Nozioni elementari di calcolo differenziale e integrale

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1 Nozioni elementari i calcolo ifferenziale e integrale DIPARTIMENTO DI FISICA E INFN UNIVERSITÀ DEL SALENTO a.a. 013/014 L. Renna - Dipartimento i Fisica 1

2 Sommario 1 Funzioni... 3 Derivate Integrali Sviluppi in serie Funzioni i ue variabili... 7 L. Renna - Dipartimento i Fisica

3 1 Funzioni Si consierino elle granezze B che ipenono a un altra granezza A, nel senso che, fissato il valore i A, resta ben eterminato il valore y i B. Esempi: 1. La raice quarata i un numero ipene al valore i questo numero..la pressione atmosferica in una ata località ipene all istante i tempo in cui viene misurata. Questa proprietà 1. Può essere traotto in una formula. È i natura sperimentale. Il valore i A non può essere fissato arbitrariamente. Definizione: Se, ato un insieme E i punti ell asse esiste una legge che associa a ogni punto i E un ben eterminato numero reale y, iremo che y è una funzione ella variabile (o el punto), efinita nell insieme E. Per inicare ciò si usa la notazione y f () (1) Spesso si scrive semplicemente f() o f. Le funzioni si rappresentano nel piano cartesiano ortogonale Oy (figura 1). Figua 1 L insieme ei punti P(,y) forma una figura che si chiama iagramma o grafico ella funzione. Figura Alcune rappresentazioni i funzioni elementari sono riportate in figura. 3

4 Derivate Sia ata la funzione y = f() efinita in un intervallo E e sia 0 un fissato punto i E. Aumentiamo 0 i un arbitrario incremento Δ su E e enotiamo con ( f ) o) y y f ( 0 ) f ( 0) il corrisponente incremento. Il rapporto si chiama rapporto incrementale ella funzione y = f() relativo al punto 0. Esso è una funzione ella variabile. Per ogni fissato valore 0 ella variabile e ell incremento Δ, il rapporto incrementale fornisce la penenza ella passante per i punti ( 0, f( 0 )) e ( 0 +Δ, f( 0 +Δ)) (retta s 1 in figura 3). ( 0 Figura 3 L equazione ella retta s 1 è: f ( 0 ) y f ( 0 ) ( 0 ) () Diminueno progressivamente l incremento Δ si ottengono rette, quali la retta s, sempre più vicine alla tangente alla curva t nel punto ( 0,f( 0 )). È chiaro che nel limite i 0 la retta s tene alla tangente t. Si efinisce erivata ella funzione f() in, e la si inica col simbolo f ( 0 ), il limite per 0 (se esiste eterminato e finito) el rapporto incrementale: f ( ) f ( 0 ) lim. (3) 0 Il significato geometrico, eucibile alla figura 3, è che la erivata è uguale alla penenza ella tangente alla curva in 0. L equazione ella tangente t è allora: y f ) f ( )( ) (4) ( Altri simboli per la erivata sono: f ( ), Df (). 4

5 La erivata f ( ) g( ) è a sua volta una funzione la quale rappresenta l anamento ella penenza elle tangenti in ogni punto el ominio E ella f(). Per la erivata rispetto al tempo ella variabile (t) si usa anche il simbolo Si efinisce anche la erivata secona. t f ( ) f ( ) (5) e il ifferenziale 1 f ( ) f ( ) f ( ). (6) ( u v) e e Tabella 1 Alcune erivate elementari u e v inicano funzioni arbitrarie i, a e n sono elle costanti u v a 0 n n n1 cos sin tan sec ( au) ln 1 u a v u ( uv) u v sin cos Alcune erivate elementari sono riportate nella tabella 1. 3 Integrali [ u( v)] u v v Consieriamo ora il problema inverso a quello analizzato nel paragrafo preceente: ata una funzione f() in un intervalle E, vogliamo efinire in E un altra funzione F() che abbia per erivata la f(). Si tratta allora i risolvere l equazione F( ) f ( ) (7) nell incognita F(). Se esistono elle funzioni F() verificanti la (7), esse si chiamano funzioni primitive ella f(). Una qualsiasi funzione primitiva ella funzione continua f() si chiama integrale inefinito ella f() e si inica col simbolo f ( ). (8) Questa notazione è equivalente alla seguente: 5

6 F ( ) f ( t) t c (9) a ove c è una costante arbitraria e a un punto comunque fissato nell intervallo E. La (9) rappresenta tutte le primitive i f(). Si può estenere a un intervallo [a, b] l integrale ella funzione f(), che si scrive: b a f ( ). (10) All integrale esteso a un intervallo [a, b] si può are un notevole significato geometrico quano in tale intervallo si ha sempre f ( ) 0. Figura 4 Costruito il grafico ella funzione, si può consierare la regione piana A luogo ei punti (, y) che verificano le a b, 0 y f ( ) 1, cioè limitata alla curva y f () e alle rette = a, = b. Si imostra che l area i A è uguale all integrale ella f () estesa all intervallo [a, b]: b Area i A f ( ). (11) a ( u v) u a e e Tabella Alcuni integrali inefiniti elementari a meno i una costante aitiva arbitraria v a au a n1 n n 1 v u uv ( n 1) cos sin tan ln sec v u 1 ln u sin cos a 1 a e e a 1 La limitazione f() 0 può esseree rimossa se si consierano negative le porzioni i superficie situate al i sorro ell asse. 6

7 4 Sviluppi in serie Sotto opportune conizioni, alcune funzioni si possono convenientemente rappresentare sotto somma i potenze. La convenienza consiste nel poter approssimare una funzione con una lineare (o quaratica). Tabella 3 Alcuni sviluppi in serie Sviluppo Approssimazione ( 1) n( n 1) (1 ) n 1 n ( 1) ( 1 ) n 1 n! e 3 1! 3! e sin sin 3! 5! 4 cos 1 cos 1! 4! 5 Funzioni i ue variabili Per rappresentare il valore i una funzione i ue variabili occorre consierare un grafico a tre imensioni. In questo spazio la funzione è rappresentata a una superficie. Consieriamo uno spazio cartesiano ortogonale a tre imensioni (figura 5) i coorinate (, y, z). Figura 5 7

8 Un punto P in tale spazio può essere la rappresentazione el valore i una granezza fisica che varia in un piano, a es. la temperatura o la pressione in una ata regione. Una funzione z f (, y) è rappresenta graficamente a una superficie (figura 6). Figura 6 (a) Figura 7 (b) 8

9 Una funzione i ue variabili può essere erivata sia rispetto alla variabile che rispetto alla variabile y: ciascuna i tali erivate si chiama erivata parziale. La erivata parziale rispetto a ella funzione i ue variabili z = f(,y) è la erivata ella funzione f in cui la variabile y è trattata come una costante. Analoga efinizione è ata per la erivata rispetto a y. In simbolo:,. y A esempio, le erivate parziali ella funzione z y 1, sono: ( y 1) y, (y 1) 4y. y Geometricamente è facile veere che la erivata parziale rispetto a è la erivata ella funzione ella sola variabile che sui piani y = costante è rappresentata alla curva ottenuta all intersezione ella superficie f(,y) con ciascuno i quei piani (figura 7). Il ifferenziale i una funzione applicato alla funzione i ue variabili z = f(,y) si scrive: f (, y) f (, y) z y. (1) y A esempio, se z y 1, si ha: z y 4yy. 9