POLITECNICO DI BARI. C.d.L. ingegneria CIVILE - AMBIENTALE CORSO DI DISEGNO. Geometria descrittiva

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1 POLITECNICO DI BARI C.d.L. ingegneria CIVILE - AMBIENTALE CORSO DI DISEGNO Geometria descrittiva Le diapositive costituiscono unicamente una base per lo sviluppo della lezione e, come tali, non sostituiscono in alcun modo i testi consigliati.

2 . GEOMETRIA PROIETTIVA Introduzione J.V.PONCELET, tavola XVI dal Traité de Mécanique industrielle. Bruges 844 Le sperimentazioni sulle tecniche di rappresentazione si sono evolute sul concetto positivista che corrispondeva all idea di scienza, come concetto di ordine e che quindi la geometria è una scelta convenzionale che permette di esprimere le leggi della natura nel modo più semplice.

3 .. Fondamenti della geometria proiettiva. Operazioni fondamentali L introduzione della geometria proiettiva favorì la scientifizzazione dei metodi di rappresentazione, mediante il disegno su un piano dei corpi tridimensionali. Con tale assunto nacque la geometria descrittiva di Gaspare Monge che sviluppò i procedimenti e i metodi della rappresentazione sul piano. Quindi i metodi propri della moderna scienza della rappresentazione di corpi solidi e dello spazio si basano essenzialmente sui principi teorici della geometria proiettiva e particolarmente sulle operazioni di proiezione e sezione. La geometria proiettiva si occupa in particolare, dello studio sistematico delle proprietà delle figure piane che hanno carattere proiettivo, ossia quelle proprietà che rimangono inalterate nelle operazioni di proiezione e sezione. Queste operazioni non dipendono solo dai principi della geometria euclidea, ma comportano concetti più generali, che fanno della geometria proiettiva una scienza molto ampia. 3

4 Introduzione La geometria descrittiva di Gaspare Monge sviluppò i procedimenti e i metodi della rappresentazione sul piano. Diremo, inoltre, che lo scopo della geometria descrittiva non è solo quello di rappresentare oggetti tridimensionali su un piano a due dimensioni, ma soprattutto quello di descrivere analiticamente le forme geometriche e le relazioni reciproche degli oggetti disposti nello spazio. In altre parole più che uno strumento di rappresentazione, essa è prevalentemente un mezzo formativo per sviluppare quella capacità di vedere nello spazio e che consente di controllare le immagini mentali. B. Tajlor s, New principles of linear perspective. Londra 79 4

5 Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva. Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva sono quelle di proiezione e sezione. Consideriamo, nello spazio, un punto C, detto centro di proiezione, e un piano α, detto quadro, non appartenente a C, e un punto P, non coincidente con gli elementi citati, si definisce proiezione, l operazione di costruzione della retta CP passante per il centro di proiezione C e per un punto P. La retta così definita dicesi retta proiettante. Di conseguenza, tutte le rette proiettanti sono caratterizzate dal fatto di passare dal centro di proiezione C. Si definisce sezione, l operazione di intersezione del raggio proiettante CP con il piano α da cui si ottiene il punto di intersezione P. In definitiva, proiettando da un centro C sul piano α, il punto P, si ottiene, nel punto di intersezione del raggio proiettante CP con il piano α, il punto P, immagine del punto P sul quadro. P I P c 5

6 Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva. Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva sono quelle di proiezione e sezione. Per punti e rette P I Proiezione di un punto P c B I P I A I B P A Proiezione di tre punti c A E I r I P I Proiezione di una retta passante per due punti r E P c Proiezione di una retta passante per due punti complanari, quindi giacenti sullo stesso piano. B c 6

7 Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva. Analogamente avviene per la proiezione di una retta. Dato un punto C, nello spazio, quale centro di proiezione, un piano π distinto da C e una retta r non passante per C e non appartenente a π, si definisce proiezione l operazione di costruzione del piano Cr passante per il centro di proiezione C e per la retta r. Il piano così definito prende il nome di piano proiettante; ne segue che tutti i piani proiettanti hanno la caratteristica di passare per il centro di proiezione C. r I Si definisce sezione l operazione di intersezione del piano proiettante Cr con il piano π, da cui si ottiene una retta di intersezione r. Le due operazioni sono congiunte, quindi proiettando dal centro C, sul piano π, la retta r, si ottiene, sulla retta di intersezione del piano proiettante Cr con il piano π, la retta r immagine di r sul piano quadro. P I r sezione P E I E c Cr piano proiettante 7

8 Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva. Il piano quadro può assumere varie posizioni rispetto agli altri elementi: In questi esempi il punto C è posto al finito.. Può essere situato fra il centro di proiezione C e il punto P da proiettare, condizione che si verifica nel caso della rappresentazione prospettica.. Può essere disposto dietro il centro di proiezione C, come succede nella ripresa fotografica (C è il centro dell obiettivo, α la superficie sensibile dove si forma l immagine!); 3. Può essere posto oltre il punto da proiettare, questo caso corrisponde a quello della proiezione dell ombra i un oggetto su un piano. P B I N I P I M I A I Q I B c A Q c c P M N P I A I Q I B I M I N I A Q B c c c M N Vista assonometrica Vista laterale 8

9 Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva. La posizione del centro di proiezione C rispetto al quadro, può essere a distanza finita oppure a distanza infinita. B I A I Q I Se tre punti A Q ed B B sono allineati anche le corrispondenti immagini A, Q, B sono allineate; Il punto C, centro della proiezione, in questo caso si trova all infinito. A Q c oo A I Q I B I A Q B 9 c oo

10 LE PROIEZIONI I metodi di rappresentazione sono: la PROIEZIONE CONICA la PROIEZIONE CILINDRICA Proiezione conica In S s immagina posto l occhio dell osservatore; P è un piano ordinariamente verticale. I raggi visuali VA, VB condotti dall occhio ai vari punti A, B.. intersecano il piano nei punti A B, immagini prospettiche di A e B. Il segmento A B è l immagine prospettica del segmento A B. Dove S è detto centro di proiezione. Proiezione cilindrica Se il centro di proiezione S si immagina a distanza infinita, i raggi visuali diventano paralleli fra loro e la proiezione da conica diventa cilindrica. 0

11 PUNTO DI PROIEZIONE S ALL INFINITO RAGGI PROIETTANTI INCLINATI RISPETTO AL PIANO Se i raggi proiettanti sono inclinati rispetto al piano P, la proiezione è detta obliqua e normalmente è applicata alla ricerca delle ombre a luce solare. PUNTO DI PROIEZIONE S ALL INFINITO RAGGI PROIETTANTI ORTOGONALI AL PIANOI Se i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano P, la proiezione è ortogonale o retta.

12 Esempio di raggi proiettanti inclinati rispetto al piano α, la proiezione è obliqua ed è applicata alla ricerca delle ombre.

13 Esempio di raggi proiettanti perpendicolari al piano, la proiezione è ortogonale o retta. In questo caso il solido proiettato ha le facce parallele ai piani, quindi la sua immagine è in vera grandezza (ossia non deformata e misurabile). 3

14 LE PROIEZIONI ORTOGONALI Nel 794 Gaspard Monge pubblicò i suoi studi, e fu subito chiara la rilevanza storica e l originalità dell opera. In precedenza, il problema, era stato quello di rappresentare sulla carta oggetti a tre dimensioni in modo che si potesse sulle loro parvenze (adumbrationes, come diceva Vitruvio) compiere varie operazioni di misura. Quando si pose l esigenza di riferire lo spazio a tre dimensioni della rappresentazione, in quello che ne ha due soltanto, il problema era legare, bloccare i corpi in una posizione nota nello spazio, nel quale si dispone anche la loro rappresentazione, che li individua senza incertezza; rappresentazione che è misurabile con estrema precisione. GASPARD MONGE, tavola XXIV da Géometrie descriptive. 4

15 Questo modo di procedere è la più importante invenzione mongiana, ed è ciò che distingue la moderna geometria della rappresentazione, dall Ottocento in poi, dalla geometria antica. Questa, e in grado di caratterizzare quei disegni che chiamiamo rappresentazioni rispetto a quelli che chiamiamo semplicemente immagini. I primi restituiscono oggetti rappresentati nello spazio, quelle che Monge definisce: operazioni di ricostruzione nello spazio. Le immagini possono evocare qualsivoglia suggestione o piacere estetico, ma non hanno rapporti geometrici con lo spazio reale e né consentono di ricostruirlo (non sono misurabili!). GASPARD MONGE, tavola XXV da Géometrie descriptive. 5

16 Proiezioni ortogonali: IL PUNTO Una sola proiezione non è sufficiente a definire la posizione di un punto dello spazio a meno che non sia quotata. La proiezione ortogonale di un punto P, dello spazio, su un piano π (orizzontale), è il piede P, della perpendicolare condotta dal punto al piano. Ma ripetiamo che una sola proiezione, P su un piano orizzontale π, è insufficiente per definire la posizione del punto P nello spazio. Occorre quindi, per definire il punto, aggiungere alla sua proiezione P, la quota di altezza. Analoghe considerazioni possiamo fare per la proiezione di un punto P su un piano verticale π. Pertanto sarà sufficiente, per definire il punto P, aggiungere la quota di distanza dal punto al piano. Questa distanza dicesi profondità. 6

17 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO. Rappresentazione spaziale Seguendo, un antichissima tradizione, Monge riferisce la posizione degli oggetti che si vogliono rappresentare a due piani, tra loro perpendicolari, che perciò si dicono piani di riferimento : Su questi piani, che coincidono con il foglio da disegno, si costruiranno le proiezioni ortogonali dell oggetto e perciò essi si dicono anche piani di proiezione, e si indicano con i simboli π e π. L oggetto può assumere qualsiasi posizione rispetto ai piani di riferimento, in ogni modo sarà sempre possibile ritornare dalla rappresentazione all oggetto stesso. Nelle più consuete applicazioni, il primo piano di proiezione è assunto orizzontale, mentre il secondo piano di proiezione, risulta, di conseguenza, verticale. Non si può, in genere, operare sulle dimensioni vere dei corpi, che risultano quasi sempre incompatibili con quelle del foglio da disegno, cioè del piano di proiezione, e perciò è necessario far precedere alle operazioni di proiezione una contrazione dello spazio ovvero una opportuna riduzione di scala. Scelta la disposizione dei piani di riferimento, occorre, per ottenere la rappresentazione voluta, compiere le operazioni di proiezione e sezione. Si assumono, a questo scopo, due centri di proiezione impropri, (due direzioni S e S ). 7

18 Normali ai due piani, quindi si costruiscono, per i punti del corpo, due fasci di rette parallele alle direzioni di proiezione e si sezionano con i piani stessi. Le proiezioni dell oggetto e le sezioni dei fasci proiettanti con i piani di proiezione sono operazioni che si compiono, mentalmente, nello spazio, tuttavia è necessario operare materialmente sulla rappresentazione e, perciò si ribalta il secondo piano di proiezione sul primo, facendolo ruotare intorno alla comune retta di intersezione che è detta linea di terra" () o fondamentale. In tal modo i due piani vengono a coincidere e si identificano con il foglio da disegno. Volendo ripristinare la situazione dei piani di riferimento nello spazio, basta compiere l operazione inversa e cioè ruotare di un angolo retto il secondo piano di proiezione intorno alla fondamentale che è, perciò un riferimento essenziale. Una soluzione che non si adatta negli studi geometrici, ma che è ampiamente praticata nel disegno tecnico, consiste nel separare i due piani di proiezione, identificandoli con due distinti fogli da disegno. Da un punto di vista teorico l operazione è lecita, a condizione che su entrambi i grafici sia indicata la fondamentale e la sua direzione. Questa consuetudine rende meno esplicita l operazione di ricostruzione dell oggetto nello spazio, operazione che non solo ha un ruolo fondamentale nei procedimenti del metodo ma che determina il controllo delle forme tridimensionali. 8

19 ENTI FONDAMENTALI. Rappresentazione Il sistema di riferimento, come abbiamo visto, è costituito da due piani principali o piani di proiezione o quadri, l uno π, orizzontale o I quadro, e l altro π, verticale o II quadro, che sono di conseguenza reciprocamente perpendicolari e si intersecano secondo una retta detta linea di terra (). Questa divide ciascun piano in due semipiani. Il piano orizzontale viene diviso nel semipiano orizzontale anteriore (S.O.A.) e in semipiano orizzontale posteriore (S.O.P.); il piano verticale viene diviso nel semipiano verticale superiore (S.V.S.) e nel semipiano verticale inferiore (S.V.I.). I quadri dividono lo spazio in quattro diedri o regioni. 9

20 T =T '' LA RETTA rappresentazione della retta r. T'' T'' r'' A'' A A r' A' T =T' r A'' r'' A T' T =T '' T' Si possono ricavare così le seguenti regole per la rappresentazione convenzionale: note le tracce T e T, si ottengono le proiezioni r e r congiungendo rispettivamente T con il piede T della normale condotta da T alla e T con il piede T della normale condotta da T alla ; note le proiezioni r e r si ottengono le tracce T e T rispettivamente nei punti di incontro della corrispondente proiezione con la normale alla per il punto in cui l altra proiezione incontra la linea di terra. Retta il cui segmento T T è nel I diedro. r' A' 0 T =T'

21 rappresentazione della retta r. r'' T =T '' T ' T' r'' r' T = T' r r' r T =T '' T ' T' T = T' r'' r'' r' r' Rappresentazione della retta r parallela a π e comunque inclinata a π. Rappresentazione della retta r comunque inclinata a π e parallela a π. r'' = T = T '' r'' = T = T ''

22 T = T' T = T' r' rappresentazione della retta r. r'' = T = T '' T' r'' T'' T = T' T r r' r r' r'' = T = T '' T' T r' r'' T'' T = T' r' Rappresentazione della retta r parallela a π e normale a π. Rappresentazione della retta r giacente sopra un piano normale ai quadri, non passante per la. n.b. il punto T si forma nella parta negativa di π. Nel ribaltare π su π, la traccia T=T si trova tra la e T, la retta r parte da questo punto e attraversa T. Se la retta fosse stata poco inclinata rispetto a π il punto T si sarebbe trovato tra e T=T.

23 rappresentazione della retta r. T =T T =T r'' r = r' r'' r' r T =T r'' r = r' r' r'' T =T Rappresentazione della retta r appartenente a π e comunque inclinata rispetto a π. Rappresentazione della retta r passante per la e comunque inclinata. Retta generica. 3

24 r'' rappresentazione della retta r. T =T r'' r' r' r r T =T r'' r'' r' r' Rappresentazione della retta r parallela ai quadri. Rappresentazione della retta r giacente sopra un piano normale ai quadri e incidente la. 4

25 IL PIANO rappresentazione del piano. Rappresentazione di un piano a generico. Un piano α qualsiasi taglia i quadri p e p secondo tre rette α, α α3 che prendono il nome di tracce del piano. Un piano in posizione generica rispetto ai quadri, può attraversare tutti e quattro i diedri e tagliare i quadri secondo rette che si incontrano sulla. Conviene però considerare la sola parte del piano che appartiene al primo diedro. 5

26 rappresentazione del piano. O Rappresentazione di un piano α normale al primo quadro. Questo piano si definisce anche piano proiettante sul primo quadro e viene utilizzato spesso come piano ausiliario. Rappresentazione di un piano α normale al secondo quadro. Questo piano viene utilizzato come piano ausiliario per proiettare rette sul secondo quadro. O Rappresentazione di un piano a generico. Il piano così limitato e viene ad essere rappresentato, invece che da tre rette, da due semirette α e α passanti per lo stesso punto O ( punto di origine) della., e tali che a è sempre al disotto e α sempre al disopra della. O O O O 6

27 rappresentazione del piano. Rappresentazione di un piano α parallelo alla ma non ai quadri. Rappresentazione di un piano α parallelo al secondo quadro. Rappresentazione di un piano α parallelo al primo quadro. Rappresentazione di un piano α normale ai quadri. 7

28 RAPPRESENTAZIONE DEL TERZO PIANO DI PROIEZIONE p3. O 3 O 3 Normalmente i due quadri π e π sono sufficienti come sistema di riferimento per qualunque punto nello spazio, è utile, talvolta, per alcune rappresentazioni particolari, prendere un terzo piano di riferimento, detto anche terzo quadro π 3 o piano di profilo, normale a π e a π, mediante il quale la rappresentazione risulta più completa. Per poter rappresentare convenzionalmente il terzo quadro π3 sul foglio da disegno, si immagina di far ruotare π3 intorno alla retta di intersezione π3 con π ( questa retta prende il nome di linea di terra) fino a far diventare π3 complanare con π. Rappresentazione di un punto P nelle tre proiezioni. Si proietta il punto P, ortogonalmente, sui tre quadri, in P, P e P, quindi si fanno avvenire le rotazioni, ricavando la rappresentazione. P I P II O P III 8 3

29 ENTI FONDAMENTALI. Rappresentazione Quando rappresentiamo sul foglio i tre semipiani (P.V.-P.O.-P.L.), effettuiamo la rotazione verso destra del piano laterale, la rotazione verso il basso del piano orizzontale, (il piano verticale essendo già complanare al foglio da disegno non subisce variazioni). In questo modo effettuiamo il passaggio dallo spazio reale alle due dimensioni del foglio da disegno. 9

30 RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO Le proiezioni di P I e P II di un punto P giacciono sopra una medesima perpendicolare alla linea di terra. P. o. di un punto P posizionato nel I diedro 30

31 LA RETTA Una retta r si può pensare costituita da una successione di punti allineati, e si rappresenta mediante le sue proiezioni r sul I quadro e r su II quadro. Le proiezioni r e r si possono anche pensare rispettivamente ottenute come intersezione col primo e col secondo quadro, dei piani proiettanti la retta r sopra i quadri stessi, ossia dei piani contenenti la retta e normali a ciascun quadro. I punti T e T in cui la retta interseca rispettivamente il primo e il secondo quadro si chiamano la prima e la seconda traccia della retta. 3

32 RAPPRESENTAZIONE DI FIGURE PIANE PARALLELE AI QUADRI Disegnare le proiezioni ortogonali di una figura piana significa, trovare le proiezioni dei lati che la compongono, partendo dalle proiezioni dei punti che ne costituiscono gli estremi. Il primo passo del procedimento consiste nel disegnare la figura, sul piano a cui essa è parallela, nella sua vera grandezza, ricavandone poi le proiezioni su gli altri piani. 3

33 figure piane parallele ai quadri F = E F = E Proiezioni ortogonali di una figura piana parallela al π con un lato parallelo a π. La figura ci appare nella sua vera grandezza sul π, e con un lato parallelo alla. L immagine sul piano π ha i vertici coincidenti. Proiezioni ortogonali di una figura piana parallela a π e con un lato parallelo a π. 33

34 figure piane parallele ai quadri Proiezioni ortogonali di una figura piana parallela al piano π con i lati inclinati rispetto al piano π. La figura in questa posizione crea un immagine di scorcio su π. Le proiezioni in scorcio presentano una linea definita dalle proiezioni dei singoli lati. Proiezioni ortogonali di una figura piana parallela al piano π3 e perpendicolare al π e al π. 34

35 RAPPRESENTAZIONE DI FIGURE PIANE INCLINATE RISPETTO AI QUADRI Per disegnare una figura piana assegnata inclinata rispetto ai quadri, cioè ai piani di proiezione, occorre individuare tra tutti i piani dello spazio quello contenente la figura nelle dimensioni reali. Occorre quindi ribaltare questo piano su uno dei piani di proiezione e disegnare su di esso la figura in vera grandezza. Eseguita questa operazione si riporta poi il piano nella posizione originaria e si disegnano quindi le proiezioni cercate. 35

36 figure piane inclinate rispetto ai quadri Proiezioni ortogonali di una figura piana perpendicolare al piano π e inclinato rispetto a π. Tracciato il piano α, perpendicolare a π e inclinato rispetto a π, lo ribaltiamo sul π utilizzando la traccia α come cerniera, ottenendo (α), traccia di α ribaltata su π. Sul piano ribaltato possiamo ricostruire la figura cercata in vera grandezza. Riportiamo tutti i punti sul piano ribaltato eseguendo opportunamente i ribaltamenti per ottenere la figura cercata. 36

37 figure piane inclinate rispetto ai quadri Per trovare le proiezioni di una figura piana in posizione generica, ossia inclinata rispetto ai piani fondamentali di proiezione, si ricorre al procedimento di ribaltamento di un piano generico con il sistema del piano ausiliario passante per la retta di massima pendenza. 37

38 RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI Generalità I procedimenti per le proiezioni ortogonali di un solido sono del tutto analoghe a quelle utilizzate per le figure piane. Si basano infatti sulle proiezioni degli elementi notevoli costituenti un solido, cioè gli spigoli e i relativi vertici, che ne delimitano le facce e il volume. 38

39 G = C RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI REGOLARI AD ASSE VERTICALE Tutti i solidi rappresentati, ad accezione della sfera, hanno la base sopra il primo quadro, la quale risulta in prima proiezione nella sua vera forma. Proiezioni ortogonali di un cubo retto con asse perpendicolare al piano π. Questo caso particolare mostra la stessa immagine sui due piani di proiezione. In ogni proiezione vediamo sovrapporsi le due facce opposte; coincidono quindi i lati che le limitano, i loro estremi e i vertici del cubo. Per questo motivo l immagine proiettata è sempre contraddistinta da una doppia denominazione dei punti notevoli. 39

40 solidi regolari ad asse verticale Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo retto Rappresentiamo sul piano π la proiezione in vera grandezza delle due basi rettangolari sovrapposte. Essendo il parallelepipedo appoggiato sul π, coincide anche la base inferiore che nelle altre proiezioni disegneremo coincidente con la. Riportiamo poi su π l altezza del solido determinando l aspetto frontale e laterale. In questo caso gli spigoli nascosti coincidono con quelli in vista, per cui non compaiono linee tratteggiate. Proiezioni ortogonali di una piramide retta a base quadrata. Partendo dalla proiezione sul piano π conduciamo le proiettanti al piano π, riportandovi l altezza del solido. Notiamo che sul piano π compaiono linee tratteggiate rappresentanti gli spigoli nascosti. L altezza và indicata con linea tratto punto. 40

41 solidi regolari ad asse verticale Proiezioni ortogonali di un cono retto con asse perpendicolare al piano π. Disegniamo sul piano π la proiezione della circonferenza di base, dichiarando come punti notevoli il centro (corrispondente a V prima proiezione del vertice V) e le intersezioni sulla circonferenza del diametro. Quindi proiettiamo sul piano π riportando l altezza del cono, di cui indichiamo il volume con i segmenti V A e V B. Proiezione ortogonale di un cilindro retto con asse perpendicolare al piano π. 4

42 RAPPRESENTAZIONE DI SEZIONI DI SOLIDI. Generalità Sezionare un solido significa tagliarne una porzione servendosi di un piano che attraversandolo ne separa le parti, individuando una superficie interna, detta appunto sezione. Per determinare il contorno della sezione sarà sufficiente individuare i punti di intersezione fra gli spigoli del solido e la traccia del piano sezionante visto in scorcio totale. Per fare ciò, dobbiamo servirci di un piano ausiliario che posizionato perpendicolarmente rispetto al piano sezionante avrà su di se lo scorcio totale della sezione. 4

43 RAPPRESENTAZIONE DI SEZIONI DI SOLIDI Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo sezionato da un piano perpendicolare al piano π e inclinato rispetto al piano π. Partendo dallo scorcio totale della sezione in prima proiezione, è possibile disegnare la seconda proiezione della sezione in scorcio parziale. Nota: I solidi non devono essere parzializzati, restano interi. Il piano di sezione è per convenzione trasparente. Le linee nascoste sono tratteggiate. 43

44 sezioni di solidi Proiezioni ortogonali di un cubo sezionato da un piano perpendicolare al piano π ed inclinato rispetto al piano π. La sezione si presenta in scorcio totale sulla seconda proiezione e in scorcio parziale sulla prima proiezione. Proiezione ortogonale di una piramide retta a base quadrata sezionata da un piano parallelo al piano π. La parte di traccia di α che attraversa il solido coincide con lo scorcio totale della sua sezione in quanto il π risulta perpendicolare al piano sezionante. I punti di intersezione fra gli spigoli della piramide e π sono i punti di contorno della sezione che proiettati in prima proiezione sugli spigoli corrispondenti, individuano il contorno della sezione operata. 44

45 RICERCA DI VERA FORMA E GRANDEZZA DELLE SEZIONI DI SOLIDI Quando la sezione di un solido si presenta in vista di scorcio in tutte le sue proiezioni, possiamo ritrovarne la vera forma e grandezza ribaltando su uno dei piani fondamentali il piano sezionante che la contiene. Vera grandezza della sezione di un parallelepipedo tagliato da un piano perpendicolare al piano π e inclinato rispetto al piano π. Usando come asse di rotazione la traccia α, ribaltiamo il piano sezionante a, e con esso la sezione, fino a farlo coincidere con il piano π, su cui la sezione si mostrerà in vera forma e grandezza. 45

46 vera forma e grandezza Vera grandezza della sezione di un cubo tagliato da un piano perpendicolare al piano π ed inclinato rispetto al piano π. In questo caso il ribaltamento del piano sezionante è stato effettuato sul π, usando come asse di rotazione la prima traccia di α. E sul π quindi che otterremo l immagine della sezione in vera forma e grandezza. 46

47 Vera forma e grandezza della sezione di una piramide retta a base quadrata sezionata da un piano a generico vera forma e grandezza La sezione risultante dall intersezione di un piano α generico con la piramide è un romboide che viene individuato in scorcio totale su un piano β perpendicolare al piano sezionante. E qui che determineremo la figura in scorcio totale che permetterà di ricostruirla nelle altre proiezioni fondamentali. Con il ribaltamento sul piano π del piano a e dei punti della sezione giacente su esso, otterremo l immagine in vera forma e grandezza. 47

48 SEZIONE CONICA ELLITTICA. proiezioni ortogonali ( ) 4* 3* * * 4" 4' V' ' 3' ' V" V"' " 3" " O "' 4"' "' 3"' 3 Considerato un piano sezionante α perpendicolare a π e inclinato rispetto a π (con inclinazione maggiore della retta generatrice del cono), troviamo le varie proiezioni e l immagine in vera grandezza, della sezione ellittica che si produce nella maniera seguente: Servendosi dei piani ausiliari β, γ e δ paralleli alla π, identifichiamo sulla sezione in scorcio totale i suoi punti notevoli. Proiettando da essi sulla prima proiezione sul piano α ribaltato su π, possiamo individuare la vera grandezza della sezione che è un ellisse. 48

49 SEZIONE CONICA PARABOLICA. proiezioni ortogonali ( ) 4* 3* * V" V"' * " "' A" 4" B" O A' 4' 3' 3" " V' ' ' B' A"' "' 3"' 3 B"' 4"' In questo caso il piano sezionante α è inclinato rispetto al piano π e parallelo alla retta generatrice del cono. La sezione risultante è quindi una parabola, di cui individuiamo i punti con procedimento analogo al precedente. Nell esempio sono stati utilizzati solo tre piani ausiliari β, γ e δ. 49

50 SEZIONE CONICA IPERBOLICA proiezioni ortogonali ( ) " " 3" 4" ' ' 3' 4' V" V"' V' O "' "' 3"' 3 4"' Il piano sezionante è perpendicolare al piano π e π e parallelo all asse del cono. La sezione conica così prodotta è un iperbole, che troviamo in vera grandezza in terza proiezione, grazie ai piani ausiliari β, γ e δ paralleli al piano π. 50

51 SEZIONI CONICHE GENERALITA DIRETTRICE ASSE VERTICE GENERATRICE Definiamo cono quadrico o circolare, quello che ammette, fra le sue direttrici piane, una circonferenza: un cono circolare, dicesi retto, quando il vertice cade sulla normale condotta per il centro della direttrice; obliquo, quando ciò non accade. Sezionando un cono retto oppure obliquo che sia, con un piano non passante per il vertice, si determinano, come già abbiamo visto sezioni diverse, che prendono il nome di coniche caratterizzate però da proprietà geometriche comuni. Consideriamo a questo proposito, un cono circolare retto e un piano proiettante α: questo può assumere tre posizioni diverse. 5

52 ( ) 4* 3* * * 4" 4' V' ' 3' ' SEZIONI CONICHE GENERALITA Il piano proiettante α, non parallelo all asse del cono, attraversa il solido da parte a parte e non incide la sua base. Come già visto questo piano genera una ellisse. V" V"' " 3" " O "' 4"' "' 3"' 3 5

53 ( ) 4* 3* * * V" SEZIONI CONICHE GENERALITA In questo caso piano proiettante α, non parallelo all asse del cono, incide la sua base, generando una parabola. A" 4" B" O A' 4' 3' 3" " " V' ' ' B' A"' V"' "' "' 3"' 3 B"' 4"' 53

54 SEZIONI CONICHE GENERALITA In questo caso piano proiettante α, è parallelo all asse del cono, incide la sua base generando una iperbole. I tre casi visti sono risolvibili tutti con l ausilio di piani che consentono di determinare i punti di intersezione piano/cono per descrivere la curva generata. Maggiore sarà il numero dei piani presi migliore sarà la precisione della curva. ( ) " " 3" 4" ' ' 3' 4' V" V"' V' O "' 3 "' 3"' 4"' 54

55 ASSE SEZIONI CONICHE. CILINDRI DIRETTRICE VERTICE GENERATRICE VERTICE IMPROPRIO (all'infinito) DIRETTRICE Rappresentazione di cilindri e coniche. Ricordando che una superficie cilindrica si può sempre pensare come una superficie conica il cui vertice è un punto improprio, in questo caso abbiamo un cilindro. Esso può anche configurarsi come una superficie che si ottiene, proiettando da un punto improprio (vertice) tutti i punti di una curva (direttrice) non appartenente al vertice; oppure, come una superficie rigata, creata da una generatrice che scorre su una linea fissa (direttrice), mantenendosi parallela a se stessa. GENERATRICE 55

56 SEZIONI CONICHE. CILINDRI Rappresentazione di cilindri e coniche. D D P r C C r P s s Determinazione di un punto P, di cui è data la prima immagine, sulla superficie di un cilindro, a basi parallele, del quale siano note una direttrice D e una generatrice s. Se D è la direttrice su p essa è la generatrice dl cilindro e P la prima immagine del punto P, per la soluzione del problema è sufficiente far passare per P una retta generatrice,parallela a quella assegnata, in prima e seconda proiezione e trovare P mediante una retta di proiezione passante per P. 56

57 SEZIONI CONICHE. CILINDRI Rappresentazione di cilindri e coniche. r" A' A" V" V' B' B" Intersezione fra un cilindro e una retta. Trovare il punto di entrata e di uscita determinato dall intersezione di una retta con un cilindro. Il problema si risolve facendo passare per la retta r un piano proiettante α, verticale. La prima traccia α coincida con r. Questo piano intersecherà il cilindro secondo un rettangolo formato dalle generatrici di A, e B e dalle secanti. La retta r attraversa le generatrici nei punti A = (A, A ) e B = (B, B ) che sono i punti cercati. = r' 57

58 RIBAAMENTO DI UN PIANO Spesso per trovare la vera grandezza di una figura è necessario ricorrere al ribaltamento delle tracce dei piani sghembi sui quadri. Di seguito la procedura per ribaltare la traccia α su π utilizzando come cerniera la traccia α. Si opera utilizzando un piano ausiliario Ω ortogonale a π e inclinato in modo tale da risultare ortogonale alla traccia utilizzata come cerniera, qui α. Si ribalta il punto di intersezione tra piano dato, α, e quello ausiliario Ω sino ad intercettare la traccia Ω. Il ribaltamento cercato (Ω ) passerà per l intersezione prima ottenuta. 58

59 SEZIONI CONICHE. CILINDRI Rappresentazione di cilindri e coniche. Intersezione fra un cilindro e un piano comunque inclinato. Si consideri un cilindro ed un piano α generico secante il cilindro. In questo caso l intersezione genera un ellisse che ha il suo asse maggiore secondo la retta di massima pendenza (6-7 ) del piano, mentre il suo asse minore sarà normale a questo. E possibile risolvere questo problema mediante quattro rette che appartengono ad altrettanti piani ausiliari. 59

60 INTERSEZIONI DI RETTE E SOLIDI Intersezione di una retta con un solido. In generale possiamo dire che si tratta di trovare i due punti in cui la retta r fora la superficie del solido. Le proiezioni di tali punti dovranno soddisfare la proprietà di essere, sopra una stessa normale alla, della superficie del solido intersecate da r. Questi punti comuni di una retta con il solido si determinano mediante il piano ausiliario proiettante verticalmente o orizzontalmente la retta. Definite le tracce del piano ausiliario si determina la sezione di questo piano col solido e sulle proiezioni della sezione troveremo anche le proiezioni dei punti di intersezione cercati. 60

61 INTERSEZIONI Tf A'= E' E" F" G" H" A" I" I' B" B'= F' L" L' D" C" f' C'= H' f" Intersezione di una retta f con un parallelepipedo ad asse verticale. Applicando le considerazioni fatte sopra si trova facilmente il punto I di incontro con la f, con la faccia ADGE forata, individuando I e successivamente I. Analogamente il punto L d incontro con la f con la faccia BCHF si trova individuando L e successivamente L. D'= G' 6

62 V" r"= INTERSEZIONI A" B" A' X" X' ' ' 4' Y" V' Y' 3' r' B' Cono intersecato da una retta qualsiasi. Considerato il piano ausiliario sezionante α=r e α, si determinano le proiezioni della sezione; comuni a queste e a quelle proiezioni della retta data, si individuano X Y e X Y, proiezioni dei punti di intersezione fra retta e solido. 6

63 INTERSEZIONI DI SOLIDI Nelle proiezioni ortogonali il procedimento consiste nel disegnare i due solidi e il loro confine reciproco detto linea di intersezione. Intersecare due solidi significa fonderli in un unico volume, che assume nuove caratteristiche spaziali. Quando i due solidi si intersecano determinano una compenetrazione che può essere completa o parziale. 63

64 3 B'"=C'" Intersezioni di due cubi ruotati fra loro. A'"=D'" F'" E'" H'" G'" O B" A" A'= B' C" D" C'= D' INTERSEZIONI DI SOLIDI F"= H" E"= G" G'= H' E'= F' Attraverso le proiezioni ortogonali possiamo individuare gli elementi caratteristici della compenetrazione dei due solidi. Proiettiamo quindi i due cubi, uno alla volta sui piani fondamentali. Avremo così in evidenza il nuovo volume, nonché le porzioni di spazio comuni ai due solidi. Viene a delinearsi nelle due proiezioni la linea di intersezione che limita il confine fra i due cubi. 64

65 F" G" E" H" F' E' E" A' D' D" B' B" C' C" F" A" A*= F* E*= B* C* D* INTERSEZIONI DI SOLIDI Intersezione di un prisma triangolare orizzontale con un parallelepipedo verticale. Le due superfici hanno gli assi che non si incontrano. Con l ausilio della figura disegnata su un piano laterale (definibile anche piano ausiliario), che rappresenta la proiezione sopra un piano normale a π restituisce l immagine sul piano ausiliario, dei solidi visti da sinistra, si determinano, per punti, le proiezioni delle linee di intersezione delle due superfici. 65