Esame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre 2013

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Virgilio Caselli
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1 Esame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre Determinare dominio, limiti significativi, intervalli di monotonia della funzione f (x) = (2x + 3) 2 e x/2 e tracciarne il grafico. In base al grafico ottenuto, determinare il numero esatto di soluzioni positive dell equazione f (x) = 5, specificando la parte intera di almeno una di esse. Nota: non è richiesto di risolvere analiticamente l equazione. [6/18] 2. Calcolare l integrale definito della funzione del quesito 1 nell intervallo [0, 1]. [4/18] 3. Stabilire se la serie di termine 3n/(n 5 + 2) (n N) è convergente. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di [4/18] 4. Verificare che la funzione f (x) = (x +1) ln(x +2) è infinito di ordine inferiore rispetto alla funzione g(x) = 3x 2 per x +. [2/18] 5. Determinare e classificare i punti di non derivabilità della funzione f (x) = 4x 3 ln(x 2 + 1). [2/18] 1. Enunciare e dimostrare il criterio di monotonia. [4/12] 2. Enunciare il criterio del rapporto per le serie numeriche e illustrarne la applicazione con un esempio. [3/12] 3. Dare la definizione di integrale improprio su un intervallo illimitato e illustrarla con un esempio. [2/12] 4. Dare la definizione di punto di discontinuità eliminabile e illustrarla con qualche esempio. [2/12] 5. Introdurre la nozione di successione divergente positivamente e illustrarla con qualche esempio. [1/12]

Nota: non è richiesto di risolvere analiticamente l equazione. [6/18] 2. Calcolare l integrale definito della funzione del quesito 1 nell intervallo [0, 1]. [4/18] 3.

2 Esame di Analisi Matematica prova scritta del 9 settembre Determinare dominio, limiti significativi, intervalli di monotonia della funzione g(x) = x 3 1 3x 2 (x + 2) ln(x + 2) e tracciarne il grafico. In base al grafico ottenuto, determinare il segno di g. Nota: non è richiesto di determinare analiticamente il segno di g. [6/18] 2. Calcolare l integrale indefinito della funzione f (x) = ln(x + 3) x 2. [4/18] 3. Utilizzare il polinomio di Taylor di centro 1 e ordine 4 della funzione logaritmo per determinare un valore approssimato di ln(3/2). Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione. [4/18] 4. Utilizzare le informazioni ottenute nell esercizio 1 per determinare gli intervalli di ln(x + 2) monotonia della funzione f (x) = x 3 1. [2/18] 5. Determinare gli asintoti della funzione dell esercizio 4. [2/18] 1. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza obbligata (per successioni o per funzioni). [4/12] 2. Enunciare il criterio di Leibniz per le serie numeriche e illustrarne la applicazione con un esempio. [3/12] 3. Dare la definizione di media integrale ed enunciarne le principali proprietà. [2/12] 4. Introdurre la nozione di funzioni asintoticamente equivalenti e illustrarla con qualche esempio. [2/12] 5. Dare la definizione di punto angoloso e illustrarla con qualche esempio. [1/12]

Nota: non è richiesto di determinare analiticamente il segno di g. [6/18] 2. Calcolare l integrale indefinito della funzione f (x) = ln(x + 3) x 2. [4/18] 3.

3 Esame di Analisi Matematica prova scritta del 18 luglio Tracciare un grafico qualitativo della funzione f (x) = e x 3 /(x 2 + 1) e utilizzarlo per determinare il numero esatto di soluzioni dell equazione f (x) = 2. [5/18] (Nota: non tutti gli zeri di f possono essere determinati esplicitamente.) 2. Utilizzare la serie di Taylor di centro 0 della funzione coseno per determinare un valore approssimato di cos(2) con un errore minore di [4/18] 3. Stabilire se l integrale improprio della funzione f (x) = x 2 e x nell intervallo [1, + ) è convergente o divergente. [4/18] 4. Determinare e classificare i punti di non derivabilità della funzione f (x) = x(x 1) 3. [3/18] 5. Determinare la parte principale della funzione f (x) = x 2 sin(3/x) x 4 + 3x per x +. [2/18] 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat. [4/12] 2. Enunciare il criterio del confronto asintotico per le serie numeriche e illustrarne la applicazione con un esempio. [2/12] 3. Dare le definizioni di successione limitata e di successione convergente. Descrivere il legame esistente tra le due nozioni. [2/12] 4. Enunciare la formula fondamentale del calcolo integrale e illustrarne la applicazione con un esempio. [2/12] 5. Dare la definizione di punto di discontinuità eliminabile e di punto di discontinuità a salto finito. Fornire un esempio per ciascuna definizione. [2/12]

[5/18] (Nota: non tutti gli zeri di f possono essere determinati esplicitamente.) 2.

4 Esame di Analisi Matematica prova scritta del 3 luglio Verificare che la funzione g(x) = x ln(x)+3x +1 è strettamente positiva nel proprio dominio. Utilizzare questa informazione per determinare gli intervalli di monotonia della funzione f (x) = (ln(x) + 4)/(x 1). [5/18] 2. Stabilire se la serie di termine 2 n /(3 2n + 5n) (n N) è convergente. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di [4/18] 3. Calcolare la media integrale della funzione f (x) = tan(x) + 3 cos(x) 2 nell intervallo di estremi 0 e π/4. [3/18] 4. Determinare e classificare i punti di non derivabilità della funzione f (x) = 3 x 5 (x + 1) 2. [3/18] 5. Utilizzare gli sviluppi di Taylor con il resto di Peano delle funzioni elementari per 1 + e x 2 2 cos(x) calcolare lim. x 0 x 2 ln(1 + x 4 [3/18] ) 1. Enunciare e dimostrare il teorema sulla regolarità delle successioni monotone. Mostrare con un esempio che questo teorema non è valido nell insieme dei numeri razionali. [5/12] 2. Enunciare il teorema di convergenza obbligata per funzioni e illustrarne la applicazione con un esempio. [2/12] 3. Introdurre la nozione di serie telescopica e illustrarla con un esempio. [2/12] 4. Dare la definizione di integrale improprio su un intervallo illimitato superiormente e illustrarla con un esempio. [2/12] 5. Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. [1/12]

In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di 10 3. [4/18] 3.

5 Esame di Analisi Matematica prova scritta del 17 giugno 2013 Avvertenza: il 20% del punteggio è riservato alla chiarezza espositiva e alla completezza delle Per ottenere punteggio pieno è necessario esplicitare i passaggi intermedi e 1. Determinare il numero esatto di soluzioni dell equazione ln(x + 3) arctan(x) = 1, specificando la parte intera di almeno una di esse. [5/18] 2. Stabilire se la serie di termine ( 1) n (n + 1) 3 n (n N) è convergente. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di Stabilire se il valore determinato approssima la somma della serie per eccesso o per difetto. 3. Calcolare l integrale indefinito della funzione f (x) = [4/18] x + 3 x 3 4x 2 + 7x. [3/18] 4. Determinare gli asintoti della funzione f (x) = (2x + ex ) e (x 1)/x 2. [3/18] x Utilizzare il polinomio di Taylor di centro 1 e ordine 3 della funzione f (x) = 4 x per calcolare un valore approssimato di 4 2. [3/18] Avvertenza: il 20% del punteggio è riservato alla chiarezza espositiva e alla completezza delle Per ottenere punteggio pieno è necessario definire esplicitamente i termini che compaiono negli enunciati; giustificare i passaggi compiuti nelle dimostrazioni, citando esplicitamente 1. Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale. [4/12] 2. Dare la definizione di serie convergente, di serie assolutamente convergente e di serie condizionalmente convergente, illustrando ciascuna definizione con un esempio. [3/12] 3. Enunciare il teorema di Weierstrass e illustrarne la applicazione con un esempio. [2/12] 4. Dare la definizione di punto cuspidale e illustrarla con un esempio. [2/12] 5. Dare la definizione di successione convergente. [1/12]

Stabilire se la serie di termine ( 1) n (n + 1) 3 n (n N) è convergente.

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