1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

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1 Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari e primo accenno al metodo di Gauss-Jordan. Ēsercizi consigliati: Geoling 1, Geoling 2. 1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Un sistema di equazioni della forma: a 1 1 x 1 + a 1 2 x a 1 n x n = a 2 1 x 1 + a 2 2 x a 2 n x n = a 3 1 x 1 + a 3 2 x a 3 n x n =... a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = si chiama sistema d equazioni lineari omogeneo con n incognite ed m equazioni. Esempio 1.1. Ecco due esempi: { x y = x + y = B = { 3x1 x 2 + x = x 5 x 6 = E facile ricordare il sistema tramite la matrice dei coefficienti : a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a 3 1 a 3 2 a 3 n.... a m 1 a m 2 a m n Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 1 Geometria

2 1.1 Concetto di soluzione. Geometria Lingotto. Esempio 1.2. Ecco le due matrici corrispondenti agli esempi precedenti: ( B = ( Dunque una matrice A e una tabella di numeri a i j, cioe numeri con due indici i, j. Di solito si scrive (a i j per indicare una matrice il cui elemento nella riga i-esima e colonna j -esima e a i j. Notare il collegamento tra la incognita x 1 e la prima colonna della matrice A, tra la incognita x 2 e la seconda colonna della matrice A, etc. Inoltre notare il collegamento tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A. Osservazione 1.3. Si deve fare molta attenzione nel passagio{ dal sistema alla matrice per evitare errori gravi. Ad esempio la matrice del sistema non e 3x + y = 3y + x = ( Concetto di soluzione. Se i numeri r 1, r 2,, r n si sostituiscono alle incognite x 1, x 2,, x n del sistema S e tutte le equazioni sono soddisfatte allora r 1, r 2,, r n e chiamata una soluzione del sistema. Siccome l ordine di questi numeri e importantissimo conviene ordinare questi numeri come una colonna. Ossia si intende, per soluzione del sistema S, una colonna: R = Dunque durante questo corso per soluzione di un sistema S si intende una colonna R = (r i tale che, se il numero r i si sostituisce all incognita x i, tutte le equazioni di S sono soddisfatte. Esempio 1.. r 1 r 2 r 3. r n { x y = x + y = B = { 3x1 x 2 + x = x 5 x 6 = Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 2 Geometria

3 1.2 Sistemi equivalenti. Geometria Lingotto. ( Il sistema A ha la colonna come UNICA soluzione. Invece le colonne 1,,, sono tutte soluzione del sistema B, cioe il sistema (b non ha soluzione UNICA. Osservazione 1.5. Un sistema omogeneo ha sempre una soluzione chiamata soluzione banale. Eccola qui: = Dato un sistema S possiamo raccogliere tutte le soluzioni in un insieme S chiamato appunto l insieme delle soluzione di S. Notare che S e un sottoinsieme dell insieme di tutte le colonne di lunghezza n. Osservare che la proposizione precedente afferma S. Il primo argomento di questo corso e imparare a calcolare tutte le soluzioni di un sistema S, cioe imparare a scrivere tutte le colonne che sono soluzioni di un dato sistema Sistemi equivalenti. L idea chiave per scrivere tutte le soluzione di un sistema S e il concetto di sistemi equivalenti. Definizione 1.6. Due sistemi S, S (entrambi con n incognite si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Se S, S sono equivalenti si scrive S S. Esempio 1.7. I seguenti sistemi sono equivalenti: { x y = x + y = S = { x = y = Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 3 Geometria

4 1.3 Operazioni elementari. Geometria Lingotto. Se sappiamo in anticipo che due sistemi S, S sono equivalenti possiamo scegliere quello piu semplice per calcolarne le soluzioni. Ad esempio, nell esempio precedente S e certamente piu facile da risolvere di S. Questo ci porta in modo naturale a chiederci come si possa sapere in anticipo se due sistemi sono equivalenti. 1.3 Operazioni elementari. Esistono tre operazioni (molto semplici che applicate a un sistema S producono un sistema equivalente S. OPE 1 : Scambio dell ordine di due equazioni Si passa di un sistema S a uno equivalente semplicemente scambiando l ordine di due equazioni, ad esempio: E 1 = E 2 =. E m = S = E 2 = E 1 =. E m = Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i E j. OPE 2: Moltiplicazione d una equazione per una costante non nulla Si ottiene un sistema equivalente moltiplicando una equazione per una costante c non nulla, ad esempio: E 1 = E 2 =. E m = S = ce 1 = E 2 =. E m = Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i ce i. OPE 3 : Sostituire una equazione con la sua somma con un altra Si ottiene un sistema equivalente sommando ad una equazione un altra, ad esempio: Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 Geometria

5 1. Tutto dal punto di vista matriciale. Geometria Lingotto. E 1 = E 2 = E 3 =. E m = S = E 1 = E 2 + E 1 = E 3 =. E m = Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i E i + E j. 1. Tutto dal punto di vista matriciale. Avviamo visto che i sistemi si rappresentano piu economicamente tramite una matrice A, cioe a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a 3 1 a 3 2 a 3 n... a m 1 a m 2 a m n = dove R 1 = (a 1 1 a 1 2 a 1 n, R 2 = (a 2 1 a 2 2 a 2 n, etc, sono le righe. Dunque le tre operazioni elementari sono: OPE 1 : Scambio dell ordine tra due righe. Notazione R i R j. OPE 2 : Moltiplicazione d una riga per una costante non nulla c R i. OPE 3 : Sostituire una riga con la sua somma con un altra R i + R j. E anche piu semplice fare un uso contemporaneo delle OPE 2 e la OPE 3, cioe R i + c R j. R 1 R 2 R 3. R m Esempio R 3 3R Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 5 Geometria

6 1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti. Geometria Lingotto. 1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti. Ecco un teorema fondamentale. Teorema 1.9. Siano A 1, A 2 le matrici di due sistemi S 1, S 2. Se A 2 si ottiene da A 1 tramite le operazioni elementari OPE 1, OPE 2, OPE 3, allora i sistemi S 1, S 2 sono equivalenti, cioe risolvere S 1 e la stessa cosa che risolvere S 2. La dimostrazione e molto facile ed e lasciata come esercizio al lettore. Esempio 1.1. Ecco un esempio: se { x + 3y = ( e la matrice del sistema 2x + 7y = allora ( R 2 2R 1 ( R 1 3R 2 ( 1 1 ( 1 dunque il sistema S e equivalente al sistema associato alla matrice { 1 x = soluzioni di S sono le soluzioni di, cosa abbastanza ovvia. y = x + y z w = Esempio 1.. Ecco un altro esempio: x + 2y + 5z w = 2x + y + 3z + 2w = R 2 R 1 R R 1 R 2 R 3 2R 1 R 2 6R , cioe le ; eseguiamo R 3+R R 1+R 3 1 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 6 Geometria

7 Geometria Lingotto. cioe percio risolvere S e come risolvere il sistema associato alla matrice 17w 2 w w w x + 17w = y 2w = e allora possiamo esprimere tutte le soluzione del sistema S come z + w = cioe come i multipli della colonna Esempio Ecco un terzo esempio: x + 2y + 3z + w = x + 6y + 7z + 8w = 5x + 8y + 1z + 12w = 1x + 16y + 2z + 2w = dopo qualche operazione elementari risulta che S e equivalente al sistema la cui matrice e 1 2, cioe risolvere S e la stessa cosa che risolvere: x 2z w = y + 5z + w = 2 x + y + z + w = x + y + z + w = = { x 2z w = y z + w = Risolvere quest ultimo sistema e molto facile poiche abbiamo messo in evidenza x, y 2z + w come funcioni di z, w. Dunque le soluzioni sono : 5z w 2 z w 2 Cenni sul metodo di Gauss-Jordan. I due esempi precedenti mostrano che se vogliamo risolvere un sistema dobbiamo cercare di usare le operazioni elementari in modo da arrivare a una matrice il cui sistema sia facile da risolvere. Dunque la domanda naturale e : Quali caratteristiche ha una matrice il cui sistema e facile da risolvere? Nel primo esempio il sistema e equivalente a uno la cui matrice e ( 1 1, nel secondo esempio il sistema facile da risolvere ha come, Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 7 Geometria

8 Geometria Lingotto. matrice associato alla matrice della forma:, e infine, nel terzo esempio, il sistema facile da risolvere e Dunque osserviamo che queste matrici sono Il metodo di Gauss-Jordan ci permete in modo organizzato di arrivare alla matrice di un sistema facile da risolvere. ( Vediamo come funziona analizzando un esempio: 2 6 Prendiamo il sistema. 6 7 Al posto del 2 vogliamo un 1, dunque usiamo la operazione R 1 2 e otteniamo ( 1 3 ; adesso ci serve un al posto del 6. Dunque usando l 1 della prima 6 7 riga e facile ottenere ( lo desiderato al posto del 6 tramite la operazione R 2 6R 1 e 1 3 cosi otteniamo. Adesso ci serve un 1 al posto del -2. Dunque eseguimo la 2 ( operazione R 2 1 3, e si arriva alla 2 1. Dunque osserviamo che l idea e semplice. Dopo avere ottenuto un 1 in una colonna lo si usa per procurarsi sotto di esso, tramite la operazione R i +cr j lungo tutta la colonna Vediamo ancora questo con la matrice Applichiamo R 2 7R 1 cosi 3 5 che il 7 scompare, sostituito dallo. Dopodiche applichiamo R 3 + 3R 1 e scompare il lasciando il suo posto a uno. Cioe si ottiene: Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 8 Geometria

9 Geometria Lingotto. Con cio finisce il lavoro sulla prima colonna e possiamo ora cercare di mettere un 1 al posto del -2. Questo e facile, poiche possiamo eseguire R 2, che ci procura: Adesso usando questo 1 possiamo procurarci uno al posto del usando la operazione elementare R 3 1R 2. Cosa che ci porta alla Infine la operazione 1R 3 ci porta alla Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing1 9 Geometria