studi e analisi finanziarie LA PUT-CALL PARITY

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1 LA PUT-CALL PARITY Questa relazione chiarisce se sia possibile effettuare degli arbitraggi e, quindi, guadagnare senza rischi. La put call parity è una relazione che lega tra loro: il prezzo del call, della put e dell azione. Se i prezzi delle opzioni non rispettassero una determinata formula, che vedremo tra poco, sarebbe possibile ottenere dei profitti senza assumersi alcun rischio. Supponiamo di voler comprare una put sul titolo FIAT con scadenza 90 giorni, e base 100 euro, ma non ci siano offerte sul mercato e vi siano soltanto dei call in vendita. Costruiamo la strategia operativa: 1. Compriamo il call (scadenza 90 giorni e base 100 euro); 2. Investiamo il denaro in BOT (privi di rischio) che ci garantiscano a scadenza 100 euro (lo strike); 3. Vendiamo allo scoperto il titolo Fiat sul mercato. Ipotizziamo che il prezzo del call sia 18, il prezzo del Bot 0,98, la strategia ha quindi un costo pari a: = - 16 (il costo teorico della put, con il segno cambiato) Cosa può succedere, tra 90 giorni, alla scadenza delle opzioni? Se il prezzo del titolo è inferiore a 100, il valore del call è zero, mentre otterremo un profitto pari a 100 (il valore al quale abbiamo venduto allo scoperto) meno il prezzo di mercato P(T), più sarà basso il prezzo P(T), maggiore sarà il nostro guadagno. Utilizzeremo le 100 lire dei BOT per comprare il titolo sul mercato al prezzo P(T) minore di 100. Al contrario, se il prezzo del titolo sarà superiore a 100, dovremo comprare il titolo sul mercato perdendo la differenza tra P(T) e 100, ma tale perdita sarà perfettamente compensata dal valore del call che è pari, alla scadenza, a P(T)-100. In questo caso, il valore complessivo del portafoglio sarà pari a zero Abbiamo replicato perfettamente un opzione put! 1

2 Per replicare una call dovremmo: 1) Comprare una put; 2) Farsi prestare il denaro per ottenere a scadenza il valore dello strike (100); 3) Comprare il titolo sul mercato. Provate a costruire da soli lo scenario sapendo che il prezzo della put è 16. Entriamo nel dettaglio di una strategia operativa che consenta effettivamente di ottenere un profitto certo. Per semplicità ipotizziamo che non ci siano costi di transazione (che purtroppo sono spesso elevati) ed il titolo non paghi dividendi e le opzioni siano di tipo europeo (non possano essere eserciate prima della scadenza). La put call parity può essere così formalizzata: (1) C(S,X,T) P(S,X,T) = S VA(X,T) C è l opzione call, P è l opzione put, S è il prezzo di mercato del titolo, X è lo strike, T è la durata, VA è il valore attuale di X per una durata di T, ad esempio 98 lire diventeranno 100 lire tra tre mesi: 98 è il valore attuale. Il segno positivo indica l acquisto, il negativo la vendita, per la parte BoT il segno positivo indica l investimento, il negativo l indebitamento (prendere a prestito). La put call parity può essere riscritta in vari modi, creando le opzioni sintetiche delineate negli esempi precedenti: (2) C=P+S-VA(X,T) Acquisto Call (3) P=C-S+ VA(X,T) Acquisto Put (4) -C=-P-S+ VA(X,T) Vendita Call (5) -P=-C+S- VA(X,T) Vendita Put (6) S=C-P+ VA(X,T) Acquisto Azione (7) -S=P-C- VA(X,T) Vendita Azione 2

3 Ipotizziamo il caso in cui la call e la put abbiano una scadenza a 90 giorni, il prezzo di mercato del titolo sia 90, il prezzo di esercizio sia 100, il prezzo della put sia 15 ed il valore attuale di 100 lire (tra 90 giorni) sia 98. Il prezzo teorico del call deve essere: (2bis) C = P + S - VA(X,T) = = 7 Supponiamo che invece il prezzo di mercato del call sia 8, possiamo quindi replicare il call costruendo il portafoglio di attività finanziarie: (2 tris) compro la put, compro il titolo e mi indebito Il costo del portafoglio è 7 (vedi equazione 2bis) si può, contemporaneamente, vendere il call incassando 8, il profitto oggi è 1, e poiché a scadenza il valore del portafoglio e della call sarà identico, c è la possibilità di effettuare un arbitraggio! Intuizione: Il prezzo di mercato del call è superiore al valore teorico è poco conveniente comprarlo, ma conviene venderlo, costruendo al tempo stesso un portafoglio, che abbia le stesse caratteristiche. Al contrario, supponiamo che il prezzo del call sia 6, possiamo attuare la strategia opposta: vendiamo la put, vendiamo allo scoperto il titolo, e investiamo, il valore del portafoglio oggi è: (4bis) C = -P -S + VA(X,T) = = 7 Incassiamo 7, compriamo la call a 6, ottenendo un profitto di 1, a scadenza il valore del portafoglio e del call sarà identico e, quindi, abbiamo costruito un arbitraggio. Intuizione: 3

4 Il prezzo di mercato del call è inferiore al valore teorico è conveniente comprarlo, replicandolo costruendo al tempo stesso un portafoglio che abbia le stesse caratteristiche. La tabella seguente riassume la costruzione della call sintetica, quando il prezzo del call è superiore al teorico: P=90 P=80 ipotesi a) P=110 ipotesi b) Oggi Scadenza Scadenza Compro put =20 0 Compro il titolo Prendo a prestito Vendo Call =-10 Totale Tabella 1: Prezzo del call superiore al valore teorico, il prezzo di mercato del titolo è 90, lo strike dell opzione call e dell opzione put è pari a 100. La tabella seguente riassume la costruzione della call sintetica, quando il prezzo del call è inferiore al teorico: P=90 P=80 ipotesi a) P=110 ipotesi b) Oggi Scadenza Scadenza Vendo put =-20 0 Vendo il titolo Investo Compro Call =10 Totale Tabella 2: Prezzo del call inferiore al valore teorico, il prezzo di mercato del titolo è 90, lo strike dell opzione call e dell opzione put è pari a

5 Questa relazione è importante perché permette di replicare anche l andamento dell azione tramite l acquisto e la vendita di opzioni call e put: L acquisto di un azione è uguale a comprare una call, vendere una put ed investire il capitale attualizzato dello strike. P=100 P=80 ipotesi a) P=110 ipotesi b) Oggi Scadenza Scadenza Compro call =10 Vendo put =-20 0 Investo Totale Guadagno Tabella 3: Replichiamo l acquisto di un azione. Il prezzo di mercato del titolo è 100. Lo strike della call e della put è 100. Operativamente se il totale fosse inferiore a 100 sarebbe più conveniente costruire l azione sintetica tramite il portafoglio. Mentre la vendita allo scoperto di un titolo può essere replicata dalla seguente strategia: Vendita di un call, acquisto di una put ed indebitamento o per il valore attualizzato dello strike. 5

6 P=100 P=80 P=110 Oggi Scadenza ipotesi 1 Scadenza ipotesi 2 Vendo call =-10 Compro put =20 0 Mi finanzio Totale Guadagno Tabella 4: Replichiamo a vendita allo scoperto di un azione. Il prezzo di mercato del titolo è 100. Lo strike della call e della put è 100. Intuizione operativa (bisogna rifletterci un po ): Pensare alla put call parity in termini di delta delle opzioni. L azione ha per definizione delta pari a 1 La teoria ci dice che il delta di un call e di un put (con la stessa base e la stessa scadenza) sono legati dalla seguente relazione: Delta call Delta put = 1 Pertanto un azione (Delta=1) può essere replicata comprando un call (Delta call = 0,6) e vendendo un put (-Delta put = -(-0,4) = 0,4) Questo è il caso più semplice, ma è possibile replicare qualsiasi tipo di strumento e, specialmente quando i tassi di interesse sono bassi o l orizzonte temporale è breve, possiamo trascurare il problema del finanziamento e/o investimento: attenzione a non dimenticarlo, in questi casi ha solo un importanza relativa estremamente bassa e, per semplicità di calcolo, può essere dimenticato. Costi di transazione e differenziale denaro lettera 6

7 Nella realtà incidono in modo sostanzioso e rendono questi arbitraggi di difficile, ma non impossibile, realizzazione. 7