FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

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1 FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme { x, y) : x < y x + } { x 3 Rappresentare nel piano x, y) le soluzioni del sistema + y = x y Determinare { x R : x x+3 > 0} { x R : x + > x } 5 Determinare il dominio di fx) = log 3 x x ) 6 Determinare dominio ed immagine di fx) = sin x ; disegnarne il grafico 7 Sia fx) = x + x + ; determinare il dominio, discutere eventuali simmetrie e l iniettività 8 Sia fx) = x x ; determinare la controimmagine f [, + ) ) 9 Verificare che la funzione f : R R definita da fx) = x x + 9 non è invertibile Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l espressione delle loro inverse 0 Individuare opportune restrizioni di fx) = x x che siano invertibili Specificare dominio ed immagine delle inverse, per le restrizioni trovate Provare che le funzioni fx) = x x +, x e gx) = + x 3, x 3 sono una l inversa dell altra Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f per risolvere l equazione fx) = gx) Dimostare che la funzione fx) = e x + e x è invertibile su tutto R Calcolare esplicitamente la funzione inversa ed il suo dominio 3 Date le funzioni fx) = x 5, gx) = log x logaritmo naturale di x), calcolare le funzioni composte g g f, g f g ed il loro dominio Siano fx) = x + x +, gx) = x Disegnare i grafici di f e di g e determinare domini e immagini di g f e di f g 5 Data la funzione hx) = x x

2 a) esprimere h come prodotto di composizione in cui uno dei fattori è la funzione fx) = x ; b) determinare dominio ed immagine di h 6 Dire se i seguenti insiemi sono limitati superiormente o inferiormente e, in caso affermativo, specificarne estremo superiore, inferiore e eventuali massimo e minimo: a) A = { n+ : n N} ; b) B = { n+ : n Z} 7 Sia A = { n : n N} Verificare che A non è limitato superiormente n+ 8 Verificare che n k= k3 = n n+) n 9 Verificare che 3 n > n n n 0

3 Soluzioni L unica intersezione della retta r : y = +x con la mezza parabola P : y = 3 + x è nel punto x = 3+ 5 L intersezione della retta r : y = x con la mezza parabola P : y = 3 + x è nel punto x = 5 Disegnando i grafici, si vede che la disequazione è soddisfatta per i valori di x compresi tra x e x, cioè per x , Dunque gli estremi dell intervallo sono 3+ 5 e 5 Si tratta della regione di piano compresa tra la parabola y = x e la retta y = x+ 3 Si tratta dei punti della circonferenza unitaria che stanno al di sotto della retta y = x/ Consideriamo separatamente i due insiemi A = { x R : x x+3 > 0} e B = { x R : x + > x } Dobbiamo determinare l insieme A B La disequazione x x+3 > 0 è soddisfatta per x < 3 Pertanto A =, 3 ), + ) ) oppure x > La disequazione x + > x è equivalente al sistema di disequazioni x + > 0 x 0, x + ) > x che è soddisfatto da tutti i valori di x Dunque B = [, + ) Pertanto A B =, + ) { { x x > 0 5 domf) = x R : x 0 Dunque dobbiamo risolvere il sistema di disequazioni x > 0 x > x x 0 Tale sistema è soddisfatto per ogni valore di x Pertanto domf) = [, + ) Allo stesso risultato si può pervenire con una risoluzione grafica La disequazione x x > 0 è soddisfatta dalle ascisse dei punti della retta y = x che stanno al di sopra dei punti della mezza iperbole equilatera y = x Disegnando i grafici e calcolando il punto di intersezione della retta con la mezza iperbole, si trovano i punti di ascissa x }

4 6 domf) = {x R : sin x 0} La disequazione sin x è soddisfatta solo dai valori di x per cui sin x =, dunque dai valori { x = π + kπ, k Z} In corrispondenza a tali valori di x, si ha fx) = 0 Dunque domf) = { π + kπ, k Z}, imf) = {0} Il grafico di f è pertanto l insieme dei punti { π 7 domf) = { x R : { x 0 x + 0 Tale sistema è verificato da ogni valore x Pertanto domf) = [, ] } + kπ, 0), k Z } Calcoliamo f x) = + x + x + = fx) Dunque f è pari e pertanto non è iniettiva Il grafico di f risulta simmetrico rispetto all asse delle y 8 Dobbiamo risolvere la disequazione x x 3x 5 0 x Tale disequazione è soddisfatta per 5 3 x < Pertanto f [, + )) = [ 5 3, ), che è equivalente alla disequazione 9 La funzione non è invertibile su R in quanto è una parabola con asse di simmetria la retta x = e dunque non è iniettiva Il vertice della parabola è il punto V=, 5) Due restrizioni invertibili di f sono: f = f,] :, ] [5, + ), f = f [,+ ) : [, + ) [5, + ) Per ottenere le equazioni delle inverse, si deve ricavare x in funzione di y dall equazione y = x x + 9 L equazione x x + 9 y = 0 ha soluzioni x = ± y 5 Pertanto f y) = y 5 e f y) = + y 5 Effettuando lo scambio delle variabili x e y si ottengono le espressioni delle due funzioni inverse f x) = x 5 e f x) = + x 5 { x 0 Si ha fx) = + x, se x < 0 x x, se x 0 Abbiamo restrizioni invertibili massimali di f: f = f, ] :, ] [, + ) f = f [,0] : [, 0] [, 0] f 3 = f [0,] : [0, ] [, 0] f = f [,+ ) : [, + ) [, + ) Le inverse di tali restrizioni scambiano tra loro dominio e immagine

5 Anzitutto si ha domf) = [, + ) = img), e domg) = [ 3, + ) = imf) Per provare che le funzioni f e g sono l una l inversa dell altra, dobbiamo verificare che f g)x) = x, x 3, e che g f)x) = x, x f g)x) = f + x 3 ) = + x 3 ) + x 3 ) + = x g f)x) = gx x + ) = + x x + 3 = + x ) = x Disegnando il grafico di f e di g si vede che la bisettrice y = x è tangente ai grafici di f e g nel punto di ascissa, e che fx) = gx) se e solo se x = La funzione f è strettamente crescente su R perchè è la somma di due funzioni e x e e x ) strettamente crescenti su R Pertanto f è iniettiva e quindi invertibile su tutto R Per calcolare la funzione inversa f dobbiamo risolvere l equazione fx) = y, ossia e x + e x = y, per x in funzione di y Posto e x = t si ottiene l equazione di secondo grado t + t y = 0, le cui soluzioni sono t = ± + y La soluzione con il segno meno va scartata in quanto + y < 0, mentre t = e x > 0 Si ha dunque e x = + + y x = log + y ) La funzione inversa è f x) = log + x ), con dominio domf ) = {x : + x 0 e + x > } = {x : x e + x > } Naturalmente questa è anche l immagine di f = {x : x e x > 0} = R + = 0, + ) 3 Si ha g fx) = gfx)) = logx 5) e dunque g g fx) = g g fx) ) = log logx 5) ) Il dominio di questa funzione è dato da domg g f) = {x : x 5 > 0 e logx 5) > 0} = {x : x > 5/ e x 5 > } = {x : x > 5/ e x > 3} = 3, + ) Analogamente si ha f gx) = fgx)) = log x 5, g f gx) = g f gx) ) = log log x 5 ), domg f g) = {x : x > 0 e log x 5 > 0} = {x : x > 0 e log x > 5/} = {x : x > 0 e x > e 5/ } = e 5/, + )

6 Il grafico di f è un iperbole equilatera riferita agli asintoti, che sono le rette x = e y = Le intersezioni con gli assi cartesiani sono nei punti A=, 0) e B= 0, ) Il grafico di g è una mezza parabola avente l asse delle x come asse di simmetria e il vertice nel punto V=, 0), rivolta verso la parte negativa dell asse delle ascisse; l intersezione con l asse delle y è nel punto C=0, ) Risulta pertanto: domf) =, ), + ), imf) =, ), + ) domg) =, ], img) = [0, + ) Ricordiamo che la funzione composta g f esiste se e solo se A = imf) domg), e in tal caso il dominio di g f è la controimmagine f A) dell insieme A secondo f, mentre l immagine di g f è l immagine ga) dell insieme A secondo g, cioè domg f) = f imf) domg) ), img f) = g imf) domg) ) Di solito il dominio si calcola direttamente scrivendo l espressione esplicita di g f Per quanto riguarda invece l immagine, la formula insiemistica appena vista è molto utile nei casi in cui le funzioni componenti f, g sono funzioni elementari il cui grafico è noto) mentre la funzione composta non è una funzione elementare e quindi la sua immagine si determinerebbe, in generale, solo dopo avere fatto lo studio di funzione) Nel nostro caso, poiché imf) domg) =, ], esiste g f e si ha: g fx) = x+ = x, x+ x+ domg f) = { x R : x x+ 0} =, ] img f) = g, ]) = [0, + ) Pertanto si avrà: g f :, ] [0, + ) Per la funzione composta f g si scambiano tra loro i ruoli di f e g nelle formule insiemistiche viste sopra Poiché img) domf) = [0, + ), esiste f g e si ha: f gx) = x+ x+, domf g) = { x R : x e x + 0 } =, ] imf g) = f[0, + )) = [, ) Pertanto si avrà: f g :, ] [, )

7 5 a) Si ha hx) = g f)x), dove gx) = x x b) Si ha domf) = domg) = R, imf) = 0, + ), img) = [ 9, + ) Pertanto domh) = R e imh) = g0, + ) = [ 9, + ) Dunque h : R [ 9, + ) 6 a) Si ha A = { n+, n N} = {, 3, 5, 7, } È evidente che tutti gli elementi di A sono minori o uguali a, infatti n+ n +, che è vera n N Ne segue che A è limitato superiormente Poichè A, si ha = max A = sup A È altresì evidente che A è limitato inferiormente, infatti 0 è un minorante di A essendo 0, n N n+ Si intuisce che 0 è l estremo inferiore di A e poichè 0 / A, avremo che 0 = inf A, min A Dimostriamo che 0 = inf A, cioè che 0 è il più grande dei minoranti di A Supponiamo che ciò non sia vero Esisterà allora un numero ε > 0 che è un minorante di A, cioè tale che n+ Ma questa disuguaglianza equivale a ε, n N n +, n N, ε che è falsa in quanto l insieme {n +, n N} dei numeri dispari non è limitato superiormente, e non può quindi esistere un valore maggiore di tutti i dispari ε Concludiamo che qualsiasi numero ε > 0 non è un minorante di A, dunque 0 è il più grande di tali minoranti b) Si ha B = { n+, n Z} = {, 3, 5,,, 3, 5, } In questo caso è facile verificare che = max A = sup A, = min A = inf A 7 Ricordiamo che A R si dice limitato superiormente se esiste un maggiorante k di A, cioè A è limitato superiormente k R : a A, a k

8 Se A non è superiormente limitato vuol dire che non esistono maggioranti di A, e quindi comunque si fissa un k R, per esempio k > 0, vi sarà almeno un elemento di A che è maggiore di k, cioè A non è limitato superiormente k > 0 a A : a > k Sia allora k > 0 e consideriamo la disuguaglianza a > k, cioè n n+ > k ) per n N Questa equivale a n nk k > 0 Ma la disequazione di secondo grado x kx k > 0 è soddisfatta per x < x oppure per x > x +, dove x ± = k± k +k sono le radici dell equazione associata x kx k = 0 il discriminante è = k + k > 0) Preso allora un qualsiasi valore n N tale che n > x + tale valore esiste sicuramente perchè N non è limitato superiormente), si ha che n nk k > 0 Abbiamo così verificato che per ogni k > 0 esistono valori di n N tali che la ) è soddisfatta, cioè abbiamo verificato che A non è limitato superiormente 8 Consideriamo la seguente proposizione dipendente da n N + : n P n) : k 3 = n n + ) k= Per dimostrare che è vera n, utilizziamo il principio di induzione Per n = è vera, infatti 3 = + ) Supponiamo che P n) sia vera per un certo n N + fissato ma generico), e dimostriamo che è vera P n + ), cioè che Poichè si ha n+ k 3 = n + ) n + ) k= n+ n ) k 3 = k 3 + n + ) 3, k= utilizzando l ipotesi induttiva cioè il fatto che P n) è vera), otteniamo n+ k 3 = n n + ) k= k= = n + ) n + n + ) che è quanto dovevamo dimostrare + n + ) 3 = n n + ) + n + ) 3 = n + ) n + ),

9 9 Sia P n) la proposizione P n) : 3 n > n n È facile verificare che questa è vera per n = 0,, Supponiamo che sia vera per n generico e dimostriamo che è vera per n +, cioè che Essendo 3 n+ = 3 3 n, dall ipotesi induttiva segue che Se riusciamo a far vedere che 3 n+ > n + ) n+ ) 3 n+ = 3 3 n > 3 n n ) = 3n n 3n n > n + ) n+ 3) avremo dimostrato la ) Ora la 3) diventa, dividendo per n, 3n > n + ) = n + n > n 3 Quindi la 3) vale non appena n è 3 Abbiamo così dimostrato che se n è un numero naturale 3, allora P n) = P n + ) Prendendo n 0 = 3 come indice iniziale e notando che P 3) è vera in quanto 3 3 > >, abbiamo che P n) è sicuramente vera n 3 come conseguenza del principio di induzione Essendo infine P 0), P ), P ) tutte vere, concludiamo che P n) è vera n 0