Insegnamento di Idrologia. Esercitazione n. 3

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1 Insegnaento di Idrologia Esercitazione n. 3 Si vuole progettare una fognatura nella zona sud di Milano e si accetta un'insufficienza della rete ediaente ogni 20 anni. Per l'analisi idrologica sono disponibili i assii annuali dell'altezza di precipitazione osservati nel periodo al pluviografo di Ronchettino. Deterinare la curva segnalatrice di possibilità cliatica della pioggia puntuale con tepo di ritorno di 20 anni - assuendo che il assio annuale dell'altezza di pioggia di una qualsiasi delle durate considerate sia distribuito secondo la legge di Gubel; - assuendo coe espressione analitica della curva due onoie distinte che si incontrano coe di consueto in corrispondenza della durata di un'ora; - adottando per la stia dei paraetri delle due curve il etodo dell'interpolazione grafica e quello dei inii quadrati. Confrontare la parte della curva di possibilità cliatica così deterinata relativa alle durate aggiori con quella fornita per la stessa zona dall'autorità di bacino del Po. Forule per la stia dei paraetri delle rette interpolanti con il etodo dei inii quadrati Le stie dei paraetri n e b della retta che interpola punti ottenute applicando il etodo dei inii quadrati alle ordinate y e senza iporre ulteriori condizioni sono fornite dalle espressioni b = x i - x i x 2 i - 2 x i i x 2 i - x i = 1 i x i = 1. x 2 i - i 2 x i = 1

2 Quelle ottenute iponendo il passaggio per il punto di coordinate (x 0 y 0 ) sono fornite dalle espressioni x i x 0 y 0 + x i -x 0 i - y 0 = 1 i = 1 x 2 i + x 2 0-2x 0 x i b = y 0 - nx 0. Ronchettino (Milano): assii annuali dell'altezza di precipitazione per diverse durate (dati ricavati direttaente dalle registrazioni effettuate al pluviografo) Durata [h] Anno

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4 Elaborazioni Le elaborazioni possibili sono due l'una alternativa all'altra. Con la pria elaborazione si stiano i paraetri delle due onoie che rappresentano la curva di possibilità cliatica nei capi delle durate rispettivaente inori e aggiori di 1 h utilizzando il etodo dei inii quadrati che si basa su di un procediento essenzialente analitico e non richiede in linea di principio nessuna operazione grafica. Con la seconda elaborazione invece si tracciano le curve (trasforate in rette con l'uso di una carta logaritica) a sentiento e solo dopo averle tracciate si ricavano i valori dei relativi paraetri. Coune a entrabe le elaborazioni è la stia delle altezze di precipitazione con il tepo di ritorno T assegnato corrispondenti alle diverse durate t. Calcolo delle altezze di precipitazione con tepo di ritorno di 20 anni Per ognuna delle 11 durate considerate si calcolano la edia (h) e lo scarto quadratico edio s(h) (corrispondente alla varianza indistorta) del capione dei assii annuali dell'altezza di precipitazione. Quindi si calcolano i paraetri α e u della legge di Gubel con il etodo dei oenti cioè adoperando le relazioni 1283 α = s(x) u = µ(h) σ(h) che legano tra loro edia µ(h) e scarto quadratico edio σ(h) [assunti uguali rispettivaente a (h) e a s(h)] e paraetri α e u. I risultati sono riportati nella tabella seguente. Durata t [h] (h) [] s(h)[ ] α [ -1 ] u []

5 La relazione tra tepo di ritorno e probabilità di non superaento è 1 P = 1 - T. Al tepo di ritorno di 20 anni corrisponde quindi (trattandosi di assii annuali per definizione osservati una volta all'anno) la probabilità di non superaento 1 P = 1-20 = 095. Poiché la probabilità di non superaento P è legata alla portata Q dalla relazione P(h) = exp{-exp[-α(h - u)]} l'altezza di precipitazione h è fornita in funzione della probabilità di non superaento P dalla relazione inversa h = u - 1 α ln( -ln P ) = u α I risultati del calcolo sono riportati nella tabella seguente. Durata t [h] h [] Pria elaborazione: uso del etodo dei inii quadrati Per individuare le due onoie che rappresentano rispettivaente per le durate inferiori e superiori a 1 h la dipendenza dell'altezza di precipitazione dalla durata t si trasforano le due

6 grandezze t e h nei loro logariti naturali. Passando ai logariti la relazione onoia tra le grandezze originarie h = at n si trasfora nella relazione lineare tra i logariti lnh = lna + nlnt che con le posizioni x = lnt y = lnh b = lna si riscrive nella fora y = b + nx. La onoia che fornisce la relazione tra t e h diventa così in carta logaritica una retta i cui paraetri si possono stiare agevolente con il etodo dei inii quadrati senza doverla effettivaente tracciare. Per interpolare al eglio tutti i punti si considerano due onoie una relativa alle durate non inferiori a 1 h e l'altra relativa alle durate inferiori a 1 h. Calcolo dei paraetri della onoia relativa alle durate non inferiori a 1 h Per individuare i valori dei paraetri a ed n si cerca la retta che (su carta logaritica) interpola i punti che hanno coe ascisse le durate da 1 h a 6 h (coprese) e coe ordinate i valori calcolati per le stesse durate dell'altezza di precipitazione h. I paraetri della relazione lineare che lega i logariti delle altezze di pioggia a quelli delle durate si stiano applicando il etodo dei inii quadrati. Allo scopo si calcolano innanzi tutto i valori delle soatorie che entrano nelle espressioni che forniscono i paraetri con il etodo dei inii quadrati. Nel caso qui considerato si ottiene Σx = Σlnt = Σx 2 = Σlnt 2 = Σy= Σlnh =

7 Σx y = Σlntlnh = Sostituendo nelle espressioni (in cui è il nuero dei punti da interpolare) b = x i - x i x 2 i - 2 x i x 2 i - x i x i x 2 i - 2 x i il valore di (uguale a 8) e i valori calcolati delle diverse soatorie si ottiene = b = = a = expb = 494. Quindi la curva segnalatrice di possibilità cliatica valida per durate non inori di 1 h è rappresentata dall'espressione onoia h = 494t Calcolo dei paraetri della onoia relativa alle durate non aggiori di 1 h Ancora passando ai logariti la onoia si trasfora in una retta e i paraetri della relazione lineare si stiano applicando il etodo dei inii quadrati. Questa volta però si ipone il passaggio della retta per il punto avente coe ascissa x 0 il logarito della durata di 1 h (uguale a zero) e coe ordinata il logarito (uguale a 39007) dell'altezza di precipitazione fornita per la durata di 1 h dalla onoia già individuata. Allo scopo si calcolano innanzi tutto i valori delle soatorie che entrano nelle espressioni dei paraetri della retta che interpola un assegnato insiee di punti con il etodo dei inii

8 quadrati conteporaneaente soddisfacendo alla condizione di passare per il punto di coordinate (x 0 y 0 ): Σx = Σlnt = Σx 2 = Σlnt 2 = Σy= Σlnh = Σx y = Σlntlnh = Sostituendo nell'espressione di n (in cui ancora è il nuero dei punti da interpolare) x i x 0 y 0 + x i -x 0 i - y 0 = 1 i = 1 x 2 i + x 2 0-2x 0 x i il valore di (uguale a 3) e i valori calcolati delle diverse soatorie si ottiene (-23671) = Il paraetro a (uguale all'altezza di precipitazione corrispondente alla durata di 1 h) è necessariaente uguale per entrabe le onoie. Così anche per la onoia valida per durate non aggiori di 1 h è a = 494. Quindi la curva segnalatrice di possibilità cliatica valida per durate non inori di 1 h è rappresentata dall'espressione onoia h = 494t Curva di possibilità cliatica valida per tutte le durate In conclusione la curva di possibilità cliatica relativa al tepo di ritorno di 20 anni è fornita dall'insiee delle due onoie sopra riportate. Ci si può rendere conto visivaente del grado di adattaento delle due onoie ai punti sperientali riportando su una carta logaritica sia i punti sia le rette interpolanti. (Per iniizzare gli errori di disegno conviene scegliere i punti

9 che individuano ciascuna retta il più possibile distanti tra loro quindi anche esterni al capo di durate per cui la retta effettivaente rappresenta la curva di possibilità cliatica. Per esepio si possono assuere i due punti in corispondenza delle durate di 01 h e di 100 h.) Seconda elaborazione: tracciaento delle curve a sentiento Il secondo etodo è più seplice e più veloce anche se soggettivo. Dopo avere riportato i punti sperientali su una carta logaritica si tracciano a sentiento le due rette che interpolano eglio i punti. Più precisaente si traccia pria la retta che interpola i punti relativi alle durate non inori di 1 h (il cui tracciaento è generalente più agevole e sicuro) e poi - iponendo il passaggio per il punto della retta già tracciata che corrisponde alla durata di 1 h - quella che interpola i punti relativi alle durate inori di 1 h. La scelta è soggettiva anche se ovviaente finalizzata a ottenere la igliore interpolazione possibile. A questo punto occorre soltanto deterinare i valori dei paraetri delle due rette. Illustriao breveente il procediento per il caso della pria retta. Innanzi tutto si leggono sulla retta in corrispondenza di due durate t 1 e t 2 olto diverse tra loro (anche tanto diverse da risultare esterne al capo di validità della porzione di curva di possibilità cliatica che la retta rappresenta: per esepio la durata di 01 h e quella di 100 h) i corrispondenti valori h 1 e h 2 dell'altezza di pioggia. Ora dalle due relazioni h 1 = at 1 n h 2 = at 2 n si ricava iediataente dividendo ebro a ebro h 1 t n = 1 h 2 t 2 t 1 t n 2 e quindi lnh 1 - lnh 2 lnt 1 - lnt. 2 Il valore di a si ricava poi per esepio dalla relazione h 1 = at 1 n. Nel caso della seconda retta basta ricavare - in odo del tutto analogo - il valore del paraetro n. Il valore del paraetro a è necessariaente uguale a quello già trovato per la pria retta dal oento che il punto che corrisponde alla durata di 1 h è coune a entrabe le rette.

10 Curva segnalatrice di probabilità pluvioetrica riportata nel PAI L'Autorità di bacino del Po fornisce nel proprio sito internet ( i paraetri delle curve segnalatrici di probabilità pluvioetrica da utilizzarsi "per le esigenze connesse a studi e progettazioni che per diensioni e iportanza non possano svolgere direttaente valutazioni idrologiche più approfondite a scala locale". Le curve si riferiscono alla pioggia puntuale sono costituite da una sola onoia e si assuono valide all'interno di una cella quadrata di 2 k di lato. Il docuento è l'allegato 3 al piano stralcio per l'assetto Idrogeologico (PAI) intitolato Paraetri delle linee segnalatrici di probabilità pluvioetrica. Il percorso da seguire per avere accesso al docuento è il seguente: - Hoe - Pianificazione - Direttive tecniche e regolaenti - Direttive tecniche per l'assetto idrogeologico - Direttive sulla piena di progetto da assuere per le progettazioni e le verifiche di copatibilità idraulica - Allegato 3: Distribuzione spaziale delle precipitazioni intense. Per ogni cella sono forniti i paraetri di quattro onoie corrispondenti ai tepi di ritorno di e 500 anni. La onoia relativa alla cella (DC86) che contiene la stazione di Ronchettino è costituita dall'espressione h = 5209t L'espressione benché sia naturalente diversa è sostanzialente in accordo con quelle ottenute con l'una o con l'altra delle due elaborazioni descritte in precedenza.