Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

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1 Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Corso di rasmissione Numerica docente: Prof. Vito Pascazio 18 a Lezione: 13/1/4 19 a Lezione: 14/1/4

2 Sommario rasmissione di segnali PM numerici su canali WGN a banda limitata Interferenza inter-simbolo (ISI) Spettro di potenza di un PM numerico Probabilità di errore con ISI

3 rasmissione di segnali PM numerici su canali WGN a banda limitata Iniziamo con il vedere il caso della trasmissione di segnali in banda base. Un canale a banda limitata (ad esempio cavo telefonico) è caratterizzabile come un filtro lineare con risposta impulsiva c(t) e risposta in frequenza: C + ( f ) c( t) j e πft dt Se il canale è limitato in banda da B c, allora: C ( f ) per f Bc e ogni componente spettrale del segnale in ingresso al canale a frequenza più alta di B c [Hz] non passerà attraverso il canale. Per questa ragione cercheremo di progettare segnali che abbiano banda limitata da WB c [Hz]. 3

4 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata C( f ) B c Θ( f ) B c W f f 4

5 Supponiamo ora che in ingresso al canale bandalimitato ci sia la forma d onda g (t). La risposta del canale sarà: h rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata + () t c( τ ) g ( t τ ) dτ c() t g () t H ( f ) C( f ) G ( f ) dove H (f) e G (f) sono le F dei segnali h (t) e g (t), rispettivamente. Quindi il canale altera (distorce) in generale il segnale trasmesso g (t). Supponiamo inoltre che il segnale in uscita al canale sia corrotto da WGN, in modo tale che il segnale in ingresso al demodulatore sia: ( t) n( t) h + con n(t) WGN. nche in questo caso, l uso di un filtro adattato al segnale h(t) massimizza il rapporto segnale rumore (SNR) in uscita. Questo filtro adattato ad h(t) ha risposta in frequenza: G R jπft ( f ) H ( f ) e 5

6 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata dove t è il ritardo temporale in uscita in corrispondenza del quale si campiona l uscita del filtro: y s y jπf ( t t ) () t H ( f ) e s df ( t ) H ( f ) df Eh La componente di rumore all uscita del filtro adattato avrà media nulla, e densità spettrale di potenza: N ( f ) H ( f ) S n quindi, la potenza di rumore all uscita del filtro adattato sarà: σ h n Sn( f ) H ( f ) df N NE 6

7 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata L SNR in uscita dal filtro adattato sarà: S N N E E h h E N h che è quanto ci dovevamo aspettare. Si noti che in questo caso il filtro è adattato al segnale ricevuto e non a quello trasmesso. E quindi necessario conoscere h(t), o equivalentemente c(t), per costruire il filtro adattato. 7

8 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata g Esempio: () 1 π t 1 + cos t C g ( t) 1 t t f W ( f ) W C( f ) 1 W f 8

9 ed inoltre il canale è WGN con ( f ) Lo spettro di g (t) è: G ( f ) rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata S n sinc 1 f N ( f ) jπf e H ( f ) C( f ) G ( f ) G ( f ) f W altrove 9

10 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata L energia del segnale all uscita del filtro adattato ad H (f) sarà: W ( f ) df y ( t ) Eh G W La varianza della componente di rumore sarà: s σ quindi l SNR in uscita sarà: W h n G ( f ) df N W NE S N E N h 1

11 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata Osserviamo che, essendo il segnale non bandalimitato, solo una parte dell energia trasmessa viene ricevuta. Il valore massimo di E h, e quindi dell SNR, si otterrà quando W, e sarà: maxe h ( f ) df g () t G dt 11

12 rasmissione di segnali PM numerici su canali WGN a banda limitata Consideriamo ora il caso di un segnale PM in banda base visto come sequenza di singoli impulsi. Lo schema del sistema di comunicazione PM M ary è: v + n () t a g ( t n ) dove k/r b è l intervallo di tempo su cui è trasmesso un singolo n impulso, 1/R b /k è il rate per simbolo, R b è il bit rate, e {a n } è la sequenza dei livelli di ampiezza che corrisponde ai blocchi di k bit di informazione. 1

13 L uscita del canale sarà: rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata r + n () t a h( t n ) + n () t n w dove n(t) è WGN e: h ( t) c( t) g ( t) Nel caso in cui il filtro di ricezione sia adattato al segnale h(t), allora l SNR in uscita da G R (f) sarà massima in corrispondenza di determinati istanti di tempo. dove: x y + n () t a x( t n ) + ν () t n () t h() t g R ( t) g ( t) c( t) g R ( t) ν () t n() t g () t R 13

14 rasmissione di PM su canali WGN a banda limitata Per recuperare i valori dei simboli {a n } l uscita y(t) viene campionata periodicamente ogni secondi. y + n ( m ) a x( m n ) + ν ( m ) che scritto in maniera più sintetica diventa: n y m n a n x m n + ν m xam + anxm n + n m ν m dove: x m ( m ), ν ν ( m ),, ± 1, ±, L x m m 14

15 y m n a n x Interferenza Inter-simbolo (ISI) m n + ν m xam + anxm n + n m ν m Il primo termine del secondo membro è il simbolo desiderato, a meno di un fattore di scala x, che, nel caso in cui G R (f) sia il filtro adattato, è pari a: x () t dt H ( f ) df G ( f ) C( f ) df Eh h I restanti termini rappresentano l effetto che gli altri simboli hanno in corrispondenza degli istanti di campionamento tm, effetto che viene chiamato interferenza intersimbolo (ISI). L ISI è un effetto non desiderato che degrada le prestazioni di un sistema PM numerico. Infine v m, il rumore additivo, è una v.a. a media nulla, gaussiana, con varianza. σ n N E h 15

16 Interferenza Inter-simbolo (ISI) La sommatoria per n m rappresenta l ISI. L effetto dell ISI può essere visto su un oscilloscopio, e si ha il cosiddetto eye pattern. 16

17 Interferenza Inter-simbolo (ISI) Scegliendo opportunamente il filtro di trasmissione G (f) e di ricezione G R (f) è possibile soddisfare la condizione x n per n eliminando l ISI. In quest ultimo caso a degradare le prestazioni del sistema rimane solo il termine di rumore v m. Esistono condizioni necessarie e sufficienti per rimuoverlo, condizioni date da Nyquist. Quanto fatto per segnali in banda base può essere facilmente generalizzato alla trasmissione di segnali in banda traslata, per i quali si ottiene una espressione del tutto equivalente per l ISI. 17

18 Spettro di potenza di un segnale PM numerico Il segnale PM M ary ha la seguente forma: v + () t a g ( t n ) n n La sequenza {a n } che porta l informazione è aleatoria { n }, e di conseguenza v(t) è una funzione campione (una realizzazione) di un processo aleatorio che chiamiamo V(t). Valutiamo ora la densità spettrale di potenza di tale processo, valutando la sua funzione di autocorrelazione e poi trasformando secondo Fourier. 18

19 Spettro di potenza di un segnale PM numerico Incominciamo con il calcolare la media del processo V(t): [ () t ] E[ ] ( ) n g t n m g ( t n ) E V n n dove m è il valore medio della sequenza aleatoria { n }. ( t ) + g n n m è una costante, è periodica di periodo, e quindi anche la media statistica E[V(t)] è periodica di periodo. Calcoliamo ora la funzione di autocorrelazione del processo V(t): R V [ ] * ( t + τ, t) E V ( t) V ( t + τ ) n m E [ * ] g ( t n ) g ( t + τ m ) n m 19

20 Se assumiamo, come di solito si fa, che { n } sia una sequenza aleatoria WSS, valutiamo la sua sequenza di autocorrelazione: Conseguentemente: R V ( ) [ * n E ] R m n+ m ( t + τ, t) R ( m n) g ( t n ) g ( t + τ m ) n m m' R Spettro di potenza di un segnale PM numerico ( m' ) g ( t n ) g ( t + τ n m' ) n Si può osservare che la seconda somma in n è periodica di periodo, e di conseguenza il processo aleatorio V(t) ha media periodica (come verificato in precedenza) e ha autocorrelazione periodica, sempre di periodo. R ( t + + τ, t + ) R ( t + τ t) V V,

21 Spettro di potenza di un segnale PM numerico V(t) è quindi un processo aleatorio ciclostazionario. Per determinare la densità spettrale di potenza di V(t), che indichiamo con S V (f), prima mediamo R V sul periodo : R V 1 ( τ ) R ( t + τ, t) 1 m ( m) g ( t n ) g ( t + τ n m ) R m R m V n ( m) g () t g ( t + τ m ) R n ( m) g ( t) g ( t + τ m ) 1 1 dt n + n dt dt dt 1

22 Chiamando la funzione di autocorrelazione deterministica del singolo impulso g (t): si ottiene: r g Spettro di potenza di un segnale PM numerico + ( τ ) g ( t) g ( t + τ ) dt S V 1 jπfτ ( f ) R ( τ ) e dτ R ( m) r ( τ m ) 1 V R V 1 + m ( τ ) R ( m) r ( τ m ) Quindi, alla luce della natura convoluzionale della relazione precedente si ottiene: m jπfm 1 R ( m) e j πfτ rg ( τ ) e dτ S m S ( f ) G ( f ) g g e j πfτ dτ ( f ) G ( f )

23 Spettro di potenza di un segnale PM numerico Si può mostrare che esplicitando i vari contributi si ha, nel caso in cui la sequenza di informazione sia costituita da simboli incorrelati: S V + σ m m ( f ) G ( f ) + G δ f m m dove σ è la varianza della sequenza { n }. L espressione di S V (f), contiene due termini. Il primo, σ G (f) /, è lo spettro continuo, e la sua forma dipende da G (f). Il secondo consiste di componenti a frequenza discreta spaziate di 1/ in frequenza ed è legato alla parte periodica del segnale PM. 3

24 Spettro di potenza di un segnale PM numerico Si noti che queste componenti discrete possono essere eliminate nel caso in cui la sequenza { n } abbia valore medio nullo, condizione di solito verificata selezionando livelli n ugualmente probabili, e posizionati simmetricamente rispetto allo zero. In questo caso: Esempio: S V σ ( f ) G ( f ) () t g t di conseguenza: G jπf α ( ) f sinπf α πf e G sinπf πf ( f ) ( α ) ( α ) sinc ( f ) 4

25 Spettro di potenza di un segnale PM numerico α (ατ) Si noti che in questo caso G (f) fm;m, e quindi tutte le righe spettrali tranne una spariscono. 5

26 Spettro di potenza di un segnale PM numerico Sostituendo G (f) nella relazione che ci da la densità spettrale di potenza, si ottiene: S V ( f ) σ α + α m δ ( f ) σ α sinc sinπf πf ( f ) + α m δ ( f ) Si deve comunque notare che la forma della S V (f), dipende anche dalla funzione di autocorrelazione della sequenza di ingresso. 6

27 Probabilità di errore nel PM numerico con ISI Se si riesce ad eliminare l ISI si ha: P M ( M 1) 6( log M ) M Q Ebav ( M 1) N se l ISI rimane: P M Q ( log M ) 1 π 6 < Ebav 1 M 4 ( ) M 1 N che è peggiore di circa db rispetto al caso senza ISI. 7

28 Fine Canali a Banda Limitata 8