DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

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1 DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

2 Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti immagini, allora è detto incremento della variabile, e è detto incremento della funzione. Il rapporto è detto rapporto incrementale della funzione. y y y f ) f) f + ) f) y Si chiama derivata della funzione f) rispetto alla variabile, e si indica con rapporto incrementale al tendere a zero dell incremento della variabile, cioè y lim 0 dy d, il limite, se esiste, del La grandezza algebrica della derivata esprime il coefficiente angolare della tangente nel punto del grafico della funzione f). La derivata esprime la velocità di variazione della funzione nel punto considerato. Eample. Trovare la derivata della funzione y Calcoliamo il rapporto incrementale y f + ) f) + ) + ) Calcoliamo il limite di tale rapporto lim 0 y + ) Eercise. Trovare l incremento della funzione y corrispondente alla variazione dell argomento: da a : calcoliamo y y 4 Eercise. Calcolare y per la funzione y, se a e h Soluzione: sappiamo che y y y, dove y e y sono le immagini di e. Troviamo + a + h pertanto y a + h y a y a + h a

3 RAPPORTO INCREMENTALE Rapporto incrementale Eercise. Calcolare l incremento y ed il rapporto incrementale per le funzioni: y ) per e 0, 4: calcoliamo + 0, 4, per cui il rapporto incrementale sarà y y Eercise 4. Determinare y e il rapporto incrementale corrispondenti alle variazioni dell argomento da a + per le funzioni: y a + b: il rapporto incrementale sarà y y y a + ) + b a + b a y a a y : il rapporto incrementale sarà y y y + ) + ) + ) y + ) + ) + + ) y : il rapporto incrementale sarà y y y + ) y + ) razionalizzando il numeratore, si ottiene infine y + ) ) + ) + + ) + y ln : il rapporto incrementale sarà y y y ln + ) ln y ln + ) ln applicando la proprietà dei logaritmi ln a ln b ln ) a b, si ottiene ) ) y ln + ln + Eercise 5. Determinare il coefficiente angolare della secante alla parabola y se le ascisse dei punti di intersezione sono: e : osserviamo la figura

4 LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE 4 e y y y 4 4) ) ; il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell angolo indicato in figura come α, per cui m tan α Eercise 6. La legge di moto di un punto è s t + t + 5, con s in cm e t in s. Qual è la velocità media nell intervallo di tempo compreso tra gli istanti t e t 5? Soluzione: la velocità media per definizione è data dal rapporto s t, cioè il rapporto incrementale della legge oraria, vista come s ft). Calcoliamo i due incrementi { s s 5 s m t t 5 t 5 4 s il rapporto incrementale, e quindi la velocità media, sarà s t 60 m 4 s 5m s [il calcolo della velocità media corrisponde alla individuazione del coefficiente angolare della retta secante nei due punti assegnati, la curva che esprime la legge oraria. Eercise 7. Determinare il rapporto y per la funzione y Soluzione: Da 0.0 e, si può ottenere +.0 y y , Limite del rapporto incrementale Eercise 8. Calcolare la derivata della funzione y tan nel punto per 0, 0. Soluzione: la derivata è il limite del rapporto incrementale per 0. Calcoliamo prima il rapporto incrementale y tan + ) tan sin+ ) cos+ ) sin cos sin cos +cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin + sin sin cos cos cos sin sin ) sin cos cos cos sin sin )

5 ESERCIZI DI DERIVAZIONE 5 calcoliamo il limite di tale rapporto Tabella riassuntiva lim 0 sin cos cos cos sin sin ) sin lim 0 cos cos + ) cos Regole principali di calcolo delle derivate Se c è una costante e f) e g) sono le funzioni derivabili, allora c) 0 cf )) cf ) ) f ) g )) f ) g ) + f ) g ) f ) ± g )) f ) ± g ) Tavola delle derivate delle funzioni principali f) g) ) f )g) g )f) g)) n ) n n arccos ) ) arctan ) + sin ) cos a ) a ln a cos ) sin e ) e tan ) cos ln ) > 0 cot ) sin log a ) log a e arcsin ) per < Regola di derivazione per le funzioni composte per < Se y fz) ed z g), cioè y f[g)], dove le funzioni f, g sono derivabili, allora Esempio: dy d dy dz dz d y + ) 5 poniamo y z 5, dove z + ). Si ha quindi z 5) + ) 5z 4 ) 0 ) + ) 4 z Esercizi di derivazione Funzioni algebriche. Eercise 9. Calcola le derivate delle funzioni assegnate: y : applichiamo la regola delle derivate di una potenza n ) n n ai singoli termini del polinomio e la derivazione di una costante per il termine noto c) y : per le funzioni polinomiali utilizziamo sempre la regola di derivazione delle potenze n ) n n +

6 ESERCIZI DI DERIVAZIONE 6 y 5 a : 5 a y at m + bt m+n : la stessa regola di derivazione in un caso tutto algebrico amt m + b m + n) t m+n y a6 + b : la derivata è rispetto alla variabile, tutte le altre lettere sono considerate come a + b costanti 6a5 a + b y π + ln : anche qui π e ln rappresentano dei valori numerici costanti, mentre π y 5 + : potenze con esponente negativo e razionale, cioè radici cubiche e quadrate; tutti questi termini possono sempre essere trattati secondo la regola della derivazione di una potenza y : questa funzione può essere riscritta sotto forma di un unica potenza: y y a b : trasformiamo le radici al denominatore come potenze con esponente frazionario negativo: y a b 4 a b 7 y + : questa è una funzione polinomiale fratta; la sua derivata viene calcolata applicando la derivazione delle singole potenze al numeratore e al denominatore e la regola di derivazione di un rapporto y f) g) ) f )g) g )f) g)) ) 5) 5 + 5) ) : possiamo prima sommare le due frazioni e poi derivare la frazione risultante: y ; in questo caso la derivata del numeratore è nulla + ) 4 + ) y + : applichiamo la regola di derivazione di un rapporto di funzione e la derivata elementare relativa ad una radice quadrata + + ) ) )

7 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE 7 Funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse y 5 sin + cos : ricordiamo le derivate delle funzioni goniometriche, sin ) cos e cos ) sin 5 cos sin y tan cot : ricordiamo le derivate delle due funzioni, tan ) cos e cot ) sin cos + sin sin cos y f) g) sin + cos : derivo applicando le derivate fondamentali e la regola di derivazione del rapporto sin cos ) f )g) g )f) g)) cos sin ) sin cos ) cos + sin ) sin + cos ) sin cos ) cos sin ) cos + sin ) sin cos ) cos + sin ) sin cos ) sin cos ) y sin ) cos : oltre alle derivate fondamentali delle potenze e delle funzioni goniometriche, utilizzeremo anche la regola per la derivata di un prodotto: f ) g )) f ) g ) + f ) g ), [le parentesi non sono necessarie, ma servono per mostrare le varie parti in cui suddividiamo la derivazione] [) sin + cos )] [ ) cos + ) sin ) ] sin + cos cos + ) sin sin y cot : basta applicare la regola della derivata di un prodotto ) cot + ) sin cos sin sin y arcsin : come sopra ) ) arcsin + arcsin + ) + arctan y : anche in questo caso applichiamo le regole del prodotto e della somma; questa non è una funzione fratta e non richiede la regola del quoziente) [ ) arctan + + ) ) ] + arctan Funzioni esponenziali e logaritmiche y 7 e : ricordiamo che la derivata di e ) e e applicando la regola del prodotto, si ha 7 6) e + 7 e 6 e 7 + ) y ) e : deriviamo applicando la regola del prodotto, sapendo che ) e + ) e e

8 FUNZIONI COMPOSTE 8 y e : deriviamo applicando la regola del quoziente, f) g) ) ) f )g) g )f), sapendo che g)) e e 4 e ) 4 e ) y e cos : applichiamo la regola del prodotto, ricordando che cos ) sin e cos + e sin ) e cos sin ) y + ) e : applichiamo la regola del prodotto ) e + + ) e e y e arcsin : ricordiamo che arcsin ) e arcsin + e y : applichiamo la regola del prodotto, ricordando che ln ) ln ) ln ln ln ) ln y ln : regole del prodotto e della somma ) ln + ln y ln + ln : regola della quoziente e della somma + ln + + ln + ln y ln log ln a log a : regola del prodotto e della somma, ricordando che log a ) rappresenta log a con a 0, mentre ln a è una costante e log + ln log ln alog a e ) ln ln e + ln ln 0 ln 0 ln e log a e ; log Funzioni Composte y + 5 ) 0 : il polinomio + 5 ) rappresenta la base della potenza con esponente 0. Deriveremo pertanto come una potenza; essendo però la base una funzione di, dovremo moltiplicare anche per la derivata di tale polinomio ) 9 0) ) a + b y : una funzione polinomiale come base di una potenza, si procede come nel precedente c esercizio ) a + b a ) c c

9 FUNZIONI COMPOSTE 9 y + ) 4 : come i due esercizi precedenti 4 + ) 4) 6 + ) y 7 : in questo caso il polinomio base di una potenza è il denominatore della frazione e 56 ) ) ciò richiede l utilizzo anche della regola del quoziente f) g) f )g) g )f) g)) 56 7 )6 ) ) 4 4 ) 8 y : radice con radicando funzione di ) y a + b : riscriviamo prima la radice cubica come potenza ad esponente frazionario y a + b ) e deriviamo secondo la regola delle potenze a + b ) b ) b a + b ) b a + b ) y sin ) 5 : sempre come potenza per la derivata del polinomio base 5 sin ) 4 cos ) 0 cos sin ) 4 y tan tan + 5 tan5 : si può considerare come un polinomio in tan e derivare secondo le modalità delle funzioni polinomiali, tenendo conto che tan è appunto a sua volta una funzione di, e che la sua derivata è data da tan ) cos cos tan cos tan4 cos tan cos + tan 4 ) y cot cot α: qui si tratta di ricordare le due derivate fondamentali della cotangente della radice quadrata ; la cot α si deve considerare come una costante cot ) sin sin e y + 5 cos : + 5 cos ) sin ) 5 sin cos y 6 cos ) : può essere riscritta come y 6 cos ) e quindi derivata come una potenza la cui base contiene la funzione coseno [ 6 cos ) ] sin ) sin cos ) sin cos ) y cos ) cos : si può derivare come una funzione quoziente f) g) f )g) g )f) g)) 9 cos ) sin ) 9 cos 6 sin cos 4 + sin cos sin cos sin cos cos + )

10 FUNZIONI COMPOSTE 0 sin cos y : richiede la derivazione del radicale, moltiplicata per la derivata del radicando 5 polinomio composto da funzioni goniometriche), cioè f) f ) f) ) cos + sin sin cos 5 5 y sin + cos : applichiamo la derivata di una somma che è uguale alla somma delle derivate; il primo addendo si può derivare trasformandolo come sin, e il secondo come cos y sin sin cos ) cos 4 sin ) arctan : basta riscriverla come arctan arctan + sin + sin cos 4 y e + : deriviamo il radicale quadrato e lo moltiplichiamo per la derivata del radicando, che contiene un prodotto di funzioni e ), f ) ± g )) f ) ± g ) e + e + e + ) y e + + ln 5 : deriviamo separatamente i due addendi; in questo caso ricordiamo le derivate dei due esponenziali, cioè ln ), mentre ) ln e + e ln ) + 5 ln 4 y sin + cos 5 + tan : basta applicare le derivate delle funzioni logaritmiche cos sin cos y sin 5 + ) + tan a : si derivano le funzioni goniometriche moltiplicando poi per la derivata dei rispettivi argomenti, che sono funzioni dell incognita cos 5 + ) 5) + cos a a ) y arcsin : come per l esercizio precedente, ricordando che la derivata dell arcoseno è arcsin ), per cui ) 4 y 5e : derivata della funzione esponenziale moltiplicata per la derivata dell esponente 5e ) 0e y ln + 7): + 7 ) + 7

11 FUNZIONI COMPOSTE y ln sin : l argomento del logaritmo è una funzione goniometrica di ; deriviamo prima il logaritmo moltiplicando poi la derivata del seno cos ) cot sin 8 y 8 4 : la funzione è fratta e quindi va applicata la regola del quoziente, all interno della ) quale, la derivata del denominatore richiede la derivazione di una funzione composta ) ) 4 [ ) ] ) 8 64 ) ) ) ) 64 ) [ + ] 64 ) 8 7 ) ) 8 7 ) 5 + y : il secondo membro presenta una frazione con numeratore irrazionale; si deriva la frazione, secondo la regola del quoziente ) f) g) data dalla derivata della radice f) per la derivata del radicando, f ) + 4 ) + f )g) g )f) ; la derivata del numeratore sarà g)) y a + ) a : la derivata di un prodotto, f ) g )) f ) g ) + f ) g ), il secondo fattore andrà derivata come i radicali di indice due: ) a + a + ) a a ) a a a a y + : scriviamo la radice cubica sotto forma di potenza, + ), deriviamo la potenza moltiplicando per la derivata della base che contiene anche un radicale ) + + ) y ln + e ) : dobbiamo derivare la funzione logaritmica e moltiplicare per la derivata del suo argomento + e + e e ) e + e + e ) y tan 5 5: deriviamo la potenza, moltiplicando per la derivata della tangente e per la derivata del suo argomento 5 tan 4 5 cos sec 5 tan 4 5 y sin ) : deriviamo la potenza, moltiplicando poi per la derivata della funzione goniometrica per la derivata del suo argomento sin ) cos ) ) sin )

12 FUNZIONI COMPOSTE y arcsin : deriviamo prima la funzione arcoseno, moltiplicando poi per la derivata dell argomento, una funzione polinomiale fratta ) ) ) ) 4 4 ) y arccos : applichiamo la regola di derivazione del quoziente di due funzioni; il denominatore è a sua volta funzione di ) ) arccos + arccos + arccos ) y ln arcsin 5): deriviamo la funzione logaritmo, moltiplicando per la derivata del suo argomento e per la derivata dell argomento dell arcoseno arcsin y arcsin ln ): deriviamo la funzione arcoseno, moltiplicando per la derivata del suo argomento ln ln sin α y arctan : deriviamo la funzione arcotangente, moltiplicando poi per la derivata del suo cos α argomento la variabile è, e quindi la derivata è rispetto ad ) + sin α cos α ) sin α cos α) + cos α sin α) cos α) sin α sin α cos α + sin α cos α sin α ) cos α) + cos α cos α+ sin α + cos α cos α) y cos a cos : applichiamo la regola della derivata del prodotto di due funzioni un radicale e un esponenziale) tenendo conto che tali funzioni sono a loro volta funzioni della variabile sin a ) cos + cos a ) ) cos sin ln a cos sin cos cos a cos + ln a cos ) y ln cos : deriviamo prima la funzione logaritmo, moltiplicando poi per la derivata del suo argomento e per la derivata dell argomento della funzione coseno, che è una funzione polinomiale fratta cos sin ) ) + tan )5 y ln + ) : applichiamo prima le proprietà dei logaritmi, ln a b ln a ln b, e ln an n ln a, ottenendo, derivando le funzioni logaritmo, si ha y 5 ln ) ln + ) ) + ) + ) + )

13 FUNZIONI COMPOSTE y sin ) ln π 4 : applichiamo la regola di derivazione del prodotto di due funzioni sin ln π ) + cos ln π ) ) sin ln π ) + cos ln π ) ricordando le formule della goniometria può essere riscritta sin ln ) Eercise 0. Calcolare se y o se y caso y : ricordando il significato del valore assoluto, se y > 0 y se y < 0 y y se y 0 y 0 non esiste caso y se y > 0 y se y < 0 y se y 0 y 0 non esiste Eercise. Calcolare f ) se Soluzione: f) f) { per 0 e per > 0 { per 0 e per > 0 Eercise. Calcolare f 0) se f) e cos Soluzione: Si chiede di calcolare la derivata della funzione nel punto indicato; ciò si ottiene calcolando la derivata e operando la sostituzione 0 sostituendo 0, si ha f ) e cos + e sin ) e cos + sin ) f 0) e 0 cos 0 + sin 0) + 0) Eercise. Per la funzione data f) e calcolare l espressione f0) + f 0). Soluzione: calcoliamo f0) e 0 ; calcoliamo poi la derivata nel punto 0 f 0) e e 0 pertanto f 0) + f 0) Eercise 4. Per le funzioni date f) e g) sin π, calcolare l espressione g ) f )

14 FUNZIONI COMPOSTE 4 Soluzione: Calcoliamo le derivate delle due funzioni calcoliamo ora le derivate nel punto f ) g ) π f ) g ) 0 cos π il loro rapporto sarà g ) f ) 0 Eercise 5. Dimostrare che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari e che la derivata di una funzione dispari è una funzione pari. Soluzione: Una funzione è pari se f ) f ) calcoliamo la derivata [f )] f ) [f )] f ) dando quindi una funzione dispari. Analogamente, una funzione è detta dispari se f ) f ) derivando si ha [f )] f ) [ f )] f ) cioè la stessa derivata, con la conseguenza richiesta. Eercise 6. Mostrare che la funzione soddisfa l equazione y e ) y Soluzione: deriviamo la funzione y e + e ) e sostituiamo ) e e ) e svolgendo le moltiplicazioni in entrambi i membri, si ha e e e e

15 DERIVATE DI FUNZIONI NON ESPLICITE 5 Derivate di Funzioni non esplicite Derivata di una funzione inversa. Se la funzione y f ) ha una derivata 0, allora la derivata della funzione inversa f y) è data da y ) Eample 7. Calcolare la derivata y della funzione Calcoliamo la derivata di y rispetto ad y + ln + + Pertanto, la derivata di, rispetto ad y, sarà + + Eercise 8. Calcolare la derivata y, nei seguenti casi y + : calcoliamo la derivata +, y sin : e y + e : y + cos y cos + e e quindi y + e Derivata di una funzione implicita. Se la dipendenza tra le due variabili è espressa da una relazione del tipo F, y) 0 allora, per calcolare la derivata di y rispetto ad, basta, nei casi semplici, calcolare la derivata rispetto ad del primo membro dell equazione, dove si considera y una funzione di calcolare d d [F, y)] 0 risolvere rispetto alla derivata di y,. Eample 9. + y ay 0: Calcoliamo la derivata + y a y + ) 0 risolvendo rispetto a si ottiene ay a y

16 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 6 Applicazioni della derivata alla geometria e alla fisica Equazione della tangente a una curva. Ricordando l interpretazione geometrica della derivata, segue che, assegnata una curva y f), l equazione della tangente alla curva in un punto P 0; y 0)è y y 0 0 0) che, come si vede, è l equazione della retta passante per un punto il cui coefficiente angolare è uguale alla derivata della funzione calcolata nel punto P ; cioè m 0 dy d 0 Angolo tra due curve. Date due curve, le cui equazioni sono y f ) e y f ), si definisce come angolo, α, in un loro punto comune, P 0; y 0) quello formato dalle rispettive tangenti in questo punto. La relazione si ricava dalla trigonometria, ricordando quanto sopra detto, m 0 tan α tan α f 0) f 0) + f 0) f 0) Eercise 0. Trovare l angolo ϕ formato dall asse e dalla tangente alla curva y nel punto di ascissa. Soluzione: La funzione assegnata è l equazione di una parabola passante per l origine termine noto uguale a zero); Il punto considerato avrà coordinate y 0 una intersezione della parabola con l asse. Per ottenere l equazione della tangente in questo punto, calcoliamo la derivata della funzione y se, la derivata sarà. L equazione della tangente sarà L angolo formato sarà e quindi y 0 ) y + tan α 0 α arctan ) 5 Eercise. Determinare gli angoli formati dalle sinusoidi y sin e y sin e dall asse delle ascisse nell origine del piano cartesiano. Soluzione: calcoliamo le derivate delle due funzioni cos cos il loro valore nell origine è y 0) y 0) la derivata nel punto indica il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto, per cui tan α tan β cioè α 45 β arctan Eercise. Determinare l angolo sotto il quale la curva y e 0.5 interseca la retta.

17 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 7 Soluzione: Determiniamo prima il punto di intersezione tra la retta e l esponenziale: { { y e 0.5 y e ricordando che tale angolo è quello formato tra la tangente all esponenziale e la retta nel punto assegnato, è necessario calcolare la derivata m tan α ) e questo angolo è quello formato dalla curva con l asse, cioè complementare a quello richiesto, ω, che sarà ω π α quindi tan ω cot α e ω arctan e Eercise. Determinare il punto della parabola y 7 + nel quale la tangente è parallela alla retta 5 + y 0 Soluzione: se la tangente è parallela alla retta data, il suo coefficiente angolare è lo stesso della retta, cioè, m a b 5 5. Ora il coefficiente angolare è uguale alla derivata della curva nel punto assegnato; quindi 7 5 cioè il punto sarà quindi P { y Eercise 4. Determinare il punto della curva y nel quale la tangente è perpendicolare alla retta 4 y + 0. Soluzione: determiniamo il coefficiente della retta assegnata m a b 4 la retta perpendicolare avrà coefficiente angolare antireciproco, cioè m perp 4 calcoliamo la derivata della funzione implicita y 0, y 6 0 y ± tale derivata deve essere uguale a /4; pertanto ± 4 cioè, con > 0 moltiplicando per il mcm elevando al quadrato ± 4 ± 8

18 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 8 8 le ordinate dei punti si ottengono sostituendo il valore trovato nella funzione y ± 8 ± 6 Eercise 5. Determinare l angolo di intersezione delle due parabole y ) y Soluzione: l angolo richiesto è quello formato dalle tangenti alle due curve nel punto di intersezione; calcoliamo pertanto la loro intersezione { y ) risolvendo la seconda equazione, si ha che dà i punti saranno quindi A4; 4) e B; ). Determiniamo ora le derivate delle due funzioni calcoliamo tali derivate nei due punti trovati ) 4 e ) 4) e ) 4 le rette tangenti sono tra loro parallele e quindi l angolo formato sarà lo stesso; applicando la formula per la determinazione di tale angolo tan α f 0) f 0) +f 0) f 0), si ottiene tan α l angolo sarà pertanto α arctan 6 ) Eercise 6. Mostrare che le iperboli y a y b si intersecano sotto un angolo retto. Soluzione: calcoliamo le funzioni che esprimono tutti i coefficienti angolari delle tangenti alle due curve in ogni punto mediante la derivata delle rispettive funzioni ed eguagliamole a zero y a ) y + y 0 y b ) yy 0 y y i due coefficienti angolari sono antireciproci, y e quindi le tangenti saranno sempre tra loro perpendicolari. Eercise 7. La legge di moto di un punto sull asse OX è t t Determinare la velocità di questo punto negli istanti t 0 0, t e t

19 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 9 d Soluzione: la velocità istantanea è definita come la derivata di derivate puntuali per i tempi indicati: 0) t ) t 0 ) t 9 dt. Si tratta quindi di calcolare le Eercise 8. La legge di moto di un punto materiale lanciato in alto nel piano verticale OXY con un angolo α con l orizzonte e con velocità iniziale v 0 è data dalle formule trascurando la resistenza dell aria) v 0 t cos α y v 0 t sin α gt dove t è il tempo, g l accelerazione della forza di gravità terrestre. Determinare la traiettoria del moto e la gittata. Determinare anche la grandezza della velocità del volo e la sua direzione. Soluzione: Questo esercizio è la classica determinazione del moto parabolico; infatti si osserva che la componente orizzontale della velocità descrive un moto rettilineo uniforme, mentre quella verticale un moto accelerato. Ricavando infatti il tempo t dalla prima relazione e sostituendola nell altra si ha t v 0 cos α y v 0 sin α v 0 cos α g v0 cos α tan α g v0 cos α : tale equazione, di secondo grado, è descritta da una curva parabolica e rappresenta la traiettoria del punto materiale. La gittata è rappresentata in figura dalla distanza OA; gli estremi di tali segmento sono i punti di intersezione della parabola con l asse delle, di cui uno, O, è scelto quale origine; quindi tan α g v 0 cos α 0 raccogliendo la e calcolando la soluzione diversa da zero, si ha g tan α v0 cos α A sin α cos α v 0 cos α v 0 sin α g g La componente orizzontale e verticale della velocità sono v d dt v 0 cos α v y dy dt v 0 sin α gt Eercise 9. Un punto si muove sull iperbole y 0 in modo tale che la sua ascissa cresce uniformemente alla velocità di un unità per secondo. Qual è la velocità di variazione della sua ordinata quando il punto considerato coincide con il punto P 5; )? Soluzione: Le coordinate del punto mobile sono quelle che soddisfano l equazione dell iperbole riferita ai propri assi. La sua velocità si può esprimere come v u sec ; ma v y, per cui dy d 0 calcoliamo 5), cioè la velocità nel punto 5 5) v y 0.4 m s

20 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 0 Eercise 0. Il raggio di una sfera cresce uniformemente con la velocità di 5 cm/sec. Con quali velocità crescono la superficie ed il volume della sfera nel momento in cui il raggio è uguale a 50 cm? Soluzione: Ricordiamo che la superficie e il volume in funzione del raggio, sono espresse da S 4πr V 4 πr La velocità di espansione può essere intesa come dr dt 5 cm sec. Calcoliamo le velocità di espansione di superficie e volume, mediante la loro derivata rispetto al raggio ds dt dv dt dr 8πr dt dr 4πr dt m m 8π 0.50 m π sec sec 4π 0.50) m 0.05 m m 0.05π sec sec Eercise. Siano date le due funzioni f) + g) + 5 Risolvere l equazione f ) g ) e sia 0 la soluzione nell intervallo [0; 4]. Considerare il punto di ascissa 0 sul grafico delle due funzioni. Che cosa si può dedurre? Soluzione: calcoliamo le derivate delle due funzioni polinomiali di secondo e terzo grado L uguaglianza è vera per cioè f ) g ) 8 0 risolvendo, si ha, applicando la formula ridotta e 4. Troviamo le intersezioni delle funzioni f e g:, ± si nota che è una radice dell equazione infatti: 6 + 0); anche le derivate si incontrano in questo punto e quindi, nel punto le due funzioni hanno la stessa tangente. Eercise. Determinare i punti in cui l iperbole equilatera di equazione ha la tangente inclinata di π 4 sull asse. y + Soluzione: l inclinazione di una retta tangente in un punto è espressa tramite il suo coefficiente angolare, cioè l angolo che la retta forma con l asse delle, m tan α; ma tale coefficiente angolare è pure espresso dal limite del rapporto incrementale, quando l incremento tende a zero, cioè la derivata della funzione, m. Ora se l inclinazione è pari a π 4, vuol dire che la retta forma un angolo di 45, cioè è la bisettrice del e quadrante di equazione y ; tale retta ha coefficiente angolare m e la derivata di y, deve pertanto essere uguale a. Calcoliamo quindi la derivata della funzione + ) ) + ) 4 + )

21 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA moltiplicando per il mcm diverso da zero, si ha I punti sono quindi P 5; 5) e Q ; ) Eercise. Determinare l ampiezza dell angolo compreso dalle tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione con l asse. y Soluzione: Determiniamo prima i punti in cui la parabola interseca l asse, cioè quelli aventi ordinata nulla: Calcoliamo ora la derivata della funzione nei punti di ascissa, : 5 Si ha quindi ) ) tan α α π 4 tan β β 4 π β α π Eercise 4. Data la curva di equazione y + determinare le equazioni delle tangenti nei suoi punti di intersezione con gli assi. Soluzione: Calcoliamo i punti di intersezione con l asse, cioè i punti ad ordinata nulla: con raccoglimento parziale + 0 ) ) 0 ) + ) 0 I punti sono A ; 0), in cui la curva è tangente all asse, e B ; 0). Calcoliamo ora la derivata della funzione nei punti ottenuti ) 0 ) 4 Una tangente avrà m 0, e sarà quindi, come detto, la retta y 0; la seconda tangente avrà equazione conoscendo m e un punto) y ) cioè y Calcoliamo ora l intersezione con l asse y, cioè i punti ad ascissa nulla: y 0) Il punto sarà C 0; ). Calcoliamo la derivata in questo punto 0)

22 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA la retta sarà quindi cioè y y + Eercise 5. Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola y + 4 nei suoi punti di intersezione con la retta y + Soluzione: determiniamo prima i punti di intersezione { { y + y + A ; ) B ; 4) Per trovare le equazioni delle equazioni, calcoliamo prima la derivata della funzione e poi calcoliamo le due derivate puntuali La tangente in A sarà: ) ) y ) y + y 4 ) y 5 Eercise 6. Siano A e B i punti di intersezione della parabola y 4y + con l asse y. Dette t e t le tangenti ad essa nei punti A e B e C il punto di intersezione delle due tangenti, determinare l area del triangolo ABC Soluzione: Le intersezioni della parabola, con asse parallelo all asse, con l asse delle ordinate, cioè ad ascissa nulla, sono y 4y + 0 y y I punti hanno quindi coordinate A 0; ) e B ; ). Calcoliamo la derivata rispetto a y della funzione nei due punti: y 4 ) ) In questo caso i coefficienti angolari rappresentano l angolo rispetto all asse y; per trovare le equazioni delle tangenti è necessario utilizzare l angolo rispetto all asse. I coefficienti angolari delle rette saranno pertanto i reciproci, tenendo anche conto della relazione che esiste per la derivata di una funzione inversa: m m le equazioni saranno allora y y + y y +

23 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA Troviamo il punto C { + + y + C ; ) cioè il punto C sta sull asse del segmento del segmento AB; il triangolo ABC è pertanto isoscele anche per motivi di simmetria); la sua area è A ABC Eercise 7. Determinare i parametri a e b in modo che la curva di equazione y a+b ; ) e abbia ivi per tangente la retta 4 + y 7 0. passi per il punto Soluzione: Se la curva passa per il punto assegnato, allora le coordinate del punto verificano l equazione della curva: a + b Se in questo punto la tangente alla curva ha l equazione assegnata, allora il suo coefficiente angolare, 4, è la derivata della equazione della curva in questo punto: a a b 4 a b Combinando le due relazioni, si ottiene: { a + b a + b 4 risolvendo con il metodo di riduzione 4 b a a b Eercise 8. Data la funzione f definita in R: f : sia C il suo grafico. Determinare i punti di C in cui la tangente è parallela alla retta y 6. Soluzione: I coefficienti angolari delle tangenti alla curva sono espressi dalla derivata della funzione 6 + Tale derivata deve essere uguale al coefficiente angolare della retta assegnata, m 6, per cui le soluzioni di questa equazione sono I punti saranno, sostituendo nella equazione della curva C, ; 44 ) ; 7) 7 Eercise 9. Determinare a, b, c, d in modo che la curva di equazione y a +b c+d abbia come asintoto una retta parallela a y + e abbia nel punto A 0; ) la tangente inclinata di π 4 sull asse.

24 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 4 Soluzione: La curva avrà un asintoto obliquo di equazione y m + q, se a + b m lim c + d a c a + b q lim c + d a ad c c Il punto A appartiene alla curva e le sue coordinate soddisfano quindi l equazione della stessa: La derivata della funzione è: b d a c + d) c a + b ) c + d) ac + ad bc c + d) tale derivata deve valere, m tan π 4 y 0) ) nel punto dato: Componendo tutte le condizioni, si ha:????? bc d a c ad c b d bc d Eercise 40. Determinare i coefficienti a e b in modo che la curva di equazione: y a sin + b cos π abbia nel punto 4 ; + ) tangente parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Soluzione: Il punto appartiene alla curva; sostituisco quindi le coordinate del punto + a + cioè a la tangente dovrà avere coefficiente angolare m ; calcolo la derivata a cos b sin nel punto indicato, la derivata avrà valore, quindi b si ricava b Eercise 4. La tangente alla curva y tan + sin nel suo punto di ascissa π 6 taglia l asse nel punto T. Trovare la distanza OT. Soluzione: Se il punto di tangenza ha ascissa π 6, avrà ordinata y tan π 6 +sin π 6 la derivata + tan ) + sin ) sin + sin ) calcolo la derivata nel punto di ascissa π 6 + ) 9 4 ) La tangente avrà coefficiente angolare m e passera per il punto y π ) 6 y + π + ; Calcoliamo ) π 6 ; ; la sua equazione sarà