeri reli l errore ssoluto e l errore reltivo. D e f i n i z i o n i Dti un numero rele e un suo vlore pprossimto x, chimimo errore ssoluto e il vlore ssoluto dell differenz tr e x. In simboli: e = x. Dti un numero rele e un suo vlore pprossimto x, chimimo errore reltivo e r il rpporto tr l errore ssoluto e il vlore ssoluto di. x In simboli: e r =. A differenz dei numeri rzionli, non è possibile nei numeri reli clcolre esttmente e ed e r poiché non conoscimo. È però sempre possibile fre un vlutzione dell errore che commettimo se sostituimo d un su pprossimzione. Sino il numero rele e k e k le pprossimzioni di per difetto e per eccesso meno di 0 k. Chimimo l intervllo ( k ; k ) intervllo di indeterminzione e k k mpiezz dell intervllo di indeterminzione. L differenz tr il numero irrzionle e l su pprossimzione per difetto o per eccesso meno di è in modulo sempre minore dell mpiezz dell intervllo di indeterminzione e risult sempre più piccol con l umentre del numero delle cifre decimli. 0k Voglimo or illustrre qunto detto verificndo che, se pprossimimo un numero rele meno di, commettimo un errore minore di 0k 0 k, essendo 0 k l mpiezz dell intervllo di indeterminzione ottenuto pprossimndo per eccesso e per difetto ll k-esim cifr decimle. E S E M P I O Considerimo il numero irrzionle 3. D < 3 < 4 possimo dedurre che < 3 <. L intervllo (; ) è l intervllo di indeterminzione e è l su mpiezz (FIG. ). FIG. 3 Se sostituimo 3 il vlore oppure il vlore commettimo un errore minore dell mpiezz dell intervllo, cioè un errore <, dunque pprossim per difetto 3, meno di. 6

17 Teori - Approssimzioni ed errori unità Se sostituimo 3 il vlore commettimo un errore 3 <. pprossim per eccesso 3, meno di. Se sostituimo 3 il vlore commettimo un errore 3 <. Se con l estrzione di rdice qudrt clcolimo 3 meno di 0 ottenimo 7 per difetto e 8 per eccesso; possimo scrivere 7 < 3 < 8, dove 8 7 =0 = 0 (FIG. ). 3 FIG.,7,8 Se sostituimo 3 il vlore 7 commettimo un errore 3 7 < 0. Se sostituimo 3 il vlore 8 commettimo un errore 3 8 < 0. Procedendo llo stesso modo con l estrzione di rdice qudrt meno di 0 troveremo 73 per difetto e 74 per eccesso; 73 < 3 < 74 (FIG. 3). 3 FIG. 3 Poiché 3 73 < 0 e 3 74 < 0, sostituendo 3 il vlore 73 oppure 74 commetteremmo un errore minore di 0. Il rgionmento può essere esteso per un numero di volte picere. Per un qulsisi numero rele, l su pprossimzione x, per difetto o per eccesso, meno di è x < 0n 0 n. Invece di ssumere come vlore di un delle sue pprossimzioni per difetto o per eccesso n e n meno di,73,74 si può nche ssumere come vlore pprossimto di il v- 0n lore medio b = n + n del suo intervllo di indeterminzione. In questo cso si commette un errore minore o ugule ll semimpiezz di tle intervllo: e < n n (FIG. 4). n n + n n FIG. 4 n n n n Inftti se, d esempio, come nell FIGURA 4, si trov nell intervllo n + n < n n. ( n ; n + ) n, si h: 7

18 UNITÀ Esercizi - Approssimzioni ed errori ESERCIZI Approssimzioni ed errori R ICORDA 3, 6 Un numero decimle si dice pprossimto per difetto meno di qundo il 0n numero viene troncto ll n-esim cifr decimle. Un numero decimle si dice pprossimto per eccesso meno di qundo il 0n numero viene troncto ll n-esim cifr decimle e successivmente viene umentt di uno l n-esim cifr decimle del numero troncto. Dti un numero rzionle e un suo vlore pprossimto x, chimimo errore ssoluto e il vlore ssoluto dell differenz tr e x. In simboli: e = x. Dti un numero rzionle e un suo vlore pprossimto x, chimimo errore reltivo e r il rpporto tr l errore ssoluto e il vlore ssoluto di. x In simboli: e r =. Allo stesso modo dei numeri rzionli, definimo nche per i numeri reli l errore ssoluto e l errore reltivo. A differenz però dei numeri rzionli, non è possibile nei numeri reli clcolre esttmente e ed e r poiché non conoscimo. È però sempre possibile fre un vlutzione dell errore che commettimo se sostituimo d un su pprossimzione. Sino il numero rele e k e k le pprossimzioni di per difetto e per eccesso meno di 0 k. Chimimo l intervllo ( k ; k ) intervllo di indeterminzione e k k mpiezz dell intervllo di indeterminzione. Approssimzione di un numero rzionle Approssim per difetto e per eccesso 0,356 meno di 0,0; indic poi, nei due csi, l errore ssoluto e l errore reltivo commesso. [x =0,35; e =0,0065; e r =0,084; x =0,36; e =0,0034; e r =0,0096] Approssim per difetto e per eccesso 0,356 meno di 0,00; indic poi, nei due csi, l errore ssoluto e l errore reltivo commesso. [x =0,356; e =0,00056; e r =0,0058; x =0,357; e =0,00043; e r =0,00] 3 Approssim per difetto e per eccesso 3, 0 4 meno di 0 4 ; indic poi, nei due csi, l errore ssoluto e l errore reltivo commesso. [x =3 0 4 ; e = 0 5 ; e r =6,5%; x =4 0 4 ; e =8 0 5 ; e r = 5%] 8

19 Esercizi - Approssimzioni ed errori UNITÀ 4 Approssim per difetto e per eccesso 4,005 meno di 0 5 ; indic poi, nei due csi, l errore ssoluto e l errore reltivo commesso. [x =4,00555; e =5,5 0 6 ; e r =3,9 0 7 ; x =4,00556; e =4,4 0 6 ; e r =3, 0 7 ] 5 Assegnto il numero rzionle e l su pprossimzione x, clcol l errore che si commette se si sostituisce d l su pprossimzione x. e 3 3 [errore ssoluto: 0,03; 0,003; 0,006; 0,005; 0,05; 0,004; 0,0049; 0,00; 0,094] 6 Assegnto il numero rzionle, dett x un su pprossimzione per eccesso, trov e r. 45, x 45,58 e r 3 3,089, , x 4,3 4,33 4,34 0,55 0,5 0,56,5,506, ,0 [errore reltivo: 4,3 0 4 ; 4,7 0 4 ; 0,00; 0,; 8, ] 7 Assegnto il numero rzionle, detto e r l errore reltivo corrispondente un su pprossimzione per difetto x, trov e. 45,56 e r e 0,0043 [errore ssoluto: 0,95908; 0,0007; 0,007; 0,00594; 99,90889] 8 Assegnt un pprossimzione per difetto x del numero, detto e r l errore reltivo corrispondente, trov il numero rzionle. x 3,55 e r 0,0,089 0, , ,005 3, ,054 00, 0,00 0, ,78 8,94,49 0,003 0,00 0,035 [vlore di : 3,945344; 33,7576; 0,6033; 8,994634;,94305] 9 Di un numero rzionle si conoscono l errore ssoluto e e l errore reltivo e r di un su pprossimzione x. Trov il numero. e 5,3 0, e r,445 %, , % 0,03 % 0 4 [vlore di : 7,5; 7,5; 7,5; 0 ;,00; 0,3] Approssimzione di un numero rele 0 Determin l pprossimzione 5 e 5 per difetto e per eccesso meno di 0 5 del numero. Clcol poi l mpiezz dell intervllo di indeterminzione. Se si ssume come pprossimzione x di il punto medio x = del precedente intervllo, qunto vle l errore che commettimo se si sostituisce x d? π + 3 e 3 e 5 e [mpiezz dell intervllo: 0 5 ; errore ssoluto: 3,3 0 6 ; ; 4,6 0 6 ;,5 0 6 ;, 0 6 ; 3, 0 6 ] 9

20 UNITÀ Esercizi - Approssimzioni ed errori Questionrio Assegnto il numero rzionle 67, quli tr le seguenti è l pprossimzione che 45 differisce dl numero per meno di 0 3?.,49 b.,4 c.,5 d.,488 Associ ogni pprossimzione x del numero =,4, per difetto e per eccesso, meno di 0, 0,, i corrispondenti errori reltivi, espressi in percentule. 03 A.,4. 0,03% B.,44 b. 0,038% C.,444 c. 0,38% D.,5 d. 0,3% E.,45 e. 3% F.,445 f. 3,8% 3 Assegnto il numero rele π, quli tr le seguenti è l pprossimzione che differisce dl numero per meno di 0 4?. 9,8697 b. 9,8606 c. 9,8695 d. 9,86 4 Associ ogni tipo di pprossimzione indict nell prim colonn l corrispondente pprossimzione x del numero =3 indict nell second colonn. A. per difetto meno di 0. 3,43 B. per difetto meno di 0 3 b. 3,3 C. per eccesso meno di 0 c. 3,5 D. per difetto meno di 0 d. 3,4 E. per eccesso meno di 0 e. 3,4 F. per eccesso meno di 0 3 f. 3, 0

21 Esercizi - Approssimzioni ed errori UNITÀ Verific finle Complet l seguente tbell. x 3,5 3,3,053,05 e e r 34, ,003 0, ,00 0,0089 0, ,00030 Complet l seguente tbell. k k ln 3,09860,0986 ln 5,5900, ,9400,9407 e 5 9, ,35646 π 08, ,5656 5,64370,64375 pprossimzione x = k + k mpiezz k k errore ssoluto* * L errore ssoluto richiesto è quello che esprime qunto ci si discost dl vlore se si consider l pprossimzione x = k + k.

22 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni TEORIA Risoluzione pprossimt di equzioni ESERCIZI 3 Zeri di un funzione Nel corso dei nostri studi bbimo imprto risolvere in R equzioni di primo e di secondo grdo in un incognit. Questo signific che simo in grdo di determinre i vlori di R che le soddisfno: tli vlori sono le soluzioni estte delle equzioni. Tlvolt ci trovimo però di fronte un equzione per l qule non simo in grdo di trovre i vlori estti che l soddisfno nche se, ttrverso il metodo di risoluzione grfic che bbimo già incontrto, possimo intuire che tli vlori esistono. Sono equzioni di questo tipo le equzioni lgebriche di grdo superiore l secondo, oppure le equzioni trscendenti (logritmiche, esponenzili, goniometriche). Ad esempio non simo in grdo di determinre le soluzioni estte delle equzioni x 5 +3x +=0 e e x + x 4=0. Voglimo in quest Unità presentre lcuni metodi per l risoluzione pprossimt di un equzione in un incognit che si presenti nell form f(x) =0. Trovre le soluzioni dell equzione f(x) = 0 equivle, in un sistem di riferimento crtesino ortogonle, determinre gli zeri dell funzione di equzione y = f(x), che sono le scisse dei punti di intersezione del grfico di f(x) con l sse delle scisse. I metodi che presentimo possono essere pplicti se si riesce determinre un intervllo [; b] in cui esiste un e un sol rdice dell equzione f(x) =0; in ltre prole, se si riesce determinre un intervllo [; b] in cui esiste uno e un solo zero dell funzione di equzione y = f(x). L ricerc delle rdici pprossimte di un equzione viene eseguit in due successive fsi: determinzione del numero delle rdici di un equzione e degli intervlli che contengono un sol rdice; determinzione dell rdice pprossimt tenendo conto dell precisione ssegnt. Metodo dell seprzione delle rdici Per determinre il numero delle rdici di un equzione e gli intervlli che contengono un sol rdice si us il metodo dell seprzione delle rdici. Vle il seguente teorem. T e o r e m. TEOREMA DEGLI ZERI Si f (x) un funzione continu in un intervllo chiuso [; b] tle che f () f (b) < 0; llor esiste lmeno un rdice dell equzione f (x) =0nell intervllo (; b).

23 Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni unità Ipotesi f continu nell intervllo chiuso e limitto [; b]; f() f(b) < 0 Tesi c (; b) f(c) =0 Interpretzione grfic Intersechimo il grfico dell funzione continu nell intervllo [; b] con l rett y = k (FIG. ). Supponimo che si f() > 0 e f(b) < 0, come nell figur. Allor, per il teorem dei vlori intermedi, l rett y =0 intersec il grfico dell funzione in lmeno un punto, l cui sciss c pprtiene ll intervllo (; b). FIG. M f () f (b) y O c y = f (x) b x m E S E M P I O L funzione f (x) =x 3 +3x + è continu in e i limiti gli estremi del suo dominio sono ±. Riuscimo llor trovre un intervllo chiuso [; b] in cui f () f (b) < 0. In tle intervllo, per il teorem degli zeri, ci srà lmeno un rdice dell equzione x 3 +3x +=0. Il teorem degli zeri grntisce l esistenz di un rdice dell equzione f(x) =0, m non l unicità dell rdice. L unicità dell rdice di un equzione ci è grntit dl seguente teorem. T e o r e m. PRIMO TEOREMA DELL UNICITÀ DELLO ZERO Si f (x) un funzione definit e continu in un intervllo chiuso [; b] e derivbile nell intervllo perto (; b), con f (x) 0in (; b). Se f () f (b) < 0, llor esiste un solo punto c (; b) tle che f (c) =0. Ipotesi Tesi f(x) è continu in [; b]! c (; b) f(c) =0 f (x) 0, x (; b) f() f(b) < 0 Dimostrzione Poiché f() f(b) < 0, per il teorem dell esistenz degli zeri sppimo che esiste lmeno un punto interno c (; b) tle che f(c) =0. Dimostrimo che c è unico. Rgionimo per ssurdo. Supponimo che esist un ltro punto d (; b), distinto d c, tle per cui si bbi f(d) =0. 3

24 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni Nell intervllo [; b] l funzione f(x) soddisf le ipotesi del teorem di Rolle; esisterà llor un punto g (c; d) per il qule f (g) =0. Ciò è in contrsto con l ipotesi che f (x) 0, x (; b). Dunque c è unico. c.v.d. Per determinre il numero di rdici di un equzione e gli intervlli in cui tli rdici esistono, utilizzndo il metodo dell seprzione delle rdici, è necessrio che l funzione f(x) mmett derivt prim continu e che si possno clcolre fcilmente le soluzioni dell equzione f (x) =0. Dette x e x due rdici consecutive di f (x) =0, l funzione f(x) nell intervllo (x ; x ) è o strettmente crescente o strettmente decrescente, essendo in tle intervllo o f (x) > 0 o f (x) < 0. Se f(x ) f(x ) < 0, llor il grfico dell funzione f(x) intersecherà l sse delle scisse in un solo punto dell intervllo (x ; x ). f (x ) y f (x ) y y = f (x) y = f (x) O x c x x O x c x x f (x ) f (x ) FIG. FIG. 3 E S E M P I Esempio Determinimo il numero delle rdici dell equzione x 3 +5x 4x =0 e gli intervlli in cui tli rdici esistono. Il dominio dell funzione f (x) =x 3 +5x 4x è ( ;+ ). Clcolimo i limiti gli estremi del dominio: lim x (x 3 +5x 4x ) = ; Clcolimo l derivt prim: f (x) =6x +0x 4. Ponimo f (x) =0: f (x) mmette due rdici reli, x = e x = 3. Rppresentimo il segno di f (x). lim x + (x 3 +5x 4x ) = +. x 3 f (x) FIG. 4 f (x) 4

25 Clcolimo f ( ) = > 0 e f Poiché f ( ) f ( ) 3 solo punto pprtenente ll intervllo Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni ( ) = < 0. < 0, il grfico dell funzione f (x) intersec l sse delle scisse in un ( ; ). 3 Poiché lim (x 3 +5x 4x ) = e f ( ) > 0, il grfico dell funzione f (x) intersec l sse delle scisse in un solo punto pprtenente ll intervllo ( ; ). x ( ) Poiché lim x 3 +5x 4x =+ e f < 0, il grfico dell funzione f (x) intersec l sse delle scisse in un solo punto pprtenente ll intervllo x + 3 ( ) 3 ;+. Concludimo che l equzione x 3 +5x 4x =0mmette tre rdici reli: unità x = con < < 3 ; x = b con b < ; M y x = c con c > 3. 3 O b c x m FIG. 5 Esempio Determinimo il numero delle rdici dell equzione e x + x 4=0 e gli intervlli in cui tli rdici esistono. Il dominio dell funzione f (x) =e x + x 4 è ( ;+ ). Clcolimo i limiti gli estremi del dominio: lim x (ex + x 4) = ; Clcolimo l derivt prim: f (x) =e x +. lim x + (ex + x 4) = +. Non esistono vlori che nnullno f (x) e f (x) > 0 x. Poiché l funzione è sempre crescente e i limiti gli estremi del dominio hnno segni opposti, l equzione e x + x 4=0mmette un sol rdice rele x = con ( ;+ ). 5

26 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni 3 Determinzione dell rdice pprossimt tenendo conto dell precisione ssegnt Per determinre con più precisione l intervllo entro cui esiste un rdice dell equzione f(x) = 0 si possono pplicre i seguenti metodi: metodo di bisezione; metodo delle tngenti o di Newton; metodo delle secnti o di Lgrnge; metodo del punto unito. 3. ESERCIZI 34 Metodo di bisezione Si f(x) un funzione continu in un intervllo chiuso [; b] e tle che f() f(b) < 0. Stbilito che nell intervllo [; b] esiste un sol rdice dell equzione f(x) =0, ci proponimo di determinre tle rdice con un pprossimzione ssegnt. Il procedimento per l ricerc dell rdice pprossimt dell equzione termin qundo si verific uno dei seguenti csi: si giunge un rdice estt dell equzione; si determin un intervllo di mpiezz minore di un numero η sufficientemente piccolo ssegnto; f(x) <εcon ε opportunmente piccolo ssegnto. Si ssume come soluzione pprossimt dell equzione il vlore medio degli estremi dell ultimo intervllo. Determinimo m = + b,dove m (; b). Si individuno così due intervlli [; m] e [m; b] con m = b m = b. Si clcol f(m). Può essere:. f(m) =0;. f() f(m) < 0; 3. f(m) f(b) < 0. Nel cso lo zero dell funzione è x = m e il procedimento termin perché x = m è l soluzione cerct. Altrimenti può vlere uno solo dei csi o 3. Supponimo che vlg il cso. Questo vuol dire che l rdice è intern d [; m]. Se simo rrivti ll condizione di rresto ssumimo come rdice pprossimt dell equzione il vlore m = + m. Altrimenti determinimo m = + m,dove m (; m). Si individuno così due intervlli [; m ] e [m ; m] con m = m m = m = b. 4 6

27 Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni unità Si clcol f(m ). Può essere:. f(m )=0;. f() f(m ) < 0; 3. f(m ) f(m) < 0. Nel cso lo zero dell funzione è x = m e il procedimento termin perché x = m è l soluzione cerct. Altrimenti può vlere uno solo dei csi o 3. Supponimo che vlg il cso 3. Questo vuol dire che l rdice è intern [m ; m]. Se simo rrivti ll condizione di rresto ssumimo come rdice pprossimt dell equzione il vlore m = m + m. Altrimenti determinimo m = m + m,dove m (m ; m). Si individuno così due intervlli [m ; m ] e [m ; m] con m m = m m = b. 8 Il procedimento può essere ripetuto. Troveremo vi vi intervlli sempre più piccoli che sono rispettivmente b, 4 b, 8 b,..., b. n Arriveremo o un rdice estt o un intervllo che soddisf l nostr condizione di rresto. E S E M P I O Con il metodo di bisezione risolvimo l equzione e x + x 4=0 con un pprossimzione ε <0 0. Attrverso il metodo dell seprzione delle rdici osservimo che l equzione [ ] mmette un sol rdice x =, con < <, in qunto f () = e 3 < 0 e f () = e > 0. L mpiezz dell intervllo di indeterminzione è > 0 0. Poiché non soddisf l condizione di rresto, clcolimo m = + = 3. Individuimo così due intervlli, [ [ ; ] 3 e 3 ;]. Poiché f () < 0 e f ( 3 ) > 0, srà < < 3. L mpiezz dell intervllo di indeterminzione è 3 > 0 0. Poiché non soddisf l condizione di rresto, clcolimo f ( 3 = ) 3 = e + 3 4= 98 > 0. Rissumimo il procedimento nell TABELLA. Nell second rig sono riportti i dti ppen trovti sopr, dove i vlori, b, + b e l mpiezz b sono stti trsformti in numeri decimli. Nell prim e second colonn ponimo gli estremi degli intervlli che vi vi vengono determinti. Nell terz e qurt colonn ponimo i vlori che l funzione ssume negli estremi degli intervlli. [ ] 7

28 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni Nell quint colonn ponimo il vlore medio dell intervllo. Nell sest colonn ponimo il vlore che l funzione ssume se si ttribuisce x tle vlore medio. Nell settim colonn indichimo l mpiezz b. Il procedimento termin qundo b < 0 0. TAB. b f () < 0 f (b) > 0 + b,5 ( ) + b f 98 > 0 b, < 0 98 > 0, > 0 0,5, < > 0, > 0 0,5, < > 0, < 0 0,5,065, < > 0, > 0 0,065,065, < > 0, > 0 0,03,065,0703,078, < < > > 0,0703, < > 0 0,056 0,0078 Poiché < 0 0, il procedimento termin. Il vlore pprossimto dell rdice dell equzione e x + x 4=0è x = 074, cioè x = ESERCIZI 35 Metodo delle tngenti o di Newton Per determinre un rdice pprossimt dell equzione f(x) = 0 con il metodo delle tngenti o di Newton è necessrio che l funzione f(x) mmett derivt prim e second continue in tle intervllo. T e o r e m. 3 SECONDO TEOREMA DELL UNICITÀ DELLO ZERO Si f (x) un funzione due volte derivbile nell intervllo chiuso [; b] e tle che f () f (b) < 0. Se in tle intervllo f (x) è sempre positiv (o sempre negtiv), l equzione f (x) =0 mmette in (; b) un e un sol rdice. Dimostrzione Supponimo che f() < 0, f(b) > 0 e f (x) > 0, x [; b]. Poiché f (x) > 0, l funzione f (x) è continu e sempre crescente in [; b]. Si possono presentre i due csi seguenti.. f (x) è sempre positiv. f(x) è llor sempre crescente. Essendo f() < 0 e f(b) > 0, il grfico dell funzione f(x) intersec l sse delle scisse in un solo punto. Esiste dunque un e un sol rdice di f(x) =0in (; b). f (b) f () y O c b x FIG. 6 8

29 Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni unità. f (x) è prim negtiv e poi positiv. y f(x) è llor prim decrescente e poi crescente. f (b) Essendo f() < 0 e f(b) > 0, il grfico dell funzione f(x) intersec l sse delle scisse in un solo punto. O c b x Esiste dunque un e un sol rdice di f(x) =0in (; b). c.v.d. f () FIG. 7 Osservimo che non esistono ltri csi oltre quelli esposti nel teorem precedente perché: se fosse f (x) sempre negtiv llor f(x) srebbe sempre decrescente, contro l ipotesi che f() < 0 e f(b) > 0; f () y b O c x f (b) FIG. 8 se fosse f (x) prim positiv e poi negtiv llor f(x) srebbe prim crescente e poi decrescente; f (x) dovrebbe decrescere, contro l ipotesi che f (x) > 0. f () y b O c x f (b) FIG. 9 Si f(x) un funzione dott di derivt prim e second continue in un intervllo chiuso [; b] e tle che f() f(b) < 0. Se in tle intervllo f (x) è sempre positiv (o sempre negtiv) l equzione f(x) =0 mmette in (; b) un e un sol rdice. 9

30 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni Stbilito che nell intervllo [; b] esiste un sol rdice dell equzione f(x) =0, ci proponimo di determinre tle rdice con un pprossimzione ssegnt. Il procedimento per l ricerc dell rdice pprossimt dell equzione termin qundo si determin un intervllo di mpiezz minore di un numero ε sufficientemente piccolo ssegnto oppure qundo f(x) <εcon ε opportunmente piccolo ssegnto. Si ssume come soluzione pprossimt dell equzione il vlore estremo dell ultimo intervllo trovto. Supponimo che si f() < 0, f(b) > 0 e f (x) > 0, f (x) > 0 x [; b]. Indichimo con x 0 l sciss del punto di intersezione del grfico di f(x) con l sse delle scisse. y f (b) B B O f () x 0 H 3 B H H b x FIG. 0 Conducimo per B l tngente l grfico di f(x). Ess h equzione y = f (b)(x b)+f(b). L tngente intersec l sse delle scisse in H (x ;0) con x = b f(b) f (b). Poiché f (b) > 0 e f(b) > 0 si h x <b. Poiché f (x) > 0 il grfico st tutto l di sopr dell rett tngente, pertnto x 0 <x. Concludimo che x 0 <x <b. Se simo rrivti ll condizione di rresto ssumimo x come rdice pprossimt dell equzione f(x) =0, ltrimenti conducimo d H l perpendicolre ll sse delle scisse che intersec l curv in B. Conducimo per B l tngente l grfico di f(x). Ess h equzione y = f (x )(x x )+f(x ). 0

31 Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni unità L tngente intersec l sse delle scisse in H (x ;0) con x = x f(x ) f (x ), dove x 0 <x <x. Se simo rrivti ll condizione di rresto ssumimo x come rdice pprossimt dell equzione f(x) =0, ltrimenti conducimo d H l perpendicolre ll sse delle scisse che intersec l curv in B e ripetimo il rgionmento. Troveremo vi vi intervlli (; x i ) contenenti x 0 sempre più piccoli. L successione b; x ; x ;...; x n è strettmente decrescente, limitt inferiormente e tle che lim n + x n = x 0. Abbimo esminto il cso in cui f() < 0, f(b) > 0 e f (x) > 0, f (x) > 0 x [; b]; per usre il metodo delle tngenti bbimo inizito conducendo d B l tngente ll curv. Il procedimento può essere pplicto nche in tutti gli ltri csi possibili. Supponimo d esempio che si f() < 0, f(b) > 0 e f (x) < 0, f (x) > 0 x [; b]. f (b) y O b x f () A FIG. Per usre il metodo delle tngenti inizimo conducendo d A l tngente ll curv. In generle, il metodo delle tngenti v pplicto prtire dl punto l cui ordint h lo stesso segno dell derivt second, f() f () > 0. Se l derivt second è positiv, v scelto il punto di ordint positiv, se l derivt second è negtiv, v scelto il punto di ordint negtiv. E S E M P I O Con il metodo delle tngenti risolvimo l equzione e x + x 4=0 meno di 0 0. Abbimo già trovto (P. 7) che l equzione [ ] mmette un sol rdice x = con < < in qunto f () = e 3 < 0 e f () = e > 0. [ ]

32 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni Clcolimo le derivte prim e second: f (x) =e x +; f (x) =e x. f (x) > 0 e f (x) > 0 x [; b], dunque l curv è convess e sempre crescente. Poiché f (x) > 0, pplichimo il metodo delle tngenti prtire dl punto B(; e ) di ordint positiv. Conducimo d B(; e ) l tngente ll curv. L equzione dell tngente è y =(e + )(x ) + e. Ess intersec l sse delle scisse nel punto H di sciss x = e e Poiché b x 358 = 0 64 > 0 0, il procedimento deve continure. Rissumimo il procedimento nell TABELLA. Nell second rig sono riportti i dti ppen trovti sopr. Nell prim colonn ponimo l sciss del punto dell curv d cui si conduce l tngente. Nell second e terz colonn ponimo i vlori che l funzione e l derivt prim ssumono in tle punto. Nell qurt colonn ponimo l sciss del punto di intersezione dell tngente con l sse delle scisse. Nell quint colonn ponimo l mpiezz dell intervllo x i x i+. Il procedimento termin qundo x i x i+ < 0 0. TAB. x i f (x i ) e f (x i ) e + x i+ = x i f (x i) f (x i ) e = e x i x i+ 358 = 0 64 > 0 0,358,46 4,888, = 0 55,03 0,6 4,03, = 0 08,075 0,005 3,930, = 0 00 Poiché = 0 00 < 0 0, il procedimento termin. Il vlore pprossimto dell rdice dell equzione e x + x 4=0è x = 074.

33 Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni unità 3. 3 ESERCIZI 36 Metodo delle secnti o di Lgrnge Per determinre un rdice pprossimt dell equzione f(x) = 0con il metodo delle secnti o di Lgrnge è necessrio che l funzione f(x) mmett derivt prim e second continue in tle intervllo. Supponimo che f(x) nell intervllo chiuso [; b] si tle che f() f(b) < 0 e che l derivt second in (; b) ssum sempre lo stesso segno. Sotto tli condizioni, per il secondo teorem dell unicità dello zero (TEOREMA.3), l funzione f(x) mmette in [; b] un e un sol soluzione. Ricordimo che i quttro csi possibili che soddisfno il secondo teorem dell unicità dello zero sono schemtizzti di seguenti grfici.. f (b) y b. f () < 0; f (b) > 0 f (x) > 0 f () < 0; f (b) > 0 f (x) < 0 B f (b) y B O b x O b x f () A f () A FIG. FIG. 3 c. f () y A d. f () > 0; f (b) < 0 f (x) > 0 f () > 0; f (b) < 0 f (x) < 0 y A f () b b O x O x f (b) B f (b) FIG. 4 FIG. 5 B Per spiegre il metodo delle secnti considerimo il cso. Per illustrre il metodo delle secnti supponimo che si f() < 0, f(b) > 0 e f (x) > 0, x [; b]. Sino A(; f()) e B(b; f(b)) i due punti del grfico dell funzione gli estremi dell intervllo [; b] (FIG. 6). Il segmento AB intersec l sse delle scisse nel punto H di sciss x, con <x <b. L equzione dell rett per A e B è y f() f(b) f() = x b. [] y O H A(; f ()) A (x ; f (x )) B(x 0 ; f (x 0 )) b = x x 0 FIG. 6 3

34 unità Teori - Risoluzione pprossimt di equzioni L sciss di x si trov ricvndo x nell equzione risolvente il sistem tr l [] e l equzione dell sse delle scisse: sostituendo 0 y nell [] trovimo f() f(b) f() = x b, d cui x = b f(b) f() f()+ e x = b f(b) f() f()+. Poiché f(x ) 0, conducimo per H l rett di equzione x = x che intersec l rco AB in A e poiché f (x) > 0 possimo dedurre che f(x ) < 0. Il segmento A B intersec l sse delle scisse nel punto H x <x <b. L sciss di x è llor di sciss x, con x = b x f(b) f(x ) f(x )+x. Si costruisce in questo modo un successione così definit: x 0 = x i+ = b x i f(b) f(x i ) f(x [] i)+x i dove x 0 è l sciss del punto A; per le osservzioni ftte in precedenz srà <x <x <...<b. Se con x indichimo l soluzione dell equzione f(x) =0, ogni vlore x n dell successione può essere considerto soluzione pprossimt dell equzione stess. x n differisce d x per un errore ssoluto x x n. Con l umentre di n l errore diventerà sempre più piccolo; si potrà sempre vlutre qule srà il termine dell successione che ci drà un vlore che differisce dll soluzione estt per meno di un vlore ε prefissto. Ripercorrendo il procedimento si può dimostrre che l [] x 0 = x i+ = b x i f(b) f(x i ) f(x i)+x i vle nche nel cso d, in cui f (x) < 0 e f() > 0, f(b) < 0. Si può osservre che in questi due csi si otterrnno vlori pprossimti per difetto. Per il cso b, f() < 0, f(b) > 0, f (x) < 0, e, per il cso c, f() > 0, f(b) < 0, f (x) > 0; con dimostrzione nlog quell svolt per il cso si costruisce l successione x 0 = b x i+ = x i f() f(x i ) f(x [3] i)+x i In questi due csi si otterrnno vlori pprossimti per eccesso. Si può ricordre, per fissre le idee, che l successione d costruire con il metodo delle secnti h come primo numero, tr gli estremi dell intervllo [; b], l estremo che h segno opposto l segno dell derivt second. 4