Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. V Q 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica

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1 Potenziale Elettico Q V 4pe 0 R Q 4pe 0 C R R R q independenza dal cammino Supefici Equipotenziali

2 Due modi pe analizzae i poblemi Con le foze o i campi (vettoi) pe deteminae posizione e velocità di un copo in moto. Con l enegia (scalae) pe deteminae l evoluzione di un sistema da uno stato iniziale ad uno finale. Enegia Potenziale Elettica L enegia potenziale elettica di un sistema di paticelle puntifomi fisse è uguale al lavoo che un agente esteno deve fonie pe aggegae il sistema stesso. b b b 1 qq 1 2 Δ U = Fids= Fd = d a a 2 a 4πε Δ U = Ub Ua = qq 1 2 4πε 0 b a 0

3 Foze Consevative e Consevazione Enegia l enegia totale è costante ed è la somma di enegia cinetica e enegia potenziale Consevazione enegia meccanica di una paticella 1 Enegia Cinetica non-elativistica K = mv 2 Enegia Potenziale U( x, y, z) 2 deteminata dalla legge di foza pe Foze Consevative l enegia totale è costante: enegia totale = K+U = cost esempi di foze consevative gavità; enegia potenziale gavitazionale U(x)=mgx elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx 2 elettica; enegia potenziale elettica U(x)=kq 1 q 2 /x esempi di foze non-consevative (dissipative) attito moto viscoso (velocità limite)

4 Le foze elettiche sono consevative Consideiamo una paticella caica che si sposta attaveso una egione in pesenza di un campo elettico statico: una caica negativa è attatta veso la caica positiva fissa - + la caica negativa possiede più enegia potenziale e meno enegia cinetica lontano dalla caica fissa positiva, e più enegia cinetica e meno enegia potenziale vicino la caica positiva fissa. Tuttavia, l enegia totale si conseva Intoduciamo oa l enegia potenziale elettica ed il potenziale elettostatico.

5 Potenziale Elettico e Enegia Potenziale Immaginiamo una caica di pova, Q o, in un campo elettico esteno, E(x,y,z) (Ciascuna componente E x E y E z è una funzione di x,y,z) Qual è l enegia potenziale, U(x,y,z) della caica in questo campo? Definiamo abitaiamente dove U(x,y,z) è nulla: a distanza infinita (pe distibuzioni di caica che sono finite) U(x,y,z) è eguale al lavoo necessaio pe potae Q o dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z) Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = Q o V(x,y,z) U dipende da Q o, ma V è independente da Q o (che può essee + oppue -) V(x,y,z) è il potenziale elettico associato con E(x,y,z) V(x,y,z) è un campo scalae

6 Potenziale Elettico... Supponiamo che la caica q 0 si muova da E a attaveso una egione di spazio in cui q 0 è pesente il campo elettico E. Poichè sulla caica agià una foza dovuta ad E, una ceta quantità di lavoo W dovà essee fatto pe ottenee questo isultato. Definiamo la diffeenza di potenziale elettico come: W è la diffeenza di enegia potenziale pe andae da a È una buona definizione? È V - V indipendente da q 0? È V - V indipendente dal cammino? V W W V q q 0 0 ΔV ha una intensità ed un segno: +/- Se - (V più basso), il lavoo svolto dal campo è negativo, mente è positivo quello svolto dalla foza F e Unità di misua: Volt=Joule/Coulomb

7 Indipendente dalla caica di pova? Pe muovee una caica in un campo E, dobbiamo applicae una foza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la caica a causa della pesenza del campo E. lavoo = foza spostamento V V E dl q = 0 F elet F applicata = -F elet q 0 E W F dl q Eidl Indipendente dalla caica. una caica positiva cadà da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Enegia Cinetica, ovveo un lavoo negativo esteno viene svolto. pe fa andae una caica positiva di pova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessaio spendee enegia svolgee un lavoo esteno (ovveo la paticella potebbe pedee enegia cinetica) W i = elet i = 0

8 Esempio 1 una caica singola ( Q = -1μC) è fissa all oigine. Definie un punto a x=+5m e un punto a x = +2m. Qual è il segno della diffeenza di potenziale ta e? (V V - V ) -1μC x (a) V < 0 (b) V = 0 (c) V > 0 La maniea più semplice pe icavae il segno della diffeenza di potenziale è di immaginae di poe una caica positiva nel punto e deteminae se un lavoo positivo o negativo debba essee svolto nl muovee la caica al punto. Una caica positiva in saebbe attatta veso la caica da -1μC; petanto un lavoo esteno NEGTIVO dovebbe essee svolto pe muovee la caica da a. (si noti, il campo E esegue un lavoo positivo su questa caica positiva) Si può anche deteminae il segno diettamente dalla definizione: Poichè, V <0!!

9 Indipendente dal Cammino? V V W q 0 = E d F elet q 0 -F elet E Definizione della diffeenza di potenziale : ΔV =V - V. dl L integale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettico lungo il pecoso da a. La questione è: Dipende questo integale dallo specifico pecoso scelto pe andae da a?

10 Vediamo se è veamente indipendente Consideiamo il caso di un campo costante: via dietta: - V V E i dl Eh = = Notae che dl punta in veso opposto a E. h dl dl θ C E via più lunga: - C C C V V = Eidl Eidl = Ed sin 0 = Esinθ = Eh C ( θ) ( ) icodae cos 90 + θ = sinθ bbiamo almeno un esempio di un caso in cui l integale è lo stesso pe ENTRMI i cammini.

11 Lavoo e diffeenza ( ) di Enegia Potenziale W = F d cos( ) Gavità Elettico mattone spostato y i y f F G = mg (giù) W G = -mgh U G = +mgh caica spostata f F E = kq 1 q 2 / 2 (sinista) W E = -kq 1 q 2 / f U E = +kq 1 q 2 / f y f F g =mg F g =mg h F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg y i F g =mg F g =mg f

12 W 1 = 0 1. Lavoo da eseguie pe avvicinae 3 caiche (da +1, +2 e +3 μc ispettivamente) W 2 = k q 1 q 2 / =(9 109 )( )( )/5 =3.6 mj W 3 = k q 1 q 3 / + k q 2 q 3 / ( )( )( )/5 + ( )( )( )/5 =16.2 mj W totale = mj W E = mj ΔE en.pot.elettica = mj (occhio ai segni!) 5 m m 5 m 2

13 2. Lavoo da eseguie pe avvicinae 3 caiche negative (da -1, -2 e -3 μc ispettivamente) Quanto lavoo ci costeà avvicinae 3 caiche negative? caiche simili si espingono, quindi dovemo ancoa eseguie un lavoo positivo! a) W = mj b) W = 0 mj c) W = mj 5 m m 5 m 2

14 3. Lavoo necessaio pe avvicinae 3 caiche (uguali in valoe assoluto) 2 5 m m 5 m - 3 Il lavoo totale da eseguie (da pate vosta, cioè dello speimentatoe) pe mettee insieme queste caiche è: a) positivo b) nullo c) negativo potae (1): lavoo nullo potae (2): lavoo positivo potae (3): lavoo negativo x 2

15 Potenziale Elettico Unità Joules/Coulomb Volts atteie Pese elettiche Celle fotovoltaiche Dinamo In ealtà sono diffeenze di potenziale Linee Equipotenziali (equilivello) Le linee del campo puntano veso il basso a distanza dalla caica q, avendo scelto in paticolae V( ) = 0 V = q k

16 Potenziale Elettico: caica puntifome bbiamo consideato finoa diffeenze di potenziale. Definiamo il potenziale elettico di un punto nello spazio come la diffeenza di potenziale ta quel punto e un punto di ifeimento. un buon punto di ifeimento è l infinito... tipicamente si pone V =0 quindi il potenziale elettico è definito come: pe una caica puntifome all oigine, integiamo dall infinito lungo un ceto asse, p.es. l asse x è la distanza dall oigine integale di linea V dl V V = E i dl V = Ed ' essendo E = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 q 4 πε ' 1 q q 1 q 1 1 q V = d d 4 πε = ' 4 πε = ' 4 πε = ' 4πε V V V = 1 4πε q V V V = E i dl ( ) V V V 0 2

17 Enegia Potenziale Elettica vs. Potenziale Elettico Enegia Potenziale Elettica (U) l enegia di una caica in un punto. Potenziale Elettico (V) -popietàdiunpunto nello spazio ci dice quale EPE avebbe una caica q se fosse posta in quel punto (genealmente ci ifeiamo a diffeenze di potenziale ta due punti): U = Vq Ciascuna delle due quantità è funzione solo del posto (scalae). Il segno è impotante!

18 Potenziale Elettico Dati te punti,, C in un campo E unifome C E unifome Come è il potenziale elettico nel punto ispetto al punto? 1) maggioe 2) eguale 3) minoe Il campo elettico va da a Il campo è unifome così il potenziale elettico è eguale in tutti i punti Il potenziale elettico in è minoe del potenziale in pechè il punto C intefeisce con il massimo del potenziale in.

19 Potenziale Elettico Dati te punti, e all inteno di un conduttoe e C all esteno, immesi in un campo E unifome C E unifome conduttoe Il potenziale elettico nel punto è??? che nel punto 1) maggioe 2) eguale 3) minoe pechè il campo elettico è nullo in ogni punto all inteno di un mateiale conduttoe

20 Potenziale Elettico + Ε C Il potenziale elettico (geneato dall unica caica positiva) nel punto è??? che nel punto 1) maggioe 2) eguale 3) minoe Le linee del campo elettico puntano veso il basso La linea C è equipotenziale (pependicolae ad E) La linea C è veso il basso, così è ad un potenziale più basso di

21 Potenziale Elettico geneato da un Potone Qual è il potenziale elettico ad una distanza = m da un potone? (Sia V( )=0) V =U/q= k q/ =( C 2 N -1 m -2 )( C) / m= 27.2 volts f = m +

22 Potenziale dovuto ad un insieme di N caiche puntifomi Il potenziale da un insieme di N caiche è popio la somma algebica del potenziale dovuto a ciascuna caica sepaatamente. DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRPPOSIZIONE. = = N V Eidl Eidl ( ) = = = = V V ( ) ( ) n 1 q 1 q 2 q N N n n 1 4πε n= 1 0 n= n = = n= 1 1 x 2 3 In geneale pe un sistema di N caiche puntifomi, il potenziale in un punto a distanza i da ciascuna caica vale: q 3

23 Due Caiche Calcolae il potenziale elettico nel punto dovuto alle caiche pesenti Calcolae V dalla caica +7μC Calcolae V dalla caica 3.5μC Sommali V = kq/ V 7 =( C 2 N -1 m -2 )( C)/5m = V V 3 =( C 2 N -1 m -2 )( C)/5m = V 4 m V tot = V 7 +V 3 = V Quanto lavoo bisogna spendee pe potae una caica da 2 μc dall infinito al punto? Q=+7.0μC 6 m Q=-3.5 μc W=ΔU=ΔVq =( V)(2μC) =+12.6 mj

24 Due Caiche Nella egione II (ta le due caiche) il potenziale elettico è : 1) sempe positivo 2) positivo in alcuni punti, negativo in alti. 3) sempe negativo Ι ΙΙ ΙΙΙ Q=+7.0μC Q=-3.5 μc Molto vicino alla caica positiva il potenziale è positivo Molto vicino alla caica negativa il potenziale è negativo

25 Quale delle seguenti distibuzioni di caica poduce V(x)= 0 pe tutti i punti sull asse delle x? (si definisca V(x) 0 pe x = ) +2μC +1μC +2μC +1μC +2μC -2μC x x x -2μC (a) -1μC -1μC (b) -2μC -1μC La soluzione consiste nel endesi conto che pe calcolae il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguie una somma LGERIC dei contibuti individuali Petanto, pe avee V(x)=0 pe tutte le x, dobbiamo avee che i contibuti +Q e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull asse x deve essee equidistante da +2μC e -2μC ed anche da +1μC e -1μC. Questa condizione è ispettata solo nel caso (a)! (c) +1μC

26 Potenziale dovuto a un dipolo elettico V V P 1 q = 4 q πε 0 + Se il punto P è abbastanza distante saà >>d e quindi P dcosθ e qd cosθ 1 p cosθ = = 4πε 4πε Il potenziale pesenta una simmetia cilindica lungo l asse z e vaia come 1/ 2, divesamente da quello di una caica puntifome 1/. Si noti che pe θ=90 si ha V=0 (nello spostae una caica nel piano xy il dipolo non compie lavoo). Si ossevi che sul piano xy V=0 ma ciò non implica che E=0! 2

27 Potenziale Elettico Cuve Equipotenziali ed Enegia U = qv

28 Supefici Equipotenziali Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale. Esempio: pe una caica puntifome, le supefici equipotenziali sono sfee centate sulla caica. PROPRIET GENERLE : Il campo elettico è sempe pependicolae ad una supeficie equipotenziale. Pechè? Sulla supeficie, NON vi è vaiazione di V (pechè è equipotenziale!) Petanto, E dl = ΔV = 0 E dl Si può concludee alloa, che è nullo. Se il podotto scalae ta il campo vettoiale ed il vettoe spostamento è nullo, quindi i due vettoi sono pependicolai, ovveo il campo elettico è sempe pependicolae alla supeficie equipotenziale. V V = E i dl

29 Supefici Equipotenziali di una sfea caica E Supefici Equipotenziali Il campo elettico della sfea caica ha una simmetia sfeica. Il potenziale dipende solo dalla distanza dal cento della sfea, come ci si aspetta dalla simmetia sfeica. Petanto, il potenziale è costante su una sfea concentica alla caica puntifome. Queste supefici sono dette equipotenziali. Notae che il campo elettico è pependicolae alla supeficie equipotenziale in tutti i punti.

30 Potenziale di una sfea unifomemente caica Esecizio Una sfea isolante di aggio R ha una densità di caica positiva ed unifome con una caica totale Q. Deteminae il potenziale elettico: (a) all esteno e (b) all inteno della sfea.

31 Potenziale di una sfea unifomemente caica Q E = k pe > R Pe il teoema di Gauss, al di fuoi di una sfea unifomemente caica e 2 dietto adialmente veso l esteno essendo Q positiva. Pe ottenee il potenziale nel punto ( ) d Q V = Ed = keq k 2 e pe R caica puntifome = > ( ) Pe il teoema di Gauss, all inteno di una sfea unifomemente caica ( 4 3) ( 2 4 ) q qin = ρv = ρ π e Ed= E π = 3 ( ) q ρ π 3 ρ Q π R 3 Q E = = = = = k pe < R 4πε 4πε 3ε 3ε in 2 2 e R in ε 0 ( )

32 Potenziale di una sfea unifomemente caica Dalla elazione Δ V = E ids kq e kq e ( 2 2 V ) D VC = E R d = d = R 3 R 3 R 2R Q pe continuità deve essee, VC = ke pe = R R ( ) 2 kq e sostituendo VC si ha VD = 3 pe R 3 2 < 2R R D C ( )

33 Potenziale di una sfea unifomemente caica

34 Potenziale di un guscio sfeico conduttoe caico Campo E (Legge di Gauss) < a: E = 0 V Q 4πε 0 a Q 4πε 0 >a: Potenziale E = 1 4πε 0 Q 2 a a a > a: = = V = E i dl = E d = ( ) = = 1 4πε 0 Q < a: E=0, quindi nessun ulteioe cambiamento in V fino a V(a) = a 1 Q V ( ) = E i dl = Ed = Ed Ed = + 0 4πε a = a 0

35 Cosa significa questo isultato? Gafico della componente adiale del campo elettico di un guscio sfeico caico: E Notae che dento il guscio, il campo elettico è nullo. Fuoi dal guscio, il campo elettico diminuisce come 1/ 2. a R V Il potenziale pe >a è dato dall integale di E. Questo integale è semplicemente l aea sotto la cuva E. Q 4πε 0 a a R Q 4πε 0 a a

36 In definitiva... Se conosciamo il campo elettico E, V V = E i dl questa elazione pemette di calcolae il potenziale V ovunque (noto pe definizione V, p.es. V = 0 ) Potenziale dovuto ad n caiche: N N n n n= 1 4πε 0 n= 1 n = = V V ( ) ( ) 1 q Le supefici equipotenziali sono supefici su cui il potenziale è costante.

37 V V = Conduttoi E ds Tesi La supeficie di un conduttoe è sempe una supeficie equipotenziale (infatti, l inteo conduttoe è equipotenziale) Pechè? Se la supeficie non fosse equipotenziale, ci saebbe una componente del campo elettico paallela alla supeficie e le caiche si muoveebbeo di conseguenza!! Similamente a quanto avviene all inteno del conduttoe. Il campo elettico è pependicolae alla supeficie equipotenziale in tutti i punti lungo la supeficie stessa, altimenti, le caiche all inteno si muoveebbeo. Petanto, spostandoci lungo la supeficie, il potenziale non cambia

38 Caica sui Conduttoi Come è distibuita la caica sulla supeficie di un conduttoe? Deve podue E=0 dento il conduttoe e E nomale alla supeficie. esempio Sfeico (con piccola caica fuoi-cento): q E=0 dento il guscio conduttoe. la densità di caica indotta sulla supeficie intena è non-unifome. la densità di caica indotta sulla supeficie estena è unifome E esteno ha una simmetia sfeica ispetto al cento del guscio sfeico conduttoe.

39 Caica sui Conduttoi Come è distibuita la caica su un conduttoe non-sfeico? Evidenza: la densità di caica è maggioe nelle zone con il più piccolo aggio di cuvatua. piccola σ Inolte gande σ 2 sfee, connesse da un filo e distanti Entambe allo stesso potenziale 2 La sfea più piccola 4 0 ha la densità di 2 caica supeficiale 4 0 maggioe! Sulla supeficie di un conduttoe aguzzo il campo elettico può essee abbastanza intenso da ionizzae le molecole dell aia (scaica pe effetto coona). σ Q πε σ = = σ Q πε σ S S S S L L L L L S S L Q QL Q = = 4πε 4πε Q S S S 0 S 0 L L L

40 Supeficie Equipotenziale (Esempio) Le linee del del campo sono più fitte in possimità delle zone con gande cuvatua. Le linee del campo sono alla supeficie in possimità della stessa (poichè la supeficie è equipotenziale). piccola σ piccolo E gande σ gande E Le linee equipotenziali hanno foma simile a quella della supeficie (in possimità della stessa). Le linee equipotenziali sono simili ad un cechio (sfea in 3-D) pe gandi. E = ε σ 0

41 Sfea conduttice Il massimo potenziale su un conduttoe è limitato dal fatto che l aia cicostante diventa conduttice se E = 3 10 max V/m 1 q 1 q essendo E = V = 2 V=ER 4πε0 4πε0 6 R=1 cm 6 V 2 V max = m = 3 10 m 4 V R=1m V 6 V max = m = 3 10 m 6 V

42 Calcolo di E da V Possiamo ottenee il campo elettico E dal potenziale V invetendo la pecedente elazione ta E e V: V V = E ds E x V = x + xdx ˆ V V+dV E y V = y dv = E xdx ˆ = E dx Espesso come un vettoe,e è il gadiente negativo di V E z V = z x E = V

43 coodinate catesiane : coodinate sfeiche : Calcolo di E da V Che cosa significa che E è il gadiente negativo di V? E = V ovveo E= gadv a paole: la diezione della più apida diminuzione di V, (massima pendenza), è la diezione del campo E in quel punto, e l intensità (modulo) di E è esattamente la pendenza. nalogia con la gavità: Consideiamo il caso di un paesaggio (valli e monti)-- una palla accelea veso il basso, e la componente della foza gavitazionale che agisce sulla palla è il gadiente lungo il teeno scosceso. La palla inizia a muovesi lungo la diezione della maggioe pendenza. Lasciando la palla il gadiente 3-D del potenziale gavitazionale punta veso il cento della Tea, ed è la foza dovuta alla gavità. V V V V = xˆ+ yˆ+ zˆ x y z 1 ˆ 1 V = V ˆ + V θ + V ˆ ϕ θ sinθ ϕ

44 Calcolo di E da V: linee equipotenziali Le linee tatteggiate appesentano i luoghi (geometici) equipotenziali (V=cos.)

45 Calcolo di E da V: dipolo elettico Si calcoli il campo elettico in P. Essendo ( ) z = x + z e cosθ = 2 2 x + z 0 ( ) Da un poblema pecedente: 1 p cosθ VP = e sostituendo 2 4πε V P = p 4πε 0 z ( 2 2 x + z ) Dalla elazione E = V si ha E z ( 2 2 ) 32 3 ( 2 2 ) 12 x + z z x + z ( 2z) V p 2 p x 2z = = = z 4πε x + z 4πε x + z ( 2 2) ( 2 2)

46 Calcolo di E da V: dipolo elettico Sull asse del dipolo (x=0) 1 2p Ez = 3 4πε z in accodo con pecedenti isultati, mente lungo l asse z E x =0 pe simmetia. Sul piano mediano del dipolo (z=0) pe punti lontani: 1 p Ez = nche questo in accodo con quanto già icavato, 3 4πε x con maggioe difficoltà, dalla legge di foza. 0 0 Svolgee delle deivate è cetamente più semplice che combinae i contibuti della vaie caiche al campo elettico!

47 Calcolo di E da V: Esempio Consideiamo il seguente potenziale elettico: Quale campo elettico descive?... espimendolo come un vettoe: si ha: V x, y, z = 3x + 2xy z ( ) 2 2 V V V Ex = = 6x 2y Ey = = 2x Ez = = 2z x y z V V V V = xˆ+ yˆ+ zˆ x y z E,, = 6 2 x 2xyˆ + 2zzˆ ( xyz) ( x y) ˆ

48 In definitiva... Se conosciamo il campo E ovunque, V possiamo calcolae la funzione potenziale V ovunque (si ammenti, che spesso definiamo V = 0 in qualche punto ( )) Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque, possiamo calcolae il campo elettico E ovunque Unità di misua del Potenziale V = J/C Unità di misua del Campo Elettico V/m V W q 0 E = V V V = E dl