Radicali. Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato:

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1 Radicali Radice quadrata Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato: il cui grafico è il seguente: Il grafico della funzione si trova al di sopra dell asse delle x ed è simmetrico rispetto all asse delle y. Pertanto si deduce che il quadrato è sempre un numero non negativo e numeri opposti hanno lo stesso quadrato: -3 3 quadrato quadrato 9 L operazione inversa dell elevamento al quadrato si chiama radice quadrata. Definizione Si dice radice quadrata di un numero reale a, positivo o nullo, quel numero reale b, positivo o nullo, tale che elevato al quadrato dà come risultato a. In simboli: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 1

2 Terminologia Indice della radice radicando radice Osserviamo che non esiste la radice quadrata di un numero negativo poiché nessun numero elevato al quadrato è negativo. Pertanto il dominio della funzione radice quadrata è costituito dall insieme dei numeri reali non negativi. Inoltre dato che due numeri opposti hanno lo stesso quadrato, la radice quadrata di un numero dovrebbe dare come risultato due numeri opposti -2 2 Radice quadrata Radice quadrata 4 Questo renderebbe la radice quadrata una relazione e non una funzione perché ad un numero, ad esempio 4, corrisponderebbero due radici +2 e -2. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 2

3 Poiché si vuole considerare la radice come una funzione si preferisce associare a la sola radice positiva. Il codominio della funzione radice quadrata, quindi, è costituito da tutti i numeri reali non negativi. Pertanto il grafico della funzione radice quadrata è: Se confrontiamo il grafico della funzione radice quadrata con i grafici della funzione quadratica e la funzione identica notiamo che: Ad esempio Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

4 Dalla definizione possiamo ricavare due importanti proprietà. Equivale a dire Sostituendo nella (1) b 2 al posto di a otteniamo Questo vuol dire che se l indice della radice è uguale all esponente del radicando la radice è uguale alla base del radicando. Se, invece, sostituiamo nella (2) al posto di b otteniamo: Questo vuol dire che il quadrato della radice quadrata è uguale al radicando. Dalle due precedenti proprietà possiamo scrivere che: Osservazione Dalla definizione di radice quadrata notiamo che a e b sono entrambi non negativi perciò devono sempre avere segno concorde. Esempi Attenzione non è vero perché non c è concordanza di segno tra radicando e radice. Per rispettare la concordanza è necessario scrivere il risultato in valore assoluto Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 4

5 Questa osservazione ci porta a porre molta attenzione quando il radicando è un espressione letterale. Ad esempio: poiché non conosciamo il segno di a Radice cubica Definizione: Si dice radice cubica di un numero reale a quel numero reale b che, elevato al cubo, dà come risultato a. In simboli: Dal seguente grafico relativo alla funzione radice cubica si evince che: il suo dominio è tutto R cioè la radice cubica esiste sempre per qualsiasi numero reale a il codominio è tutto R esiste concordanza di segno tra radicando e radice. Dalla definizione possiamo ricavare due importanti proprietà. equivale a dire Sostituendo nella (1) b 3 al posto di a otteniamo Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 5

6 Questo vuol dire che se l indice della radice è uguale all esponente del radicando la radice è uguale alla base del radicando. Se, invece, sostituiamo nella (2) al posto di b otteniamo: Questo vuol dire che il cubo della radice cubica è uguale al radicando. Dalle due precedenti proprietà possiamo scrivere che: Se confrontiamo il grafico della funzione radice cubica con i grafici della funzione cubica e la funzione identica notiamo che: Un importante proprietà della radice cubica Una semplice, ma importante proprietà della radice cubica ci consente di operare sempre con radicandi positivi in quanto ci permette di portare fuori dal segno radice il segno meno. Illustriamo tale proprietà con un esempio. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 6

7 Sappiamo che: Cambiando di segno la (2) otteniamo: Le radici (1) e (3) sono uguali pertanto possiamo scrivere: Esempi non si deve mettere il valore assoluto Radici n-esime Oltre alle radici quadrate e cubiche si possono considerare radici di qualsiasi indice. In questo caso si parla di radice n-esima per indicare una radice con un indice n. Definizione Si dice radice n- esima, con n pari, di un numero reale a non negativo quel numero reale b, non negativo, che elevato ad n dà come risultato a. In simboli: Definizione Si dice radice n- esima, con n dispari, di un numero reale a quel numero reale b che elevato ad n dà come risultato a. In simboli: Osservazione Tutte le proprietà che valgono per le radici quadrate e le radici cubiche, generalizzando, valgono per le radici n-esime, per cui abbiamo: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 7

8 concordanza di segno tra radicando e radice Non si definisce la radice di indice 0 cioè alla scrittura non si dà nessun significato; mentre alla scrittura si dà il valore a. Potenza di un radicale Dalle proprietà (1) e (2) deduciamo che elevare alla n un radicale equivale ad elevare alla n il suo radicando. La condizione di esistenza e il radicando letterale I radicali ad indice pari esistono solo se il radicando è positivo o nullo, mentre i radicali di indice dispari esistono per qualsiasi valore di R. Ad esempio: Se il radicando, come negli esempi precedenti, è un numero è subito possibile stabilire se il radicale esiste oppure no, ma se il radicando fosse una espressione letterale allora si devono determinare le condizioni di esistenza (abbreviato C.E.) che determinano l insieme dei valori da attribuire alle lettere del radicando affinché il radicale esista. C.E. per indice dispari: i radicali con indice dispari esistono se esiste il radicando C.E. per indice pari: i radicali con indice pari esistono se esiste il radicando ed è maggiore o uguale a zero Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 8

9 Esempi { { Semplificazione di radicali con indice della radice uguale all esponente del radicando Abbiamo già visto che non è vero perché non c è concordanza di segno tra radicando e radice. Per rispettare la concordanza è necessario scrivere il risultato in valore assoluto Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 9

10 Generalizzando la regola si ha: Esempi La proprietà invariantiva Dato un radicale con radicando positivo o nullo, moltiplicando o dividendo l indice della radice e l esponente del radicando per lo stesso numero intero positivo si ottiene un radicale equivalente a quello dato, cioè: Dimostrazione Eleviamo entrambi i membri allo stesso indice np Esempio Osservazione Le uguaglianze vanno lette da sinistra verso destra e da destra verso sinistra. La precedente proprietà letta da sinistra verso destra vuol dire che se si moltiplica l indice della radice e l esponente del radicando per lo stesso numero intero positivo si ottiene un radicale equivalente a quello dato. Letta da destra verso sinistra vuol dire che se si divide l indice della radice e l esponente del radicando per lo stesso numero intero positivo si ottiene un radicale equivalente a quello dato. Pertanto la proprietà invariantiva si può applicare per semplificare un radicale come vedremo in seguito. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 10

11 Osservazione La proprietà invariantiva si può applicare solo se il radicando è maggiore o uguale a zero. Se l indice della radice è dispari e il radicando è negativo applicando la proprietà invariantiva si potrebbe perdere la concordanza del segno come nel seguente esempio: Il primo radicando è negativo e il secondo è positivo per cui estraendo le radici si avrebbe -2=+2. Per estendere la proprietà invariantiva anche ai radicali con indice dispari e radicando negativo si estrae il segno prima dell applicazione della proprietà invariantiva come nel seguente esempio: Osservazione A radicali del tipo positivo. non si deve estrarre il segno prima perché il radicando è già La proprietà invariantiva con radicali aventi radicando letterale La perdita della concordanza del segno si verifica quando l esponente del radicando e l indice del radicale, entrambi dispari, vengono moltiplicati per un numero pari perché in questo caso l esponente del radicando diventa pari. Se invece l esponente non cambia cioè rimane pari o dispari, la concordanza del segno si conserva. Nei radicali con radicando letterale, se il radicando può assumere valori negativi e l esponente viene trasformato da dispari a pari, si deve imporre che sia mantenuta la concordanza del segno. Pertanto, in questo caso, è bene premettere lo studio del segno del radicando per stabilire quando è negativo. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 11

12 Il radicale ha il radicando che può assumere valori negativi e per non perdere la concordanza del segno si ha: { Nel radicale il radicando non assume valori negativi, per cui si può applicare la proprietà invariantiva senza imporre condizioni. Proprietà invariantiva: semplificazione di radicali La proprietà invariantiva si può applica per semplificare i radicali se la base del radicando è maggiore o uguale a zero; se, invece, la base è negativa si potrebbe perdere la concordanza del segno come mostrato nel seguente esempio: Il primo radicale è positivo il mentre il secondo è negativo perché l esponente della base del radicando da pari è diventato dispari. Se il radicando ha base negativa ed esponente che, dopo la semplificazione, passa da pari a dispari, allora, per garantire la concordanza del segno il modulo alla base. La concordanza del segno, invece, si conserva se l esponente della base del radicando, dopo la semplificazione, rimane dispari o rimane pari come nei seguenti esempi La stessa procedura si applica anche quando il radicando è letterale: ogni volta che, studiando il segno del radicando si trova che la base può essere negativa, se l esponente del radicando passa da pari a dispari, allora si mette il modulo per garantire la concordanza del segno come nel seguente esempio: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 12

13 Riduzione dei radicali allo stesso indice Il confronto tra due radicali aventi lo stesso indice è semplice perché è maggiore il radicale con radicando maggiore: Se i radicali hanno indice diverso allora, per confrontarli, bisogna ridurli allo stesso indice applicando la proprietà invariantiva. Ad esempio, per confrontare con riduciamo entrambi i radicali allo stesso indice moltiplicando l indice della radice e l esponente del radicando rispettivamente per 4 e per 3 Praticamente: l indice comune dei due radicandi è uguale al m.c.m. degli indici e gli esponenti dei radicandi si ottengono dividendo il m.c.m. per l indice della radice e moltiplicando il risultato per l esponente del radicando. Moltiplicazione e divisione di radicali con lo stesso indice Il prodotto di radicali aventi lo stesso indice è uguale ad un radicale avente lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi: Il quoziente di radicali aventi lo stesso indice è uguale ad un radicale avente lo stesso indice e per radicando il rapporto dei radicandi: Se i radicali da moltiplicare o da dividere hanno indici diversi, prima si riducono allo stesso indice e poi si moltiplicano o si dividono. Esempi Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 13

14 Radice di radice La radice di un altra radice è uguale a una radice avente lo stesso radicando e indice uguale al prodotto degli indici delle radici: Esempi Portare fuori dal segno di radice Consideriamo che, utilizzando le proprietà dei radicali, possiamo scrivere come: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 14

15 Osserviamo che l esponente del fattore del termine fuori dal segno di radice è uguale al quoziente della divisione fra l esponente del radicando e l indice della radice (7:2). L esponente del termine che rimane sotto la radice è uguale al resto di tale divisione. Generalizzando: dato il radicale con radicando maggiore o uguale a zero e indice della radice n minore o uguale dell esponente del radicando m; indicando con q il quoziente della divisione m:n e con r il suo resto si ha: Si possono estrarre dalla radice solo i fattori del radicando con esponente maggiore o uguale all indice della radice. Nel caso in cui non è noto il segno della base del radicando bisogna stare attenti a mantenere la concordanza del segno mettendo, eventualmente, il modulo; questo succede quando nell estrazione gli esponenti da pari diventano dispari. Esempio 1 La concordanza del segno è garantita dagli esponenti pari di a. Esempio 2 La concordanza del segno è garantita dal modulo poiché gli esponenti di a da pari diventano dispari. Esempio 3 Poiché si possono portare fuori dal segno di radice solo fattori bisogna scomporre il radicando mettendo in evidenza 4x 4 Portiamo fuori x 4 La concordanza del segno è garantita dal modulo visto che l esponente della x da pari diventa dispari. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 15

16 Portare sotto il segno di radice Il coefficiente positivo di un radicale può essere trasportato sotto il segno di radice con un procedimento inverso rispetto all estrazione di fattori dalla radice e precisamente: si porta il coefficiente sotto il segno di radice elevando il suo esponente all indice della radice e moltiplicandolo per il radicando: Se il coefficiente è negativo e l indice della radice è dispari vale ancora la regola precedente. Esempio Nel caso in cui il coefficiente è negativo e l indice della radice è pari si perde la concordanza del segno. In questo caso si lascia fuori dalla radice il segno meno e si porta sotto la radice il modulo del coefficiente. Esempio In generale: { Esempi ( ) ( ) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 16

17 { Addizione e sottrazione di radicali Definizione Due radicali si dicono simili se, semplificati fino ad essere irriducibili, differiscono solo per il coefficiente, cioè se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Ad esempio sono simili i seguenti radicali: Non sono simili: Definizione La somma algebrica di più radicali simili è un radicale simile che ha come coefficiente la somma dei coefficienti. Osservazione Spesso, prima di sommare, è necessario rendere i radicali simili semplificando oppure portando dentro o fuori dal segno di radice. Esempi Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 17

18 Attenzione Razionalizzazione del denominatore di una frazione Per agevolare i calcoli con i radicali è opportuno, quando si incontra una frazione avente al denominatore un radicale trasformarla, applicando la proprietà invariantiva delle frazioni, in una frazione equivalente che non abbia radicali al denominatore. Questa operazione prende il nome di razionalizzazione. Esamineremo questo procedimento solo in alcuni semplici casi. Primo caso: il denominatore è un radicale quadratico eventualmente moltiplicato per un coefficiente. Supponiamo che la frazione sia della forma Per razionalizzare il denominatore si moltiplicano il numeratore e il denominatore per (fattore razionalizzante) Esempio Secondo caso: il denominatore è un radicale di indice n>2. Supponiamo che la frazione sia della forma Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 18

19 Il fattore razionalizzante è: Esempio Terzo caso: il denominatore è la somma algebrica di due radicali quadratici o di un radicale quadratico e di un numero razionale come ad esempio Per togliere dal denominatore le radici bisogna elevarle al quadrato. Questo ce lo consente il prodotto notevole (A-B)(A+B)=A 2 -B 2. Nell ipotesi a>0 e b>0 i fattori razionalizzanti si deducono facilmente e sono riassunti nella seguente tabella denominatore Fattore razionalizzante Esempi ( ) ( ) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 19

20 Radicali doppi Un radicale doppio è un espressione del tipo: Un radicale doppio può essere trasformato nella somma algebrica di due radicali semplici quando è un quadrato perfetto. In questo caso, per la trasformazione si applicano le seguenti formule: Esempio Trasformare il radicale doppio nella somma di due radicali semplici. Potenze con esponente razionale Definizione Si definisce potenza ad esponente razionale di un numero reale positivo a l espressione: Leggendo la precedente uguaglianza da destra verso sinistra si ha: Cioè un radicale può essere scritto come potenza con esponente frazionario. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 20

21 Definizione Si definisce potenza ad esponente razionale - di un numero reale positivo a l espressione: Osservazione Vediamo perché la potenza non è definita per a<0. Innanzitutto non avrebbero significato tutte le potenze con base negative ed esponente frazionario con denominatore pari Perché condurrebbero ad espressione radicali prive di significato In altri casi si andrebbe incontro ad ambiguità come nel seguente esempio Pur essendo le basi e gli esponenti uguali si avrebbe Per questo motivo si conviene di non considerare tra le potenze con esponente frazionario quelle con base negativa. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 21